比切削力常數之計算

第三章

田口法及響應曲面法之簡介

3.1 田口法簡介

在工程領域或是商業領域中常遇要使參數最佳化的情況，而大部分的 分析者最常用之實驗方法為逐一因次法，運用此法進行實驗時實驗之次數 會較於龐大並且無法有效進行分析。

田口式品質設計方法為利用直交表得到較可靠的因子效果估計量，故 可以有效減少實驗次數且相較於逐一因次法較易分析，並利用 SN 比、回 應表與ANOVA 分析了解各個參數對系統的影響大小，綜合以上優點因此 本文利用田口法進行實驗。

3.1.1 因子水準與品質特性之選定

本論文為研究銑削加工參數對於板形工件變形之影響，於加工過程中影 響的因子可分為下列三類，而第四類為系統之輸出項目。

1. 控制因子(Control Factor)

為工程師依據實驗系統，可依經驗判斷出影響輸出的參數，並訂定其水 準數目及值。在本研究中，對於板形工件變形較有影響的參數為徑向切 深、軸向切深、轉速、進給以及有無切削液。

2. 雜訊因子(Noise Factor)

此指的為可能對於系統輸出有影響，但是卻無法控制的參數。於本論文 中的雜訊因子為材料之變異、刀具之變異、機台本身之振動以及刀具之 偏擺。

3. 信號因子(Message Factor)

意義如同控制因子，但為工程中較容易最為調整的，且與輸出間有著線 性關係。本研究所使用的田口法為靜態特性，因此將信號因子特定為一 常數。

4. 品質特性(Quality Characteristic)

用於衡量系統品質或是產品品質的優劣，本研究的品質特性即為板形工 件之平面度。

3.1.2 直交表之配置與其特性

田口法之主要精隨為直交表之可加性，直交表指的是將各因子水準以 直交的方式配置，而各列的數字即代表著實驗參數的組合。於相同的因子 水準中不同使用者可能配置出不同的實驗參數組合，但其分析結果皆為相 同的，因其每一行皆為直交。

田口博士提出了18 個直交表，如下表 3-1 所示。直交表的名子則代表 其行數、列數以及其水準數，以 L

4

2

³

為例，其代表著此直交表的列數(實 驗數目)為 4，而 3 為因子數，2 為水準數。於下表當中的 L

12

、L

18

、L

36

以 及 L

54

為田口博士最推薦使用的直交表，因其具有避開分散交互作用之效 果。

表3- 1 直交表總表

直交表 列數 最大因子個數 在這些水準的行數最大值

2 3 4 5

L

4

4 3 3 - - -

L

8

8 7 7 - - -

L

9

9 4 - 4 - -

L

12

12 11 11 - - -

L

16

16 15 15 - - -

L

^’ 16

16 5 - - 5 -

L

18

18 8 1 7 - -

L

25

25 6 - - - 6

L

27

27 13 - 13 - -

L

32

32 31 31 - - -

L

^’ 32

32 10 1 - 9 -

L

36

36 23 11 12 - -

L

36

36 16 3 13 - -

L

50

50 12 1 - - 11

L

54

54 26 1 25 - -

L

64

64 63 63 - - -

L

^’ 64

64 21 - - 21 -

L

81

81 40 - 40 - -

     

3.1.3 SN 比之意義

表3- 2 L

9

直交表

Exp. A B C D 1 A1 B1 C1 D1 2 A1 B2 C2 D2 3 A1 B3 C3 D3 4 A2 B1 C2 D3 5 A2 B2 C3 D1 6 A2 B3 C1 D2 7 A3 B1 C3 D2 8 A3 B2 C1 D3 9 A3 B3 C2 D1

表3- 1 回應表

A B C D 水準一 η

A1

η

B1

η

C1

η

D1

水準二 η

A2

η

B2

η

C2

η

D2

水準三 η

A3

η

B3

η

C3

η

D3

圖3-1 回應圖

3.1.5 田口變異數分析 (ANOVA)

變異數分析相當於傅立葉分析，其原因為傅立葉分析可判斷電子訊號 中各個諧波的相對重要性，且不同諧波間皆相互垂直。而相同的，ANOVA 分析之最主要目的為決定各個因子間相對重要性，且實驗中的各行也是相 互垂直的。

