磁電耦合效應之最佳化

本章討論之主題，是藉由 Mori-Tanaka 模式去模擬不同母材極化方向，與不同橢 球顆粒內含物之旋轉或極化方向之組合，以求得擁有最佳磁電電壓係數的配置方式。

本章以尤拉角與張量轉換來表示材料在改變極化或旋轉方向後，在全域座標下之材料 性質，並選擇具 6mm 對稱性之壓電材料 BTO 與壓磁材料 CFO 進行探討。第 4-1 節探

討內容為橢球狀顆粒內含物之不同長軸方向(以α、β、γ表示)，與不同母材極化方向(以

αm、β_m、γ_m表示)之最佳化；第 4-2 節探討內容為橢球狀顆粒內含物之不同極化方向(以 αi、β_i、γ_i表示)，與不同母材極化方向(以αm、β_m、γ_m表示)之最佳化。

4-1 橢球內含物旋轉方向與母材極化方向之最佳化

本節討論 Mori-Tanaka 模式下，橢球內含物長軸方向與母材極化方向之變化，以 求得擁有最佳磁電電壓係數之配置方式。研究係使用尤拉角來表示材料在不同極化方 向下，於全域座標的性質，並以 x3'-x₂^''-x₃^''' 系統旋轉座標軸。本節中，內含物極化方向 P(如圖 4-1)與橢球之長軸方向一致，對應之旋轉角以α、β、γ表示。母材極化方向 M，

對應之旋轉角以αm、β_m、γ_m表示。由於使用之材料 BTO 與 CFO 皆具 6mm 對稱性，

對x₃^'軸作任意角度的旋轉都不改變其材料性質，因此α與αm可以固定在 0°，且能減少 計算量。本節所討論之橢球內含物，其長軸半徑皆為 2。

圖 4-1 橢球內含物之長軸旋轉方向示意圖

4-1-1 BaTiO₃置入 CoFe₂O₄之最佳磁電耦合效應

本節之內含物體積百分比，採用 3-2-1 節中，母材與內含物皆為[001]極化方向時，

擁有最佳磁電電壓係數𝛼_E,11^∗ 之內含物體積百分比 0.33。

藉由圖 4-2，當固定母材 CFO 之極化方向為(0°,0°,0°)，僅變動橢球內含物之長軸 方向時，可觀察到γ的變動對磁電電壓係數幾乎不造成影響，𝛼_E,11^∗ 與𝛼_E,33^∗ 的主要變動來 自於β的改變。相對於𝛼E∗,11，𝛼E∗,33之數值明顯較小，磁電電壓係數之最大值出現在 BTO (0°,39°,0°)/CFO(0°,0°,0°)處，𝛼E11∗ 之值為-0.6289 V/cmOe。由於材料之對稱性，𝛼E,11∗

與𝛼E,22∗ 兩者極值一致，僅極化方向不同，因此本章只討論𝛼_E,11^∗ 和𝛼_E,33^∗ 之最佳化。

由於母材極化方向與橢球顆粒之長軸方向同時為變數，因此擁有最佳磁電電壓係 數之兩者相對位置關係必固定，即𝛼E∗,11之最大值與𝛼E∗,33之最大值理應相等。觀察圖 4-3，

𝛼_E,11^∗ 與𝛼_E,33^∗ 之最大值皆為-0.7428V/cmOe，與理論相符。依據 Mori-Tanaka 模式，擁有 𝛼E∗,11最大值之配置為 BTO(0°,83°,167°)/CFO(0°,65°,117°)，而𝛼E33∗ 最大值之配置為 BTO(0°,15°,147°)/CFO(0°,66°,147°)。 α_E,11^* 與 αE,33* 之最大值及出現位置，記錄於下表 4-1 與 4-2。

表 4-1 最佳 αE,11* 之尤拉角

BTO ( α,β,γ ) / CFO ( αm,β_m,γ_m )

α_E,11^* (V/cmOe)

BTO CFO

α β γ αm β_m γ_m

α 83^° 167° αm 65° 117° -0.7428

備註 α與αm為任意角 表 4-2 最佳 αE,33* 之尤拉角

BTO ( α,β,γ ) / CFO ( αm,β_m,γ_m )

