第四章 研究結果
第二節 比值的意義之分析
教科書上所謂的比值，就是告訴學生前項除以後項的值，對於學生而言與除 法無異，大部分的學生並不了解為什麼要求比值，以及比值在日常生活中的應用。
因此研究者希望透過情境式的布題，檢驗學生的先備知識，並透過小組之間的比 較對照後，能知道求比值的意義，就是除了可以互相比較，以及大小固定的特性。
壹、師生的課室互動
一、比值之意義（不良率問題）
佈題：表為三間工廠生產玩具的情形，試回答下列問題：
甲工廠 乙工廠 丙工廠 劣品數量 2 3 7
總數量 5 10 20
不管選擇哪間工廠，劣品都必須計入交貨成本中。因此，如果你是玩具公司老闆 想要找工廠生產玩具，你會選擇哪間工廠呢? 請寫出原因和作法。
其中，學生在課堂上小組表現情形如表 4-2-1 所示：
表 4-2-1 活動二 Q1 學生課堂小組表現情形
Q1 比值的意義法(不良率問題)
答對組別 5 組 作答正確率 100%
答錯組別 0 組 作答錯誤率 0%
答對類型：用小數表示比較大小 組別：G01 根據題意將比化成比值並用小數比較大小
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答對類型：通分比較大小 組別：G02、G03、G04、G05 根據題意把比用比值(分數)呈現，然後通分化成同分母比較大小。
研究者師生互動的對話內容摘要如下：
T：請第 1 組說明作法。
G01：甲工廠2
5 = 0.4，乙工廠為 0.3、丙工廠為 0.35，因為 0.3<0.35<0.4，所以 我會選擇乙工廠。
T：為什麼是2
5而不是5
2呢?
G01：因為甲工廠 5 個玩具有 2 個劣品，所以用分數表示為五分之二。
T：很好，請第 2 組上台發表作法。
G02：甲工廠 2：5＝2÷5＝2
5 =208，乙工廠 3：10＝3÷10＝3
10 = 206 丙工廠 7：20＝7÷20＝7
20，6
20 < 207 <208，所以選乙工廠。
T：所以只有第 1 組的比值是小數表示式，其他 4 組都換成分數後通分比較大小。
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【教師分析】
由表 4-2-1 可以發現，因為學生因為之前已經學過異分母的比較大小，所以 有四組的作法是分數表示不良率，然後通分化成同分母之後比較大小；有一組則 是把分數換成小數後比較大小。所以第 1 組的學生解題時採用單位化的想法，且 Lamon（1994）提出單位化的能力是培養比例思考的重要能力之一，所以教師可 以藉由第 1 組來引導其他學生理解單位化的能力。
二、比值之意義（單價問題）
佈題：現在正值梨山水蜜桃產季，下表為不同果園的價目表，試回答問題：
A 果園 B 果園 C 果園 價錢 240 520 1000
數量 2 4 8
如果你是大盤商要買水蜜桃去販賣，在成本的考量下，請問你會買哪一家 果園的水蜜桃呢?請寫出原因和作法。
其中，將各小組的表現情形整理成表 4-2-2 所示：
表 4-2-2 活動二 Q2 學生課堂小組表現情形
Q2 比值的意義法(單價問題)
答對組別 5 組 作答正確率 100%
答錯組別 0 組 作答錯誤率 0%
答對類型：求出單價 組別：G01、G05 根據題意求出各個果園販賣水蜜桃的單價後比較大小。
續下頁 答對類型：通分 組別：G02、G03
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根據題意用比值表示並通分化成同分母之後比較大小。
