理論架構

本章節介紹壓電壓磁複合材料之理論，藉由微觀力學模型及有限元素法來求得複 合材料之等效材料性質，並探討複合材料之磁電耦合效應。2-1 節介紹壓電壓磁複合 材料之材料組成律與統御方程式、等效材料性質之定義以及材料性質；2-2 節介紹複 合材料之微觀力學模型；2-3 節介紹尤拉角與張量轉換；2-4 節介紹內含非完美交界面 之複合材料，並以雙層法求得其等效材料性質；2-5 節介紹使用有限元素法模擬複合 材料之邊界設定與建模流程。

2-1 材料組成律與等效材料性質

2-1-1 材料組成律與統御方程式

壓電與壓磁材料受外力作用時，除了產生變形之外，還會產生電場或磁場。這來 自於壓電與壓磁材料擁有機械場與電場或磁場的耦合特性。

壓電材料組成律如下：

σij= Cijklεkl+ elij(−El),

D_i = eiklε_kl− κil(−El), (2.1) 其中σij為應力(Stress)、D_i為電位移(Electric displacement)；εkl為應變(Strain)、E_l為電場 (Electric field)；C_ijkl為彈性係數(Elastic coefficient)、e_ikl為壓電係數(Piezoelectric coefficient)、κil為介電常數(Dielectric permittivity)。

壓磁材料組成律如下：

σij= Cijklεkl+ q_lij(−Hl), B_i= q_iklε

kl− μ_il(−Hl), (2.2)

其中B_i為磁通量密度(Magnetic flux density)、H_l為磁場(Magnetic field)、q_ikl為壓磁係數 (Piezomagnetic coefficient)、μ_il為磁導率(Magnetic permeability)。

考慮壓電與壓磁複合材料時，若其機械場、電場與磁場皆為線性，則複合材料之 組成律可由單相材料組成律合併如下：

σij= Cijklεkl+ elij(−El) + q_lij(−𝐻_𝑙), D_i = eiklε_kl− κil(−El) − λli(−𝐻_𝑙), B_i= q_iklε

kl− λil(−El) − μ_il(−𝐻_𝑙). (2.3) 其中 λil即為壓電壓磁複合材料中，耦合電場與磁場之磁電係數(Magnetoelectric coefficient)，藉由檢核此係數之值，便能比較不同配置的複合材料之磁電耦合效應。

而單相材料沒有磁電的耦合，即表示其𝜆_𝑖𝑙 = 0。

為了能方便描述壓電壓磁複合材料的行為，原本的應力與應變以下皆改以廣義形 式來表示(即廣義應力ΣiJ與廣義應變Z_Mn)，材料性質則以張量形式(L_iJMn)來表示，其中 小寫符號的下標為 1 至 3、大寫符號的下標為 1 至 5，廣義應力與廣義應變表示為：

ΣiJ = � 𝜎𝑖𝑗,

D_i, B_i,

J=1,2,3, J=4 , J=5 ,

Z_Mn= �

ε_mn=(𝑢𝑚,𝑛+ 𝑢𝑚,𝑛)/2 , -E_n=φ_,n ,

-Hn=ψ_,n ,

M=1,2,3, M=4 , M=5 ,

(2.4)

材料性質：

L_iJMn =

⎩⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎧ Cijmn, J≤ 3, M ≤ 3, e_ijn, J≤ 3, M = 4, q_ijn, J≤ 3, M = 5, e_imn, J = 4, M ≤ 3,

-κ_in, J= 4, M = 4, -λ_in, J= 4, M = 5, q_imn, J= 5, M ≤ 3, -λin, J= 5, M = 4,

-μ_in, J= 5, M = 5.

