本章為使用Mori-Tanaka微觀力學模型與有限元素軟體COMSOL Multiphysics模擬 壓電壓磁橢球顆粒複合材料在特殊極化方向下之磁電耦合行為，並求得等效材料性質比 較之。此處選用之壓電材料為具6mm對稱性之鈦酸鋇(BaTiO3,BTO)，壓磁材料為具6mm 對稱性之鈷鐵氧(CoFe2O4,CFO)。
3-1 模擬案例
本文所使用之橢球狀顆粒，在 x1軸與 x2軸上之橢球半徑(a1及 a2)均固定為 1 單位；
僅 x3軸上之橢球長軸半徑 a3為變數(如圖 3-1)。本章中，使用 Mori-Tanaka 模式探討不 同長軸半徑 a3對磁電電壓係數的影響，再藉由有限元素法驗證其數據可靠性。
圖 3-1 橢球半徑示意圖
本章將材料的極化方向分為[001]與[100]兩種：[001]即材料極化方向沿著全域座標 系x3軸之方向；[100]即材料極化方向沿著全域座標系x1軸之方向。在 BTO 置入 CFO 與 CFO 置入 BTO 兩種配置下，變更材料之極化方向，共可得到八種不同的配置方式，
如表 3-1。
表 3-1 BTO 與 CFO 之複合材料配置方式
案例 內含物 極化方向 母材 極化方向
Ⅰ
BTO
[001]
CFO
[001]
Ⅱ [100] [100]
Ⅲ [100] [001]
Ⅳ [001] [100]
Ⅴ
CFO
[001]
BTO
[001]
Ⅵ [100] [100]
Ⅶ [100] [001]
Ⅷ [001] [100]
極化方向[001]即為原始材料性質，使用 2-3 節介紹之尤拉角與張量轉換，便可求 得極化方向[100]之材料性質。極化方向[100]為局域座標之 x3'軸與全域座標 x1軸同方向，
代入尤拉角之 α = 0°，β = −90°或 270°，γ = 0°，可得到旋轉矩陣 Q：
Q = �0 0 1 0 1 0 -1 0 0
� .
再經由張量運算，便能得到極化方向[100]於全域座標下之材料性質，表 3-2 即為 BTO 與 CFO 分別在極化方向[001]與[100]於全域座標下之材料性質。
本章所模擬之壓電壓磁複合材料，為使研究內容完整，除橢球狀顆粒內含物外，
尚包含球狀顆粒與纖維狀內含物。使用有限元素軟體 COMSOL Multiphysics 建立模型 時，為避免內含物與內含物相互接觸，不同形狀之內含物各有一體積比之上限。球狀 顆粒與纖維狀模型之最大體積比為 0.7；橢球顆粒之長軸半徑為 1.5 時，最大體積比為 0.6；橢球顆粒之長軸半徑為 2 時，最大體積比為 0.5；橢球顆粒之長軸半徑為 3 時，
最大體積比為 0.2。
表 3-2 BTO 與 CFO 於[001]與[100]之材料性質 (a) BTO[001]之材料性質 L
1.66E+11 7.7E+10 7.8E+10 0 0 0 0 0 -4.4 0 0 0
7.7E+10 1.66E+11 7.8E+10 0 0 0 0 0 -4.4 0 0 0
7.8E+10 7.8E+10 1.62E+11 0 0 0 0 0 18.6 0 0 0
0 0 0 4.3E+10 0 0 0 11.6 0 0 0 0
0 0 0 0 4.3E+10 0 11.6 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 4.45E+10 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 11.6 0 1.12E-08 0 0 0 0 0
0 0 0 11.6 0 0 0 1.12E-08 0 0 0 0
-4.4 -4.4 18.6 0 0 0 0 0 1.26E-08 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.00E-06 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.00E-06 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.00E-05
(b) BTO[100]之材料性質 L
1.62E+11 7.8E+10 7.8E+10 0 0 0 18.6 0 0 0 0 0
7.8E+10 1.66E+11 7.7E+10 0 0 0 -4.4 0 0 0 0 0
7.8E+10 7.7E+10 1.66E+11 0 0 0 -4.4 0 0 0 0 0
0 0 0 4.45E+10 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 4.3E+10 0 0 0 11.6 0 0 0
0 0 0 0 0 4.3E+10 0 11.6 0 0 0 0
18.6 -4.4 -4.4 0 0 0 1.26E-08 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 11.6 0 1.12E-08 0 0 0 0
0 0 0 0 11.6 0 0 0 1.12E-08 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.00E-05 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.00E-06 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.00E-06