αE,33* (V/cmOe)

BTO CFO

α β γ αm β_m γ_m

α 15^° 147° α_m 66° 147° -0.7428

備註 α與αm為任意角

(a)

(b)

圖 4-2 α_E^*與β、γ之關係(母材極化方向不改變)

0

50

100 150

200

0 50 100 150 200

-1 -0.5 0 0.5 1

γ (deg)

BTO/CFO

β (deg) α* E,11 (V/cmOe)

Normal = -0.5294 V/cmOe Max.= -0.6289 V/cmOe ( α, β , γ ) = (0^o, 39^o, 0^o) ( α_m, β_m, γ_m ) = (0^o, 0^o, 0^o) f = 0.33

0

50

100 150

200

0 50 100 150 200 -0.05 0 0.05

γ (deg)

BTO/CFO

β (deg) α* E,33 (V/cmOe)

Normal = -0.0303 V/cmOe Max.= -0.04161 V/cmOe ( α, β , γ ) = (0^o, 45^o, 0^o) ( α_m, β_m, γ_m ) = (0^o, 0^o, 0^o) f = 0.33

(a)

(b)

圖 4-3 α_E^*與β、γ之關係

0

50

100 150

200

0 50 100 150 200

-1 -0.5 0 0.5 1

γ (deg)

BTO/CFO

β (deg) α* E,11 (V/cmOe)

Normal = -0.5294 V/cmOe Max. = -0.7428 V/cmOe ( α, β , γ ) = (0^o, 83^o, 167^o) ( α_m, β_m, γ_m ) = (0^o, 65^o, 117^o) f = 0.33

0

50

100 150

200

0 50 100 150 200

-1 -0.5 0 0.5 1

γ (deg)

BTO/CFO

β (deg) α* E,33 (V/cmOe)

Normal = -0.0303 V/cmOe Max. = -0.7428 V/cmOe ( α, β , γ ) = (0^o, 15^o, 147^o) ( α_m, β_m, γ_m ) = (0^o, 66^o, 147^o) f = 0.33

4-1-2 CoFe₂O₄置入 BaTiO₃之最佳磁電耦合效應

本節之內含物體積百分比，採用第三章中，母材與內含物皆為[001]極化方向時，

擁有最佳磁電電壓係數之內含物體積百分比 0.96。

觀察圖 4-4，當固定母材 BTO 之極化方向為(0°,0°,0°)，僅變動橢球內含物之長軸 方向時，磁電電壓係數𝛼_E,11^∗ 與𝛼_E,33^∗ 之最大值皆出現在 CFO (0°,0°,0°)/BTO(0°,0°,0°)處，

即橢球內含物不變動角度時。比較圖 4-4(a)與(b)，任意變動γ時，𝛼E∗,33之值完全不受影 響，此一情形與 BTO/CFO 相符。𝛼_E,11^∗ 在β=0°及 180°時，任意變動γ不造成影響，在β=90

°時，γ的變動對𝛼E∗,11之影響最為明顯。最佳磁電電壓係數為𝛼E∗,33於 CFO (0°,0°,0°)/

BTO(0°,0°,0°)之值 0.971 V/cmOe。

觀察圖 4-5，𝛼E∗,11與𝛼E∗,33之最大值皆為 0.971V/cmOe。依據 Mori-Tanaka 模式，擁 有𝛼_E,11^∗ 最大值之配置為 CFO(0°,90°,0°)/BTO(0°,90°,0°)，而𝛼_E,33^∗ 最大值之配置為 CFO (0°,0°,0°)/BTO(0°,0°,0°)。 α_E,11^* 與 αE,33* 之最大值及出現位置，記錄於下表 4-3 與 4-4。

表 4-3 最佳 αE,11* 之尤拉角

CFO ( α,β,γ ) / BTO ( αm,β_m,γ_m )

α_E,11^* (V/cmOe)

CFO BTO

α β γ αm β_m γ_m

α 90^° 0° αm 90^° 0° 0.971

α 90^° 180^° αm 90^° 0° -0.971

備註 α與αm為任意角 表 4-4 最佳 αE,33* 之尤拉角

CFO ( α,β,γ ) / BTO ( αm,β_m,γ_m )

