一、牛頓的力概念
回顧牛頓對外力的定義：「外力是一種對物體的推動作用，使其改變靜止或 勻速直線運動的狀態。」再看看牛頓的前兩個運動定律，第一定律說：「每個物 體都保持靜止或勻速直線運動的狀態，除非有外力作用迫使它改變那個狀態。」
第二定律則提到：「運動的變化正比於外力，變化的方向沿外力作用的直線方向。」
第一定律非常重要，它告訴人們如何理解物體的特定運動狀態：保持靜止、
或以等速度直線前進。沒有第一定律，則無法清楚的找出運動量變化。但是牛頓 更聰明的地方在於，他知道在同一個時刻，運動量變化是唯一的(物體不可能同 時具有兩個以上的速度)，當他要處理複雜的問題時，這會帶來不便，因此他必須 用另一個概念：外力。物體同時可以受到多個外力作用，最後多個外力作用的整 體效果(合力)和物體的運動量變化成正比。
牛頓的外力概念，並非是要解釋運動量變化的成因，而是為了分析物體運動 時，能夠量化並找出數學規則的媒介。所以牛頓的第二定律，完全就是數學關係 的描述。如同Berkeley 所言，外力的定義以及第二運動定律，都只是一系列數學 上的假設，重要的是，牛頓透過這個假設，找到物理現象的規律性、並且用最少 的假設，解釋最多的現象。
用這樣的角度重新看看牛頓的書，會驚訝的發現，牛頓利用運動定律，先從 克卜勒所提出的等面積定律開始，得出向心力和等面積定律是等價的。接著，從 圓周運動與橢圓運動的現象，找到向心力和距離平方成反比。從現象中，找出了 物理現象的規律性，提出了萬有引力定律。
找到規律性之後，試著將所有的現象都用同樣的規則來描述，因此牛頓證明 了平方反比力將使物體作橢圓運動、證明質點受到球體的萬有引力等於球體的質 量集中在球心時的情形、證明了地表物體落下和月球作圓周運動時，他們的運動 量變化和各自與地球球心的距離平方成反比。用一個萬有引力定律，解決了地表
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物體落下、天體的運行等問題。(甚至牛頓還以此解釋光的折射現象，但最終結論 並不正確。)
那些批評牛頓的外力概念，是隱晦而不真實的人，他們被機械論的哲學觀所 限制，不斷地想指出萬有引力在哲學上的荒謬，作為反駁的武器。他們萬萬沒有 想到，牛頓並不是要滿足哲學上的解釋，他只是用數學的假設(外力、向心力)，
來量化物理現象(星球作圓周運動、橢圓運動、地表物體的落下)、找出規律性(萬 有引力)，從而計算並預測更多的物理現象(其他軌道、三體問題、潮汐現象…)。
二、力概念的發展
牛頓的力概念和機械論的哲學觀相牴觸，但因為牛頓力學的成功，使科學家 們不得不接受牛頓的力概念，因此許多人對牛頓的力概念重新作出詮釋，慢慢地 使力概念被大家接受。
Cote、Keill 和 Clarke 他們強調不應該用哲學觀點來檢視力概念的合理性，
力僅是為了解釋現象所提出的基本概念；Berkeley 則認為物理學是為了用最少的 原理，可以描述現象的規律性與一致性，所以力是牛頓找到的數學關係，而非自 然的本質；Maupertuis 和 Hume 則認為力是符合經驗的解釋方式。
Euler 將力概念應用在工程問題上，他認為可以從這些問題顯示力概念的正 確與實用性；Lagrange 則認為牛頓力學的方法很成功，但數學方法需要改良。
經過這些人的努力，在18 世紀到 19 世紀後半葉以前，力的哲學觀可以先放 在一邊，接受力概念在描述現象上的成功，而且可以應用在實際的工程問題。
至於19 世紀後半葉，Mach、Kirchhoff、Hertz 則想要以牛頓力學為基礎，重 新建立一個沒有哲學缺陷的力學，並沒有成功，最後只是更加證明力概念只是數 學關係，而且是運動現象的成因與結果。從運動的現象，找到力的數學形式，並 用以預測其他情況下的運動情形。
這些人物的想法，簡單列於表7-1 中。
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人物 對力概念的看法
Cote 力是基礎概念，應該拋棄哲學觀點。
