• 沒有找到結果。

牛頓以後力概念的發展與應用

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "牛頓以後力概念的發展與應用"

Copied!
65
0
0

加載中.... (立即查看全文)

全文

(1)國立臺灣師範大學物理學系 碩士論文. 牛頓以後力概念的發展與應用 The developments and applications about the concept of force after Newton.. 學生:吳承宣 指導教授:傅祖怡教授、姚珩教授. 中華民國一零九年八月.

(2) 致謝 在論文的撰寫上,我要感謝: 感謝姚珩教授,不遺餘力的指導我,時常補足我不足的歷史與哲學知識、 也不斷引導我掌握物理的關鍵內涵;不但不厭其煩地回答我的問題、給予專業 的指正、也時時關心我的論文進度;每一次討論的時候,不論見面或是線上討 論,都非常正面的肯定與稱讚,使我更有信心,能完成這篇論文。姚教授學識 淵博、為人謙和、提攜後進、更是充滿了對物理的熱情,能接受姚教授的指 導,我甚感榮幸。 感謝傅祖怡教授,在姚教授退休後願意擔任我的指導教授,更是時時關心 我的論文進度,在有任何需要時都給予我協助。口試時包容我的諸多缺失,也 給予了許多鼓勵與寶貴的建議。 感謝張海潮教授,願意擔任我的論文口試委員。包容我的諸多缺失,更提 供了許多寶貴的意見,從數學的角度給予我豐富的資訊。 感謝陳玠同學長,在我研一時讓我參與關於牛頓的研究討論,使我能迅速 掌握牛頓力學的內涵。更感謝學長在我口試時,專程趕來幫忙。. 在撰寫論文的期間,我要感謝: 感謝三民高中,在我寫論文時,放心的提供我兼課的機會;感謝同事們常 常關心我的論文進度,尤其是物理科的同事們,提供給我的靈感與建議;感謝 組長絞盡腦汁幫我把口試當天的課調開,使我能無後顧之憂的專心口試;感謝 學生們,聊天時聽我講論文的內容,使我能重新整理與建構論文的脈絡。 感謝明芳助教,在我搞不清楚狀況時,總是提醒我、幫助我讓我能及時完 成所有需要的文件和表單。 感謝我的父母、家人、朋友、師長們,給予我的關懷、支持與鼓勵。 感謝神,為我所預備的一切恩典、引導與祝福。 I.

(3) 中文摘要 牛頓用他的運動定律與外力概念成功的解決了天體問題,將月球繞地球和地 表蘋果落下用同一個原因解釋,提出了萬有引力的概念。 為了解決萬有引力和機械論的矛盾之處,許多科學家與哲學家都提出了各自 的看法。最後,他們拋棄哲學觀點,將力視為是數學關係,用以解釋現象。 在應用上,Euler 提出了新的分析方法: 「將物質分割為質點,分析個別的運 動狀態,最後利用連續性找出整體的運動模式」,並且使用代數方程式來表達, 和 Bernoulli、d’Alembert 等人使用 F=ma 的方程式處理許多工程問題。 Lagrange 則由牛頓力學為基礎發展出一套全新的動力學原理,透過使用虛速 度原理的形式以及 Clairaut 將力寫成全微分的形式的方法,最後得到「Lagrange 方程式」和「力學能守恆」 ,將物理學推至更高的境界,漸漸發展成今日的樣貌。. 關鍵字:牛頓、運動定律、力、萬有引力、質點、天體、力學、流體、弦、剛體、 分析力學、解析幾何、代數方程式、橢圓、力學能、哲學、機械論。. II.

(4) 英文摘要 Using the laws of motion and concept of force, Newton had a great success on sovling the astronomical problems. Coming up with the concept of universal gravitation, he can explain both the motion of the moon which surround the earth and the fall of apple by the same reason. Many scientists and philosophers put their opinion forward to resolve the contradiction of the universal gravitation and the mechanism. Eventually, they abandoned the philosophical perspective and regard force as mathematical ralation by which can gives explaination to natural phenomenon. Euler proposed a new method:”Divide the body into mass points, analyze each states of motion, and find the overall pattern of motion by continuity. He expressed it in terms of algebraic equations and dealt with many engineering problems by the equation “F=ma” with Bernoulli, d’Alembert, and so on. On the other hand, by using the form of virtual velocity and the method of Clairaut, who wrote force as total derivative, Lagrange developed brand new dynamic principles based on Newtonian mechanics, and dirived “Lagrange equations” and “conservation of mechanical energy” eventually. His work brought the research of physics to higher level, forming the appearance of nowadays gradually.. Keywords: Newton, F=ma, Bernoulli, Euler, d’Alembert, Lagrange, Berkeley, Kirchhoff, force, fluid, string, rigid body, analysis mechanics, differential equation.. III.

(5) 目次 表次...............................................................................................................................V 圖次..............................................................................................................................VI 第一章. 前言................................................................................................................1. 第二章. 牛頓力學簡介................................................................................................2. 第一節. 牛頓完成的工作........................................................................................2. 第二節. 牛頓使用的數學方法................................................................................5. 第三章. 力概念的檢視與批判....................................................................................7. 第一節. 科學家對牛頓力概念的看法....................................................................7. 第二節. 實驗與理論物理…..................................................................................14 Bernoulli 與 Euler─F=ma 的應用...............................................................16. 第四章 第一節. Euler 與 Bernoulli 的貢獻.........................................................................16. 第二節. 流體問題..................................................................................................18. 第三節. 弦振動問題..............................................................................................20. 第四節. 剛體問題..................................................................................................23. 第五節. 與牛頓的方法比較..................................................................................28 Lagrange─分析力學的誕生.......................................................................30. 第五章 第一節. Lagrange 寫下的靜力學原理..................................................................30. 第二節. Lagrange 寫下的動力學原理..................................................................32. 第三節. 再次處理行星軌道問題..........................................................................39. 第四節. 從牛頓力學到 Lagrange 力學..................................................................46. 第六章. F=ma 是否和牛頓第二定律不同................................................................48. 第七章. 結論..............................................................................................................51. 參考文獻......................................................................................................................55 附錄..............................................................................................................................56 IV.

(6) 表次 表 2-1 《自然哲學的數學原理》中的幾個重要命題................................................2 表 4-1 Bernoulli 分析流體問題................................................................................18 表 4-2 Euler 和 d’Alembert 分析弦振動問題比較..................................................22 表 4-3 Euler 分析剛體問題.......................................................................................27 表 4-4. 牛頓與 Bernoulli、Euler 分析方法比較.......................................................28. 表 7-1. 科學家對力概念的觀點................................................................................53. V.

(7) 圖次 圖 2-1. 牛頓處理向心力問題……………………………………..............................5. 圖 4-1 Bernoulli 處理流體問題……………………………....................................18 圖 4-2 Euler 處理弦振動問題的示意圖...................................................................20 圖 4-3 Euler 處理剛體問題.......................................................................................23 圖 5-1. 中心力問題各變數關係示意圖....................................................................41. 圖 5-2. 行星軌道與各變數間關係示意圖................................................................44. VI.

(8) 第一章. 前言. 1687 年,牛頓出版了《自然哲學的數學原理》一書,為物理學開啟了嶄新的 一頁。在書中他提出了三大運動定律,奠定了研究運動現象的基礎方法。另外, 書中更是提出了萬有引力定律,將天體的運行,與地球上重物落下的現象,歸因 於同一個原因。 牛頓的著作獲得了巨大的成功,他極為成功的數學方法,不僅僅是解決了天 體運行長久以來懸而未解的問題,並且進一步推導出許多重要的結論。牛頓的成 功,和提出「力」概念有很大的關係,但因為「力」的概念和當時的哲學觀相牴 觸,也招致許多反對者的批判。 為了正視牛頓力學和哲學觀點的矛盾之處,解決受到的批判,掀起了後來哲 學家、物理學家與數學家們激烈的討論,最終,使得物理學得以脫離許多的限制、 改變其研究方法與哲學觀點。牛頓所提出的概念與定律,也成為後人研究物理學 的基礎,促成了力學的誕生,慢慢發展成現今的樣貌。 因此牛頓的力學可以說是奠定物理學的基石,其數學形式、研究方法、甚至 哲學觀點,使物理學因為牛頓而有了蛻變的機會。 到底科學家是如何看待牛頓的力概念呢?力概念如何刺激往後科學家的思 想以及發展出新理論,最終奠定古典物理學各個領域的基礎呢?本論文將探討牛 頓以後,力概念是如何被看待、如何被應用、以及如何發展成為許多重要的理論。. 1.

(9) 第二章. 牛頓力學簡介. 第一節 牛頓完成的工作 牛頓在他的《自然哲學的數學原理》一書中,寫下了八個定義、三個定律, 作為全書最重要的開始,八個定義分別為「質量、運動量、固有力(慣性力、內 力)、外力、向心力、向心力的絕對量、向心力的加速度量、向心力的運動量(陳 玠同、姚珩,2019,p.72)」而三個定律就是為人所熟知的三大運動定律。 在牛頓的定義中,其中第四個定義的是外力,他將外力定義為「對物體的推 動作用,能夠改變物體的運動狀態(陳玠同、姚珩,2019,p.80)」 。這個外力的概 念貫串全書,在處理每一個問題時,他都使用這個概念,搭配第二定律:「運動 的變化正比於外力,變化的方向沿外力作用的直線方向(陳玠同、姚珩,2019, p.83)。」來處理問題。他所提出的力概念,其實也是呼應在他之前幾個重要的科 學家(笛卡兒、惠更斯…等),他們也曾提出屬於自己的力概念。 牛頓的第一版《自然哲學的數學原理》中,總共分成三卷,第一卷討論物體 的運動。其中命題 1、2 導出向心力與克卜勒所提面積律的關係;命題 4 導出向 心力的量值正比於速度平方除以半徑,並且在週期平方正比於半徑立方的情形下, 向心力會和距離平方成反比;命題 6、11、17 導出橢圓軌道與平方反比力的關係, 其中也得出此力會指向橢圓的其中一個焦點。 這幾個重要命題與內容,簡單呈現在表 2-1 中(整理自田芷綾、姚珩,2010)。透 過這幾個命題,牛頓提出萬有引力的數學形式,並將天體的運動以及地球上物體 下落的現象,都歸因於同一個原因:「萬有引力作用的結果」。 命題. 內容. 命題 1 定理 1. 做環繞運動的物體,其指向力的不動中心的半徑所掠過的面積 位於一不動的平面上,而且正比於畫出該面積所用的時間。. 命題 2 定理 2. 沿平面上任意曲線運動的物體,其半徑指向靜止的或作等速直 線運動的點,且關於該點掠過的面積正比於時間,則該物體受 2.