αE,33* (V/cmOe)

CFO BTO

α β γ α_m β_m γ_m

α 0^° γ αm 0° 0° 0.971

α 180^° γ αm 0° 0° -0.971

備註 γ、α與αm為任意角

(a)

(b)

圖 4-4 α_E^*與β、γ之關係(母材極化方向不改變)

0

50

100 150

200

0 50 100 150 200

-1 -0.5 0 0.5 1

γ (deg)

CFO/BTO

β (deg) α* E,11 (V/cmOe)

Normal = -0.7057 V/cmOe Max.= -0.7057 V/cmOe ( α, β , γ ) = (0^o, 0^o, 0^o) ( α_m, β_m, γ_m ) = (0^o, 0^o, 0^o) f = 0.96

0

50

100 150

200

0 50 100 150 200

-1 -0.5 0 0.5 1

γ (deg)

CFO/BTO

β (deg) α* E,33 (V/cmOe)

Normal = 0.971 V/cmOe Max. = 0.971 V/cmOe ( α, β ,γ ) = (0^o, 0^o, 0^o) ( α_m, β_m ,γ_m ) = (0^o, 0^o, 0^o) f = 0.96

(a)

(b)

圖 4-5 α_E^*與β、γ之關係

0

50

100 150

200

0 50 100 150 200

-1 -0.5 0 0.5 1

γ (deg)

CFO/BTO

β (deg) α* E,11 (V/cmOe)

Normal = -0.7057 V/cmOe Max. = 0.971 V/cmOe ( α, β , γ ) = (0^o, 90^o, 0^o) ( α_m, β_m, γ_m ) = (0^o, 90^o, 0^o) f = 0.96

0

50

100 150

200

0 50 100 150 200

-1 -0.5 0 0.5 1

γ (deg)

CFO/BTO

β (deg) α* E,33 (V/cmOe)

Normal = 0.971 V/cmOe Max. = 0.971 V/cmOe ( α, β , γ ) = (0^o, 0^o, 0^o) ( α_m, β_m, γ_m ) = (0^o, 0^o, 0^o) f = 0.96

4-2 橢球內含物極化方向與母材極化方向之最佳化

本節討論 Mori-Tanaka 模式下，固定橢球內含物之長軸方向，更動內含物與母材 兩者之極化方向，以求得擁有最佳磁電電壓係數之配置方式。本節中，固定內含物之 長軸方向與x₃ 軸平行(如圖 4-6)，僅改變內含物之極化方向 P，其對應之旋轉角以 αi、β_i、γ_i表示。母材極化方向 M，其對應之旋轉角以αm、β_m、γ_m表示。由於使用之 材料 BTO 與 CFO 皆具 6mm 對稱性，對x₃^'軸作任意角度的旋轉都不改變其材料性質，

因此αi與αm可以固定在 0°，且能減少計算量。本節所討論之橢球內含物，其長軸半徑 皆為 2。

圖 4-6 橢球內含物之極化旋轉方向示意圖

4-2-1 BaTiO₃置入 CoFe₂O₄之最佳磁電耦合效應

本節之內含物體積百分比，採用第三章中，母材(CFO)與內含物(BTO)皆為[001]

極化方向時，擁有最佳磁電電壓係數之內含物體積百分比 0.33。

觀察圖 4-7，當橢球內含物之長軸方向不變，且將母材 CFO 之極化方向固定在 (0°,0°,0°)，僅變動橢球內含物之極化方向時，γ_i的變動對磁電電壓係數幾乎不造成影 響，𝛼E∗,11與𝛼E∗,33的主要變動來自於β_i的改變。β_i=90°時，𝛼E∗,11與𝛼E∗,33在任意γ_i下均趨近 於零。相對於𝛼_E,11^∗ ，𝛼_E,33^∗ 之數值明顯較小，磁電電壓係數最大值出現在 BTO (0°,0°,0

