等比例的相關研究

1970 年代以後，有關等比例的相關研究如雨後春筍般出現大量的實徵性研 究，這些研究可分為比例概念階層、學習困難、解題策略等三類型的研究。

一、概念階層

林福來、郭汾派和林光賢 (1985)在國中生比例概念發展研究中將國中生對 比例概念的了解分為 Level 0 到 Level IV，如表 2-1 比例概念問題層次所示，其 中第 Level 0 層表示 Level I 答對題數不滿 3 題。

表 2-1 比例概念問題層次

層 次 數 學 特 性

Level I 無需求比值。含 2 倍、3 倍及一半等簡單的倍數觀念。

Level II 比值易求。可用折半疊加法處理，像 2：3、2：5 等 Level III 須求比值。涉及分數或有限小數的運算。

Level IV

需知道比例式的必要性。題目中的數據複雜，或求單位比值的動 機很弱。

資料來源：林福來、郭汾派和林光賢 (1985)。「國中生比例概念發展」。科教月 刊第 74 期。

二、學習困難

Lamon (2007)的研究發現影響比例學習困難的因素有對情境的熟悉程度、比 例的未知數之位置、離散量與連續量的問題、整數比與非整數比、單位比的呈現，

以及可知覺的線索是否相同；題目使用的「數字」(Noelting,1978)，與內涵量的 乘除法問題 (Schwartz,1987) 對學生解比例問題也有明顯困難(陳蕙茹，2010)；

以及在數學的解題過程中，學生本身的先備知識與是否能夠成功解題是相輔相成 的(沈明勳，2002)。綜合上述影響學生解比例問題影響有語意結構、數字設計、

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素材種類、先備知識四個方面，分別敘述如下：

（一）語意結構

在各項比例問題的相關研究中顯示，針對語意關係來探討學生解題表現的研 究較少，國外學者 Lamon(1993)將比例問題分為良好合成的量數、部份-部份-整 體、關係的集合、放大縮小四種類型。而我國數學實驗課程教師手冊第十冊依照 語意的差異將比例問題分為交換問題、組合問題、母子問題、密度問題四種類型。

且根據楊錦連(1999)研究發現，國小六年級學生對於各類型的比例問題解題的困 難度（由簡單到困難）是：伸縮問題>密度和母子問題>交換與組合問題。

（二）數字設計

學生解題時，常常根據題意，設想解題策略，並自我解釋來達成目標。但是 當學生在讀完問題時，其解題策略與想法會因為數字設計的不同而改變，所以數 計不同對於學生解題來說將是有難易度的差異。而數字設計的類型有整數、分數、

小數及其混合類型、兩量之間有無倍數關係等。根據研究顯示，學生解決整數比 的問題之表現較佳，但是對於解決非整數的比例問題表現則有明顯的困難 (Hart,1981 ; Lo & Watanabe, 1997 ; Noelting, 1980)。

（三）素材種類

素材種類與「外延量」和「內涵量」有關，外延量(extensive quantity)就是可 以直接計算和可加成性的量數，也就是數量可以相加減。例如錢、長度、數量、

重量等，在求總和時可以直接將數量加總﹔而內涵量(intensive quantity)是由兩個 不同屬性的數(或量)所衍生出來的另一種新含意的數量，例如速率是距離除以時 間﹔單價是由總錢數除以數量;密度是物體的質量除以體積。換句話說內涵量就 是兩個不同外延量的比值(沈明勳，2002)。劉秋木(1995)的研究指出，依據不同 的素材種類與問題中涉及到「外延量」與「內涵量」的問題，學生解題時會因為 解讀題意錯誤，而使用錯誤的解題策略計算，例如學常常誤以為內涵量是可加成 的而採用加法策略。

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由上述可知，學生學習數學知識的過程中，等比例的思考問題成為學生學習 發展的難題，林福來（1984）的研究也指出，大部分的國中學生對於解決比例問 題有明顯困難，因此比例問題的教學是國小教師必須重視的課題。

（四）先備知識

教師在教學與設計教材之前必須考慮到學生具備的先備知識，因為從學生已 有的先備知識去發展要學習的數學概念才能事半功倍。沈明勳(2002)提到，有助 於解決比例問題的先備知識有五點：因數與倍數的概念理解、熟悉乘除法的情境、

有理數的概念、相對思考能力、單位化與基準化的能力，分別敘述如下：

1.因數與倍數的概念理解

在比例問題的解題過程中，部分學生的解題策略會採用因數和倍數的概念解 決問題。而 Lo 和 Watanabe(1997)的研究結果提到因數與倍數是解比例問題成功 與否的重要數學概念。例如「15 公尺長的鋼筋重 10 公斤，9 公尺長的鋼筋重幾 公斤？」的問題，因為 15 和 9 沒有倍數關係，所以學生最常用的策略是求出 1 公尺的鋼筋多重之後再乘以 9，即¹⁰