(10) 到指向該點的向心力的作用。 命題 4 定理 4. 沿不同圓周等速運動的若干物體的向心力,指向各自圓周的中 心,他們之間的比,正比於等時間裡掠過弧長的平方除以圓周 的半徑。. 命題 4 推論 6. 如果週期正比於半徑的 3/2 次方,則向心力反比於半徑的平方; 反之亦然。. 命題 6 定理 5. 物體沿橢圓運動,指向橢圓焦點的向心力反比於其到橢圓焦點 距離的平方。. 命題 11 問題 6 如果一個物體作橢圓運動,它必滿足向心定律於橢圓任一焦點 上。 命題 17. 假如向心力與物體到中心的距離平方成反比,而且力的絕對大 小已知,在特定的軌跡的路徑會找到相對的切線速度大小。. 命題 17 問題 9 設向心力反比於物體到中心距離的平方,且該力的大小已知, 若……則圖形將是橢圓;若……則圖形將是拋物線;若……則 圖形將是雙曲線。 表 2-1 《自然哲學的數學原理》中的幾個重要命題 事實上,最初的幾個命題中,牛頓只是得到圓周運動與橢圓運動的運動量變 化,他其實不需要提出力這個名詞,然而在後續的命題中,他開始討論更為複雜 的問題,尤其是在討論月球和地球的問題時,不得不使用力來處理這些問題。首 先,在處理球體的引力問題時,需要合理的解釋月球和地球的引力指向彼此,他 無法說說月球的運動量變化指向地球的各個部分;而且當需要把這些力的效果加 總時,如果不使用力,把運動量變化加總,也不合理。因此牛頓使用萬有引力來 解釋星體的運動,並且還得出,對於質量均勻的球體,球體外的物體所受的引力 正好等於質量完全集中在球心時的引力,使得處理「星球」的引力問題更為簡便。 基本上,牛頓最重要的創見,三大運動定律、萬有引力,都在第一卷中出現, 3.

(11) 牛頓利用這些概念解決了許多問題。 在第二卷中,牛頓探討物體在流體中受阻力下的運動,這卷主要是要反駁機 械論中,認為星體是由於以太的流動而運動的想法。 在第三卷中,牛頓探討更為複雜的天體運動,分析包括潮汐以及其他現實中 的星體運動問題,最終提出一些他對宇宙的想法。 因此,牛頓的主要貢獻,在於提出了力的概念,並且提出三大運動定律來處 理力學的問題,最後,提出萬有引力定律,描述星體間的引力形式;他所處理的 問題,大都是質點的運動、天體的運行、極少數處理地球上的工程問題,如:物 體在流體中受阻力、受阻力的單擺運動等,而且這些問題也都是為了研究天體運 動的需要(反駁機械論)而做。. 4.

(12) 第二節 牛頓使用的數學方法 牛頓在他的書中,所使用的都是幾何學,他常常利用平行、相似…等幾何特 性來完成他的研究與推導。 在牛頓的幾何方法中,他通常假設在單位時間間隔下,物體受力之下的運動 情形,會由位置 A 運動到位置 C;然後他會再畫一個物體不受外力時的運動情 形,從位置 A 運動到位置 B。這樣 AB 線段的長度,代表物體的速度,方向從 A 指向 B,而 BC 線段的長度,代表物體的運動量變化(速度變化量),方向從 B 指 向 C,然後透過幾何方法分析這些線段的比值,就能得到運動量變化和速度、距 離…等物理量之間的關係。 舉例來說,如圖 2-1 所示(改自田芷綾、姚珩,2010,p.35),當牛頓在處理物 體作圓周運動的向心力問題時,他假設物體受力時會從 B 點運動到 D 點;但若 不受到外力,物體會走直線運動到 C 點。因為物體的速率不變,因此 BD 弧長和 BC 線段等長,且 BC 線段的長度代表物體的速度(以 v 表示),而物體本來應該到 C 點,卻因受力而運動到 D 點,因此 CD 線段的長度代表物體的速度變化量(以 a 表示),方向由 C 指向 D。. 5.

(13) 圖 2-1. 牛頓處理向心力問題. 由於 BD 弧長對應到圓周角∠CFB,也對應到弦切角∠CBD,這兩個角度相等, 另外∠C是共用角,不難看出∆FCB~∆BCD,因此可以寫下: ̅̅̅̅ FC ̅̅̅̅ BC. ̅̅̅̅ BC. = DC ⇒ ̅̅̅̅. ̅̅̅̅ FC v. v2. v. = a ⇒ a = FC ̅̅̅̅. (2-1). 在時間極短的情形,v 和 a 都極短,因此 CF 線段會變成過 S 點和 B 點的直徑, 長度為 2r。因此得知此力通過圓心 S,由(2-1)式,得知大小為: a=. v2 2r. ∝. v2 r. (2-2). (2-2)式雖然等式部分是有點問題的,但最後牛頓可以得到正確的比例關係,事實 上問題來自於用線段長度來代表速度或速度變化量,從現今的物理學來看是有問 題的,但也並非無法修正,不過這並不影響牛頓得到正確的比例關係。 基本上,牛頓的整本著作,離不開幾何學,充滿著解決各種問題時所畫的圖。 就連在處理「球體的引力等同於質量集中在球心的引力」時,仍然使用幾何方法 來處理積分問題(不同於萊布尼茲形式的微積分)。 由於牛頓的幾何方法,大多是以線段比來呈現出物理量間的正比關係,而鮮 有等式的出現,這也成為後人想要改革力學形式的原因之一。. 6.

(14) 第三章. 力概念的檢視與批判. 第一節 科學家對牛頓力概念的看法 一、時代背景─機械論的哲學觀 在牛頓的那個時代,機械論是廣為大家所接受的哲學觀點,他們認為任何物 體所受的力或作用,都來自於那些和物體互相接觸的其他物質,這使得當時的科 學家在解釋天體運行的現象時,不得不假設宇宙間充滿著類似流體一般的「乙太」 , 推動天體運動。 但是牛頓提出的萬有引力,雖然成功解釋了天體的運動,並且將天體運動和 地球上物體下落的成因結合,但卻和機械論的觀點相牴觸。雖然牛頓在《自然哲 學的數學原理》第二卷中證明了天體不可能是隨著乙太的流動而運動,但他仍然 無法解釋為何地球可以在沒有接觸的情況下,從遠處施力吸引月球。這使得牛頓 的學說雖然在數學上獲得了巨大的成功,但在哲學觀點卻被大家所排斥。. 二、十七、十八世紀科學家與哲學家們對力概念的看法 牛頓的同事 Cote 在第二版《自然哲學的數學原理》的前言中,形容: 「萬有 引力的成因是隱密的、是拋棄哲學的,沒有辦法以任何最簡單的原因解釋(Jammer, 1999, p.201)。」他認為如果可以用最簡單的原因來解釋,萬有引力就不會被稱為 是隱密的並且被大多數哲學家所排斥了。雖然如此,他認為應該拋棄哲學的束縛, 將萬有引力視為是理論科學中一個主要的基礎概念。 接著,Keill,牛頓理論最初的宣傳者之一,在他的書中寫道: ……性質、功能、吸引力等等這些術語,我們並非透過這些就假裝能定 義了真實的、物理的原因或作用模式,但是當這些作用被放大或縮小, 由於有相同的性質,同樣地名詞不會不適用於他們。所以我們從而想要 表示的,僅僅只是力或其增減之間的比值。舉例來說,我們可以說重性 7.

(15) 是一種性質,會使所有物體被往下牽引,不論其原因是來自於中心物體 的屬性、或只是物質本身的天性、或是由於乙太受離心力作用,推動使 物體向中心移動、或者最終,是由任何其他物體所產生…透過這些,同 樣可以確定的是,在代數方程式裡我們用 x,y 來表示這些未知的性質, 而非使用那些非常不同的方法去研究這些遵循一些假定的條件的性質 的增減。(Jammer, 1999, p.201) Keill 認為: 「定義一個物理量並不代表自然界的運作模式被我們定義了,而 是這些物理概念可以用來描述某些性質,當有其他類似的現象發生,我們可以用 同樣的名詞來描述或是類比。」換言之,並沒有哪個理論是絕對正確的。就像對 於重性的解釋:在希臘時代認為重性是物質的天性,隨著物質種類的不同而有不 同的運動傾向,其中水和土會向下(地心)運動;惠更斯則解釋重性為乙太受離心 力作用而向外運動時,將物體擠向地心的現象;牛頓則解釋重力是物體受具有質 量的地球吸引而向地心運動。不管哪一種解釋都可以符合我們所觀察到的現象, 而且可以用方程式來表示。Keill 想強調的是:「我們可以處理、測量並計算他們 的量,即使不知道這些名詞實際上是什麼。他們之所以重要的原因是因為可以呈 現出不同時空下,物理量間變化的函數關係(Jammer, 1999, p.202)。」 接著,Clarke 也為牛頓辯護,他寫道: 地球和太陽受指向對方的引力作用,或者(不論由於何種原因)趨向於對 方,有一個力正比於他們的質量、或者大小、或者密度,也反比於距離 的二次方。他們之間的空間是空虛的,沒有任何東西會明顯地阻止其他 從中穿過物體的運動。這些僅僅只是透過經驗而得的現象或真實物質的 事實。……找不出任何原因能產生這些效應,這些也是不爭的事實。如 果可行,哲學家會尋找並發現其原因,是符合機械觀、或不符合;但如 果他們無法找到原因,是否就因此表示這個由經驗所發現的(由吸引或 重性這些名詞所表示的)效應本身、現象、物質的事實,變得較不正確了. 8.

