第二章 文獻探討
第二節 物體頻譜反射率的量測與估計
經由第一節中所有色彩相關原理的整理與探討中可以發現，形成色彩觀察的 三要素為光源、物體頻譜反射率與觀測者色彩知覺，目前都各自有許多重要的研 究工作正在進行。而其中的物體頻譜反射率，更是可做為在不同光源下重現原始 色彩的重要依據，故本節將對物體頻譜反射率的量測與估計做進一步地了解。本 研究將藉由回顧這些方法，並試圖改善他們的缺點，開發出一套新的物體頻譜反 射率估計方法。
一、 物體頻譜反射率的量測
透過物體頻譜反射率量測儀，可以得知物體的頻譜反射率。有許多從事色彩 研究的實驗室，將其測量的數據公開，以便未來從事研究工作的人可延續他們的 成果。在本節中蒐集並整理過去文獻中有關於物體頻譜反射率量測的資料，依量 測種類分成四項，孟塞爾色票書(Munsell Books of Color，以下簡稱 Munsell 色票)、
馬克貝斯色票(GretagMacbeth ColorChecker® ，以下簡稱 Macbeth 色票)與馬克貝 斯 SG 色票(GretagMacbeth ColorChecker® SG，以下簡稱 SG 色票)與自然界物質。
(一) 孟塞爾色票書(Munsell 色票)
Munsell 色票被廣泛使用於設計領域中，其因為色票顏色眾多，涵蓋色相範 圍廣，時常成為量測目標的選擇。最早開始對其進行量測的是 Cohen[9]於 1964 年的研究，他選擇了 150 種 Munsell 色票分析量測其物體頻譜反射率；接著，
Maloney[10]於 1986 年仿效 Cohen 分析 462 種 Munsell 色票；1989 年 Parkkinen, Hallikainen , & Jaaskelainen[11]的研究當中，量測 Munsell 色票的頻譜反射率共 1257 種，涵蓋各種色相、彩度、明度的顏色，後續許多研究都使用此樣本。近 年來，芬蘭的 Eastern Finland 大學頻譜色彩研究團隊 (University of Eastern Finland, Spectral Color Research Group)也在網站上公開了數種頻譜量測的資料庫 [28]，包含 Munsell 色票中全光澤(Glossy)、半光澤(Matte)版本的量測資料，多達
數千筆，廣為此領域研究者所使用。
(二) 馬克貝斯色票(Macbeth 色票)
大田登於 1997 年，在〈基礎工程的色彩再現〉一書中[21]，公開了 Macbeth 色票頻譜量測的資料，之後美國重要的色彩研究實驗室 Munsell Color Science Lab[29]也將其列為常用參考資料。Macbeth 色票共有 24 色，包含六階段的灰色，
色票表面經過消光處理。它最大的特徵在於 24 種顏色中包含膚色、天空色、綠 草色等日常生活中常見的顏色，非常適合用於數位影像拍攝時的校正，也常被用 以作為物體頻譜反射率重建研究中的實驗訓練樣本(Training Data)與實驗測試樣 本(Testing Data)，如圖 2-11 所示。利用大田登公布的頻譜資料，可將其頻譜反射 率曲線繪製如圖 2-12。
圖 2- 11 Macbeth 色票
圖 2- 12 Macbeth 色票物體頻譜反射率圖形
(三) 馬克貝斯 SG 色票(SG 色票)
