比的概念與知識架構

一、比的概念

比是用來描述兩個量(X 與 Y)之間存在特定倍數關係的表示法，或是並置的 兩對應關係量的記錄(國立編譯館，2000)。換言之，要用比來描述兩量的關係時，

兩量必須存在有某種對應關係，在數學上，通常以符號 X :Y 來表示此種對應關 係。例如：「七年一班有 20 位女生和 10 位男生」，對於男生與女生人數的兩量所 存在的對應關係，可以表示為男生與女生人數的比為 10: 20。又如，「8 張貼紙換 2 杯思樂冰」，由於兩量之間的對應關係，是人為約定的貼紙和思樂冰兌換方式，

因此可以記為「8: 2」。

國立教育研究院籌備處的課程小組，對於比的描述認為是對等關係，是指兩 數量 A、B 之間所產生的配對關係，就稱 A、B 兩數量具有對應關係。在數學上 可以用有序數對（A，B）表示，也有用「A：B」表示。例如張三的鐵線是 10 公尺長重 10 公斤，李四的鐵線是 20 公尺長重 18 公斤，而王五的鐵線是 15 公尺 重 16 公斤，…上述各個例子的描述，皆產生一個對等關係，10 公尺對 10 公斤，

20 公尺對 18 公斤，15 公尺對 16 公斤，…本課程小組建議採用「比」的符號「：」， 來記錄這些對等關係，如記成「10：10」、「20：18」及「15：16』等。在各種類 型的對等關係情境中，例如交易活動的對等關係「小明拿 5 部玩具車在跳蚤市場 換了 2 個布偶」，先開放給學童，自由選取符號來記錄兩數量 5 部玩具車與 2 個 布偶的配對關係，再形成使用比的符號「5：2」記錄此對等關係。

在數學上常先將『比』數值化(即比值，可以有不同的方式，並做為「比」

的大小或相等的比較活動的依據。64 年版課程即是這樣處理：先定義一個「比(例 如 A：B)」的前項 A 除以後項 B，即 A/B 為比值，再由比值是否相等來做為比 是否相等的依據。本研究認為：先將『比』數值化勢必得直接定義，一方面過於 抽象，另一方面比值的意義沒有突顯，當學童日後用比值來學習進一步的數學教 材時，預期會有較多的困難。

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二、比值的化約

對於一個 A：B 而言（假設 A 和 B 皆為正整數），和這個比相同比例有無限 多個，如果這些比當中的前項和後項都是整數時，此時稱這些比為「整數比」。

例如對「12：15」來說，「4：5」、「8：10」、「16：20」、「28：35」…等都是和「12：

15」等價的整數比，而當這些整數比中某一個其前項與後項互質時，教科書稱之 為「最簡單整數比」，例如 12：15」的最簡單整數比為「4：5」。但因為在本教 學實驗中，會先把比用比值分數表示式後約成「最簡分數」，再把該最簡分數用

「最簡單整數比」表示，因此將「最簡單整數比」更名為「比值的化約」。 三、比的對等關係

我國數學實驗課程教師手冊第十冊(1996)依據情境設定的不同，比的對等關 係可分為下列四類：（1）兩數量 X 和 Y 屬於「同類量」，意即兩數量的單位相同，

且 X 和 Y 皆為全體中的一部分時，就稱為「組合」的對等關係；（2）反之，X 和 Y 屬於「同類量」，但其中一個量代表全部，另一個量是全體中的一部分，則 稱為「母子」的對等關係；（3）若 X、Y 因為某種原因，使得 X 和 Y 具有相同 的價值可以進行交換，使得 X 和 Y 形成等價關係，就稱為「交換」的對等關係；

（4）如果 X 和 Y 為異質量（代表的單位不同），且 X 和 Y 可以用來描述同一個 物件的不同性質時，其 X 和 Y 的比值可以用來描述物件的特性，則 X 和 Y 的關 係可稱為「密度」的對等關係。這四種類型的對等關係分別舉例說明如下：

1. 組合關係：例如「有一個袋子分別裝有 6 顆紅球和 10 顆藍球」，紅球數量和 藍球數量存在著組合的對應關係，紅球和籃球的比為「6:10」。 2. 母子關係：例如「有一個袋子分別裝有 6 顆紅球和 10 顆藍球」，紅球數量和

全部數量存在著母子的對應關係，紅球和全部的比為「6:16」。 3. 交換關係：例如「35 個點數換 2 張咖啡兌換卷」，點數和兌換卷存在交換的

對應關係，記為「35 : 2」。

4. 密度關係：例如「10 立方公分的酒精重 7 公克」，10 立方公分和 7 公克都是

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描述酒精的體積和質量，此對應關係稱為酒精的密度關係。

四、等比例的定義

等比例的定義，有許多不同的說法。Euclid 將「比」定義為同類量間的大 小關係，而所有相同比的四個量則稱作「成比例」的量（燕曉東編譯，2005）。

Freudentha(1983)對「等比例」描述是數(或量)在序對集合中的一種等價關係 (Freudenthal, 1983)，此等價關牽涉兩集合中的量之組成結構相似性，以及組成結 構的轉換性與不變性之特質(transformations and invariance) (Lesh,Post&Behr, 1991) 。 等 比 例 的 結 構 可 表 示 為 「^𝑎

𝑏 = _𝑑^𝑐=… 」、「 ad=bc=… 」 或 其 他 形 式 (Lamon,1999)。陳蕙茹(2010)的研究提到當以「^𝑎

𝑏 =_𝑑^𝑐 = ⋯^{」表示等比例時，也} 隱含了這些數對具有共同的「商」，其暗示了比較的兩量之一量為基準量。換句 話說，等比例用分數式表示時，彼此之間有共同的「比值」，類似等值分數的概 念。Levin (1999) 分析美國教科書，發現等比例 (equal proportion)被定義為等值 分數 (equal fractions)，以「^𝑎