(16) 呢?(Jammer, 1999, p.202) Clarke 認為:「太陽和地球互相吸引,不管這個現象如何被描述,也不管原 因是什麼,這是一個很明顯的經驗事實,就算哲學家無法解釋它,也不能否認這 個現象的真實性。」自此,物理學的概念,如:力或重性,開始脫離哲學觀點的 束縛,而更貼近操作、經驗或實驗上的定義,以描述現象做為主要目標,而非滿 足哲學上的合理需求。 哲學家 Berkeley 認為:「力、重性、吸引或其他類似的術語只是為了在解釋 和計算物體運動的目的上,方便使用的名詞,而非用來理解自然的運動(Jammer, 1999, p.204)。」使用這些名詞也許可以得到正確的結果,但不能假設這就是自然 本身的一部份。在他的看法中,物理學唯一的目標,是要找到物理現象的規律性 與一致性,並最小化這些規則。 換言之,我們可以透過觀察、測量來得知物體的運動情形,但是這些物體是 「受到吸引而朝某物體運動」 、或是「被排斥而遠離某物體」 ,都是我們解釋這些 現象所衍伸出的概念,最後把這些概念用方程式寫成許多不同的定律。然而這些 概念或定律都只是一系列「數學上的假設」,而非真實存在於自然當中。因此, 牛頓提出的力概念,並不是自然的本質。 Maupertuis 受 Berkeley 的影響,認為自然作用與其原因之間的連結,是一種 實驗上的經驗與觀察: 因為我們無法完全從「物體對彼此施加互相的影響」的想法中解放出來, 所以我們可以繼續使用「力」這個詞彙,但必須記得的是,力的概念只 是一個發明,為了滿足我們對於解釋的渴望。(Jammer, 1999, p.209) 對 Maupertuis 而言,力只是為了解釋為何物體會對彼此互相影響而使用的術 語,而非自然的本質。在他看來,就連非常有警覺性並且嚴謹的牛頓,都落入這 個圈套中。牛頓的第二運動定律:「物體運動量的變化正比於施加的外力。」只 是力的再次定義,但牛頓卻將其當作重要的自然定律(Jammer, 1999, p.209)。. 9.

(17) Hume 則認為:「力的概念只是一個習慣,僅僅為了感覺的聯想,他認為: 對於效果和原因,沒有任何其他涵意,我們只是根據過去的經驗習慣性地將兩者 結合在一起(Jammer, 1999, p.210)。」 在 Hume 的看法中: 「力這個效果和原因的連結無法從理性的見解發現(沒有 結果的原因不會引發邏輯上的矛盾),也無法透過觀察發現(產生的力沒有明顯的 性質)。」也就是說,嘗試通過因果的創見來解釋經驗領域,是非哲學的。力只是 簡單地被應用在力學最基本的現象中,例如兩物體的碰撞;或在力學理論中,把 重力視為沒有問題的、明顯的力傳遞的機制(Jammer, 1999, p.210)。 至此,力的本質或成因的問題,直到 19 世紀後半葉再度掀起討論以前,大 致告一個段落。簡單地來說,根據 Clarke,物體相互吸引的現象真實存在,不能 因為力的成因無法得知而否定這樣的現象;根據 Berkeley,力的概念只是一種數 學上的假設,純粹是理解自然現象所得出的規則;根據 Hume,這樣的假設無法 用邏輯或哲學來驗證或推翻,也無法經由觀察而得。總之,力只是一個力學上的 基本假設,為了滿足我們對於現象的解釋,他不受哲學的限制,但卻能描述真實 存在的自然現象,透過力,我們能更恰當的去理解這些現象。. 三、力概念的應用 Euler 在他的書中,試圖透過公設、定義、與邏輯推導來建構合理的力學, 為了要顯示牛頓的力學是一門辯證的科學,是絕對的真理(Jammer, 1999, p.211212)。雖然多數的比較或測量都是來自於靜力學,他將力視為動力學的基本原理, 並由此出發,和 Bernoulli、d’Alembert 共同處理了許多工程問題,將牛頓的運動 定律,用於工程上熟知的各種力,並以不同方式呈現,這部份會在第四章中詳加 討論。 Lagrange 對基礎概念的方法論層面較沒有興趣,他較在意的是在科學上,對 數學統一性的貢獻(Jammer, 1999, p.214),因此在他的《分析力學》,目的是要將 10.

(18) 牛頓力學帶進到數學的完美性中,這部份會在第五章中詳加討論。. 四、再掀波瀾─十九世紀對力概念的討論 Lagrange 以後,以能量和交互作用來研究自然現象的 Hamilton 力學慢慢成 形,但是如同力的概念一樣,能量的概念也是難以解釋。 1868 年,Mach 首次在他的論文中,以實驗的主張,試圖重新建立牛頓力學, 他希望物理學可以丟棄因果的想法,使「力」和「質量」這些概念可以用空間與 時間,藉由純粹的數學表示來重新定義(Jammer, 1999, p.221)。 1876 年 Kirchhoff 的《Lecture on mechanics》中,他對力學的介紹為人所讚 譽,他認為物理學應該: 「以最完備和最簡單的方式來描述自然界發生的運動。」 和 Mach 不同的是,他將質量也視為力學最基本的元素,和空間與時間的地位相 同。Kirchhoff 認為,質量就是質點的常數係數特性,就如時間與空間一樣,是可 以很直觀地定義的物理量。力,則定義為質量與加速度的乘積(Jammer, 1999, p.222)。 Kirchhoff 是這麼討論的,如果忽略質量的話,他寫下: d2 x dt2. d2 y. d2 z. = X、 dt2 = Y、 dt2 = Z. (3-1). 這裡的 X、Y、Z 就是力,是沒有任何意涵的,只是一個名稱而已。Kirchhoff 認 為有一個非常合理的問題需要解決:「為何只有二次微分,而沒有三、四…次微 分呢?」Kirchhoff 對此問題作了詳細地討論,根據經驗,更高次微分項對於簡化 問題是毫無貢獻的。經驗上,質點所在位置對時間的二次微分,就是他們所在位 置的函數(而不會是速度或其他物理量的函數)!因此不需要加入高次微分項來 讓問題複雜化(Jammer, 1999, p.222-223)。 另外 Kirchhoff 提出了一個重要的觀點,如果質點被放在一個有許多力的系 統中,且質點的運動滿足: d2 x dt2. d2 y. d2 z. = X1 + X2 + ⋯、 dt2 = Y1 + Y2 + ⋯、 dt2 = Z1 + Z2 + ⋯ 11. (3-2).

(19) 系統中有兩個以上的力時,這些力無法被分別決定出來,我們只能從最後的結果 (加速度)來決定他們的總和,這些個別的力都可以用任意地方法來決定,所以如 果只能從運動本身來建立力學的概念,Kirchhoff 宣稱: 「力的概念不可能被充分 的定義(Jammer, 1999, p.223)!」 在 1894 年,Hertz 出版了《力學原理:以新形式呈現》一書,他除了延續 Kirchhoff 的觀點之外,他也受到電磁學的強烈影響。在電磁學中,所有的作用都 是非接觸的。因此 Hertz 認為對不僅是電磁力,也包含重力、所有在一段距離之 外產生的作用、最後也對所有的機械力而言,必須透過隱晦的質量與運動來考慮。 但是如果最終有辦法消除力學中神秘的力概念,很有可能完全地將這些概念拒於 力學領域之外(Jammer, 1999, p.224)。 對於牛頓第三定律,Hertz 以將石頭綁在繩上作圓周運動的情形為例,最常 見的解釋是說,根據牛頓第三定律,手受到來自石頭的離心力作用,因此手施的 力是等大且相反方向的,Hertz 對這種解釋提出批評,說: 在我們的運動定律中,力是造成運動的原因,而且出現在運動之前。我 們開始可以突然毫無困惑的說力是源自於運動、是運動的結果嗎?我們 可以表現的好像我們已經斷言在我們的定律中有關這個新的力的一切、 彷彿透過將其稱為力,可以給予他們力的性質嗎?這些問題必須清楚的 被否定。(Jammer, 1999, p.225) Hertz 認為牛頓第三定律和前兩個定律有一些不同之處,前兩個定律中,力 被定義為沿著特定方向作用在物體上;但在第三定律中,卻總是連結於兩個物體 施加在對方上。 雖然在簡單的力學關係中,有的力是很容易且直接的可以察覺,比如舉起重 物;但在更進階的關係,如天體運行中,則總是無法被直接的察覺,化學的力、 分子的力、電力與磁力也都是這樣(Jammer, 1999, p.226)。因此 Hertz 的書中,只 由三個基礎的獨立概念:空間、時間和質量出發,避免使用力,來解決所有的問. 12.

(20) 題。 Kirchhoff 和 Hertz,都嘗試用空間、時間、和質量來消除那些在力學上隱晦 的概念,在牛頓力學中,就是力;在 Hamilton 力學中,就是能量。最終 Hertz 發 現一個非常方便的方法,只要兩步驟就可以由一個物體的運動決定另一個物體的 運動。方法是: 「第一個物體的運動決定力(的形式),而這個力則決定第二個物體 的運動。」這代表力一直都會是運動的成因,同時也是運動的結果,意即,「力 只是兩個運動之間,一個被設想出來的中間詞而已(Jammer, 1999, p.229)」。 透過 Mach、Kirchhoff、Hertz 的努力,完成了從力學中消除力概念的工作。 和 Berkeley 的想法相互呼應,力只是一個數學形式,為了找到自然現象的規律 性,並且最小化這些規則。 我們透過物體的運動,找出力的數學形式,並用來分析其他類似情況下其他 物體的運動,進而建立起我們對自然現象的認知。使用最嚴謹與清晰的數學語言, 來描述自然界簡單而和諧的運作模式,這就是物理!. 13.