Keill 力是為了解釋現象的需要、是函數關係。
Clarke 力是為了解釋不可否認的現象所使用的概念，無須理會哲學觀點。
Berkeley 力是數學上的假設而非自然的本質，為了用最少的原理，描述物 理現象的規律性與一致性。
Maupertuis 力只是解釋現象所使用的詞彙。
Hume 力是引發經驗上感覺的聯想，無法以哲學或觀察來驗證或推翻。
Euler 牛頓的力概念是可以用於工程上的，和推力、拉力、彈力、繩張 力……等相同。
Lagrange 牛頓定律非常成功，但數學方法應該改良。
Mach 質量和力概念應該由空間和時間來定義。
Kirchhoff 力是數學關係，應該由空間、時間和質量來定義，而且不可能被 充分定義。
Hertz 力應該由空間、時間和質量來定義，且同時是運動的原因和結果。
表7-1 科學家對力概念的觀點
另外，當 Euler、Bernoulli 父子、d’Alembert 等人使用新的運動定律來解決 工程問題的過程中，也開始讓數學家和物理學家漸漸被區別開來，數學家注重尋 找方程式解的存在、完整與唯一性；物理學家則注重於找到具有物理意義的解可 以滿足對物理現象的解釋。隨著時光流逝，物理學家又慢慢區分出理論與實驗物 理學家，相輔相成，漸漸奠定物理學的基礎。
三、力概念的應用
Euler 和 Bernoulli 將牛頓運動定律用於解決工程上的問題，包含剛體的運動、
彈性物體的運動、弦的振動、以及流體問題。數學方法上 Bernoulli 先將牛頓定
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律以萊布尼茲的微積分表示寫作 F=ma；後來 Euler 更利用座標的概念寫下了 F=ma 的三個分量表示，能同時符合牛頓第一、二定律。而分析方法上，Euler 則 提出應「將物質分割為質點，分析個別的運動狀態，最後利用連續性找出整體的 運動模式」。他們將牛頓的運動定律加以改良、延伸、並成功解決許多工程問題，
使新型態的牛頓運動定律為大家所接受，甚至發展出更多重要的關係或方程式。
Lagrange 雖讚揚牛頓定律的成功，但他覺得數學形式應該以微分方程來呈 現，為了發展出可以處理任何問題的動力學原理，他使用虛速度原理，結合牛頓 定律發展出一套新的力學原理，得到在任意的座標下都可以使用的 Lagrange equation，以及在受到可寫為全微分形式的力時，可以寫下：「T + V = H (力學能 守恆)」的方程式。
Lagrange 的工作，開啟了物理學的新里程碑，從研究力與運動模式的牛頓力 學，進入到研究交互作用與能量的Lagrange 與 Hamilton 力學，使物理學得以用 全新的角度來思考問題。
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參考文獻
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(A-1-1)式可改寫為(A-1-2)式，並使用 Einstein notation 表示：
[
cosψcosφ −rsinψcosφ −rcosψsinφ cosψsinφ −rsinψsinφ rcosψcosφ
sinψ rcosψ 0
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= rdr
√−gar2
a2 +2gara −ga(1−e2)
= rdr
√ga√e2−1+2ra−(ra)2
= rdr
√ga√e2−(1−ar)2
(A-4-1)
從式子中可以發現假設(1 −r
a) = ecosθ可以將根號去除，即為(5-53)式。
如果將(5-53)式代入(A-4-1)式，可得：
dt =a2esinθ(1−ecosθ)dθ
esinθ√ga = √a3
g (1 − ecosθ)dθ (A-4-2) (A-4-2)式積分後就可得到(5-54)式。