°)/CFO(0°,0°,0°)處之𝛼E∗,11，其值為-0.5294 V/cmOe。

依據 Mori-Tanaka 模式，𝛼E∗,11之最大值為-1.3651 V/cmOe，擁有𝛼E∗,11最大值之配置 為 BTO(0°,90°,90°)/CFO(0°,90°,90°)，𝛼_E,33^∗ 之最大值為-2.262V/cmOe，擁有𝛼_E,33^∗ 最大 值之配置為 BTO(0°,90°,0°)/CFO(0°,90°,0°)。圖 4-8 為固定母材(CFO)極化方向時，變 動內含物(BTO)極化方向之結果。可觀察到𝛼E∗,11與𝛼E∗,33兩者之趨勢： α_E,11^* 與 αE,33* 之β_i越 接近 90°時，磁電電壓係數越高；但 α_E,11^* 之極值出現於γ_i=90°時，而 α_E,11^* 之極值出現 於γ_i=0°及 180°時。 α_E,11^* 與 αE,33* 之最大值及出現位置，記錄於下表 4-5 與 4-6。

表 4-5 最佳 α_E,11^* 之尤拉角

BTO ( αi,β_i,γ_i ) / CFO ( αm,β_m,γ_m )

αE,11* (V/cmOe)

BTO CFO

αi β_i γ_i αm β_m γ_m

αi 90^° 90^° αm 90^° 90^° -1.365

備註 αi與αm為任意角 表 4-6 最佳 αE,33* 之尤拉角

BTO ( αi,β_i,γ_i ) / CFO ( αm,β_m,γ_m )

αE,33* (V/cmOe)

BTO CFO

α_i β_i γ_i α_m β_m γ_m

αi 90^° 0° αm 90^° 0° -2.262

αi 90^° 180^° αm 90^° 0° 2.262

備註 α_i與α_m為任意角

(a)

(b)

圖 4-7 α_E^*與β_i、γ_i之關係(母材極化方向不改變)

0

50

100 150

200

0 50 100 150 200

-1 -0.5 0 0.5 1

γi (deg)

BTO/CFO

βi (deg) α* E,11 (V/cmOe)

Normal = -0.5294 V/cmOe Max. = -0.5294 V/cmOe ( α_i,β_i,γ_i ) = (0^o, 0^o, 0^o) ( α_m, β_m, γ_m ) = (0^o, 0^o, 0^o) f = 0.33

0

50

100 150

200

0 50 100 150 200 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04

γi (deg)

BTO/CFO

βi (deg) α* E,33 (V/cmOe)

Normal = -0.0303 V/cmOe Max. = -0.0303 V/cmOe ( α_i,β_i,γ_i ) = (0^o, 0^o, 0^o) ( α_m, β_m, γ_m ) = (0^o, 0^o, 0^o) f = 0.33

(a)

(b)

圖 4-8 α_E^*與β_i、γ_i之關係

0

50

100 150

200

0 50 100 150 200 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

γi (deg)

BTO/CFO

βi (deg) α* E,11 (V/cmOe)

Normal = -0.5294 V/cmOe Max. = -1.365 V/cmOe ( α_i,β_i,γ_i) = (0^o, 90^o, 90^o) ( α_m, β_m, γ_m ) = (0^o, 90^o, 90^o) f = 0.33

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200

-3 -2 -1 0 1 2 3

γi (deg)

BTO/CFO

βi (deg) α* E,33 (V/cmOe)

Normal = -0.0303 V/cmOe Max. = -2.262 V/cmOe ( α_i,β_i,γ_i) = (0^o, 90^o, 0^o) ( α_m, β_m, γ_m ) = (0^o, 90^o, 0^o) f = 0.33

4-2-2 CoFe₂O₄置入 BaTiO₃之最佳磁電耦合效應

本節之內含物體積百分比，採用第三章中，母材(BTO)與內含物(CFO)皆為[001]

極化方向時，擁有最佳磁電電壓係數之內含物體積百分比 0.96。

觀察圖 4-9，當橢球內含物之長軸方向不變，且將母材 BTO 之極化方向固定在 (0°,0°,0°)，僅變動橢球內含物之極化方向時，γ_i的變動對𝛼_E,33^∗ 幾乎不造成影響，其主 要變動來自於β_i的改變。β_i=90°時，𝛼E∗,11與𝛼E∗,33在任意γ_i下均趨近於零。磁電電壓係數 最大值出現在 CFO (0°,0°,0°)/BTO(0°,0°,0°)處之𝛼_E,33^∗ ，其值為 0.971 V/cmOe。