(21) 第二節 實驗與理論物理 若我們把注意力從力的哲學意義上挪開,看看牛頓以後的科學家們,在哲學 的論述之外,所研究的問題,會發現他們大致可以分成幾派,漸漸的將不同學科 區別開來。 在牛頓那個時候,多數的科學家,或稱自然哲學家、或稱數學家,基本上沒 什麼區別,從哥白尼、伽利略等人以來,科學家所做的就是在找出自然現象背後 的數學規則,並且在哲學上合理的解釋這些結果。 在牛頓的《自然哲學的數學原理》出版之後,對物理與數學上,卻帶來極大 的影響,牛頓的力概念,以及三大定律,提供科學家們研究自然現象的規則,而 其數學方法,促使數學家積極的研究微積分。 這兩個研究主題,在 18 世紀漸漸的形成非常不同的兩派。一群人專注於從 實驗和演示找出自然的規則,另一群人則是專注於研究數學的解。至於為何如此, 就要從一個困擾科學家許久的經典問題說起。 大約 1740 年代,科學家們開始致力於解決弦振動的問題,Euler 和 d’Alembert 使用牛頓第二定律建立了弦振動時所遵守的方程式,d’Alembert 寫下(Maltese, 1999, p.32): ∂2y ∂t2. T ∂2 y. (3-3). = σ ∂s2. 關於(3-3)式如何以牛頓第二定律推得的,在第四章第二節會詳加討論。 雖然有了弦振動時所遵守的方程式,但更多問題油然而生,最大的問題莫過 於要找出這個方程式的解。當然,解會隨著不同的情形而不同,若考慮張緊且兩 端固定的弦,Euler 寫下(Maltese, 1999, p.33): (3-4). y = f(x + t√b) + f(x − t√b). Euler 認為函數 f 必須是週期性的奇函數,而且若弦長為 2L,在任意時刻,弦的 形狀應該滿足(Maltese, 1999, p.33): y = αsin. πx L. + βsin. 2πx L. 14. + γsin. 3πx L. +⋯. (3-5).

(22) D’Alembert 認為這個表示法並不總是可能的,Euler 也發現在某些情況下這 個函數並不連續,一個物理上的問題,卻產生了非物理的解,這使得尋找解的工 作停滯不前,並且引起了數學上對於偏微分方程的爭論。 Daniel Bernoulli 從實驗的角度來處理這個問題,他用不同的方法去撥動弦使 其振動,並且把實驗結果和 Euler 與其他數學家們分享,Euler 則會從數學的角度 給予其建議,在其他物理問題上,他們也有類似的合作關係(Maltese, 1999, p.35)。 值得注意的是,Bernoulli 和 Euler 所重視的部分卻有很大的差異,Euler 透過 Bernoulli 提供的數據作為其數學分析上的題材,而 Bernoulli 則仰賴 Euler 所提供 數學上的建議與引導。 透過這樣的合作關係,Bernoulli 不但研究弦振動的問題,也研究了樂器的發 聲,他發現樂器或弦振動時有不同的振動模式(形成駐波的情形),實際弦的振動 可以視為不同模式的線性組合,最後他得出的結果是(Maltese, 1999, p.36): y = ∑ un sin. nπx L. (3-6). 和(3-5)式基本上是相同的。 Bernoulli 發表的論文從物理現象出發,從不同的振動模式出發,經過一些簡 單的數學推導,得到了最後的結果。但是對數學家而言,即使在現象的描述上相 當成功,他的數學方法是有限且不足的,以致於不被數學家所接受。 從這裡可以清楚的看到,科學家開始分為兩派:數學家與物理學家。兩者均 專注於尋找方程式的解,但是數學家所在意的,是要證明解的存在性、找到所有 符合方程式的解、或是解的唯一性;而物理學家在意的,則是找到合理的解,並 且能夠賦予其物理意義。 後來,物理學家也漸漸分成兩派:實驗物理與理論物理。實驗物理學家致力 於以實驗驗證理論、發展新技術、甚至可能發現無法解釋的新現象;理論物理學 家則是探尋自然界運作的規則、以數學方程式呈現並解釋物理現象。實驗與理論 相輔相成,奠定了物理學的研究方法與基礎。 15.

(23) 第四章. Bernoulli 與 Euler─F=ma 的應用. 第一節 Euler 與 Bernoulli 的貢獻 在前面的章節提到過,牛頓的「自然哲學的數學原理」當中,所使用的皆是 幾何學,他僅能透過長度比,呈現出相同時距內,物理量間的比例關係,而無法 以簡潔的代數符號或是清晰的方程式來表達。 另外,牛頓除了分析質點的運動,他也能分析天體這種非質點物體的運動。 他透過把天體各部分的引力積分,得到天體受的合力,來分析天體運行的問題。 除了天體的運動之外,牛頓並沒有分析其他非質點物體的運動。 牛頓所在乎的,都是有關天體如何運動的問題,因此,他不在乎所提出的運 動定律,在地球上工程方面要怎麼運用,如何分析諸如剛體、流體、彈性體、和 弦的不同運動情形。唯一較類似的,是牛頓處理單一質點在流體中受阻力的運動 情形,但是這個問題只是要推翻機械論中,對於天體是隨以太流動而運行的說法。 綜上所述,牛頓沒有做的工作,第一是沒有以代數方程式來表達,第二是沒有處 理工程方面,如剛體、流體、彈性體、和弦的運動情形。 1737 年,在 Euler 寫給 Bernoulli 的信中,討論到如何分析非質點物體的運 動,提到: Therefore the body will follow that movement that results from the attempts of the various parts that compose it and, due to the insufficiency of the principles, this motion cannot yet be determined and its treatment must be postponed to the continuation (of the work). …… In fact, we will first consider infinitely small bodies, which can be considered as points.(Maltese, 1992, p.60) Euler 認為,非質點物體的運動,是由不同部分的運動傾向所組成,但由於 沒有充分的原理可以分析,因此需要加入連續性才能討論。因此若要討論非質點 物體的運動,必須要考慮該物體各個部份的運動狀態,將物體切割為許多的單元, 16.

(24) 將每個單元視為質點,可以用處理質點運動的方法(即牛頓的方法)來分析,最後, 每個單元的運動則構成最終物體的運動。 使用這樣的分析方法,Euler 和 Bernoulli 成功處理了許多非質點物體或物質 運動的問題,包含剛體的運動、彈性物體的運動、弦的振動、以及流體問題。 此外,他們所使用的數學工具並非幾何學,而是萊布尼茲的微積分,沿用 1700 年凡立農 Varigon 寫下的數學型式 dv = adt. (4-1a). vdv = adx. (4-1b). 和 dx=vdt 的關係,進而得到. 這些關係用來分析物體的運動;另外 Bernoulli 於 1736 年,把牛頓第二定律外力 和速度的變化成正比,寫作 F = ma. (4-2). 這個關係用來分析物體受力與運動的關係。 從接下來所舉的例子中,我們可以注意 Bernoulli 和 Euler 如何使用上述的做 法來解決問題。. 17.

(25) 第二節 流體問題 1738~1740 年,Johann Bernoulli 處理流體在水管內流動的情形,如圖 4-1(引 自 Maltese, 1999, p.169),他將不同截面的水管接在一起,AE 端的截面積為 h, 另一端 GF 的截面積為 m,其中 h>m,兩管中流量均勻的情況下,如果 GF 截面 的流速是 v,則 AE 截面的流速為 mv/h。. 圖 4-1. Bernoulli 處理流體問題. 一、寫下流體單元的運動方程式 如果考慮管內一部分的流體單元 LMml 的運 動,令此單元的截面積為 y,厚度極小為 dx, 且流體的密度是 1,可以得到流體單元的質量 是 ydx;若流體單元速度為 u,加速度為 γ,在. 運動學關係. 動力學關係 受力= (ydx)γ (F = ma). 時間 dt 內,由(4-1b)式,流體單元的運動滿足 udu = γdx。因此,由(4-2)式,流體單元的受力. udu = γdx. (adx = vdv). 表 4-1 Bernoulli 分析流體問題. 為(ydx)γ = yudu;在截面積保持為 h 的管內,考慮同截面上的流體會以相同速 度流動,因此此截面上,厚度為 dx 的流體受的合力,就是 hudu。. 二、分析整體的運動模式 考慮從 AE 端到 GF 端,管內流體受的合力,即為所有流體單元受力的總和,且 流速會從 AE 端的 mv/h,漸漸變化到 GF 端的 v,因此這段流體所受的合力: v. (h2−m2 )v2. h. 2h. F = ∫mv hudu = 18. (4-3).

(26) 考慮流體在兩端分別受力的總和就是合力,即F = FAE − FGF,因此若將等式兩邊 同除以 AE 管截面 h,會得到截面上的合力所造成的水壓 PAE − PGF =. v2. ⇒ PAE +. 2. −. m2 v2 2h2. mv 2 ( ) h. 2. =. v2 2. = PGF +. −. (. mv 2 ) h. 2. v2. (4-4). 2. 另外如果考慮垂直的管子,從靜止流下 z 的距離,則流體所受合力就是重力,加 z. v. 速度就是重力加速度 g,所以他也寫下gdz = udu,則∫0 gdz = ∫0 udu,得到 gz =. v2 2. (4-5). (4-4)和(4-5)式,與現今伯努利方程式的形式已相去不遠。 若仔細分析 Bernoulli 的方法,不難發現第四章第一節所提出的方法充滿在 整個推導過程當中:先分析小單元的運動,找出小單元的運動學關係adx = vdv, 接著分析動力學關係F = ma,然後用萊布尼茲的微積分方法找到整體的運動方 程式。. 19.

