第五章 Lagrange─分析力學的誕生
第二節 Lagrange 寫下的動力學原理
Lagrange 在書中提及牛頓的貢獻：「力學成了一門新的科學，開啟了革命的 時代。」然後，他提出自己的看法：
這門科學是由一些基本上簡單的微分方程式所組成，但牛頓卻不斷地使 用簡化過的幾何方法……儘管可以很容易的將他們視為相關聯，並稱為 單 一的原理，但 仍應將一 系 列特殊 的 方法與 微分方法區 分出來。
(Lagrange, 1788/1997, p.171)
Lagrange 認為，牛頓的方法是簡化過的，不能用來取代微分方法。所以在分析力 學中，Lagrange 完全不使用幾何方法，這使得分析力學有一點非常特別，就是在 書中無法找到任何的幾何圖形，全書單純地使用微分方程，就是為了和牛頓的幾 何方法做出區別。
進入動力學之前，有必要先提一下 Lagrange 對微分的想法，他認為微分可 以分成兩種：一種是表示組成物體的質點在不同位置的變化，稱為微分，寫作「d」； 另一種是假設物體的位置有微小的位移時，質點可以移動的距離，稱為變分，寫 作「δ」。在推導的過程中，變分的使用方法幾乎和偏微分是完全相同的。
另外，要將組成物體所有質點的效果加總時，Lagrange 則是用「S」來取代 傳統的積分符號，或者也可以視為類似連加符號「Σ」。下文中，我們將盡最大可 能地沿用Lagrange 所使用的原始符號。
一、寫下動力學關係式
首先Lagrange 沿用牛頓加速力的概念，並將質點沿著 x,y,z 三個方向的加速 度寫作d2x
dt2、d2y
dt2、d2z
dt2，他們乘上質點的質量m就是所受的力，質點的「慣量(moment)」
定義為質點所受的力乘上受力作用下可以移動的極小位移(虛速度)，這和靜力學 的虛速度原理非常相似。於是 Lagrange 寫下物體作加速度運動時，受加速力的
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如果將(5-6.1)式到(5-6.3)式，dx 乘上δx、dy 乘上δy、dz 乘上δz，再全部相加，可 以得到(5-7.1)式；如果是dx, dy, dz個別平方的總和，則是(5-7.2)式[1]：
dxδx + dyδy + dzδz = Fdξδξ + G(dξδψ + dψδξ) + Hdψδψ
+I(dξδφ + dφδξ) + J(dψδφ + dφδψ) + Kdφδφ (5-7.1)
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其實Lagrange 直接由(5-9)式得到了(5-13)式。中間的過程，可以透過增加(5-8)式，並利用(5-10)到(5-12)式推導出來。
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(5-18.1) (5-18.1)式是一個很重要的方程式，可以導出 Lagrange 方程式和力學能守恆。
四、導出Lagrange 方程式
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(δT
δdξ) dξ + (δT
δdξ) dψ + (δT
δdξ) dφ − T + V = const. (5-23) 利用T 的定義，並參考(5-11.1)到(5-11.3)式，和(5-7.2)式比較，可得：
δT 式雖然在Lagrange 的著作中出現，但是在 Lagrange 之後約百年的時間才有人使 用這些名詞，Lagrange 只是使用了這些函數，發現他們在運算上有非常重要的意 義。
事實上，在牛頓的著作中，就有用力乘上位移來預測下一個位置的速度，而 Clairaut 也曾將力表達成全微分的形式，Lagrange 除了剛開始推導時使用了牛頓 的力概念之外，很顯然也參考了牛頓預測下一位置速度的方法(即使 Lagrange 認
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Lagrange 得到這些動力學的基本原理「Lagrange 方程式」與「力學能守恆」
之後，他使用這些方程式去解決許多問題，包括振動問題、星球受單一或多個中 心力的運動情形、物體受約束的運動情形、剛體旋轉、以及流體的問題。
事實上，這些問題過去的科學家們基本上都做過，但 Lagrange 是用全新的 數學方法來處理這些問題，不同於牛頓使用的幾何學、也不同於Euler 和 Bernoulli 使用的F=ma，他使用的是 Lagrange 方程式和力學能守恆，以微分方程來呈現。
以下我們以星球受單一中心力的運動情形為例，來看看 Lagrange 如何使用 他的方程式和力學能守恆來處理動力學問題。
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根據Lagrange 方程式，由(5-20)式，可以列出(5-29.1)到(5-29.3)式：d2r