(c) CFO[001]之材料性質 L
2.86E+11 1.73E+11 1.705E+11 0 0 0 0 0 0 0 0 580.3
1.73E+11 2.86E+11 1.705E+11 0 0 0 0 0 0 0 0 580.3
1.705E+11 1.705E+11 2.695E+11 0 0 0 0 0 0 0 0 699.7
0 0 0 4.53E+10 0 0 0 0 0 0 550 0
0 0 0 0 4.53E+10 0 0 0 0 550 0 0
0 0 0 0 0 5.65E+10 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 8.00E-11 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 8.00E-11 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 9.30E-11 0 0 0
0 0 0 0 550 0 0 0 0 5.90E-04 0 0
0 0 0 550 0 0 0 0 0 0 5.90E-04 0
580.3 580.3 699.7 0 0 0 0 0 0 0 0 1.57E-04
(d) CFO[100]之材料性質 L
2.695E+11 1.705E+11 1.705E+11 0 0 0 0 0 0 699.7 0 0
1.705E+11 2.86E+11 1.73E+11 0 0 0 0 0 0 580.3 0 0
1.705E+11 1.73E+11 2.86E+11 0 0 0 0 0 0 580.3 0 0
0 0 0 5.65E+10 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 4.53E+10 0 0 0 0 0 0 550
0 0 0 0 0 4.53E+10 0 0 0 0 550 0
0 0 0 0 0 0 9.30E-11 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 8.00E-11 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 8.00E-11 0 0 0
699.7 580.3 580.3 0 0 0 0 0 0 1.57E-04 0 0
0 0 0 0 0 550 0 0 0 0 5.90E-04 0
0 0 0 0 550 0 0 0 0 0 0 5.90E-04
3-2 BaTiO
3置入 CoFe2O
43-2-1 BaTiO3[001]置入 CoFe2O4[001]
本節所討論之配置情形：母材為 CFO，內含物為 BTO，極化方向皆為[001]，材 料性質如表 3-2(a)與(c)。在 Mori-Tanaka 模式中，由於 a1及 a2均固定為 1 單位。因此 當 a3 = 1 時，內含物即為球狀顆粒；當 a3為一極大值(本文中設為 10000)時，將內含物 視作一無限延伸之纖維。
Mori-Tanaka 模式可以模擬母材由不含內含物到完全被內含物取代之情形，即內 含物體積比由 0 至 1。當體積比為 0，等效材料性質即為母材 CFO 之材料性質；當體 積比為 1，等效材料性質即為內含物 BTO 之材料性質。藉由此特點，研究者便可驗證 Mori-Tanaka 模式之程式正確與否。
觀察圖 3-2 至 3-4，可發現複合材料之內含物體積比對於部分等效材料性質有顯著 影響，為線性遞增或遞減關係，如等效彈性係數C*、等效壓磁係數 q*、等效磁導率 μ*。對 於等效壓電係數e*、等效介電常數 κ*與等效磁電係數λ*，在內含物為顆粒狀時，變動 體積比的影響不大；在內含物為纖維狀時，體積比的影響才變得顯著。比較有限元素 法與 Mori-Tanaka 模式求得之等效材料性質，不論顆粒狀內含物或纖維狀內含物，兩 者數據皆十分吻合，僅在顆粒狀內含物之耦合項 λ11
* 與 λ33
* 有較大誤差，且誤差會隨內
含物體積比變大而增加。
由圖 3-5、3-6 及表 3-3 觀察磁電電壓係數之趨勢，𝛼E,11∗ 之最大值-1.265V/cmOe 出 現在複合材料之 a3 = 1 時，而在不同 a3的情況下，最大值皆出現在體積比 0.33 左右；
𝛼E33∗ 之最大值 1.149 V/cmOe 則出現在複合材料 a3 = 10000 時，當 a3變小，最大值出現 的體積比則隨之遞增。含橢球狀顆粒內含物之複合材料，其等效磁電電壓係數皆介於 球狀與纖維狀兩者之間。有限元素法取得之數據中，纖維狀複合材料與 Mori-Tanaka 模式所得數據最為吻合；球狀複合材料的誤差，在體積百分比接近建模極限時相對增 加，這一點與不同長軸半徑之橢球狀複合材料的數據一致。
(a) C11*
Volume Fraction of Inclusion
FEM
Volume Fraction of Inclusion
FEM
Volume Fraction of Inclusion
FEM
Volume Fraction of Inclusion C* 33 (Pa)
Volume Fraction of Inclusion
FEM
(a) e15* (b) q15*
Volume Fraction of Inclusion
FEM
Volume Fraction of Inclusion