SG 色票共有 140 個顏色，其中涵蓋了 Macbeth 色票中的 24 色，其顏色的數 量更多，更適合使用於攝影機的色彩校正上，如圖 2-13 所示。但對於 SG 色票 的研究資料較少，僅有作為實驗測試樣本的使用。色彩研究網站 BabelColor® 中 提供了一組 SG 色票的物體頻譜反射率量測的數據[30]，利用公布的頻譜資料，
可將其頻譜反射率曲線繪製如圖 2-14。
圖 2- 13 SG 色票[30]
圖 2- 14 SG 色票物體頻譜反射率圖形
(四) 自然界的物質[4][31]
Westland & Ripamonti 在 2000 年的著作[31]中，提到他們量測了 404 條測量 各種物質的物體頻譜反射率，其量測頻譜資料包含樹葉、皮膚、花瓣等自然界物 質。此資料同時間公布於其個人網站上，利用公布的頻譜資料，可將其頻譜反射 率曲線繪製如圖 2-15。
圖 2- 15 404 條自然界物質的物體頻譜反射率
本研究預計使用四種常見的物體頻譜反射率分別作為模型開發的訓練樣本 與測試樣本，以驗證本模型開發的效果。
二、 物體頻譜反射率的估計
除了量測之外，更多關於物體頻譜反射率的研究在於研發實驗估計方法，試 圖找到一個模型能夠重建所有的頻譜反射率，並且希望能找出此模型與三刺激值 的關係，以方便使用。在眾多重建方法中，並沒有固定的分類方式，故本研究將 其整理成有最多相關研究的主成分分析法與本研究使用到的內插法，及簡單介紹 其他類型的物體頻譜反射率重建方法三部分，簡述其操作方式並歸納其優缺點。
(一) 主成分分析法（Principle component Analysis，PCA）[8-15]
PCA 是一種多變量統計(Multivariate Statistical)常用的方法，被廣泛運用於經 濟學、生物統計，語音辨識甚至是色彩學，在 2004 年 Berns 等人的研究中[8]，
就曾對 PCA 在色彩學領域的應用提出說明，包含光譜重建、物體頻譜反射率的 重建研究。
PCA 的核心在於降低維度(Dimensionality Reduction)的技術，以頻譜反射率 資料為例，運用 PCA 分析資料時，能使資料組原本龐大的資訊，以數個主要的 基底頻譜做為代表。如圖 2-16，即為 Macbeth 色票使用 PCA 方法求得的三個基 底函數。再將這些頻譜經由線性累加的方式，就能重建原始資料中的任一頻譜。
也就是說原始頻譜資料中包含了大量且具相互關聯的變異數(Variance)，在降低
維度的同時也保持了原始資料中的變異量。其特色能以少數成分表示多項變數的 資訊，所以能將數位影像中的資訊，透過 PCA 產生的基底函數，搭配轉換成精 確的物體頻譜反射率。
圖 2- 16 PCA 方法產生的基底函數
以下，簡單介紹典型的 PCA(Classical PCA)重建頻譜反射率的方法，推導由 三刺激值重建物體頻譜反射率的公式。首先，將三刺激值公式(2-2)改寫為矩陣形 式如公式(2-19)：
T=𝑨
𝑇R
(2-19)其中，R 為物體頻譜反射率、T 代表 X,Y,Z 三刺激值，A 表示光源分布與觀 測者配色函數的乘積，上標T表示轉置矩陣。
待估計的物體頻譜反射率 R 可以被表示為一個線性模型，透過權重加總 基底函數𝑉𝑗，j 為 1 至 k 的總和，如公式(2-20)
𝑹 ≈ 𝑽𝟎+ ∑𝑘𝑗=1𝑐𝑗𝑉𝑗 (2-20)
其中，R 代表物體頻譜反射率、𝑐𝑗是第 j 個基底函數的權重，亦即主成分 (Principle Components，PCs)，其與頻譜資料為最小平方擬合(Least-Square Best Fit)、