答對類型：找倍數關係 組別：G04
根據題意把三個果園之水蜜桃的顆數都化成 8 顆之後比較總價格的大小。
（G01、G02、G04 小組上台發表解題情形）
T：第 1 組請發表一下你們的作法。
G01：我們求出三個果園賣一顆的價錢來比大小。
T：你們的意思是求出個別的單價。再來請第二組發表一下作法。
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G02：我們求出 A 和 B 果園價錢：8 顆數量後進行比較，結果是 A 果園較便宜。
T：所以你們是用等比例的思考的方法求出 3 個果園賣 8 顆的價錢後進行比較大 小。請第 4 組發表你們的做法。
G04：我們用分數表示，再通分化成同分母比較大小。
T：老師請問各位同學，看完 5 組的解題方法後，你們覺得哪一組的方法比較容 易理解呢？
S：….(大家都覺得自己的方法最好)
T：那如果同樣的問題，我改成買 19 顆水蜜桃的話，你們認為哪一組的方法比 較容易清楚明瞭？
S：第 1 組。
T：為什麼呢？
H013(G02)：因為 2 不能直接變成 19，要用等比例的思考比較麻煩。
T：因此第 1 組的作法就是求出單價，單價是比值的一種表現形式，如果單價是 最便宜的，那麼不管買幾顆都一定花費最少。
【教師分析】
由表 4-2-2 可以發現，有 2 組是用等比例的思考之方法，有 2 組是用分數化 成同分母的方法，只有 1 組是求單價比大小。有上述可知，較少人使用單價法 (unitary)作為解題策略，這國內學者林福來(1985)在青少年比例概念發展之研究 也提到學童較少使用單價法的研究結果相同。所以佈題的數字設計會影響學生使 用的策略，老師的作用就在引導如何在適當的問題使用較佳的解題策略。老師這 時候就可以利用學生的解題解果進行說明，讓學生知道比值的意義。
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三、比值之意義（速率問題）
佈題：下表是三種不同廠牌的汽車性能比較表，試回答問題：
F 廠牌 L 廠牌 M 廠牌 距離(公尺) 100 150 300
時間(分) 10 13 28
請問如果你是台中的立委，要去台北開會，則要在最短的時間到達目的地，你會 選擇哪一廠牌的汽車呢。
其中，將各小組的表現情形整理成表 4-2-3 所示：
表 4-2-3 活動二 Q3 學生課堂小組表現情形
Q3 比值的意義法(速率問題)
答對組別 5 組 作答正確率 100%
答錯組別 0 組 作答錯誤率 0%
答對類型：比值的化約 組別：G01、G02 根據題意化成比值之後用最簡分數表示。
答對類型：通分 組別：G03 根據題意用分數表示並通分化成同分母比較大小
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答對類型：等比例之思考 組別：G04、G05 根據題意依等比例的思考比較三個廠牌在相同距離所花的時間大小。
（G01、G02、G05 小組上台發表解題情形，）
T：請第 1 組發表你們的作法。
G01：我們求出三種廠牌每分鐘行駛的距離比較大小。（學生還沒有學速率）
T：所以你們的方法跟第 2 組一樣。接著請第 4 組發表作法。
G04：我們求出三個廠牌跑 300 公尺與花費時間的比進行比較大小。
T：為什麼不跟前 2 題一樣用分數表示之後通分比較大小呢?