15× 9 = 6公斤。倘若學生有因數與倍數概念，

就可先把 12 和 8 的最大公因數找出，而直接將 12 和 8 除以最大公因數之後 再乘以公倍數 3 就能解答。由上述可知，解比例問題常常先做除法再做乘法，也 就是用因數與倍數的策略，所以因數與倍數概念是學習比例的基礎(劉祥通、周 立勳，1999）。

2.熟悉乘除法的情境

Vergnaud(1983)提出「乘法概念體」的理論，提到比、比例、分數、因數與 倍數、速率、函數等概念與乘除法之間的關聯。Lo and Watanabe(1997)的研究證 明乘法概念的發展是比和比例概念的發展之必要條件。因此比例概念是乘除法概 念的上位概念(沈明勳 2002)。Vergnaud(1988)指出乘除法問題是比例問題的特例，

例如，a 個蘋果派給 b 個人吃，請問 c 個蘋果派可以給多少人(x)吃？這屬於比 例問題，表示為「a：b＝c：x」。但若將題目改成「1 個蘋果派給 b 個人吃，請

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問 c 個蘋果派可以給多少人(x)吃？」，就變成乘法問題，表示為「c 乘以 b＝x」；

若再改成「a 個蘋果派給 1 個人吃，請問 c 個蘋果派可以給多少人(x)吃？」，

又變成除法問題，表示為「a 除以 c＝x」。學生如果能熟悉比例問題情境的隱藏 的乘除法情境，將有助於比例問題的解決。

3.有理數的概念

有許多學者把比和比例歸類到分數概念之中，Kieren(1980)把分數分成五個 面 向 ， 其 中 一 個 就 是 比 、 Behr 、 Lesh 、 Silver 將 分 數 區 分 成 七 種 子 結 構

（sub-construct），其中兩種就是比與比例(引自陳敏華，1998)。常見的分數類型 就是將它表示成有理數的形式，有理數可以有很多不同的意義，例如，商

（quotient）、部分-全體（part and whole）、運算子（operator）、比率（ratio）的 不同意義（Kieren, 1980）。但是部分的學生對於有理數的意義只理解其中一、兩 個而已。

4.相對思考能力

Lamon（1997）指出相對的思考和比值的單位化是學習比例問題的兩個重要 的策略，因此相對思考能力對於解比例問題是一項重要的基礎。而「相對的思考 能力」是指學生可以了解情境中數量關係的相對性，「相對」正是比例問題中重 要的概念之一（引自陳敏華，1998），因為比例是指兩量彼此之間的比較關係，

就是指一個數值相對於另一個數值的大小，並不是描述單獨一個量的變化。例如，

假設有兩間學校，學生人數分別有 100 人和 50 人，開學時同時增加 50 人，以絕 對的概念來看，增加的人數相同，但是從相對的概念來看，增加比率為⁵⁰

150< ₁₀₀⁵⁰， 所以增加比率就不同了。

5.單位化與基準化的能力

Lamon（1994）提出單位化（unitizing）和基準化（norming）的觀念協助教 師分析學生的運思歷程，並指出有集聚單位能力的學生，會使用集聚單位 (composite units)來重新描述新的數量情境的過程。所謂「集聚單位」就是將數個

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表 2-3 解比例問題的錯誤策略

解題策略 定 義

1. 加法策略

將一比例關係中的一數減另一數，再將此差數應用到第二 比例關係中。

2. .比例項錯置

把其中一個比的前項(或後項)與另一個比的後項(或前項) 錯置求解。

3. 自訂關係

在除法計算過程中，遇到除不盡的情形，不瞭解餘數的意 義，便自訂關係。

4. 無規則 將題目中的數字任意計算。

資料來源：修改自林瑋詩(2006)。「國小高年級學童於比例問題的解題規則之階 層結構探討」。

小結：

等比例的思考問題成為學生學習發展的難題，因此教師必須知道影響學生學 習的因素，因此從本節的文獻中可以知道學生在學習時的迷思概念，使用的策略 規則、不同的數字設計和語意結構對於學生學習等比例的思考有何影響。研究者 將根據文獻內容，採取適合的數字設計、布題情境與語意結構來設計學習軌道每 一個任務用的學習單，並藉由師生課堂的互動與討論、及學生學習單的表現，分 析學生使用的策略和想法、探究學生產生迷思概念的原因，以作為教師日後修正 學習軌道之參考。

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