(27) 第三節 弦振動問題 一、Euler 的分析 1745 年,Euler 研究弦振動的問題,他先將弦視為由 n 個質點所構成的運動 問題,其中第 k 個質點的質量為Mk 、座標為(xk , yk ),且第 k-1 個質點和第 k 個 質點的連線長度為ak,和鉛直線夾角為ϕk,兩質點間的作用力為Tk,如圖 4-2 所 示:. 圖 4-2. Euler 處理弦振動問題的示意圖. 他寫下質點間的連續方程式: xk − xk−1 = ak sinϕk yk − yk−1 = ak cosϕk. (4-6a) (4-6b). 如果考慮第 k 個質點的運動,在 x 方向上,由(4-1a)式,質點的加速度a = d. dx. ( )= dt dt. dv dt. =. d2 x dt2. ,是位置對時間的兩次微分,記為ẍ ,而質點所受的合力來自兩側質. 點,為 Tk+1 sinϕk+1 − Tk sinϕk. (4-7). 所以質點在 x 方向的運動方程式為 Mk ẍ k = Tk+1 sinϕk+1 − Tk sinϕk. (4-8a). Mk ÿ k = Tk+1 cosϕk+1 − Tk cosϕk. (4-8b). 同樣地,在 y 方向則為. 接著 Euler 又做了一些計算,他把質點的數量趨於無窮大,這個問題就變成 了一條重繩的運動,可以分析重繩的運動狀態,就會是弦的振動模式,但是 Euler 20.

(28) 的計算結果較不具代表性,反倒是 D’Alembert 在看過 Euler 的分析後,接著做的 分析更具有代表性。. 二、D’Alembert 改寫運動方程式 如果重繩的線密度為 σ,那麼一段極短的繩子,長度為∂s,參考圖 4-2,其 質量可表示為Mk = σ ∂s,而sinϕk 和cosϕk 可以用長度的比例關係來寫,也就是把 (4-6a)、(4-6b)式改寫為sinϕk =. ∂x ∂s. ∂y. 、cosϕk = ∂s,其中∂x就是xk − xk−1、∂s就是ak, ∂2 x. ∂x. 這樣就可以把 Euler 所寫(4-8a)式,改寫成(σ ∂s) ∂t2 = ∂ (T ∂s ),即 ∂2 x. ∂. ∂x. (4-9a). ∂. ∂y. (4-9b). σ ∂t2 = ∂s (T ∂s ) 同樣地,在 y 方向上的運動方程式則為 ∂2 y. σ ∂t2 = ∂s (T ∂s ) 𝜕𝑦. 假設振動的幅度不大,可以寫下 𝜕𝑠 ≪ 1,和 ∂s~ ∂x,則(4-9b)式的右邊可改 ∂. ∂y. 寫,∂s (T ∂s ) =. ∂2 y. ∂T ∂y. ∂2 y. + T ∂s2 ~T ∂s2 ,也就是在振動幅度不大的情形下,弦振動的 ∂s ∂s. ∂2 y. ∂2 y. 方程式為:σ ∂t2 = T ∂s2 ,或是 ∂2 y. ∂2 y. σ ∂t2 = T ∂x2. (4-10). (4-10)式就是波動方程式。 在這個問題當中,同樣可以看到 Euler 先從分析小單元的運動開始,用萊布 尼茲的微積分寫下小單元的加速度,然後再找出小單元的受力,進而得出弦振動 的方程式。 至於 D’Alembert 則延續 Euler 的分析,雖然使用不同的符號,但形式仍然是 萊布尼茲的微積分,最後寫下的波動方程式,比 Euler 的更具有代表性。 比較兩人所使用的方法,在表 4-2 內呈現如下。. 21.

(29) Euler. D’Alembert. 運動學關係 (a =. dv dt. =. d2 x dt2. ∂2x. ẍ 、ÿ. ∂t2. ). 動力學關係. Tk+1 sinϕk+1 − Tk sinϕk = Mk ẍ k. ∂ (T. (F=ma). Tk+1 cosϕk+1 − Tk cosϕk = Mk ÿ k. ∂ (T. 表 4-2. ∂x ∂2 x ) = (σ ∂s) 2 ∂s ∂t ∂y ∂2 y ) = (σ ∂s) 2 ∂s ∂t. Euler 和 D’Alembert 分析弦振動問題比較. 22. ∂2 y. 、 ∂t2.

(30) 第四節 剛體問題 1752 年,Euler 處理了剛體繞固定點旋轉的問題,值得注意的是,除了將物 體分割為質點、並使用 F=ma 的關係之外,他還寫下了三個方向的分量式,成功 分析了剛體運動的問題。Euler 為剛體旋轉所遵守的方程式下了一個標題: 「力學 新原理的發現(discovery of a new principle of mechanics)」。(Euler, 2003.). 一、尋找剛體的運動模式. 圖 4-3. Euler 處理剛體問題. 如圖 4-3 所示,O 點為剛體的重心。OC、OB、OA 分別代表 3 個互相垂直 的軸,就是 x,y,z 軸(此處 Euler 定義的 z 軸方向和現今的定法相反,不過這並不 影響後續的推導),同時也決定了三個互相垂直的平面,yz、xz、xy 平面。 Euler 假設重心靜止,也就是合力為 0 的情況下,剛體繞著 O 點旋轉的運動 情形。剛體上任意的質點 Z,沿三軸的位置為(x,y,z),速度為(P,Q,R)。也就是說, 經過一段時間 dt 後,質點的位置將變為(x + Pdt, y + Qdt, z + Rdt)。 由於剛體中各質點間的距離固定,因此質點和重心的距離將為定值,也就是 說√x 2 + y 2 + z 2 和√(x + Pdt)2 + (y + Qdt)2 + (z + Rdt)2 相等,Euler 寫下: 2xPdt + 2yQdt + 2zRdt = 0 ⇒ Px + Qy + Rz = 0 (4-11)式也可以由距離√x 2 + y 2 + z 2 對時間的微分為 0 求得。. 23. (4-11).

(31) 接著 Euler 考慮另一個質點(圖 4-3 的 z 點),和 Z 點的位置極為接近,位置 為(x + dx, y + dy, z + dz),速度為(P + dP, Q + dQ, R + dR)。同樣地,經過一 段時間 dt 後,質點的位置將變為(x + dx + (P + dP)dt, y + dy + (Q + dQ)dt, z + dz + (R + dR)dt)。 由於剛體中各質點間的距離固定,因此質點 z 和 Z 之間的距離為定值,表示 √dx 2 + dy 2 + dz 2 和√(dx + dPdt)2 + (dy + dQdt)2 + (dz + dRdt)2 相等,可以參 考(4-11)式,寫下: dPdx + dQdy + dRdz = 0. (4-12). 接著 Euler 開始思考 P,Q,R 是什麼函數。以 R 為例,R 應該是 x,y,z 的函數, 因此可以寫下: dR = Ldx + Mdy + Ndz. (4-13). 但是如果dx = dy = 0、dz ≠ 0時,由(4-12)式,dR 應為 0,所以(4-13)式中的 N 必須為 0,也就是說 R 其實只是 x 和 y 的函數,P 和 Q 也有類似的關係,所以: dP = Ady + Bdz、dQ = Cdz + Ddx、dR = Edx + Fdy. (4-14.1). 將(4-14.1)式代入(4-12)式,則有D = −A、E = −B、F = −C,因此將(4-14.1)式改 為(4-14.2)式: dP = Ady + Bdz、dQ = Cdz − Adx、dR = −Bdx − Cdy. (4-14.2). 由於 P 不會是 x 的函數,因此 A 不能是 x 的函數;而 Q 不會是 y 的函數,因此 A 也不會是 y 的函數,所以 A 只能是 z 的函數,B 和 C 也有類似的關係,所以: dA = Idz、dB = Jdy、dC = Kdx. (4-15). 另外,由於 dP、dQ、dR 是可積的(integrable differential),或說屬於正合微分(exact differential),因此結合(4-14.2)式和(4-15)式,會發現I = J、K = −I、J = K,這代 表 I、J、K 都必須為 0!因此 A、B、C 都是和 x,y,z 無關的常數,如此一來便可 對(4-14.2)式積分,得到: P = Ay + Bz、Q = Cz − Ax、R = −Bx − Cy. (4-16). Euler 很快便發現,當x: y: z = C: −B: A時,質點沿三個方向的速度皆為 0,而 這些質點的連線是一個過重心的直線,因此整個剛體會以這條直線為轉軸旋轉。 24.