以 3.1.4 小節的例子為例，所求得的 9 個 SN 比，相當觀測到 9 個信號，

其平方和則如信號強度如3.5 式，其中 n 代表信號總數(SN 比總數)。而 9 個SN 比的平均值相當於信號中直流的部分如 3.6 式。因子數也就如諧波 數。

原始總平方和(信號總強度)

²

i=1 n



i





^(3.5)

總平均平方和(直流部分)

^{9 2 2}

i=1

(1

_i

)

n n m

n



 



  ^(3.6)

將3.5 式減去 3.6 式，則相當於將信號總強度減去直流的部分，也就只 剩交流強度，如3.7 式所示。下列計算以平面度為品質特性為例。

總變動(交流部分) =原始總平方和(信號總強度)-總平均平方和(直流部分)

總變動(交流部分)=

^{2 2 2}

i=1 i=1

( )

n n

T i i

SS





 

nm





 

m

^(3.7)

由諧波所造成的變動，可由該波形自總平均線離差的平方和求得，如 下3.8 式所示，其中 n

A1

代表著該因子水準在SN 比中的各數。下列計算以 A 因子為例。

A 因子之變動=

SS _A



n _{A 1}

(

_{A 1}



m

)

²



n _{A 2}

(

_{A 2}



m

)

²



n _{A 3}

(

_{A 3}



m

)

²

(3.8)

因子之變動除上該自由度為其變異，而除上總變動則為其貢獻度，並 可藉由貢獻度判斷其對於系統之影響大小。下表3-4 即為變異數分析表。

表3- 2 L

9

直交表之ANOVA 分析表

SS DOF Var 貢獻率

A SS

A

DOF

A

V

A ρ A

%

B SS

B

DOF

B

V

B ρ B

%

C SS

C

DOF

C

V

C ρ C

%

D SS

D

DOF

D

V

D ρ D

%

SUM SS

T

DOF

T

V

T

100%

3.2 響應曲面法簡介

以數學描述物理或是化學現象可以分為兩種方法，其一為具物理化學 原理的解析式，另一為經驗模式，而本研究即為使用屬於經驗模式的響應 曲面法進行建模。而建模所使用的實驗設計則是以響應曲面的實驗設計方 式進行，其實驗設計方式可分為中央合成設計、Box-Behnken 設計、最佳 設計準則以及隨機產生設計，而本研究為使用Box-Behnken 與中央合成設 計(CCD)。建立模型後需符合迴歸分析假設以及驗證實驗，才算模型建立 完成，而後即可找尋模型之極值尋求最佳實驗輸出。

3.2.1 Box-Behnken 方法與中央合成設計之簡介

Box-Behnken 方法為一個球面設計，所有的點都在半徑為√2的球面上，

而此方法設計不包含自變數上下限所構成的頂點。若實際上實驗參數之上 下限水準組合為較昂貴或難測試時，則用此方式是有利的。下表 3-5 為三 因子之實驗組合，圖3-2 為三因子之示意圖。

表3- 3 Box-Behnken 方法之三因子實驗組合

實驗編號 X

1

X

2

X

3

1 -1 -1 0 2 -1 1 0 3 1 -1 0 4 1 1 0 5 -1 0 -1 6 -1 0 1 7 1 0 -1 8 1 0 1 9 0 -1 -1 10 0 -1 1 11 0 1 -1 12 0 1 1 13 0 0 0

圖3-2 Box-Behnken 方法之三因子示意圖

中央合成設計法主要為使預測反應值的變異數在球面上為常數，即任 意個與中心點距離相同之參數則其變異數相同，亦稱為可旋性。通常為先 進行角點實驗建立一階模型，而後在進行軸點實驗建立二階模型，而軸點 (α)之位置為√ ，其中 k 為因子數。中心點實驗通常為此預測變異合理化，

因此進行 3 至 6 次之中心點重複實驗。下表 3-6 與 3-7 為二因子與三因子 之實驗組合，下圖3-3 為其示意圖。

表3- 4 中央合成設計法之二因子實驗組合

實驗編號 實驗組數名稱 X

1

X

2

1

角點

1 1

2 1 -1

3 -1 1

4 -1 -1

5

軸點

0 α

6 α 0

7 0 -α

8 -α 0

9 中心點

(重複 3 至 6 次)