H02B(G02)：因為 100 只要乘以 3，150 只要乘以 2，這樣比較快。
T：請第 3 組發表你們的作法。
G03：我們用分數表示，然後再通分化成同分子後進行比較大小。
T：為什麼要這麼做呢？用除法不會比較快嗎？
G03：不會。因為我們看到分子之間有倍數關係，F 廠牌只要同乘以 3，L 廠牌 只要同乘以 2 就可以得到答案。
T：第 1 組的作法其實是之後你們會學到的速率，速率就是距離除以時間，也是 比值的一種。然後你們看第 5 組的作法，例如100
10 = 30030中，有沒有發現比值 除了可以比較大小之外，還有一個特性嗎？答對的人加小組分數。
H02B(G02)：100÷10 和 300÷30 的答案一樣。
T：很好，這些比有共同的比值，所以比例都相同。
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【教師分析】
由表 4-2-3 可以發現，第 3 組使用複合單位(或稱聚焦單位)的想法解題，也 是單位化的能力。所謂複合單位就是把幾個物體當成一個單位(沈明勳，2002)，
例如 F 廠牌中，把 100 公尺視為 1 個單位，每移動 100 公尺要花 10 分鐘，則移 動 200 公尺要花 20 分鐘，移動 300 公尺要花 30 分鐘….以此類推。
學生選擇的解題策略之原因，會受到先備知識或是否容易計算而影響，而先 備知識也是學生能成功解題的重要因素之一(沈明勳 2002)。因此教師在佈題時，
就必須預測學生可能選用的解題策略以及迷思概念進行設計問題，除了考慮情境 之外，也要考慮數字的影響。這小節除了讓學生習得比值的意義，還希望可以延 伸到下一站學習等比例的思考，所以研究者在數字設計上都有倍數關係，藉此使 學生運用等比例的思考解題，從比較對照後讓學生對於等比例的思考有基本的概 念，不過研究者還是必須把焦點聚焦在學習比值的意義上。
四、比值之意義（命中率問題）
佈題：此為中華籃球隊三名球員的三分球命中的表現，試回答問題：
野獸 少俠 男模 進球數 3 5 10 出手數 4 8 12
台灣 V.S 中國的比賽，中華隊還落後 2 分，想要逆轉勝，勢必要設計三分球最後 一擊的戰術，如果你是教練，會選擇哪位球員來執行戰術呢?請寫出原因和作法。
其中，將各小組的表現情形整理成表 4-2-4 所示：
表 4-2-4 活動二 Q4 學生課堂小組表現情形
Q4 比值的意義法(命中率問題)
答對組別 5 組 作答正確率 100%
答錯組別 0 組 作答錯誤率 0%
答對類型：比值(小數型) 組別：G01 根據題意將比值用小數表示後比較大小。
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答對類型：比值(分數型) 組別：G02、G03、G04、G05 根據題意將比值用分數表示後通分化成同分母比較大小。
（G01、G02、G03 小組上台發表解題情形。這題 G03、G04 和 G05 的解題都是 使用了通分的方法，因為 G03 在通分上有迷思概念，因此選擇 G03 發表，最後 再一次做統整比較和說明。）
T：第 1 組請發表你們的作法
G01：我們一樣求比值，用進球數除以出手數得到小數比較大小。
T：那為什麼不是出手數除以進球數呢？
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G01：因為進球數包含在出手數中，所以進球數在分子，出手數在分母。
T：請第 2 組發表你們的作法。
G02：我們用等比例的思考的方式，把出手數都化成 24 後進行比較。
T：為什麼不用比值呢？
G02：因為我們認為把出手數都通分成 24 比較快。
T：接著請第三組發表。
G03：我們用分數表示後化成同分母進行比較。
T：所以你們是用通分，可是有沒有發現哪裡有問題呢？
G03：...(思考中)。
T：好，沒關係，有沒有同學要幫忙補充說明的？
M01B(G01)：老師，他們沒有上下同乘。
T：在這一題中，有哪些組是用比值呢？
S：第 1 組
T：只有第 1 組嗎？
G05：老師還有第 3 組、第 4 組和我們。
T：為什麼？可以說明你的看法嗎？
G05：因為分數可以換成小數，例如3
4 = 0.75
T：沒有錯，比值可以用分數或是小數表示，用分數表示比值時並沒有規定說一 定要最簡分數，所以你們通分後的分數也是比值，只是第 1 組化成小數，而 小數和分數的互換你們之前已經學過了。那比值可不可以用整數表示呢？
H01A (G01)：可以，像是第二題的單價問題。
【教師分析】
由表 4-2-4 可以發現，學生的解題策略會受到數字設計的影響，而根據國外 學者 Hart(1981)等研究顯示，學生在解決比的問題時，數字為整數之表現較佳，
對於解決非整數的比例問題表現則有明顯的困難。學生在討論之後會設法解釋說
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明理由後在小組中取得共識。例如第 1 組整份學習單都是用比值來解題、第 2
明理由後在小組中取得共識。例如第 1 組整份學習單都是用比值來解題、第 2