(32) 也就代表剛體旋轉的角速度,沿著三個方向的分量的比例關係就是C: −B: A。. 二、寫下剛體的加速度與合力 接著 Euler 開始推導剛體的加速度,此時他將 A,B,C 改成不同的符號,並修 正了正負號,來代表不同分量上的角加速度,但因後續的符號較為複雜,因此接 下來我們改用和現今較相近的表示方法來呈現。 我們將剛體繞轉軸旋轉的角速度,沿 x,y,z 軸的分量寫作ωx = −C、ωy = B、 ωz = −A,重新寫下質點的速度分量: vx = ωy z − ωz y、vy = ωz x − ωx z、vz = ωx y − ωy x. (4-17). 其中vx , vy , vz 就是原來的 P,Q,R。 將(4-17)式微分,可以得到: dvx = (zdωy − ydωz ) + (ωy dz − ωz dy) dvy = (xdωz − zdωx ) + (ωz dx − ωx dz). (4-18). dvz = (ydωx − xdωy ) + (ωx dy − ωy dx) 如果把角速度對時間的微分寫作αx , αy , αz ,進一步求得加速度: ax = (zαy − yαz ) + (ωx ωy y + ωx ωz z − ωy 2 x − ωz 2 x) ay = (xαz − zαx ) + (ωx ωy x + ωy ωz z − ωx 2 y − ωz 2 y). (4-18). az = (yαx − xαy ) + (ωx ωz x + ωy ωz y − ωx 2 z − ωy 2 z) 最後使用動力學關係求得剛體所受合力(Euler 在此處是寫F = 2ma): Fx = ∫ 2dm (zαy − yαz ) + ∫ 2dm (ωx ωy y + ωx ωz z − ωy 2 x − ωz 2 x) Fy = ∫ 2dm (xαz − zαx ) + ∫ 2dm (ωx ωy x + ωy ωz z − ωx 2 y − ωz 2 y) (4-19) Fz = ∫ 2dm (yαx − xαy ) + ∫ 2dm (ωx ωz x + ωy ωz y − ωx 2 z − ωy 2 z) 但是由於∫ xdm = ∫ ydm = ∫ zdm = 0,因此合力為 0,和一開始的假設相符。 接著 Euler 進一步分析,他認為Fy 和Fz 會影響到 x 方向的運動,因此應該考慮 x 方向上的動量(moment):(yFz − zFy )的影響(其實就是現今的力矩),因此: yFz − zFy = ∫ 2dm [(y 2 + z 2 )αx − x(yαy + zαz ) + (yωz − zωy )(xωx + yωy + zωz )] zFx − xFz = ∫ 2dm [(x 2 + z 2 )αy − y(xαx + zαz ) + (zωx − xωz )(xωx + yωy + zωz )] xFy − yFx = ∫ 2dm [(x 2 + y 2 )αz − z(xαx + yαy ) + (xωy − yωx )(xωx + yωy + zωz )] (4-20) 後續 Euler 又作了一些更複雜的運算,後續的運算我們改用現代的數學工具呈現。 25.

(33) 三、用現代數學呈現 Euler 方程式 首先,使用(4-17)式,寫下角動量 L: Lx = ∫ dm (yvz − zvy ) = ∫ dm [(y 2 + z 2 )ωx − xyωy − xzωz ] Ly = ∫ dm (zvx − xvz ) = ∫ dm [(x 2 + z 2 )ωy − xyωx − yzωz ] Lz = ∫ dm (xvy − yvx ) = ∫ dm [(x 2 + y 2 )ωz − xzωx − yzωy ]. (4-21). 定義轉動慣量的張量 I: Ixx 𝐈 = [Iyx Izx. Ixy Iyy Izy. Ixz − ∫ xydm − ∫ xzdm ∫(y 2 + z 2 )dm 2 2 Iyz ] = [ − ∫ xydm − ∫ yzdm ](4-22) ∫(x + z )dm Izz − ∫ xzdm − ∫ yzdm ∫(x 2 + y 2 )dm. 則角動量 L 可寫作: Lx ωx L ω 𝐋 = [ y ] = 𝐈 [ y ] = 𝐈𝛚 ωz Lz. (4-23). 除此之外,將(4-21)式改寫為: Lx = ∫ dm [(x 2 + y 2 + z 2 )ωx − x(xωx + yωy + zωz )] Ly = ∫ dm [(x 2 + y 2 + z 2 )ωy − y(xωx + yωy + zωz )] Lz = ∫ dm [(x 2 + y 2 + z 2 )ωz − z(xωx + yωy + zωz )] ⇒ 𝐋 = ∫ dm (𝐫 ∙ 𝐫)𝛚 − ∫ dm (𝐫 ∙ 𝛚)𝐫. (4-24). 定義L̇為角動量量值在角速度改變時,隨時間的變化率,由(4-23)式直接寫下: 𝐋̇ = 𝐈𝝎̇ = 𝐈𝛂 (4-19)式較為複雜,先把式中 Euler 多乘的 2 拿掉,並且參考(4-21)式到(4-24)式, 或是參考(4-23)式,就可得到: τx = ∫ 2dm [(y 2 + z 2 )αx − x(yαy + zαz ) + (yωz − zωy )(xωx + yωy + zωz )] τy = ∫ 2dm [(x 2 + z 2 )αy − y(xαx + zαz ) + (zωx − xωz )(xωx + yωy + zωz )] τz = ∫ 2dm [(x 2 + y 2 )αz − z(xαx + yαy ) + (xωy − yωx )(xωx + yωy + zωz )] ⇒ 𝛕 = ∫ dm (𝐫 ∙ 𝐫)𝛂 − ∫ dm (𝐫 ∙ 𝛂)𝐫 + ∫ dm (𝐫 × 𝛚)(𝐫 ∙ 𝛚) ⇒ 𝛕 = 𝐈𝛂 + 𝛚 × 𝐋 ⇒ 𝛕 = 𝐋̇ + 𝛚 × 𝐋. (4-25). 分析 Euler 的方法,同樣可以看到他將剛體分割為質點,並且寫下他們的運 動方程式,把三個方向的分量分開處理,從位置到速度,一步一步清楚的導出加 速度,之後使用三個分量的動力學關係 F=2ma(2 是多餘的)來分析剛體的受力。 26.

(34) 運動學關係 (a =. dv dt. =. d2 x dt2. ). ax =. dvx dt. =. d2 x. 、ay = dt2. dvy dt. =. d2 y. 、az = dt2. dvz dt. =. d2 z dt2. 動力學關係 (F = 2ma). Fx = ∫ 2dm ax 、Fy = ∫ 2dm ay 、Fz = ∫ 2dm az 表 4-3 Euler 分析剛體問題. 除此之外,Euler 還分析剛體所受的力矩、算出轉動慣量,並實際分析球體 受力矩下的轉動情形,這些和牛頓的運動定律已經有很大的不同,難怪他會寫下 這樣的標題:「力學新原理的發現」,來強調他所得出結果的新穎與重要性。. 27.

(35) 第五節 與牛頓的方法比較 如果我們將 Bernoulli 和 Euler 的分析方式,和牛頓做比較,可以發現, Bernoulli 和 Euler 是跟隨牛頓的方法,並加以改良、應用在工程問題上。 對於質點的運動,牛頓找出物體的受力,而受力和運動量變化成正比;而 Bernoulli 則是直接將之表示為代數關係F = ma。 另外,對於並非質點的物體的運動,如牛頓處理星體運行的問題,牛頓是先 將星球分割為質點,把每個質點的力加總後,再用受力和運動量成正比來找出星 球的運動模式,這個方法只能處理物體共同運動的問題,如果物體各部分的運動 不同,便無法處理;而 Bernoulli 和 Euler 的方法沒有這個限制,他們先將物體分 割為質點,然後每個質點都可以用F = ma寫下一條運動方程式,最後利用質點間 的連續性,把物體整體的運動模式找出來。 處理問題 質點運動. 並非質點的物體運動. 人物 1.分割為質點 Newton 合力∝運動量變化. 2.把各質點合力加總. 方法:幾何學 3.將整體簡化為質點分析 F=ma Bernoulli、Euler. (其中 a 滿足dv = adt. 方法:代數方程式. 或 adx = vdv, 也可以寫成 a =. 表 4-4. d2 x dt2. 1.分割為質點 2.先對單一質點分析 F=ma 3.利用連續性分析整體運動. = ẍ ). 牛頓與 Bernoulli、Euler 分析方法比較. 事實上,牛頓提出外力的概念,並且透過尋找運動量變化來解決運動問題, 這個貢獻是無法抹滅的,然而,他所使用的方法(幾何學)非常複雜,一般人難以 理解,而且他僅止於處理天體的運動,而沒有研究剛體、彈性體、弦或流體這類 28.

(36) 複雜的運動;而 Bernoulli 和 Euler 則使用了萊布尼茲的微積分取代幾何方法,把 牛頓的想法用代數方程式呈現。 Bernoulli 寫下F = ma這個方程式,而 Euler 提出了一個分析非質點物體運動 模式的方法、又將 F=ma 寫成三個分量的方程式,使得牛頓提出的力學概念可以 提升到更高的層次,以更簡潔的表達方式,處理更複雜的問題。. 29.

(37) 第五章 第一節. Lagrange─分析力學的誕生. Lagrange 寫下的靜力學原理. Lagrange 在他的書中提到,靜力學主要可以簡化為 3 個原理:槓桿、力的合 成、虛速度(vertual velocity)。其中第三個原理,在過去有許多的描述:Galileo 認 為,物體的運動力(moment)總是正比於力(force)與虛速度的乘積;Descartes 則認 為: 「『將較重的物體抬高較少的距離』和『將較輕的物體抬高較多的距離』需要 同樣的力(force)」 ;Torricelli 認為: 「當兩個重物放在一起,而他們的重心無法再 繼續下降時,便是達到平衡」 ;後來的人將 Torricelli 的說法改寫為「達到平衡的 物體,其重心必處在最低的位置」 ,或者也可以這樣說: 「達到平衡的物體,在系 統有極小的位移時,重心的高度不會升高或降低」。 用更一般的方式概括上述的這些原理:「如果由任意數量的物體或質點所組 成的系統,每個質點都受到任意的力作用,正處於平衡狀態,且若給予此系統中 的各個質點極小的位移,用以表示質點的虛速度,那麼每個質點所受的力和他們 各自位移的乘積之總和,必將為零。其中,若小位移的方向和力方向相同則視為 正值、方向相反則視為負值。」這就是當時的虛速度原理。Bernoulli、Varignon、 Maupertuis、Euler 都認識到這個原理,並且從這個基礎上發展他們各自的理論。 Lagrange 想要以方程式來呈現這個原理,他假設系統由許多物體或質點組 成,每個質點受到 P,Q,R…的力,沿著特定方向作用在物體上,使系統處於平衡 狀態,當系統在原來位置上有極微小的變化時,每個質點沿著力作用的方向,在 p,q,r…直線上有極微小的位移,以 dp,dq,dr…等表示。 首先,Lagrange 考慮系統受兩個力 P,Q 作用,達成平衡的情形,根據虛速度 原理,P 和 Q 應該和質點的小位移 dp,dq 成反比,而且只有一個狀況下系統可以 達成平衡,就是 dp 和 dq 的方向必須相反,也就是他們的正負號必須相反,因 此,平衡方程式可寫作 P Q. dq. = − dp 30. (5-1).