0 0

表3- 5 中央合成設計法之三因子實驗組合

實驗編號 實驗組數名稱 X

1

X

2

X

3

1

角點

-1 -1 -1

2 1 -1 -1

3 -1 1 -1

4 1 1 -1

5 -1 -1 1

6 1 -1 1

7 -1 1 1

8 1 1 1

9

軸點

α 0 0 10 -α 0 0

11 0 α 0

12 0 -α 0

13 0 0 α

14 0 0 -α

15 中心點

(重複 3 至 6 次)

0 0 0

圖3-3 中央合成設計之二與三因子示意圖 

3.2.3 迴歸分析之變異數分析

迴歸模型預測值與實驗反應值之間的誤差，可藉由ANOVA 分析求得，

ANOVA 亦可將誤差分離為模式造成的誤差與組內誤差。如下表 3-5 為 ANOVA 分析表，而其解釋如下。

SS

t

:實驗反應值與實驗反應值的平均值的方差和，如圖 3-4(a)。

SS

R

:模式預測值與實驗反應值的平均值的方差和，如圖 3-4(b)。

SS

E

:實驗反應值與模式預測值的方差和，如圖 3-4(c)。

SS

L

:各實驗反應值之平均值與模式預測值的方差和，回歸模式配適不準所 造成的殘差，如圖3-4(d)。

SS

P

:各實驗反應值之平均值與該實驗反應值的方差和，反應了數據隨機性 大小，如圖3-4(e)。

判定係數(R

²

):也稱為解釋力，表示模型對於誤差的解釋能力，R

²

為SS

R

/ SS

t

， 但隨著自變數的增加，R

²

會有高估的情況，因此一般皆用修正過的R

²

R

² adj

=1-(

)(1- R

²

)

估計標準誤(σ):回歸模型的估計標準差，σ= SS /DOF

表3- 6ANOVA 分析表

Source SS DOF MS

Regression SS

R

DOF

R

SS

R

/DOF

R

Residual Error SS

E

DOF

E

SS

E

/DOF

E

Lack of Fit SS

L

DOF

L

SS

L

/DOF

L

Pure Error SS

PE

DOF

P

SS

P

/DOF

P

Total SS

t

DOF

t

圖3-4ANOVA 示意圖

3.2.4 F 檢定與 t 檢定

1. F 檢定

(1)主為利用 ANOVA 分析表(表 4-9)，檢定整體模型對應變數是否存在線性 關係，其虛無假設為H

0

: β

1

= β

2

= β

3……

=β

n

= 0, H

1

:β

j

0。F 值為越大(P 值越 小)，則代表自變數越可以解釋應變數，且 H

0

成立的機率越小。一般工程

之信賴程度為95%，因此檢定時 P 值必須小於 5%，才算拒絕 H

0

。其中F 值為MS

R

/MS

E

。

(2)檢定模型是否為一個足夠充分的模型。F 值越小(P 值越大)，則代表迴歸 模型越充分解釋此應變數。其中F 值為 MS

LOF

/MS

P

。

表3- 7 迴歸分析 ANOVA 分析表

DOF SS MS F P 值

Regression DOF

R

SS

R

SS

R

/DOF

R

(SS

R

/DOF

R

) /

(SS

E

/DOF

E

) 需小於0.05 Residual Error DOF

E

SS

E

SS

E

/DOF

E

Lack of Fit DOF

L

SS

L

SS

L

/DOF

L

(SS

L

/DOFL)/(SS

P

/

DOF

P

) 需大於0.1 Pure Error DOF

P

SS

PE

SS

P

/DOF

P

Total DOF

t

SS

t

2. t 檢定

此為檢定各別係數是否於模型有顯著影響，其虛無假設為H

0

: β

j

=0, H

1

:β

j

0。

t 值越大(P 值越小)，則代表該係數為零的機率越小(拒絕 H

0

) 。一般工程 之信賴程度為95%，因此檢定時 P 值必須小於 5%，才算拒絕 H

0

。其中t 為β

j

/ σ

j

，而σ

j

為 ，C

jj

為(X’X)