(2.5)

材料性質L_iJMn可藉由 Voigt Notation 下標轉換，表示為一12×12矩陣形式(Huang and Kuo, 1997)，轉換關係如下：

11→1, 22→2, 33→3, 23→4, 13→5, 12→6,

41→7, 42→8, 43→9, 51→10, 52→11, 53→12. (2.6)

將(2.3)式改以廣義的應力應變表示：

2-1-2 複合材料等效材料性質

等效材料性質L^*(Effective modulus)是連接複合材料之平均廣義應力與平均廣義 應變的物理量，其定義如下：

〈Σ〉 = L^*〈Z〉, (2.12)

其中〈Σ〉為平均廣義應力、〈Z〉為平均廣義應變，而〈•〉=_V¹∫ •dV_v 代表物理量的體積平均，

V 則是整個複合材料的最小體積元素(Representative Volume Element, RVE)，由於本文 中使用的 RVE 為單位立方晶格，即V=1。等效材料性質可表示為：

L^* = �

C^* e^*t q^*t e^* −κ^* −λ^*t q^* −λ^* −μ^*

� , (2.13)

對於帶有 N 個內含物的複合材料，每一內含物的個別平均廣義應變與複合材料的 整體平均廣義應變之關係為：

〈Zr〉 = Ar〈Z〉 (2.14)

其中〈Zr〉為第 r 個內含物(第 r 相)之平均廣義應變、〈Z〉為整體平均廣義應變。而Ar即為 連結此兩者之廣義應變集中因子(Strain concentration factor)，其值可由不同的微觀力學 模型求得。

A_r同時必須滿足平均應變定理(Qu and Cherkaoui, 2006)：

,

N

0 r

r

∑

r

=

= Z

Z f (2.15)

f_r為某一內含物(r≧1)或是母材(r = 0)所佔的體積百分比(Volume fraction)。

將(2.14)式代入(2.15)式，得到：

∑

=

= N

0 r

r rA

f I, (2.16)

其中 I 為一個12×12的單位矩陣，N 則是代表內含物的個數。

將(2.12)式與(2.14)式代入平均應力定理(Qu and Cherkaoui, 2006)：

N N N

r r r r r r r

r 0 r 0 r 0

r ,

f f f

= = =

 

=

∑

=

∑

= 

∑



Σ Σ L Z L A Z (2.17)

與(2.12)式相較，便可得知中括號內即為等效材料性質L^*，再與(2.16)式歸納整理後，

得到 N 相的複合材料之等效性質為：

N N

*

r r 0 r r 0 r

r 0 r 1

( - ) .

f r f

= =

=

∑

= +

∑

L L A L L L A (2.18)

另外，比較磁電耦合效應時，我們使用 αE* (V/cmOe)磁電電壓係數(Magneto- electric voltage coefficient)來做為其依據，磁電電壓係數之物理意義為：「外加單位磁 場(Oe)於單位厚度(cm)的材料上時，所產生之電位差(V)之值」。在等效性質中，等 效的磁電電壓係數是由等效磁電係數λij*與等效介電常數κ_ij^*之比值而得來：

ij E,ij

ij

α λ κ

∗

∗

= ∗ (V/cmOe). (2.19)

2-1-3 材料選擇

本研究使用之壓電材料為 BaTiO₃ (BTO)；使用之壓磁材料為CoFe2O₄ (CFO)。

CoFe₂O₄和BaTiO₃皆屬於陶瓷材料，為六角晶系(hexagonal)，擁有 6mm 之晶體結構，

BTO 與 CFO 的材料性質如表 2-1 所列。材料性質之晶體結構的對稱性如圖 2-1 所示：

左上方為之彈性矩陣 C；對於壓電材料而言，左下方和右上方分別為壓電矩陣e 及其

轉置矩陣e^t，右下方為介電常數矩陣κ；對於壓磁材料而言，左下方和右上方分別代表

壓磁矩陣 q 及其轉置矩陣 q^t，而右下方為磁導率矩陣μ。

圖 2-1 3m、4mm與 6mm材料晶體對稱性之矩陣形式(應力控制)^*

* "IEEE Standard on Piezoelectricity," ANSI/IEEE Std 176-1987, 1987.

