自然鄰點內插物體頻譜反射率重建法

本研究將運用自然鄰點內插法[22]，從訓練樣本資料中，建構出 RGB 值與 物體頻譜反射率的關係，進而代入新的 RGB 值，能夠透過此函數內插出適當的 值，也就是所對應的物體頻譜反射率。因此自然鄰點內插方法為本研究的核心之 一，在本節中將先描述此方法的特性，說明選擇使用它的理由，接著推導其數學 演算規則，最後闡述本研究如何運用自然鄰點內插完成物體頻譜反射率的重建，

及在重建過程中遭遇的問題與可行的改善方式。

自然鄰點內插法是由 Robin Sibson 所發明的，此內插的輸入是一個一或多維 度的資料點，而其輸出是一個新的值或多維度資料對(N-tuple)。此方法的實際應 用可以分為兩個步驟：一是將輸入資料點的集合建構為 Voronoi 圖形，與第二章 中提到的三角形線性內插法步驟相同；二是代入測試資料點來求出內插結果，當 在模型中加入一個新的資料點時，就會重新改變 Voronoi 圖形中的多邊形(多面 體)，並且利用其鄰點的相對位置面積所構成的權重比例，加權結果可推算出符 合比例之內插值。此屬於局部內插的方法，其內插值只會被局部的點所決定。

本內插法可以應用於二維、三維甚至是多維空間資料的計算，當二維時使用 的是鄰點與多邊形面積的關係，在三維空間時則是多面體與體積的比例。圖 3-4 便是二維自然鄰點內插法 Voronoi 圖形，下面將以圖 3-4 為例來說明自然鄰點內 插法的幾何意義。

圖 3- 4 二維自然鄰點插值法[22]

其中，{ x1, x2..., x9}為散布式資料點的集合，虛線部分其經過三角剖分後 的 Delaunay 三角網，實線為 Voronoi 多邊形，連接相鄰的三角形外接圓圓心，再 連接凸包上每一條邊的垂直平分線，就形成 Voronoi 多邊形。x 為預計插入的點，

粗實線範圍便是屬於 x 的 Voronoi 多邊形，由畫分環繞 x 周圍鄰點(Neighbor Points){x4, x5, x7, x8, x9}的 Voronoi 多邊形後產生。粗實線範圍中的點線(Dot-line) 範圍即是 x 周圍鄰點的 Voronoi 多邊形被 x 的 Voronoi 多邊形畫分掉的範圍，其 面積將決定鄰點值對 x 值的影響力。x 的內插值由將 x 周圍每一個鄰點的值及其 權重的乘積加總後決定，而各鄰點的權重則是在 x 的 Voronoi 多邊形中，從周圍 鄰點畫分而來的區域面積佔 x 的 Voronoi 多邊形全部面積的比值，比值愈大，表 示該鄰點對 x 值的影響愈大。

在本研究中，將 RGB 與對應的物體頻譜反射率值作為輸入，所以屬於三維 空間的內插，同上面敘述之二維模型建構方式，首先將建構出 Voronoi 多面體，

每一多面體的公式如公式(3-1)

𝑻_𝑖 = {𝒙 ∈ ℝ³|𝑑(𝒙, 𝒙_𝐢) ≤ 𝑑(𝒙, 𝒙_𝒋)∀j = 1 … 𝑛}， (3- 1)

其中 d(a, b) 是 a 點與 b 點的歐基里德距離，如果 T_i與 T_j有共同的面或是邊 的連結，xi就是 xj的自然鄰點。每一個 xi 自然鄰點的數量至少為 N+1，其中 N 為維度，而且最多為 n-1，其中 n 是所有訓練樣本的數量。如使用 Macbeth 色票 其 24 組物體頻譜反射率與 RGB 值作為輸入，可建構出如圖 3-5 的 Voronoi 多面 體。

圖 3- 5 24 組 RGB 建構的三維 Voronoi 圖

圖中每一個黑色點為 RGB 座標值，不同灰階值之範圍表示每一點對應的 Voronoi 多面體。由圖 3-5 可以看出所有輸入資料的關係。

建構訓練樣本資料的 Voronoi 多面體之後，接著便可以將待測試的資料組輸 入模型，以公式(3-1)的形式表示，每一個資料點皆可形成新的 Voronoi 多面體，

如公式(3-2)

而其與舊的 Voronoi 多面體𝑻_𝒊的交集，可表示為公式(3-3)，

𝑻(𝒙)= {𝒛 ∈ ℝ³|𝑑(𝒛 , 𝒙) ≤ 𝑑(𝒙, 𝒙_𝒋)∀j = 1 … 𝑛}, (3-2)

𝑻_𝒊(𝒙)= T(x)∩ 𝑻_𝒊 (3-3)

𝑻_𝒊(𝒙)可表示新的 Voronoi 多面體𝑻(𝒙)與舊有 Voronoi 多面體 𝑻_𝒊的交集，意即 𝑻(𝒙)從鄰點多面體畫分而來的體積，在此將以 volume(T)來表示每一個 T 的體積。

實際上，每一組頻譜反射率可被表示為𝑹̂，包含𝒇_{𝒐 𝟏}

, 𝒇

, 𝒇

……𝒇

, 𝒇

𝑅̂ =_𝑜 (

𝑓₁ 𝑓₂

⋮⋮ 𝑓₆₀ 𝑓61)

,

(3-4)

每一個新的內插點 x 的值可被定義如下，公式(3-5)

𝒇̂_𝒏(𝒙)=∑ 𝒉_{𝒊 𝒊}(𝐱)𝒛_𝒊 (3-5)

其中

𝒉_𝒊(𝒙) =^{𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒[𝑻}𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒[𝑻(𝒙)]^𝒊(𝒙)]

0≤ 𝒉

hi(x)涵蓋了 0 到 1 的範圍，數值為 1 時，表示 x 等於某個鄰點 x

簡單來說，即一個顏色的 RGB 色頻數值，經過本模型的內插計算，可得到 一組共 61 個數值的物體頻譜反射率，以下以圖 3-6 做一示意模擬：

圖 3- 6 本研究建構模型內插計算示意圖

圖 3-6 中模擬一個顏色 x (RGB 數值)要通過本模型求出物體頻譜反射率的情 況。x₁, x2, x3為建構模型之訓練樣本中的色彩資料，資料點為(255, 0, 0)、(210, 150, 110)與(254, 200, 100)，每一組數字以逗點隔開依序表示 R、G、B 三個數值，即 一組數值組成一個顏色，而每一組資料點對應由 61 個取樣點組成的物體頻譜反

2(210,150,110)

x

3 (254,200,100) x (254,125,125)

?

圖 3- 7 以 Delaunay 三角網表示 24 組 RGB 資料

圖中清楚地顯示了無法估計的測試樣本資料點，皆落在訓練樣本形成的 Delaunay 三角網凸包範圍之外，而造成內插方法無法計算。因此，為了解決此問 題，又避免使用可能會使誤差程度大幅增加的外插計算，本研究預期以增加參數 理想的頻譜反射率族 (Ideal Spectral Reflectance Family, ISRF )的方式，來擴大其 色域範圍，進而改善自然鄰點內插物體頻譜反射率重建法的精確度。在下一節中，

將會針對 ISRF 進行說明。