第二章 牛頓力學簡介
第一節 牛頓完成的工作
牛頓在他的《自然哲學的數學原理》一書中，寫下了八個定義、三個定律，
作為全書最重要的開始，八個定義分別為「質量、運動量、固有力(慣性力、內 力)、外力、向心力、向心力的絕對量、向心力的加速度量、向心力的運動量(陳 玠同、姚珩，2019，p.72)」而三個定律就是為人所熟知的三大運動定律。
在牛頓的定義中，其中第四個定義的是外力，他將外力定義為「對物體的推 動作用，能夠改變物體的運動狀態(陳玠同、姚珩，2019，p.80)」。這個外力的概 念貫串全書，在處理每一個問題時，他都使用這個概念，搭配第二定律：「運動 的變化正比於外力，變化的方向沿外力作用的直線方向(陳玠同、姚珩，2019，
p.83)。」來處理問題。他所提出的力概念，其實也是呼應在他之前幾個重要的科 學家(笛卡兒、惠更斯…等)，他們也曾提出屬於自己的力概念。
牛頓的第一版《自然哲學的數學原理》中，總共分成三卷，第一卷討論物體 的運動。其中命題1、2 導出向心力與克卜勒所提面積律的關係；命題 4 導出向 心力的量值正比於速度平方除以半徑，並且在週期平方正比於半徑立方的情形下，
向心力會和距離平方成反比；命題6、11、17 導出橢圓軌道與平方反比力的關係，
其中也得出此力會指向橢圓的其中一個焦點。
這幾個重要命題與內容，簡單呈現在表 2-1 中(整理自田芷綾、姚珩，2010)。透 過這幾個命題，牛頓提出萬有引力的數學形式，並將天體的運動以及地球上物體 下落的現象，都歸因於同一個原因：「萬有引力作用的結果」。
命題 內容
命題1 定理 1 做環繞運動的物體，其指向力的不動中心的半徑所掠過的面積 位於一不動的平面上，而且正比於畫出該面積所用的時間。
命題2 定理 2 沿平面上任意曲線運動的物體，其半徑指向靜止的或作等速直 線運動的點，且關於該點掠過的面積正比於時間，則該物體受
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到指向該點的向心力的作用。
命題4 定理 4 沿不同圓周等速運動的若干物體的向心力，指向各自圓周的中 心，他們之間的比，正比於等時間裡掠過弧長的平方除以圓周 的半徑。
命題4 推論 6 如果週期正比於半徑的 3/2 次方，則向心力反比於半徑的平方；
反之亦然。
命題6 定理 5 物體沿橢圓運動，指向橢圓焦點的向心力反比於其到橢圓焦點 距離的平方。
命題11 問題 6 如果一個物體作橢圓運動，它必滿足向心定律於橢圓任一焦點 上。
命題17 假如向心力與物體到中心的距離平方成反比，而且力的絕對大 小已知，在特定的軌跡的路徑會找到相對的切線速度大小。
命題17 問題 9 設向心力反比於物體到中心距離的平方，且該力的大小已知，
若……則圖形將是橢圓；若……則圖形將是拋物線；若……則 圖形將是雙曲線。
表2-1 《自然哲學的數學原理》中的幾個重要命題
事實上，最初的幾個命題中，牛頓只是得到圓周運動與橢圓運動的運動量變 化，他其實不需要提出力這個名詞，然而在後續的命題中，他開始討論更為複雜 的問題，尤其是在討論月球和地球的問題時，不得不使用力來處理這些問題。首 先，在處理球體的引力問題時，需要合理的解釋月球和地球的引力指向彼此，他 無法說說月球的運動量變化指向地球的各個部分；而且當需要把這些力的效果加 總時，如果不使用力，把運動量變化加總，也不合理。因此牛頓使用萬有引力來 解釋星體的運動，並且還得出，對於質量均勻的球體，球體外的物體所受的引力 正好等於質量完全集中在球心時的引力，使得處理「星球」的引力問題更為簡便。
基本上，牛頓最重要的創見，三大運動定律、萬有引力，都在第一卷中出現，
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牛頓利用這些概念解決了許多問題。
在第二卷中，牛頓探討物體在流體中受阻力下的運動，這卷主要是要反駁機 械論中，認為星體是由於以太的流動而運動的想法。
在第三卷中，牛頓探討更為複雜的天體運動，分析包括潮汐以及其他現實中 的星體運動問題，最終提出一些他對宇宙的想法。
因此，牛頓的主要貢獻，在於提出了力的概念，並且提出三大運動定律來處 理力學的問題，最後，提出萬有引力定律，描述星體間的引力形式；他所處理的 問題，大都是質點的運動、天體的運行、極少數處理地球上的工程問題，如：物 體在流體中受阻力、受阻力的單擺運動等，而且這些問題也都是為了研究天體運 動的需要(反駁機械論)而做。
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第二節 牛頓使用的數學方法
牛頓在他的書中，所使用的都是幾何學，他常常利用平行、相似…等幾何特 性來完成他的研究與推導。
在牛頓的幾何方法中，他通常假設在單位時間間隔下，物體受力之下的運動 情形，會由位置 A 運動到位置 C；然後他會再畫一個物體不受外力時的運動情 形，從位置A 運動到位置 B。這樣 AB 線段的長度，代表物體的速度，方向從 A 指向B，而 BC 線段的長度，代表物體的運動量變化(速度變化量)，方向從 B 指 向C，然後透過幾何方法分析這些線段的比值，就能得到運動量變化和速度、距 離…等物理量之間的關係。
舉例來說，如圖2-1 所示(改自田芷綾、姚珩，2010，p.35)，當牛頓在處理物 體作圓周運動的向心力問題時，他假設物體受力時會從 B 點運動到 D 點；但若 不受到外力，物體會走直線運動到C 點。因為物體的速率不變，因此 BD 弧長和 BC 線段等長，且 BC 線段的長度代表物體的速度(以 v 表示)，而物體本來應該到 C 點，卻因受力而運動到 D 點，因此 CD 線段的長度代表物體的速度變化量(以 a 表示)，方向由 C 指向 D。
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圖2-1 牛頓處理向心力問題
由於BD 弧長對應到圓周角∠CFB，也對應到弦切角∠CBD，這兩個角度相等，
另外∠C是共用角，不難看出∆FCB~∆BCD，因此可以寫下：
FC̅̅̅̅
BC̅̅̅̅= BC̅̅̅̅
DC̅̅̅̅⇒FC̅̅̅̅
v = v
a⇒ a = v2
FC̅̅̅̅ (2-1) 在時間極短的情形，v 和 a 都極短，因此 CF 線段會變成過 S 點和 B 點的直徑，
長度為2r。因此得知此力通過圓心 S，由(2-1)式，得知大小為：
a =v2
2r∝v2
r (2-2)
(2-2)式雖然等式部分是有點問題的，但最後牛頓可以得到正確的比例關係，事實 上問題來自於用線段長度來代表速度或速度變化量，從現今的物理學來看是有問 題的，但也並非無法修正，不過這並不影響牛頓得到正確的比例關係。
基本上，牛頓的整本著作，離不開幾何學，充滿著解決各種問題時所畫的圖。
就連在處理「球體的引力等同於質量集中在球心的引力」時，仍然使用幾何方法 來處理積分問題(不同於萊布尼茲形式的微積分)。
由於牛頓的幾何方法，大多是以線段比來呈現出物理量間的正比關係，而鮮 有等式的出現，這也成為後人想要改革力學形式的原因之一。