依據 Mori-Tanaka 模式，𝛼_E,11^∗ 之最大值為-1.836 V/cmOe，擁有𝛼_E,11^∗ 最大值之配置 為 CFO(0°,90°,90°)/BTO(0°,90°,90°)，𝛼E∗,33之最大值為-2.876V/cmOe，擁有𝛼E∗,33最大 值之配置為 CFO(0°,90°,0°)/BTO(0°,90°,0°)。圖 4-10 為固定母材(CFO)極化方向時，

變動內含物(BTO)極化方向之結果。可觀察到𝛼_E,11^∗ 與𝛼_E,33^∗ 兩者之趨勢： α_E,11^* 與 αE,33* 之β_i 越接近 90°時，磁電電壓係數越高；但 α_E,11^* 之極值出現於γ_i=90°時，而 α_E,11^* 之極值出 現於γ_i=0°及 180°時。 α_E,11^* 與 αE,33* 之最大值及出現位置，記錄於下表 4-5 與 4-6。

表 4-7 最佳 α_E,11^* 之尤拉角

CFO ( αi,β_i,γ_i ) / BTO ( αm,β_m,γ_m )

αE,11* (V/cmOe)

CFO BTO

αi β_i γ_i αm β_m γ_m

αi 90^° 90^° αm 90^° 90^° -1.836

備註 αi與αm為任意角 表 4-8 最佳 αE,33* 之尤拉角

CFO ( αi,β_i,γ_i ) / BTO ( αm,β_m,γ_m )

αE,33* (V/cmOe)

CFO BTO

α_i β_i γ_i α_m β_m γ_m

αi 90^° 0° αm 90^° 0° -2.876

αi 90^° 180^° αm 90^° 0° 2.876

備註 α_i與α_m為任意角

(a)

(b)

圖 4-9 α_E^*與β_i、γ_i之關係(母材極化方向不改變)

0

50

100 150

200

0 50 100 150 200

-1 -0.5 0 0.5 1

γi (deg)

CFO/BTO

βi (deg) α* E,11 (V/cmOe)

Normal = -0.7057 V/cmOe Max. = -0.7057 V/cmOe ( α_i,β_i,γ_i ) = (0^o, 0^o, 0^o) ( α_m, β_m, γ_m ) = (0^o, 0^o, 0^o) f = 0.96

0

50

100 150

200

0 50 100 150 200

-1 -0.5 0 0.5 1

γi (deg)

CFO/BTO

βi (deg) α* E,33 (V/cmOe)

Normal = 0.971 V/cmOe Max. = 0.971 V/cmOe ( α_i,β_i,γ_i ) = (0^o, 0^o, 0^o) ( α_m, β_m, γ_m ) = (0^o, 0^o, 0^o) f = 0.96

(a)

(b)

圖 4-10 α_E^*與β_i、γ_i之關係

0

50

100 150

200

0 50 100 150 200

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

γi (deg)

CFO/BTO

βi (deg) α* E,11 (V/cmOe)

Normal = -0.7057 V/cmOe Max. = -1.836 V/cmOe ( α_i,β_i,γ_i ) = (0^o, 90^o, 90^o) ( α_m, β_m, γ_m ) = (0^o, 90^o, 90^o) f = 0.96

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200

-3 -2 -1 0 1 2 3

γi (deg)

CFO/BTO

βi (deg) α* E,33 (V/cmOe)

Normal = 0.971 V/cmOe Max. = -2.876 V/cmOe ( α_i,β_i,γ_i ) = (0^o, 90^o, 0^o) ( α_m, β_m, γ_m ) = (0^o, 90^o, 0^o) f = 0.96

4-3 結果與討論

本章係藉由 Mori-Tanaka 模式來模擬內含物與母材在各種極化方向下之等效材料 性質，以找出最佳磁電電壓係數及其極化方向，並區分橢球狀內含物轉動與否，將兩 種情況分開討稐，整理於表 4-9 與表 4-10。

