第四章 研究結果
第四節 比值的化約之分析
壹、師生的課室互動
以下為師生課堂互動的紀錄，因為五組的答案和使用的策略都相同，因此不 逐一節錄每個小題師生之間的對話內容，而是做統一歸納整理摘要師生互動對談 內容。並將學生課堂小組表現情形整理成表 4-4-1 至 4-4-4 所示。
表 4-4-1 活動四 Q1 學生課堂小組表現情形
活動四 Q1 比值的化約(分配問題)
答對組別 5 組 作答正確率 100%
答錯組別 0 組 作答錯誤率 0%
答對類型：比值的化約 組別：G04
把比用比值表示之後約成最簡分數，再用最簡單整數比表示。
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答對類型：除以最大公因數 組別：G01、G02、G03、G05
用短出法求出前項與後項的最大公因數後，將前項與後項同除以最大公因數。
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表 4-4-2 活動四 Q2 學生課堂小組表現情形
活動四 Q2 比值的化約(單價問題)
答對組別 5 組 作答正確率 100%
答錯組別 0 組 作答錯誤率 0%
答對類型：除以最大公因數 組別：G01、G02、G03、G04、G05
用短出法求出前項與後項的最大公因數後，將前項與後項同除以最大公因數。
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表 4-4-3 活動四 Q3 學生課堂小組表現情形
活動四 Q3 比值的化約(濃度問題)
答對組別 5 組 作答正確率 100%
答錯組別 0 組 作答錯誤率 0%
答對類型：除以最大公因數 組別：G01、G02、G03、G04、G05
用短出法求出前項與後項的最大公因數後，將前項與後項同除以最大公因數。
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表 4-4-4 活動四 Q4 學生課堂小組表現情形
活動四 Q4 比值的化約(放大縮小問題)
答對組別 5 組 作答正確率 100%
答錯組別 0 組 作答錯誤率 0%
答對類型：除以最大公因數 組別：G01、G02、G03、G04、G05
用短出法求出前項與後項的最大公因數後，將前項與後項同除以最大公因數。
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以下為師生在課堂上互動問答的紀錄摘要：
T：請問有同學要說明作法嗎，會加小組分數。
G01：找出前項與後項的最大公因數之後，將前項與後項除以最大公因數。
T：如何知道要除以最大公因數呢?這個單元不是最大公因數，題目中也沒有說明 要用最大公因數求解。
S：因為題目中有最小、最低的條件。
T：那你們如何求出最大公因數?
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S：用短除法
T：例如第 1 題的答案是 2：3，你們怎麼知道已經是比值的化約了?
S：因為 2：3 沒有共同的因數了。
T：是因為沒有共同的因數嗎?
H01：前項與後項的最大公因數等於 1。
T：很好，那前項與後項的最大公因數等於 1 就表示前項與後項的關係為何?
S：前項與後項互質。
T：請問第 4 題的答案為 9：6：5，為什麼不能是 0.9：0.6：0.5 呢?這樣模型不是 更小?
H02B：因為短除法做到最後並沒有出現小數。
【教師分析】
由表 4-4-1 至 4-4-4 中可以發現，因為學生已經學過公因數與公倍數的單元，
以及在比的概念之學習軌道的第 3 個學習活動中學習了等比例的思考，所以綜合 這兩個原因，學生在理解題意之後，幾乎很快就找到使用比值的化約之解題策略 (尤其是第 1 組)，並以此類推完成學習單。Duschl(2007)等國外學者提出學習階 程（Learning Progressions ,LP）提出學生藉由建立自己的知識，並跨領域來獲得 更多的專業知識，啟發學生開發內部和學科概念之間的連接，有助於理解更複雜 的數學概念。教師的工作就是幫助學生更深入理解比值的化約之概念，就是前項 與後項互質。題意並沒有講明答案必須為整數，但是學生使用短除法找最大公因 數時，其過程不會出現小數或分數，學生自然而然就算到整數，但是不一定知道 比值的化約必須為整數的概念，因此教師在題目的數字設計上必須要有分數或小 數的設計。
貳、課後晤談紀錄
由於前一站的活動利用學生的解題策略，引導學生理解比值的化約的概念，
所以這一站學習單的表現已達到教師的教學目標，學生使用的策略都相同，所以
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只節錄其中一位低分組學生的訪談內容摘要。以下為個別談話紀錄摘要。
L01B 與教師的對話
T：請說明第 1 題的作法。
L01B：把比用分數表示之後約分。
T：題目中沒有說要約成最簡分數，你如何得知要求出最簡分數呢?