(38) 表示 P 和 dp、Q 和 dq 成反比,而負號代表方向相反。(5-1)式可進一步改寫為 Pdp + Qdq = 0. (5-2a). 接著,Lagrange 考慮系統受三個力 P,Q,R 作用,達成平衡的情形。假設Q = Q′ + Q′′,其中Q′和 P 達到平衡,根據虛速度原理可寫下 Pdp + Q′dq = 0,而若整個 系統達成平衡狀態,則Q′′和 R 必須也達成平衡,同樣地可以寫下Q′′ dq + Rdr = 0,也就是說整個系統的平衡方程式可以寫作 (Pdp + Q′ dq) + (Q′′ dq + Rdr) = Pdp + Qdq + Rdr = 0. (5-2b). 如果再加入第四個力 S,結果也一樣,假設Q = Q′ + Q′′,Q′和 P 達成平衡,再假 設R = R′ + R′′,其中Q′′和R′達成平衡,最後R′′和 S 也達成平衡,因此平衡方程 式可寫作 (Pdp + Q′ dq) + (Q′′ dq + R′ dr) + (R′′ dr + Sds) = Pdp + Qdq + Rdr + Sds = 0. (5-2c). 因此,對於任意的系統,各質點受到 P,Q,R……的力,分別有 dp,dq,dr……的 小位移,達成平衡狀態時,平衡方程式可寫為 Pdp + Qdq + Rdr + ⋯ = 0. (5-3). Lagrange 使用這個方程式,處理了許多靜力學的問題,「慣量(moment)」的 形式之後也成為發展動力學原理的重要基礎之一。. 31.

(39) 第二節. Lagrange 寫下的動力學原理. Lagrange 在書中提及牛頓的貢獻:「力學成了一門新的科學,開啟了革命的 時代。」然後,他提出自己的看法: 這門科學是由一些基本上簡單的微分方程式所組成,但牛頓卻不斷地使 用簡化過的幾何方法……儘管可以很容易的將他們視為相關聯,並稱為 單 一的原理,但仍應將一系列特殊的方法與微分方法區分出來。 (Lagrange, 1788/1997, p.171) Lagrange 認為,牛頓的方法是簡化過的,不能用來取代微分方法。所以在分析力 學中,Lagrange 完全不使用幾何方法,這使得分析力學有一點非常特別,就是在 書中無法找到任何的幾何圖形,全書單純地使用微分方程,就是為了和牛頓的幾 何方法做出區別。 進入動力學之前,有必要先提一下 Lagrange 對微分的想法,他認為微分可 以分成兩種:一種是表示組成物體的質點在不同位置的變化,稱為微分,寫作「d」 ; 另一種是假設物體的位置有微小的位移時,質點可以移動的距離,稱為變分,寫 作「δ」 。在推導的過程中,變分的使用方法幾乎和偏微分是完全相同的。 另外,要將組成物體所有質點的效果加總時,Lagrange 則是用「S」來取代 傳統的積分符號,或者也可以視為類似連加符號「Σ」 。下文中,我們將盡最大可 能地沿用 Lagrange 所使用的原始符號。. 一、寫下動力學關係式 首先 Lagrange 沿用牛頓加速力的概念,並將質點沿著 x,y,z 三個方向的加速 d2 x d2 y d2 z. 度寫作 dt2、dt2、dt2,他們乘上質點的質量 m 就是所受的力,質點的「慣量(moment)」 定義為質點所受的力乘上受力作用下可以移動的極小位移(虛速度),這和靜力學 的虛速度原理非常相似。於是 Lagrange 寫下物體作加速度運動時,受加速力的. 32.

(40) 慣量為: d2 x. d2 y. d2 z. (5-4a). S( dt2 δx + dt2 δy + dt2 δz)m. 接著 Lagrange 假設物體受到以某些力 mP、mQ、mR 作用,而這些力指向某 個共同的中心;而 p、q、r 是從該中心指向力作用位置的直線距離。由於這些力 的效果會使得 p、q、r 的長度縮短,因此物體將產生極小位移−δp、−δq、−δr, 這些力的慣量可寫作: (5-4b). −S(Pδp + Qδq + Rδr + ⋯ )m. 由於這些力造成的慣量,會使物體作加速度運動,因此(5-4a)式等於(5-4b)式: d2 x. d2 y. d2 z. S ( dt2 δx + dt2 δy + dt2 δz) m = −S(Pδp + Qδq + Rδr + ⋯ )m 進一步分析(5-4a)式,可以改寫為S (. (5-4). d2 xδx+d2 yδy+d2 zδz dt2. ) m,其中括號內的分子部分. d2 xδx + d2 yδy + d2 zδz = d(dxδx + dyδy + dzδz) − (dxdδx + dydδy + dzdδz) = d(dxδx + dyδy + dzδz) − (dxδdx + dyδdy + dzδdz) 1. = d(dxδx + dyδy + dzδz) − 2 δ(dx 2 + dy 2 + dz 2 ). (5-5). 二、變換至任意座標 為了在任意的座標下使用這個式子,Lagrange 將 x,y,z 變數變換為ξ, ψ, φ,並且假 設: dx = Adξ + Bdψ + Cdφ. (5-6.1). dy = A′dξ + B′dψ + C′dφ dz = A′′dξ + B′′dψ + C′′dφ. (5-6.2) (5-6.3) dx. δx. 其中,(5-6.1)到(5-6.3)式中的 d 也可以改寫為δ,其中A = dξ = δξ ,是ξ, ψ, φ的函 數,A′ , A′′ , B …可依此類推,因此,A, A′ , A′′ , B, B ′ , B ′′ , C, C ′ , C′′都是ξ, ψ, φ的函數。 如果將(5-6.1)式到(5-6.3)式,dx 乘上δx、dy 乘上δy、dz 乘上δz,再全部相加,可 以得到(5-7.1)式;如果是dx, dy, dz個別平方的總和,則是(5-7.2)式[1]: dxδx + dyδy + dzδz = Fdξδξ + G(dξδψ + dψδξ) + Hdψδψ +I(dξδφ + dφδξ) + J(dψδφ + dφδψ) + Kdφδφ 33. (5-7.1).

(41) dx 2 + dy 2 + dz 2 = Fdξ2 + 2Gdξdψ + Hdψ2 + 2Idξdφ + 2Jdψdφ + Kdφ2 (5-7.2) 此處F = A2 + A′2 + A′′2 、G = AB + A′ B ′ + A′′B′′、H, I, J, K也能依此類推得到。 由於A, A′ , A′′ , B …都是ξ, ψ, φ的函數,因此F, G, H, I, J, K也都是ξ, ψ, φ的函數,所以 以 F 為例,可以寫下δF = δF. δF. δF δξ. δF. δF. δξ + δψ δψ + δφ δφ,另外因為 F 不是dξ, dψ, dφ的函. δF. 數,所以δdξ = δdψ = δdφ = 0。同理,G, H, I, J, K也是一樣。. 三、簡化關係式 如果假設一個物理量(此物理量將與日後的動能有關): 1. ϕ = 2 (dx 2 + dy 2 + dz 2 ). (5-8). 那麼對ϕ作變分,由(5-7.2)式可以得到: δϕ = [Fdξδdξ + G(dξδdψ + dψδdξ) + Hdψδdψ +I(dξδdφ + dφδdξ) + J(dψδdφ + dφδdψ) + Kdφδdφ] 1. + 2 [δFdξ2 + 2δGdξdψ + δHdψ2 + 2δIdξdφ + 2δJdψdφ + δKdφ2 ]. (5-9). 其實 Lagrange 直接由(5-9)式得到了(5-13)式。中間的過程,可以透過增加(5-8)式, 並利用(5-10)到(5-12)式推導出來。 (5-9)式中,由於F, G, H, I, J, K都是ξ, ψ, φ的函數,因此ϕ是ξ, dξ, ψ, dψ, φ, dφ的函數, 可以表達為以下的通式: δϕ =. δϕ δξ. δξ +. δϕ δdξ. δdξ +. δϕ δψ. δψ +. δϕ δdψ. δdψ +. δϕ δφ. δφ +. δϕ δdφ. δdφ. (5-10). 另外,由於F, G, H, I, J, K都不是dξ, dψ, dφ的函數,因此ϕ分別對dξ, dψ, dφ作變分, 由(5-9)式,結果為: δϕ δdξ δϕ δdψ δϕ δdφ. = Fdξ + Gdψ + Idφ. (5-11.1). = Gdξ + Hdψ + Jdφ. (5-11.2). = Idξ + Jdψ + Kdφ. (5-11.3). 34.