表 2-1 材料性質

名稱 BTO^† CFO^‡

(對稱性) (6mm) (6mm)

C₁₁ (GPa) 166 286

C12 (GPa) 77 173

C₁₃ (GPa) 78 170.5

C33 (GPa) 162 269.5

C₄₄ (GPa) 43 45.3

C14 (GPa) 0 0

C₅₆ (GPa) 0 0

κ11 �nC²⁄ mN ²� 11.2 0.08 κ33 �nC²⁄ mN ²� 12.6 0.093

μ₁₁ �μNs²⁄ � C² 5 590

μ₃₃ �μNs²⁄ � C² 10 157

e₃₁ (C m⁄ ) ² -4.4 0

e₃₃ (C m⁄ ) ² 18.6 0

e₁₅ (C m⁄ ) ² 11.6 0

e₂₁ (C m⁄ ) ² 0 0

q₃₁ (N Am⁄ ) 0 580.3

q₃₃ (N Am⁄ ) 0 699.7

q₁₅ (N Am⁄ ) 0 550

† http://www.efunda.com. Piezo Material Data.

‡ E. Pan, "Exact solution for simply supported and multilayered magneto-electro-elastic plates," Journal of Applied Mechanics-Transactions of the Asme, vol. 68, pp. 608-618, Jul 2001.

2-2 微觀力學模型

在求得複合材料的等效材料性質時，關鍵在於前一小節所提到之應變集中因子A_r。

現今求得應變集中因子時，較常使用的力學模型有：Dilute 模式、Mori-Tanaka 模式(Mori and Tanaka, 1973)、自洽法(Self-consistent method) (Hill, 1965)與雙內含物

(Double-inclustion model) (Nemat-Nasser and Hori, 1999)等等。本研究使用 Mori-Tanaka 模式來求得等效材料性質，是由於 Mori-Tanaka 模式考慮了複合材料中母材與內含物 間的交互作用，可以模擬母材中由不含內含物的情況至完全充滿內含物的情況，其適 用的範圍比較廣泛。而 Mori-Tanaka 模式中，同時使用到等效夾雜理論、Eshelby 張量 以及 Dilute 模式，因此將先行介紹等效夾雜理論與 Eshelby 張量，最後進一步推導至 Dilute 模式與 Mori-Tanaka 模式。

2-2-1 等效夾雜理論

(a) (b) 圖 2-2 等效夾雜理論示意圖(Qu and Cherkaoui, 2006)

圖 2-2a 為一母材 D (材料性質為L₀)，其內部帶有一內含物Ω (材料性質為L1)，形 成非均質狀態，且母材與內含物之廣義特徵應變皆為 0。圖 2-2b 為一母材 D (材料性 質為L₀)，其內部帶有一內含物Ω (材料性質為L0)，為均質狀態，且假設內含物Ω外加 了一廣義特徵應變 Z^*。廣義特徵應變 Z^*除了表示彈性應變以外，同時也可以用來表

示非彈性應變：如溫度變化、相轉換及塑性應變等等。

非均質狀態(圖 2-2a)與均質狀態(2-2b)有相同之邊界條件：

Σn|s = Σ⁰n, (2.20)

由於內含物或是廣義特徵應變 Z^*存在，使得廣義總應力變成Σ⁰+ Σ^pt、廣義總應 變則變成Z⁰ + Z^pt。其中Σ⁰與Z⁰來自於外加的邊界條件，而Σ^pt與Z^pt則是由於內含物存 在所造成的廣義擾動(perturbation)應力與應變。

由於遵守廣義虎克定律，Ω內的總廣義應力與總廣義應變之關係為：

Σ = Σ⁰ + Σ^pt= L1�Z⁰+ Z^pt �, (圖 2-2a) (2.21) Σ = Σ⁰ + Σ^pt= L0�Z⁰+ Z^pt− Z^*�, (圖 2-2b) (2.22) 而依據等效夾雜理論，調整廣義特徵應變 Z^*，使得均質狀態與非均質狀態中Ω內部的 廣義應力相等時，即可得到：

L₁�Z⁰+ Z^pt � = L0�Z⁰+ Z^pt− Z^*�. (2.23)

2-2-2 廣義 Eshelby 張量

廣義 Eshelby 張量之目的即為連接內含物所造成之擾動應變ε_ij^pt與特徵應變ε_ij^∗之間 的關係(Eshelby, 1957)：

= _{ijkl kl}∗

ij S ε

ε^pt (2.24)