L01B：題目中有說最小和至少。
T：了解。請問你是如何求出最簡分數?
L01B：就一直約到不能約為止。
T：為什麼不找分子與分母的最大公因數?
L01B：當下不知道要找最大公因數。
T：那為什麼第 1 題不能是 0.2：0.3?
L01B：因為約分不會約成小數啊。
T：請問 2：3 用比值表示等於多少?
L01B：2
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【教師分析】
會選擇低分組學生的訪談內容摘要是因為如果低分組學生也沒有迷思概念，
則這一站的活動其他學生一定也達到教學目標。進行這一站的教學活動時，研究 者的教學設定是學生要知道最大公因數的概念，而此先備知識在學習比的概念之 前學生已經學習過了，教師只要能夠引導學生利用最大公因數解題即可。但是從 與 L01B 的訪談內容可知，低分組的學生並不像高分組的學生一樣會找最大公因 數求最簡分數，而是找公因數約到不能約為止。因此，研究者根據此現象，學生 雖然不知道或不熟悉最大公因數，還是能解決比值的化約，而比值的化約也沒有 規定學生一定要找最大公因數之後一步驟約成最簡分數。所以，研究者將把此一 發現列入日後修改學習軌道的參考。
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參、教師省思
一、學生課堂小組表現
學生在這一教學活動中學習單的表現共 4 題，5 組全答對，0 組答錯。主要 是因為前一站教師已經利用小組的解題策略引導學生理解比值的化約之概念，因 此在這一站的活動教師必須引導學生認識何謂「最簡單」與「整數」的兩個概念，
並透過小組討論與做題目確認學生有達到教學目標。
二、題目設計要有必須為整數的練習
題意中有隱含要找最大公因數的條件，例如最小、至少等字眼。但是並沒有 必須是「整數」的條件，學生會答對是因為使用短除法的過程不會出現小數的關 係，但不一定理解必須為整數的概念。因此教師在題目設計上，例如數字的設計 可以有小數或分數讓學生進行操作。
三、根據低分組的學生表現修改假設性學習軌道
從研究者與低分組的學生訪談、以及學習單的表現情形發現，中、高分組的 學生較能夠使用最大公因數求最簡分數解決比值的化約問題，低分組的學生則還 是用之前分數的約分，約到不能約為止。但是不管過程如何，低、中、高分組的 學生都能夠解決比值的化約的問題，研究者分析原因，可能是因為使用的策略只 有最大公因數和分數的約分，學生就算不熟悉最大公因數，還是能夠使用分數的 約分成功解題。陳嘉皇(2005)研究指出「學習軌道」的設計要點應用於課程與教 學設計，重點在於必須根據學童具有不同的認知發展層次、多元策略與知識，來 協助教師設計和安排一系列完善的教學活動與布置相關學習情境，滿足學童多方 面的學習需求。所以，研究者將根據此一現象做為日後修改假設性學習軌道的參 考。
肆、小結
研究者依據表 4-4-1 至表 4-4-4 學生課堂小組學習單的答題正確情形整理成
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表 4-4-5，以作為教師日後調整或修正學習軌道之參考。從表 4-4-5 中可以發現學 生的答題正確率高，且與低、中、高分組學生個別訪談時，學生也都能正確地解 釋說明作法或想法，也能從解決比值的化約過程中，理解各個等值分數之間有等 比例的關係，因此研究者將把此一發現納入日後修改假設性學習軌道之依據。前 面文獻也提到 HLTs 的精神就是，教師可以藉由在 HLTs 上得到的分析資料，對 HLTs 進行多元的驗證和改善，也帶給教師在數學教學上的反思。
表 4-4-5 活動四答題正確率
學習軌道 題號 正確率 錯誤率
4
1 100% 0%
2 100% 0%
3 100% 0%
4 100% 0%
教師在這一站的教學目標為讓學生理解要把求比值的化約時，必須先把比用 比值表示之後，再進行比值的化約，得到最簡分數，再將最簡分數用比的形式表 示即可得到最小單位的比，此時的比之前項與後項的關係是互質。而使用此正確 的解題策略只有第 4 組在 Q1 時有運用到，因此教師可以藉由此題引導學生學習 正確的數學概念，以及比不能運算，比與比值之間不能用等號連結之概念。
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