FEM
Volume Fraction of Inclusion
FEM
Volume Fraction of Inclusion
FEM
Volume Fraction of Inclusion
FEM
Volume Fraction of Inclusion
FEM
(a) μ11* (b) μ33*
Volume Fraction of Inclusion
FEM
Volume Fraction of Inclusion
FEM
Volume Fraction of Inclusion
FEM
Volume Fraction of Inclusion
FEM
Volume Fraction of Inclusion
FEM
Volume Fraction of Inclusion
FEM
(a)
(b)
圖 3-5 a3與等效磁電電壓係數αE*之關係
表 3-3 不同 a3對應之磁電電壓係數αE*最大值(Mori-Tanaka 模式)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2
BTO[001]/CFO[001]
α* E,11 (V/cmOe)
Volume Fraction of Inclusion
FEM MT a3 = 1 a3 = 1.5 a3 = 2 a3 = 3 a3 = 10000
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
α* E,33 (V/cmOe)
BTO[001]/CFO[001]
Volume Fraction of Inclusion
FEM MT a3 = 1 a3 = 1.5 a3 = 2 a3 = 3 a3 = 10000
長軸半徑 a3 1 1.5 2 3 10000 𝛼E,11∗
(V/cmOe)
-1.265 -0.7703 -0.5294 -0.3045 -0.03065
體積百分比 0.32 0.32 0.33 0.33 0.34
長軸半徑 a3 1 1.5 2 3 10000
𝛼E,33∗ (V/cmOe)
-0.4294 -0.2038 -0.03345 0.2253 1.149
體積百分比 0.33 0.32 0.47 0.2 0.06
圖 3-6 不同 a3對應之磁電電壓係數|αE*|最大值(Mori-Tanaka 模式)
1 1.5 2 3 10000
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
a3
|α* E| (V/cmOe)
BTO[001]/CFO[001]
α*E,33
α*E,11
(f = 0.33) (f = 0.32)
(f = 0.33) (f = 0.32)
(f = 0.33)
(f = 0.32)
(f = 0.47)
(f = 0.2)
(f = 0.34) (f = 0.06)
3-2-2 BaTiO3[100]置入 CoFe2O4[100]
本節所討論之配置情形：母材為 CFO，內含物為 BTO，極化方向皆為[100]，材 料性質須藉由尤拉角轉換，如表 3-2(b)與(d)。
內含物長軸半徑為 1 時，即為球狀顆粒內含物。由於內含物為球狀，極化方向[100]
便可視為將極化方向[001]之材料旋轉90°平放。因此本節 BTO[100]/CFO[100]中球狀內 含物之數據，可與 3-2-1 節 BTO[001]/CFO[001]之案例相互比較，以驗證兩者之準確 性。
觀察圖 3-7 至 3-9，可發現於 Mori-Tanaka 模式下，改變內含物形狀對於大多數等 效材料性質並不造成顯著影響，除少數等效材料性質之分量，在顆粒狀內含物與纖維 狀內含物間會有明顯差異，如 e35* 、κ33* 與 λ33* 。比較有限元素法與 Mori-Tanaka 模式求 得之等效材料性質，不論顆粒狀內含物或纖維狀內含物，兩者數據皆十分吻合，僅在 顆粒狀內含物之耦合項 λ11* 與 λ33* 有較大誤差，且誤差會隨內含物體積比變大而增加。
由圖 3-10、3-11 及表 3-4 觀察磁電電壓係數之趨勢，𝛼E,11∗ 之最大值-0.583 V/cmOe 出現在複合材料擁有橢球狀顆粒內含物時(a3 = 3)，而在不同 a3的情況下，最大值皆出 現在體積比 0.34 左右；𝛼E33∗ 之最大值-5.821 V/cmOe 則出現在複合材料擁有纖維狀內含 物時(即 a3 = 10000)，當 a3變小，最大值出現的體積比則隨之遞增。對照 Mori-Tanaka 模式與有限元素法取得之數據，𝛼E,33∗ 之數據較𝛼E,11∗ 來得吻合。
(a) C11*
Volume Fraction of Inclusion
FEM
Volume Fraction of Inclusion
FEM
Volume Fraction of Inclusion
FEM
Volume Fraction of Inclusion
FEM
Volume Fraction of Inclusion
FEM
(a) e11* (b) q11*