Eshelby 張量S_ijkl為四階張量，與母材的材料性質及內含物的形狀相關。Eshelby 張量在 發展初期僅處理應力應變場與等向性問題，之後可處理不同的物理場之 Eshelby 張量 的研究陸續被提出，本研究使用的 Eshelby 張量為 Li 與 Dunn (1998)由數值積分所求得 的含有橢圓形內含物之廣義 Eshelby 張量：

Z_ij^pt =S_ijklZ_kl^∗, (2.25)

其中：

[ ]

為了進行數值運算，利用高斯積分法(Gauss quadrature method)來求得廣義 Eshelby 張量：

其中：

z₁^pq=�1 − �ξ₃ ^p�²cosθ^q/a1 , z₂^pq=�1 − �ξ₃ ^p�²sinθ^q/a2, z₃^pq = ξ₃^p/a3 ,

W ^pq=W_ξ^pW_θ^q.

上標 p 跟 q 表示高斯積分點(Abscissas)。對ξ 3 積分時，使用高斯積分點 ξ 3

p 及權重W_ξ^p；

對θ 積分時，則使用高斯積分點 θ^q及權重W_θ^q；U 跟 V 表示高斯積分點的數量，參考

以往文獻將 U 取為 16、V 取為 64 (Li, 2000)。

2-2-3 Dilute 模式

在非均質狀態中，內含物會在自己周圍造成擾動，若是內含物的體積比夠小，且 彼此間距離夠遠，內含物與內含物間便幾乎不會交互影響。Dilute 模式便是排除了非 均質狀態中內含物間的交互影響，且假設內含物零星散布在母材中，所以只考慮母材 與內含物間的擾動情形來計算複合材料的等效性質。因此 Dilute 模式適用於內含物的 體積百分比相對較小時。

由於不考慮內含物間的交互影響，內含物附近母材之廣義應力，即為外加邊界條 件之廣義應力。

圖 2-4 Dilute 模式示意圖(Qu and Cherkaoui, 2006)

在施加邊界條件 Σn|s = Σ⁰n下，由等效夾雜理論得到：

L₁�Z⁰+ Z^pt � = L0�Z⁰ + Z^pt− Z^*�, (2.28) 由 Eshelby 張量得到廣義擾動應變Z^pt與廣義特徵應變Z^*之關係：

Z^pt＝SZ^* (2.29)

將(2.29)式帶入(2.28)式：

L₁�Z⁰+ SZ^* � = L0�Z⁰ + SZ^* − Z^*�, (2.30) (2.30)式移項整理後，可得到廣義特徵應變Z^*：

Z^* = −�S + (L1− L0)^-1L₀�^-1Z⁰, (2.31) 內含物之總應變為：

= +

=Ζ⁰ Ζ^pt

Ζ

[ (

1 0

) ]

^{1 0}

1

0 L L Ζ

SL

I+ ⁻ − ⁻ , (2.32)

由平均應變定理〈Z〉 = Z⁰，且內含物平均應變Z = 〈Zr〉，並與(2.14)式〈Zr〉=Ar〈Z〉相較後 可以得知，Dilute 模式下之應變集中因子即為：

A^dilute=�I+SL0

-1�L1-L₀��^-1 . (2.33) 其中I為單位矩陣。

2-2-4 Mori-Tanaka 模式

圖 2-5 Mori-Tanaka 模式示意圖(Qu and Cherkaoui, 2006)

Mori-Tanaka 模式相較於 Dilute 模式，考慮了每一內含物間彼此相互作用的影響，

因此在內含物體積百分比較大時，Mori-Tanaka 模式可以更準確求得複合材料的等效

與(2.14)式相較後，可得到 Mori-Tanaka 模式下之應變集中因子：

A_r^MT = Ardilute� f₀I+∑ f^N_{r=1 r}A_r^dilute �⁻¹,

(2.40) 與(2.18)式相較後，可得到 N 相複合材料在 Mori-Tanaka 模式下之等效材料性質：

L^*=L₀+ ∑ f^Nr=1 _r(Lr− L0)A_r^MT.

