第四章 研究結果
第五節 比例思考的應用
比的概念之學習軌道進行到最後一站-比例思考的應用，學生因為已經累積 足夠多的概念與經驗，所以在這一站的學習表現也如教師預期般的順暢，學生分 組討論的時間縮短，答對率也高，題目共 5 題全班有 5 組答對，0 組答錯。因此 教師在進行完教學活動之後，有充裕的時間讓學生進行後設認知，把習作完成。
教師行間巡視時發現學生的學習表現並沒有出現迷思概念，所以採 1 個小組寫 1 題上台發表解題策略，並在完成 5 題的師生課堂互動紀錄摘要之後做統整的教師 分析。
一、比例思考的應用(比例尺)
佈題：小華研究一張地圖，地圖右下角的比例尺標示著 12 公分 6 公里，假如兩 座城市在地圖上的距離為 36 公分，請問兩座城市的實際距離是多少公里?
其中，將第 1 組的課堂小組表現情形整理成表 4-5-1 所示：
表 4-5-1 活動五 Q1 學生課堂小組表現
活動五 Q1 比例思考的應用(比例尺問題)
答對組別 5 組 作答正確率 100%
答錯組別 0 組 作答錯誤率 0%
答對類型：倍數法 組別：G01
122
以下為師生在課堂互動問答的記錄摘要：
T：請第 1 組上台發表做法。
G01：因為 12×3=36，所以 6×3 等於 18。
【教師分析】
這組採用的是倍數法的思考策略解題，林福來、郭汾派和林光賢(1986)在國 中生比例概念發展之研究中有說明所謂的倍數法，因為 36 公分是 12 公分的 3 倍，所以兩座城市的實際距離也是 6 公里的 3 倍，這樣的想法就是倍數法。莊玉 如(2005)提到如果先求出兩個等價的比中前項之間的倍數關係，再利用此倍數關 係擴充到後項的方法求解，稱為倍數法。
二、比例思考的應用(交易問題)
佈題：20 隻孑孓拿到衛生局可以換 4 元，請問小賴換了 72 元是抓了幾隻孑孓呢?
其中，將第 2 組的課堂小組表現情形整理成表 4-5-2 所示：
表 4-5-2 活動五 Q2 學生課堂小組表現
活動五 Q2 比例思考的應用(比例尺問題)
答對組別 5 組 作答正確率 100%
答錯組別 0 組 作答錯誤率 0%
答對類型：倍數法 組別：G02
以下為師生在課堂互動問答的記錄摘要：
T：請第 2 組上台發表做法。
G02：20：4＝( )：72→20：4＝(360)：72。
123
T：為什麼不是 20：4＝72：( )?
G02：因為前項是孑孓數量，後項是可以換的錢。
【教師分析】
這組採用的是倍數法的思考策略解題，林福來、郭汾派、林光賢(1986)在國 中生比例概念發展之研究中有說明所謂的倍數法，例如 72 元是 4 元的 18 倍，所 以 20 隻孑孓可以換 4 元，則 360 隻孑孓可以換 72 元，這樣的想法就是倍數法。
莊玉如(2005)提到如果先求出兩個等價的比中前項之間的倍數關係，再利用此倍 數關係擴充到後項的方法求解，稱為倍數法。
三、比例思考的應用(濃度問題)
佈題：阿不思用 4 杯紅茶與 2 杯鮮奶調製奶茶，如果有 36 杯鮮奶需要幾杯紅茶 才能調製濃度相同的奶茶呢?
其中，將第 3 組的課堂小組表現情形整理成表 4-5-3 所示：
表 4-5-3 活動五 Q3 學生課堂小組表現
活動五 Q3 比例思考的應用(比例尺問題)
答對組別 5 組 作答正確率 100%
答錯組別 0 組 作答錯誤率 0%
答對類型：倍數法 組別：G03
124
以下為師生在課堂互動問答的記錄摘要：
T：請第 3 組上台發表做法。
G03：因為 36÷2=18，4×18＝72 T：如何用等比例表示?