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[100]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[100]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[100]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[100]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[100]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[100]
(a) μ11* (b) μ33*
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[100]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[100]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[100]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[100]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[100]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[100]
(a)
(b)
圖 3-10 a3與等效磁電電壓係數αE*之關係
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1
α* E,11 (V/cmOe)
BTO[100]/CFO[100]
Volume Fraction of Inclusion
FEM a3 = 1 a3 = 1.5 a3 = 2 a3 = 3 a3 = 10000
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
α* E,33 (V/cmOe)
BTO[100]/CFO[100]
Volume Fraction of Inclusion
FEM a3 = 1 a3 = 1.5 a3 = 2 a3 = 3 a3 = 10000
表 3-4 不同 a3對應之磁電電壓係數αE*最大值(Mori-Tanaka 模式)
長軸半徑 a3 1 1.5 2 3 10000
𝛼E∗,11
(V/cmOe)
-0.4294 -0.5141 -0.5529 -0.583 -0.5788
體積百分比 0.33 0.34 0.34 0.35 0.35
長軸半徑 a3 1 1.5 2 3 10000
𝛼E∗,33
(V/cmOe)
-1.265 -1.83 -2.296 -3.003 -5.821
體積百分比 0.32 0.29 0.28 0.24 0.08
圖 3-11 不同 a3對應之磁電電壓係數|αE*|最大值(Mori-Tanaka 模式)
1 1.5 2 3 10000
0 1 2 3 4 5 6 7
BTO[100]/CFO[100]
a3
|α* E| (V/cmOe)
(f = 0.35)
α*
E,33
α*
E,11 (f = 0.33) (f = 0.34) (f = 0.34) (f = 0.35)
(f = 0.32)
(f = 0.29)
(f = 0.28)
(f = 0.24)
(f = 0.08)
3-2-3 BaTiO3[100]置入 CoFe2O4[001]
本節所討論之配置情形：母材為極化方向[001]之 CFO，內含物為極化方向[100]
之 BTO，所以 BTO 之材料性質需要用尤拉角將局域座標 x2''軸順時針旋轉 90°(或逆時 針旋轉270°)，材料性質如表 3-2(b)與(c)。
由於 BTO 之極化方向改變，使得等效材料性質中耦合項之等效磁電係數 λ11* 與 λ33*
趨近於零，在交叉項 λ13* 與 λ31* 兩處才有值。 λ13* 之最大值為4.095×10-10 Ns/VC， λ31* 之 最大值為1.516×10-10 Ns/VC。因此磁電電壓係數𝛼E,11∗ 與𝛼E,33∗ 將會趨近於零，意即磁電 耦合效應幾乎不存在。因此本節案例中，僅列出 Mori-Tanaka 模式之數據。
觀察圖 3-12 至 3-14，可發現複合材料之內含物體積比對於部分等效材料性質有顯 著影響，為線性遞增或遞減關係，如等效彈性係數C*、等效壓磁係數 q*、等效磁導率 μ*。對於等效壓電係數e*與等效介電常數 κ*，在內含物為顆粒狀時，變動體積比的影 響不大；在內含物為纖維狀時，體積比的影響才變得顯著。改變內含物形狀對於大多 數等效材料性質並不造成顯著影響，除少數等效材料性質之分量，在顆粒狀內含物與 纖維狀內含物間會有明顯差異，如 e35* 與κ33* 。對於等效磁電係數λ*，a3越大， λ31* 之極 值也越大；而 λ13
* 帶有顆粒狀或纖維狀內含物時，分為兩種不同趨勢，顆粒狀內含物之
a3越大， λ13* 之極值越小。
由圖 3-15 觀察磁電電壓係數之趨勢，𝛼E,11∗ 之最大值-5.849×10-17 V/cmOe 出現在複 合材料之 a3 = 1 時，而在不同 a3的情況下，最大值皆出現在體積比 0.33 左右；𝛼E33∗ 之 最大值8.975×10-17 V/cmOe 則出現在複合材料 a3 = 10000 時，當 a3變小，最大值出現 的體積比則隨之遞增。含橢球狀顆粒內含物之複合材料，其等效磁電電壓係數皆介於 球狀與纖維狀兩者之間。
(a) C11*