𝑏 = _𝑑^𝑐」表示；我國數學課程綱要提到比的相等關係 為兩數並置時的比與另兩數並置時的比相等。例如：，透過單位價格如 1 斤麵 粉 16 元，知道 2 斤麵粉 32 元，3 斤麵粉 48 元(教育，2003)。由此可知這 些數對共享一個相同比例的關係。因此，等比例的分數表示式所代表的意義，就 是存在著兩數(或量)之比較關係以及分數的兩種概念，而這兩個不同概念之間的 交互作用也影響著學生理解等比例思考推理的能力(陳蕙茹、柳賢，2010)。

小結：

教師本身的知識專業和教學專業也是影響學生學習成效的重要關鍵，如果教 師相關的數學知識不足，勢必會影響教學成效與學生的學習成效。研究者透過有 關國外與國內對於等比例的定義做比較，發現國內習慣把等比(equal ratio)和等比 例(equal proportion)視為相同的概念，但是等比只能用來描述兩數量或以上有共

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同比值的關係，是無法進行計算，必須把等比轉換成等比例的形式才能以分數的 概念解題。所以在進行本教學實驗時會幫助學生釐清概念。

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第三節 比與比例的相關研究

一、Lamon(1993)對於比的研究

Lamon(1993)指出「比」是用來描述兩個量之間存在特定倍數關係，也是一 種比較，乃指兩數量比較後所得到的倍數關係，它可以是同類量的比較，也可以 是異類量的比較。依據 Lamon 將比的情境問題之語意結構，可以分成四種：良 好合成的量數（well-chunked measures）、部分-部分-整體（part-part-whole）、關 係的集合（associated sets）、放大/縮小（stretchers/shrinkers）。今將各種語意結構 說明如下：

1. 良好合成的量數：

兩個外延量的對應關係，形成的內涵量。例如：距離和時間的對應關係，其 意義為速率；某物體質量和體積的對應關係，其意義為密度；水果的重量與價格 的對應關係，其意義為單價。

2. 部分-部分-整體：

兩個量中，當其中一量為另一量的部分量時，或兩量皆為整體的部分量時，

兩個量所存有的對應關係屬之。例如：食鹽重量與食鹽水溶液重量之比為部分-整體關係；而食鹽重量和水的重量之比為部分-部分的對應關係。

3. 關係的集合：

當兩量間的對應關係必須藉由約定才能確定其固定的等價關係。例如：「10 個點數兌換 1 杯飲料」是市場的交易方式。

4. 放大/縮小：

將一個量放大或縮小為另一個量，兩量的關係即為放大/縮小關係。例如：

旗桿高度 15 公尺，其影子長度為 9 公尺，旗桿高度和影子長度的對應關係為縮 小倍數關係。

Lamon(1993)提到，不同語意結構是影響學童解比例問題使用策略的重要因 素，對學童而言，最容易的問題為關係的集合，其次是部分-部分-整體關係，第

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三是良好合成的量數，最難的題型是放大/縮小關係。Lamon(2007)更進一步指出，

比例推理是一種了解比例結構對應關係的能力。

二、沈明勳、劉祥通(2002) 分析學生解比例問題文獻－國小數學課

程與教學的建議之研究

研究發現有關比與比例的相關用語經常被用來描述生活常見的問題，且解比 例問題與比例思考的能力是決定能否更進一步學習高層次數學的重要分水嶺。由 此可見，培養學生發展比例推理能力的重要性。但是學生在數學知識的學習過程 中，比例問題卻成為國小學生的夢靨，也成了教師教學上難題。

因此為了幫助教師增進教學的成效，研究從比與比例問題的相關文獻中，逐 一介紹比例的意義、描述比例關係的性質、探索解比例推理時所需具備的基本能 力，以及列出國小學生的解題策略與迷思概念，提供教師在教學設計上的參考。

三、柳芳宛（2011）比感教學之行動研究

研究發現以比感為建立比與比值的起始概念，教師在布題時必須考慮問題的 語意結構、數字是否成規律性、情境設定是否合理。為了幫助學生理解這三個概 念的重要性，可以採取的有效教學策略為尊重學生自我解釋、透過問答、比較分 類，建構出學生的比感、幫助學生澄清「規律」來自於問題的情境，而非數字。

四、吳沁珊、林碧珍（2011）國小數學比與比值單元教材分析

研究中發現目前國小數學課本常用的翰林版、康軒版、南一版與部編本四個 版本中，針對語意結構、題目類型等進行比較與分析，在不同的語意結構、題目 類型以及數字設計中，對於學生建立和理解比的概念是否有影響，進而幫助教師 在教材編排與設計上提出建議。

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小結：

藉由上述國內外學者有關比與比例的研究，對於本研究的啟發有以下幾點：

1. 由於不同的語意結構會影響學童解比例問題時會使用的策略，因此本研究的 學習單會根據 Lamon(1993)對於比的語意結構進行情境設計。

2. 根據不同的語意結構、數字設計、題目類型等對學生解題表現的影響，也會 納入本教學實驗的學習單之設計參考。

3. 藉由學生解比例問題的使用策略、迷思概念等之相關研究結果與建議，去預 測學生可能的運思歷程，以及可能需要的先備知識等，來做為設計本研究之 假設性學習軌道的參考依據。

3. 藉由學生解比例問題的使用策略、迷思概念等之相關研究結果與建議，去預 測學生可能的運思歷程，以及可能需要的先備知識等，來做為設計本研究之 假設性學習軌道的參考依據。