^-1

的對角元素，下表3-10 為係數表。

表3- 8 係數分析表

係數 標準誤 t 統計 P 值 Const β0 σ

0

β

0

/ σ

0

需小於0.05

X

1

β1 σ

1

β

1

/ σ

1

需小於0.05 X

2

β2 σ

2

β

2

/ σ

2

需小於0.05 X

3

β3 σ

3

β

3

/ σ

3

需小於0.05

3.2.5 模型自變數篩選

1. 向前收尋法:依解釋力(R

² adj

)的大小，依次選取進入迴歸方程式中，以逐 步增加的方式，完成選取的動作，而已選入之自變數，則不會再被剃除，

如圖3-5。

2. 向後消去法:先以所有自變數求出一個迴歸模式，而後逐步將最小解釋 力的變數刪除，直到所有未達顯著的自變數都刪除為止，而已選入之自變 數，則不會再被剃除，如圖3-6。

3. 逐步分析:此方法如向前收尋法加上向後收尋法，首先會選以最大解釋 力的自變數作為初始迴歸模式，而後選取將剩餘的每個自變數各自納入初 始迴歸模式中，並以解釋力較大者為第二迴歸模式，而每新增一個自變數，

就利用向後收尋法將模式中未顯著的自變數剃除，再透過向前收尋法，選 取變數，依上述步驟直到所有所剩餘的自變數都達顯著水準為止，如圖 3-7。

圖3-5 向前收尋法流程圖

圖3-6 向後消去法流程圖

圖3-7 逐步分析流程圖

3.2.6 殘差分析

在建立完回歸模型之後，除了上述的檢定須完成外，其也需符合殘差假設，

如下列幾點敘述。

1. 常態性:若是資料為常態分配，則誤差項也會是常態分配。而樣本數大 時可用直方圖檢驗，反之，則用常態機率圖，如圖3-8(a)。

2. 誤差項的獨立性:誤差項與誤差項之間没有相互關係，可用時序圖檢定 誤差項之間是否有關係，如圖3-8(b)，若時序圖有特殊形態，代表可能 未對實驗進行隨機之安排。

3. 線性關係:應變數和自變數之間的關係必須是線性，若是發現應變數與 自變數呈現非線性關係時，可以透過對自變數或應變數取對數或是開 根號，再進行迴歸分析，如圖3-8(c)。

4. 殘差為常數之假設:殘差的變異大小與自變數無關，如圖3-8(d)。

0 5 10 15 20

-2 -1 0 1 2

0 2 4 6

-2 -1 0 1 2

-4 -2 0 2 4

0 1 2 3

0 0.2 0.4 0.6

-4 -2 0 2 4

圖3-8 殘差分析圖

3.2.7 預測值之信賴區間

在建立回歸模型，並檢定其顯著性與殘差分析後，即可運用於實際之 預測。但模型具有不確定性，故有信賴區間產生，如3.10 式。

2 ' 1 0.5 2 ' 1 0.5

0 0 0 0 0 0 0

( ) ( (1 (X'X) )) ( ) ( ) ( (1 (X'X) ))

y x



t

 

x ^ x



y x



y x



t

 

x ^ x

(3.10)

y(x

0

):為輸入自變數矩陣進入響應曲面求得預測平均值

t: 一般工程的信賴區間為 95%，故在此的 t 為 t 型分佈中 95%區間的標準 差個數

σ ²

: 響應曲面模型之變異數

σ ² x’ 0

(X’X)

^-1 x 0

:因自變數所選取不同而產生的變異數

x’ 0

:為自變數矩陣

 

第四章

實驗規劃與設備

4.1 前言

本章首先為說明此論文之實驗規劃，而後依實驗順序進行實驗儀器設 備、刀具以及材料之介紹。實驗設備為先介紹銑削加工限制條件中的比切 削係數實驗，而後為介紹板形工件銑削實驗及平面度量測方式，此實驗為 建立平面度之模型以利求得於符合平面度要求之最大材料移除率的加工

本章首先為說明此論文之實驗規劃，而後依實驗順序進行實驗儀器設 備、刀具以及材料之介紹。實驗設備為先介紹銑削加工限制條件中的比切 削係數實驗，而後為介紹板形工件銑削實驗及平面度量測方式，此實驗為 建立平面度之模型以利求得於符合平面度要求之最大材料移除率的加工

在文檔中 平面度限制下最大銑削材料移除率之研究 (頁 32-0)