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[001]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[001]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[001]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[001]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[001]
(a) e11* (b) q15*
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[001]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[001]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[001]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[001]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[001]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[001]
(a) μ11* (b) μ33*
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[001]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[001]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[001]
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[001]
Volume Fraction of Inclusion λ* 13 (Ns/VC)
Volume Fraction of Inclusion
BTO[100]/CFO[001]
(a)
(b)
圖 3-15 a3與等效磁電電壓係數αE*之關係
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1x 10-17
α* E,11 (V/cmOe)
BTO[100]/CFO[001]
Volume Fraction of Inclusion
a3 = 1 a3 = 1.5 a3 = 2 a3 = 3 a3 = 10000
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-4 -2 0 2 4 6 8 10x 10-17
α* E,33 (V/cmOe)
BTO[100]/CFO[001]
Volume Fraction of Inclusion
a3 = 1 a3 = 1.5 a3 = 2 a3 = 3 a3 = 10000
3-2-4 BaTiO3[001]置入 CoFe2O4[100]
本節所討論之配置情形：母材為極化方向[100]之 CFO，內含物為極化方向[001]
之 BTO，所以 CFO 之材料性質需要用尤拉角將局域座標 x2''軸順時針旋轉 90°(或逆時 針旋轉270°)，材料性質如表 3-2(a)與(d)。
由於 CFO 之極化方向改變，使得等效材料性質中耦合項之等效磁電係數 λ11* 與 λ33*
趨近於零，在交叉項 λ13* 與 λ31* 兩處才有值。 λ13* 之最大值為-2.178×10-9 Ns/VC， λ33* 之 最大值為8.256×10-10 Ns/VC。因此磁電電壓係數𝛼E,11∗ 與𝛼E,33∗ 將會趨近於零，意即磁電 耦合效應幾乎不存在。因此本節案例中，僅列出 Mori-Tanaka 模式之數據。
觀察圖 3-16 至 3-18，可發現複合材料之內含物體積比對於部分等效材料性質有顯 著影響，為線性遞增或遞減關係，如等效彈性係數C*、等效壓磁係數 q*、等效磁導率 μ*。對於等效壓電係數e*與等效介電常數 κ*，在內含物為顆粒狀時，變動體積比的影 響不大；在內含物為纖維狀時，體積比的影響才變得顯著。改變內含物形狀對於大多 數等效材料性質並不造成顯著影響，除少數等效材料性質之分量，在顆粒狀內含物與 纖維狀內含物間會有明顯差異，如 e31* 、 e33* 與κ33* 。觀察等效磁電係數λ*， λ13* 與 λ31* 皆 在帶有纖維狀內含物時產生極值。
由圖 3-19 觀察磁電電壓係數之趨勢，𝛼E,11∗ 之最大值8.125×10-17 V/cmOe 出現在複 合材料之 a3 = 10000 時，而在不同 a3的情況下，最大值皆出現在體積比 0.2 至 0.3 之間。
𝛼E33∗ 之最大值-1.82×10-16 V/cmOe 則出現在複合材料 a3 = 1.5 時，當複合材料含顆粒狀 內含物，𝛼E33∗ 之最大值出現在體積比 0.2 至 0.3 之間；當複合材料含纖維狀內含物，𝛼E33∗
之最大值出現在體積比為 0.11 時。
(a) C11*
Volume Fraction of Inclusion
BTO[001]/CFO[100]
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