BTO/CFO 的配置中，改變橢球長軸方向與母材極化方向至 BTO(α, 83°, 167°)/

CFO(αm, 65°, 117°)，可使𝛼E11∗ 由-0.5294 V/cmOe 提升至-0.7428 V/cmOe，提升 1.40 倍；

在 BTO(α, 15°, 147°)/CFO(αm,66°, 147°)，𝛼E33∗ 由-0.0303V/cmOe 提升至-0.7428 V/cmOe，

提升 24.51 倍。倘若固定橢球內含物之長軸方向，僅改變內含物與母材之極化方向，

可使得最佳磁電電壓係數再次獲得提升：在 BTO(αi, 90°, 90°)/CFO(αm, 90°, 90°)，最 佳之𝛼E11∗ 提升至-1.3651 V/cmOe，提升 2.58 倍；在 BTO(αi, 90°, 0°)/CFO(αm, 90°, 0°)，

最佳之𝛼E33∗ 提升至-2.262 V/cmOe，提升 74.65 倍。由於材料對稱性，α、αi與αm為任意 角度，計算時皆固定在 0°。

CFO/BTO 的配置中，改變橢球長軸方向與母材極化方向至 CFO(α, 90°, γ)/BTO (αm, 90°, 0°)，可使𝛼E11∗ 由-0.7057 V/cmOe 提升至 0.971V/cmOe，提升 1.38 倍；而最佳 之𝛼E33∗ 仍然維持 0.971 V/cmOe。倘若固定橢球內含物之長軸方向，僅改變內含物與母 材之極化方向：在 CFO(αi, 90°, 90°)/BTO(αm, 90°, 90°)，最佳之𝛼E11∗ 提升至-1.836 V/cmOe，提升 2.60 倍；在 CFO(αi, 90°, 0°)/BTO(αm, 90°, 0°)，最佳之𝛼E33∗ 提升至-2.876 V/cmOe，提升 2.96 倍。由於材料對稱性，α、γ、αi與αm為任意角度，計算時皆固定在 0°。

橢球內含物之長軸方向與極化方向一致時，改變橢球長軸方向便可以視作直接轉 動橢球內含物。由於擁有最佳磁電電壓係數之配置固定，因此當橢球方向與母材極化 方向同時改變，𝛼E11∗ 與𝛼E33∗ 兩者之最大值必定相符。在此一情形下，BTO/CFO 最佳之 磁電電壓係數為-0.7428 V/cmOe，CFO/BTO 最佳之磁電電壓係數為 0.971 V/cmOe。

在 BTO/CFO 與 CFO/BTO 兩種配置下，固定橢球長軸方向，僅改變內含物與母材 極化方向之情況，可視作三者皆為獨立變數，此方式能夠進一步大幅度地提升磁電電 壓係數，且最佳之磁電電壓係數均出現在𝛼E33∗ 。

表 4-9 BTO/CFO 磁電電壓係數α_E^*(V/cmOe)最佳化之比較(f = 0.33、a³=2)

BTO[001]/CFO[001]

改變橢球長軸方向 與母材極化方向

改變內含物極化方向 與母材極化方向 𝛼E11∗ 最大值

(V/cmOe)

-0.5294

-0.7428 (提升 1.40 倍)

-1.3651 (提升 2.58 倍) 𝛼E33∗ 最大值

(V/cmOe)

-0.0303

-0.7428 (提升 24.51 倍)

-2.262 (提升 74.65 倍)

表 4-10 CFO/BTO 磁電電壓係數αE*(V/cmOe)最佳化之比較(f = 0.96、a³=2)

CFO[001]/BTO[001]

改變橢球長軸方向 與母材極化方向

改變內含物極化方向 與母材極化方向 𝛼E11∗ 最大值

(V/cmOe)

-0.7057

0.971 (提升 1.38 倍)

-1.836 (提升 2.60 倍) 𝛼E33∗ 最大值

(V/cmOe)

0.971

0.971 (無提升)

-2.876 (提升 2.96 倍)

在文檔中 壓電壓磁橢球顆粒複合材料磁電耦合效應之最佳化 (頁 105-121)