𝑽𝟎是所有頻譜資料的平均，而𝑉𝑗是第 j 個特徵向量(Eigenvector)。公式(2-20)可以
被改寫為矩陣形式如下：
𝑹 ≈ 𝑽𝟎+ 𝑉𝑐 (2-21)
c 是一個含有 k 個元素的行向量(Column)，k 是主成分的數量，而 V 是特徵 向量，所以 V=[v1,...,vk]。接著將公式(2-21)代入公式(2-19)，可表示成公式(2-22)
𝑻 = 𝑨𝑻𝑽𝟎+ 𝑨𝑻𝑉𝑐 (2-22)
其中 T 是給定的三刺激值，其物體頻譜反射率就是待估計的數值，而 𝑨𝑻𝑽𝟎與 𝑨𝑻𝑉都包含三刺激值的資訊，所以可以被表示成𝑻𝑽𝟎和𝑻𝑉，因此將公式 (2-22)改寫為公式(2-23)：
𝑻 = 𝑻𝑽𝟎 + 𝑻𝑉 (2-23)
藉由公式(2-23)可以發現，𝑇𝑽𝟎和𝑇𝑉為已知數，所以行向量 c 可以簡單的矩陣 運算技巧，輕易地將計算出來，如公式(2-24)：
𝒄＝𝑇𝑉−𝟏(𝑻 − 𝑇𝑽𝟎) (2-24)
求出行向量 c 之後，代回公式(2-21)，在特定光源條件下給定的三刺激值 T 之物體頻譜反射率可以被準確地產生出來。
回顧近年來使用 PCA 的研究。Fairman & Brill[12]於 2004 的研究中，使用了 超過一個以上的色彩系統，共 3534 筆物體頻譜反射率資料作為樣本，執行並討 論了典型 PCA 方法用於物體頻譜反射率的重建，並公開了反射率的前六個主成 分基底函數。Westland 在 2004 年出版的 Computational Colour Science using
MATLAB 一書中[4]，利用實際量測的自然界物質之頻譜反射率，一共 404 筆資
料為樣本，求出了前三個主成分資料。Ansari, Amirshahi, & Moradian[13]在 2006 年的研究中建議了新的調整方法來改善傳統的 PCA，首先將待測試的色彩樣本分類，如此一來，PCA 可以用特定的色彩樣本作為測試，提高精準度與減少計
在過去的研究中，有選擇線性三角網內插法(Linear Triangulated Interpolation) 作為重建體頻譜反射率的探討[16][17]，其在三維空間中即為線性四面體內插 (Linear Tetrahedrized Interpolation)。而在此方法中，其內插過程可以被分為兩個 步驟，第一是將散布式資料點的集合建構為 Voronoi 圖形後，連接鄰點使其成為
Delaunay 三角形(二維空間)、四面體(三維空間)或是多面體(在多維空間)，其內插 的基模就被包含在每一個三角形或四面體或多面體中。第二則是代入測試資料點 來求出內插結果。當在模型中加入新的資料點，原本的三角形或四面體會被細分 為數個子空間，利用子空間相對於原空間所構成的權重比例，加權結果可推算出 符合比例之內插值。
在內插重建色彩頻譜的方法中使用的是三維的例子，所有已知的資料點可被 分為很多不同的 Delaunay 四面體。假設散布資料點(𝒙𝐣,𝒚𝐣,𝒛𝐣,) 被 Delaunay 四面體 化後，每一個四面體皆可以經由內插得到任意內部資料點的數值。給予四個節點 𝑷1、𝑷2、𝑷3、𝑷4位於 (𝒙𝟏,𝒚𝟏,𝒛𝟏,), (𝒙𝟐,𝒚𝟐,𝒛𝟐,), (𝒙𝟑,𝒚𝟑,𝒛𝟑,), (𝒙𝟒,𝒚𝟒,𝒛𝟒,)四個向量有它 們各自的值 R，而待內插的資料點 P 落於四面體中的(x,y,z)座標，可以藉由線性 內插多項式被表示出來，如公式(2-25)：