(2.41)

2-3 尤拉角與張量轉換

當描述材料極化方向的局域座標系(Local coordinate systems)與整體結構之全域座 標系(Global coordinate systems)不一致時，便需要藉由張量轉換將材料性質由極化方向 之局域座標系統轉換為全域座標系統，如圖 2-6 所示。圖中局域座標之 x3'方向即為極 化方向 P，而 x1-x₂-x₃則是代表整體複合材料之全域座標系。

圖 2-6 極化方向與全域座標示意圖

尤拉角是將空間中原本描述極化方向 P 的局域座標系，按照 α、β、γ 三個角度依序順 時針旋轉回到描述整體座標的全域座標系。本研究使用 x3'-x₂^''-x₃^''' 系統來旋轉座標軸，

最初極化方向 P 之局域座標系x₁^'-x₂^'-x₃^' 對 x3' 軸順時針旋轉 α ，得到新座標系 x1''-x₂^''-x₃^''如 圖 2-7a；接著新座標系 x1''-x₂^''-x₃ ^''對 x2'' 軸順時針旋轉 β ，得到新座標系 x1'''-x₂^'''-x₃ ^'''如圖 2-7b；

最後對新座標系 x1'''-x₂^'''-x₃^'''的 x3'''軸順時針旋轉 γ ，即可得到全域座標系 x¹-x₂-x₃如圖 2-7c。

圖 2-7 尤拉角示意圖

每次對於座標軸的旋轉皆可得到一旋轉矩陣，因此從局域坐標系轉換為全域坐標 系依序可得到三個不同的轉換矩陣：

Q_3'(α) = �cos𝛼 sin𝛼 0 -sin𝛼 cos𝛼 0

0 0 1

� , (2.42)

Q_2''(β) = �cosβ 0 -sinβ

0 1 0

sinβ 0 cosβ� , (2.43)

Q_3'"(γ) = �

cosγ sinγ 0 -sinγ cosγ 0

0 0 1

� , (2.44)

將(2.42)式、(2.43)式與(2.44)式中的三個旋轉矩陣合併，可得到：

Q(α,β,γ) = Q_3'"(γ)Q_2''(β)Q_3'(α) (2.45)

= � cosγ cosβ cos𝛼 - sinγ sin𝛼 cosγ cosβ sin𝛼 + sinγ cos𝛼 - cosγ sinβ - sinγ cosβ cos𝛼 - cosγ sin𝛼 - sinγ cosβ sin𝛼 + cosγ cos𝛼 sinγ sinβ

sinβ cos𝛼 sinβ sin𝛼 cosβ � .

(2.45)式即為尤拉角之旋轉矩陣。局域座標系下的材料性質經由尤拉角張量轉換後，

便可以得到全域座標系下的材料性質。而本文轉換座標使用之尤拉角為逆時針旋轉(α、

β、γ 皆為正)，故旋轉時採用的α、β、γ 三個角度皆必須小於 0°，方能使局域座標系順 時針地旋轉至全域座標系。由張量轉換材料性質中各項係數，公式如下：

C_ijkl = Q_imQ_jnQ_koQ_lpC_mnop^' , (2.46) e_ijk = Q_imQ_jnQ_koe_mno^' , (2.47)

q_ijk = Q_imQ_jnQ_koq_mno^' , (2.48)

κij = Q_imQ_jnκmn' , (2.49)

µij = Q_imQ_jnµmn' , (2.50)

其中C_ijkl、e_ijk、q_ijk、κij和µij是經尤拉角轉換後，以全域座標系表示之材料性質；C_mnop^' 、 e_mno^' 、q_mno^' 、κmn' 和µmn' 則代表極化方向由局域座標系表示之材料性質；Q_ij為轉換矩陣。

2-4 有限元素法

2-4-1 體積代表元素

在複合材料中，內含物是隨機地散佈於母材，若是要將每一個內含物都加以考慮，

如此運算將會太過複雜且龐大。因此為了簡化運算，便於材料中取一個最小的體積元

如此運算將會太過複雜且龐大。因此為了簡化運算，便於材料中取一個最小的體積元

在文檔中 壓電壓磁橢球顆粒複合材料磁電耦合效應之最佳化 (頁 24-54)