G03：4
2 =7236
T：請問可以不要按照這個比例嗎?
G03：不可以，這樣調出來(指濃度)會不一樣。
【教師分析】
這組採用的是倍數法的思考策略，求出 36 杯鮮奶與 2 杯鮮奶的 18 倍，4 杯 紅茶需要 2 杯鮮奶，則 72 杯紅茶需要 36 杯鮮奶。在這題教師還要注意的地方是，
在課堂上進行行間巡視時發現有少部分學生有發生「比例項錯置」（林福來、郭 汾派、林光賢 1986）的錯誤策略，例如應該 36÷2＝18，卻寫成 36÷4＝9(用後項 去除以前項)。
四、比例思考的應用(交易問題)
佈題：香蕉 3 公斤賣 60 元，媽媽買 18 公斤要花費多少元?
其中，將第 4 組的課堂小組表現情形整理成表 4-5-4 所示：
表 4-5-4 活動五 Q4 學生課堂小組表現
活動五 Q4 比例思考的應用(比例尺問題)
答對組別 5 組 作答正確率 100%
答錯組別 0 組 作答錯誤率 0%
答對類型：加法策略 組別：G04
125
以下為師生在課堂上互動問答的紀錄摘要：
T：請第 3 組上台發表做法。
G04：因為 60÷3＝20，20×18＝360 T： 60÷3＝20 的意思為何?
G04：我們先求出 1 公斤香蕉的單價，再乘以 18 公斤看需要多少錢。
【教師分析】
按照 60÷3＝20，20×18＝360 會認為是使用倍數法的思考策略，但是透過學 生說明作法後，會發現其實是單價法的解題策略。所謂單價法，就是先求出「一 單位的量」，再依需要加以計算求解，稱為單價法(林福來、郭汾派、林光賢，
1984)。
五、比例思考的應用(速率問題)
佈題：千陽號跑 100 公尺需要 5 分鐘，請問從西子灣到旗津的距離約為 2000 公 尺，需要多少分鐘呢?
其中，將第 5 組的課堂小組表現情形整理成表 4-5-5 所示：
表 4-5-5 活動五 Q5 學生課堂小組表現
活動五 Q5 比例思考的應用(比例尺問題)
答對組別 5 組 作答正確率 100%
答錯組別 0 組 作答錯誤率 0%
答對類型：等比例的思考 組別：G05
126
以下為師生在課堂互動問答的紀錄摘要：
T：請第 5 組上台發表做法。
G05：因為 2000÷100=20，5×20＝100
【教師分析】
莊玉如(2005)對於倍數法的定義是先求出兩個等價的比中前項之間的倍數 關係，再利用此倍數關係擴充到後項的方法。所以這組採用的策略倍數法的解題 策略。
以下為小組發表完後，教師做最後的統整歸納與師生互動內容摘要：
T：大家的表現都很好，請問這次的教學活動中的數學概念有應用到哪一個比的 學習概念呢?
S：等比例的思考。
S：老師，為什麼你沒有教內乘內等於外乘外呢?
T：我知道補習班有教你們用內乘內、外乘外，那有沒有人知道為什麼內項乘積 等於外項乘積呢?