(42) 將(5-11.1)到(5-11.3)式和(5-7.1)式比較,會發現: dxδx + dyδy + dzδz = (Fdξ + Gdψ + Idφ)δξ + (Gdξ + Hdψ + Jdφ)δψ + (Idξ + Jdψ + Kdφ)δφ δϕ. δϕ. δϕ. (5-12). = δdξ δξ + δdψ δψ + δdφ δφ. 利用(5-12)式與(5-8)式,將(5-5)式表為ϕ的函數,其中δϕ用(5-10)式展開,得到: d2 xδx + d2 yδy + d2 zδz = d ( δϕ. δϕ. δϕ δdξ. δξ +. δϕ. δϕ δdψ. δψ +. δϕ. δϕ δdφ. δφ) − δϕ. δϕ. δϕ. = d (δdξ) δξ + δdξ dδξ + d (δdψ) δψ + δdψ dδψ + d (δdφ) δφ + δdφ dδφ δϕ. δϕ. δϕ. δϕ. δϕ. δϕ. − ( δξ δξ + δdξ δdξ + δψ δψ + δdψ δdψ + δφ δφ + δdφ δdφ) = [d (. δϕ δdξ. )−. δϕ. δϕ. δξ. δdψ. ] δξ + [d (. δϕ. )−. δψ. ] δψ + [d (. δϕ δdφ. )−. δϕ δφ. ] δφ. (5-13). 如果定義 T (後來被稱作動能): ϕ. T = S (dt2 ) m = S(. dx2 +dy2 +dz2 2dt2. (5-14). )m. 將(5-13)式代入(5-4a)式,再用(5-14)式代入,可以得到: d2 x. d2 y. d2 z. S ( dt2 δx + dt2 δy + dt2 δz) m δϕ. δϕ. δϕ. δϕ. δϕ. δϕ. = S {[d (δdξ) − δξ ] δξ + [d (δdψ) − δψ] δψ + [d (δdφ) − δφ] δφ} m⁄dt 2 δT. δT. δT. δT. δT. δT. = [d (δdξ) − δξ ] δξ + [d (δdψ) − δψ] δψ + [d (δdφ) − δφ] δφ. (5-15). 至於(5-4b)式,假設Pdp + Qdq + Rdr可以表達成全微分的形式: (5-16). dΠ = Pdp + Qdq + Rdr,δΠ = Pδp + Qδq + Rδr 將(5-16)式代入(5-4b)式,得到: −S(Pδp + Qδq + Rδr + ⋯ )m = −S(δΠ)m = −δ(SΠm) dV. dV. dV. (5-17). = −δV = −( dξ δξ + dψ δψ + dφ δφ) 其中V = SΠm。 如此一來,(5-4)式就變成: [d (. δT δdξ. )−. δT δξ. +. dV dξ. ] δξ + [d (. δT δdψ. )−. δT δψ. + 35. dV dψ. ] δψ + [d (. δT δdφ. )−. δT δφ. +. dV dφ. ] δφ = 0.

(43) (5-18.1) (5-18.1)式是一個很重要的方程式,可以導出 Lagrange 方程式和力學能守恆。. 四、導出 Lagrange 方程式 δV. δL. δT. 如果我們假設L = T − V,由於δdξ = 0,所以δdξ = δdξ,則(5-18.1)式可以改寫為: [d (. δL δdξ. δL. δL. δL. δL. δL. ) − δξ ] δξ + [d (δdψ) − δψ] δψ + [d (δdφ) − δφ] δφ = 0. (5-19). 由(5-19)式,可寫下三個恆等式: δL. δL. δL. δL. δL. δL. (5-20). d δdξ − δξ = 0、d δdψ − δψ = 0、d δdφ − δφ = 0 就是三組 Lagrange 方程式。 dξ 用今天古典力學常用的寫法,定義ξ̇ = dt ,則(5-20)式可改寫為: d δL ( ) dt δξ̇. δL. d. δL. δL. d. δL. δL. (5-21). − δξ = 0、dt (δψ̇) − δψ = 0、dt (δφ̇) − δφ = 0. 五、導出力學能守恆 如果將(5-20)式分別乘上dξ、dψ、dφ加總,按照(5-18.1)推到(5-19)式的步驟逆推, 寫成(5-18.2)式: [d (. δT. δT. δdξ. dV. δT. δT. dV. δT. δT. dV. ) − δξ + dξ ] dξ + [d (δdψ) − δψ + dψ] dψ + [d (δdφ) − δφ + dφ] dφ = 0 (5-18.2). δT. δT. δT. 其中d (δdξ) dξ = d (δdξ dξ) − δdξ d2 ξ,依此類推,(5-18.2)式將變為: δT. δT. δT. 0 = d [(δdξ) dξ + (δdξ) dψ + (δdξ) dφ] δT. δT. δT. δT. δT. δT. − ( δξ dξ + δdξ d2 ξ + δψ dψ + δdψ d2 ψ + δφ dφ + δdφ d2 φ) + dV δT. δT. δT. = d [(δdξ) dξ + (δdξ) dψ + (δdξ) dφ] − dT + dV 因此可以得知: 36. (5-22).

(44) δT. δT. δT. (δdξ) dξ + (δdξ) dψ + (δdξ) dφ − T + V = const.. (5-23). 利用 T 的定義,並參考(5-11.1)到(5-11.3)式,和(5-7.2)式比較,可得: δT δdξ. δT. δT. dξ + δdψ dψ + δdφ dφ. δϕ. δϕ. δϕ. = S (δdξ dξ + δdψ dψ + δdφ dφ) m⁄dt 2 = S(Fdξ2 + 2Gdξdψ + Hdψ2 + 2Idξdφ + 2Jdψdφ + Kdφ2 )m⁄dt 2 = S(. dx2 +dy2 +dz2 dt2. ) m = 2T. (5-24). 因此(5-23)式將變為: 2T − T + V = T + V = H = const.. (5-25). (5-25)式就是現今所說的力學能守恆,式中 H 就是力學能。 對現今的學者而言,無人不曉得 T 是動能、V 是位能、H 是力學能,這些算 式雖然在 Lagrange 的著作中出現,但是在 Lagrange 之後約百年的時間才有人使 用這些名詞,Lagrange 只是使用了這些函數,發現他們在運算上有非常重要的意 義。 事實上,在牛頓的著作中,就有用力乘上位移來預測下一個位置的速度,而 Clairaut 也曾將力表達成全微分的形式,Lagrange 除了剛開始推導時使用了牛頓 的力概念之外,很顯然也參考了牛頓預測下一位置速度的方法(即使 Lagrange 認 為是由靜力學的虛速度原理延伸而來),並且沿用 Clairaut 將力寫成全微分形式 的方法,最終寫下了類似牛頓第二運動定律的微分方程式,即第(5-4)式。 Lagrange 工作的關鍵在於使用了不同的呈現方式,將動力學用微分方程式表 達成更一般的形式。他所寫下的 Lagrange 方程式,不僅僅只是解決任意受力的 問題,而是能在任意座標下來處理這些問題;另外,也可以配合力學能守恆,更 快速地解決那些受到可寫成全微分形式的力問題。 此外 Lagrange 也用同樣的方法得到最小作用原理、以及物體受限制的運動 情形,這些結果對後世處理非歐幾何、和廣義相對論尤為重要,不過這方面的發 展在此就不加以討論了。 37.

(45) Lagrange 得到這些動力學的基本原理「Lagrange 方程式」與「力學能守恆」 之後,他使用這些方程式去解決許多問題,包括振動問題、星球受單一或多個中 心力的運動情形、物體受約束的運動情形、剛體旋轉、以及流體的問題。 事實上,這些問題過去的科學家們基本上都做過,但 Lagrange 是用全新的 數學方法來處理這些問題,不同於牛頓使用的幾何學、也不同於 Euler 和 Bernoulli 使用的 F=ma,他使用的是 Lagrange 方程式和力學能守恆,以微分方程來呈現。 以下我們以星球受單一中心力的運動情形為例,來看看 Lagrange 如何使用 他的方程式和力學能守恆來處理動力學問題。. 38.

(46) 第三節 再次處理行星軌道問題 一、中心力問題的簡化 Lagrange 考慮一個可視為質點的星球,受到一個來自於固定中心的吸引力 R(r)。因為只有單一質點,並不需要將不同質量的物體相加,S(…)m 就可以只表 留(…)即可,因此第(5-14)式可寫為: T=. dx2 +dy2 +dz2. (5-26.1). 2. 同樣地,由於V = Π,根據(5-16)(5-17)式,可寫下: (5-27). V = ∫ dV = ∫ dΠ = ∫ Rdr. 處理中心力的問題,Lagrange 選用類似球座標的系統,距離r = √x 2 + y 2 + z 2 , 假設: x = rcosψcosφ,y = rcosψsinφ,z = rsinψ. (5-28). 在r, ψ, φ的坐標下,(5-26.1)式變為[2]: T=. dr2+(rdψ)2 +(rcosψdφ)2. (5-26.2). 2dt2. 根據 Lagrange 方程式,由(5-20)式,可以列出(5-29.1)到(5-29.3)式: d2 r dt2. −. r(dψ2 +cos2 ψdφ2 ) dt2. d(r2 dψ)+r2sinψcosψdφ2 dt2 d(r2cos2 ψdφ) dt2. (5-29.1). +R=0. (5-29.2). =0. (5-29.3). =0. 另外根據力學能守恆,可以寫下: dr2 +(rdψ)2 +(rcosψdφ)2 2dt2. + ∫ R dr = H. (5-30). 首先,(5-29.3)式可得到一守恆量 C,即 r2 cos2 ψdφ dt. = const. = C ⇒. 將(5-31)式代入(5-29.2)式,得到. 39. dφ dt. C. = r2 cos2 ψ. (5-31).

參考文獻

相關文件

基礎能力 思考能力 思考能力 思考能力 思考能力 個人及社交能力 個人及社交能力 個人及社交能力 個人及社交能力 溝通能力 明辨性思考 2 能力 自我管理能力 數學能力 3

閱讀能力的涵蓋面不斷變 化,傳統閱讀訓練不足以 面向新世代的要求,跨學 科協作能發展更全面的閱

好了既然 Z[x] 中的 ideal 不一定是 principle ideal 那麼我們就不能學 Proposition 7.2.11 的方法得到 Z[x] 中的 irreducible element 就是 prime element 了..

觀念學習一 速率公式的變化 對應能力指標. 6-n-08

2-1 化學實驗操作程序的認識 探究能力-問題解決 計劃與執行 2-2 化學實驗數據的解釋 探究能力-問題解決 分析與發現 2-3 化學實驗結果的推論與分析

• 4.1 學校尚需提升學與教 效能。學校仍需持續探討 不同的教學策略, 以助 教師促進課堂互動,及 提升學生的共通能力...

語文是思想感情的載體,而思想感情是語文的內容。中國

於 2016 年 12 月發布的《推動 STEM 教育-發揮創意潛能》報告,強調加強學生綜合和應用 不同科學、科技、工程和數學(STEM)