𝑃 = 𝑎𝑷𝟏+ 𝑏𝑷𝟐+ 𝑷𝟑+ 𝑑𝑷𝟒 (2-25)
𝑷1、𝑷2、𝑷3、𝑷4 為已知，而係數 a,b,c,d 可以被簡單的藉由線性系統來計 算，如公式(2-26)：
𝑎𝒙𝟏+ 𝑏𝒙𝟐+ 𝑐𝒙𝟑+ 𝑑𝒙𝟒
=x
𝑎𝒚𝟏+ 𝑏𝒚𝟐+ 𝑐𝒚𝟑+ 𝑑𝒚𝟒=y
𝑎𝒛𝟏+ 𝑏𝒛𝟐+ 𝑐𝒛𝟑+ 𝑑𝒛𝟒=z
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1
(2-26)
求出係數後，資料點 P 對應的值 R 也表示如公式(2-27)：
𝑹𝒋= 𝑎𝑹𝒋𝑷𝟏 + 𝑏𝑹𝒋𝑷𝟐+ 𝑐𝑹𝒋𝑷𝟑+ 𝑑𝑹𝒋𝑷𝟒 (2-27) 其中權重 a,b,c,d 為 P 的重心座標在四面體𝑷1𝑷2𝑷3𝑷4中，a,b,c,d 係數可以藉 由矩陣運算得知，如公式(2-28)。
(
Park,[17]的研究中同樣使用此內插法為基礎，並針對此問題提出了 hybrid 方法，
選擇利用二維的線性內插法與調整非負轉換矩陣(Adaptive Non-negative Matrix Transformatin，NMT)試圖解決當使用三維內插法時，色彩落於凸包範圍外的問 題。但是其中 NMT 步驟使消耗的時間成本大幅地增加，顯然此方向仍值得投入 更多努力。
(三) 其他頻譜重建方法
除了主成分分析法、內插法之外，仍有許多頻譜重建的方法，如：迴歸分析 法、快速多頻譜估計法與基於同色異譜的多頻譜估計方法，在此做一簡單介紹。
1. 迴歸分析法(Regression Analysis)[18][19]
Harifi 等人[18]於 2008 年的研究中利用六個主成分的 PCA 方法並加入迴歸 分析的概念，將實際量測的 1269 筆頻譜資料分成兩組，作為訓練與測試樣本，
其效果比典型的 PCA 好。從多數樣本顏色中，使用迴歸分析法找出色彩的轉換 矩陣，同理也可從感應器的資訊利用迴歸分析法找出頻譜反射率的轉換矩陣。但 是迴歸分析法可提高自變數的次方，使自變數與應變數之間成為非線性關係，提 高其準確度，相對地計算時間也提高了。
Zhang & Dai 於 2006 年 的 研 究 [19] 利 用 支 援 向 量 迴 歸 (Support Vector Regression，SVR)重建量測資料 1269 筆，以不同樣本數作為訓練，並加入不同 程度雜訊(Noise)。其結果表現佳。但是 SVR 方法的關鍵在於核心(Kernel)的選擇，
大量數目的訓練樣本會使計算速度大幅度增加。
2. 快速多頻譜估計法(Fast Multi-spectral Estimation)[32]
此方法先以測量 Macbeth 色票中 RGB 三原色、塑膠材質及布料材質的頻譜 反射率為依據，計算出 RGB 三原色作為模擬頻譜反射率的基底，其模擬函數分 別為𝑟𝑅(𝜆)、𝑟𝐺(𝜆)、𝑟𝐵(𝜆)，如圖 2-18。利用𝑟𝑅(𝜆)、𝑟𝐺(𝜆)、𝑟𝐵(𝜆)進行加成方式，
可求得任意色的反射率模擬 R，並可模擬出介於無負數之間的反射率，符合一般 物體頻譜反射率的自然現象，且可不需使用大量的樣本做為基底的運算，經由簡 單的運算過程獲得物體頻譜反射率。
可求得任意色的反射率模擬 R，並可模擬出介於無負數之間的反射率，符合一般 物體頻譜反射率的自然現象，且可不需使用大量的樣本做為基底的運算，經由簡 單的運算過程獲得物體頻譜反射率。