S：(紛紛搖頭)…不知道。
T：其實內項乘積會等於外項乘積是計算過程中的公式推演後所得到的結果，但 是卻沒有辦法解釋內乘內、外乘外的用意。但是你們在課堂上對於自己的作法都 有一套說法或解釋，也能理解所代表的意義，並以此做等比例的思考推理解題。
既然你們用等比例的思考就能夠解題，就不用去學「知其然而不知其所然」的內 乘內、外乘外的作法了。
小結：
1. 從這次學生的小組討論中可以發現，學生解決比例思考的應用問題常常使用倍 數法，而公倍數法、單價法、疊加法、等比例的思考以及比例關係式等解題策 略就比較少使用。
2. 學生藉由一連串有順序的學習軌道之教學活動，建構完整的學習歷程，達到教
127
128
【教師分析】
學生認為「前項：後項」等同「分子：分母」，所以就把擴分與約分的概念 直接用在解決等比例的問題。但是比只是一種關係的描述，其實是不能進行計算 的，因此教師引導學生採用等比例的思考之解題策略時，必須說明要先把比用分 數表示之後，才能用擴分、約分進行解題。
參、教師省思
一、學生課堂小組學習表現
學生在這一教學活動中學習單有 5 題題目，5 組全答對，0 組答錯。主要是 因為前四站的教學活動中教師已經利用小組的解題策略，培養學生等比例思考的 能力，所以學生解題時就會朝向「等比例的思考」之方向。雖然學生知道使用等 比例的思考，但是卻沒有 1 組是使用正確之等比例的思考解題，因此教師必須加 強學生在學習軌道第三站對於等比例的思考之概念理解，以期能解決比例思考的 應用題。
二、題目的數字設計要有分數或小數
題目的數字設計都是整數，而沒有小數和分數，且數字的太小過於簡單易算，
無法培養學生計算的能力。
三、題目的設計要有間接解題的題型
題目的數字設計都有倍數關係，學生通常能直接解題。因此可以增加必須先 比值的化約才之後，必須再擴分才能進行解題的題型。例如第 4 題除了問 18 公 斤之外，還可以繼續再問如果買 25 公斤要多少錢，以增加題目的複雜度，才能 增加數學概念的深度。
肆、小結
研究者依據表 4-5-1 至表 4-5-4 學生課堂小組學習單的答題正確情形整理成 表 4-5-5，以作為教師日後調整或修正學習軌道之參考。從表 4-5-5 中可以發現，
學生答題正確率都為 100%，學習表現佳，顯見學生透過學習軌道有系統的學習
129 等比例的計算(a×n：b×n＝c：d 或 a÷n：b÷n＝c：d)，這其實是錯誤的做法。也 就是說，1
130
一、 高分組
高分組學生在小組討論時具有領導才能，表現上較能主導意見，並說服同組 成員。而在各項學習活動中，對於作法與想法都能夠自我解釋其原因和理由，且 較能夠舉一反三。雖然在等比例的思考與比例思考的應用有出現迷思概念，但是 在教師的引導下能馬上澄清、理解後進行修正，對於比值的化約之教學活動也能 連結到先前學過的最大公因數，顯見先備的數學概念已熟稔，可以省略比值的化 約之軌道活動。
二、 中分組
中分組學生在五項教學活動的小組討論時，多有參與討論與發表。作答部分 雖偶有因未檢查而寫錯的情形外，學習態度和學習單表現方面尚屬認真。從學生 表現來看，中分組的學生在提取舊經驗與舉一反三的能力稍微落後高分組的學生，
因此只要教師可以針對此一弱點善加引導學生，中分組的學生也能夠很快的突破 困境，達到教師的教學目標。因此對中分組而言實施五個活動的學習軌道需添加 適宜的內容，才能幫助補足應有的數學概念，順利進入下一階段。
三、 低分組
分析低分組的活動一學習單到活動五的學習單可發現低分組學生在作答上 有明顯步，只有少部分會計算錯誤；在教師鼓勵下，低分組學生樂於將其運思歷 程寫下，解題內容空白處不再只有數字計算的呈現，雖然內容並不一定正確，但 卻提供教師發現低分組迷思概念處之內容。低分組學生對於題意不理解時，不會 主動舉手發問；在小組討論時，多是默默無語，不會積極參與討論；從學習單中
分析低分組的活動一學習單到活動五的學習單可發現低分組學生在作答上 有明顯步，只有少部分會計算錯誤；在教師鼓勵下，低分組學生樂於將其運思歷 程寫下，解題內容空白處不再只有數字計算的呈現，雖然內容並不一定正確，但 卻提供教師發現低分組迷思概念處之內容。低分組學生對於題意不理解時，不會 主動舉手發問；在小組討論時，多是默默無語，不會積極參與討論；從學習單中