特殊極化方向之壓電壓磁纖維複合材料

本章利用前述 Mori-Tanaka (MT)微觀力學模型與有限元素軟體 COMSOL Multiphysics 模擬壓電壓磁圓柱纖維複合材料之磁電耦合行為。其中壓電材料為 BaTiO

3

(BTO)、壓磁材料為 CoFe

2

O

4

(CFO)，而其極化方向為沿著

[

001 或是

] [

100

]

的方向。

3-1 模擬案例

本章使用 BTO 與 CFO 作為壓電壓磁纖維複合材料，並將材料之極化方向設 定為

[

001 或是

] [

100 的方向。其中，當材料性質之局域座標的

] x′ ₃

軸與全域座標的

x 3

軸同向時，此時的材料極化方向在全域座標下稱為

[

001 ；當材料性質之局域

]

座標的

x′ ₃

軸與全域座標的x 軸同向時，此時的材料極化方向在全域座標下稱為

₁

[

100 。

]

另外本文選擇正方形與正六邊形單位晶胞模擬複合材料行為，因此擁有不同 極化方向配置的模擬案例(圖 3-1)。其中有內含物與母材極化方向皆為

[

001 、內

]

含物

[

100 與母材

] [

001 、內含物

] [

001 與母材

] [

100 以及內含物與母材皆為

] [

100 。

]

另外，根據材料配置的方式，本文選擇BTO 與 CFO 作為討論對象，因此共分作 8 種模擬極化方向的案例(表 1)；而 BTO 與 CFO 材料之性質如表 2 所示。

27

(a) 內含物[001]、母材[001]

(b) 內含物[100]、母材[001]

(c) 內含物[001]、母材[100]

(d) 內含物[100]、母材[100]

圖3-1 模型極化方向配置示意圖

28

表1 複合材料配置形式

案例 母材 內含物

Ⅰ CFO

[ ]

001 BTO

[ ]

001

Ⅱ CFO

[ ]

001 BTO

[ ]

100

Ⅲ CFO

[ ]

100 BTO

[ ]

001

Ⅳ CFO

[ ]

100 BTO

[ ]

100

Ⅴ BTO

[ ]

001 CFO

[ ]

001

Ⅵ BTO

[ ]

001 CFO

[ ]

100

Ⅶ BTO

[ ]

100 CFO

[ ]

001

Ⅷ BTO

[ ]

100 CFO

[ ]

100

表2 BTO 和 CFO 材料性質[1]

BTO CFO BTO CFO

) GPa

11 (

C 166 286 κ

₁₁

( C

²

Nm

²

) 11 . 2 × 10

⁻⁹

8 × 10

⁻¹¹

)

GPa

12 (

C 77 173 κ

₃₃

( C

²

Nm

²

) _{12 . 6 × 10}

⁻⁹

_{9 . 3 × 10}

⁻¹¹

)

GPa

13

(

C 78 170 q

₁₅

( m A ) 0 550

) GPa

33

(

C 162 269 . 5 q

₃₁

( m A ) 0 580 . 3

) GPa

44 (

C 43 45 . 3 q

₃₃

( m A ) 0 699 . 7 )

m C

(

²

e

15

11 . 6 0 μ

₁₁

( Ns

²

C

²

) 5 × 10

⁻⁶

590 × 10

⁻⁶

)

m C

(

²

e

31

− 4 . 4 0 μ

₃₃

( Ns

²

C

²

) _{10 × 10}

⁻⁶

_{157 × 10}

⁻⁶

)

m C

(

²

e

33

18 . 6 0

29

30

31

3-2 BaTiO 3

置入

CoFe 2 O 4

之壓電壓磁複合材料

3-2-1

BTO

[ ]

001 置入CFO

[ ]

001

本節利用 Mori-Tanaka 微觀力學模型與有限元素法探討BTO

[

001

]

置入

[

001

]

CFO 形式之複合材料(圖 3-3)，並將其表示為BTO

[

001

]

/CFO

[

001

]

，前者 代表內含物使用之材料和極化方向，後者代表母材使用之材料及其極化方向。其 中，因為Mori-Tanaka 可分析從無內含物到完全充滿內含物之複合材料行為，因 此當f = 0 與 f = 1 時，Mori-Tanaka 模擬所得之曲線可得到內含物與母材之材料 性質。例如本複合材料是以BTO 置入 CFO 的形式，所以當 f = 0 時代表材料還 未置入任何的BTO 而呈現完整的 CFO 性質。因此可取其等效材料性質並與材料 表之CFO 性質(表 2)相互驗證；當 f = 1 時，代表 BTO 完全取代 CFO 並呈現完 整的BTO 性質，此時可取等效材料性質並與材料表之 BTO 性質(表 2)相互驗證。

根據材料的性質(表 2)，BTO 之彈性係數、磁導率和壓磁耦合常數比 CFO 小。當 BTO 的體積比越大時，材料的等效彈性係數、等效磁導率與等效壓磁耦合常數 趨勢會逐漸變小；CFO 沒有壓電耦合常數且介電常數比 BTO 小，所以當 BTO 的體積比越大，等效壓電耦合常數與等效介電常數會逐漸增加。另外Mori-Tanaka 曲線並非線性狀態，其隨著內含物逐漸增加相對產生變化，此變化是因為複合材 料內壓電與壓磁材料相互耦合伴隨之效應。由材料晶格對稱性(圖 2-1)可知，e 等

₁₅ ^*

於

e ₂₄ ^*

而e 等於

₃₁ ^*

e ；

₃₂ ^*

q 等於

₁₅ ^* q ^* ₂₄

而q 等於

₃₁ ^*

q ；

₃₂ ^*

κ 等於

₁₁ ^*

κ ；

^* ₂₂

μ 等於

₁₁ ^*

μ ；

₂₂ ^*

λ

₁₁ ^*

等於λ 。

^* ₂₂

複合材料受到外加場產生磁電耦合效應得到等效磁電耦合常數

λ 與作為指 ^*

標參數的等效磁電電壓係數

α ^* _E

。由

λ 之結果發現，當提供平均電場 ^* E ₁

給予複 合材料時，BTO 中的

e ₁₅

項會參與耦合的行為，而CFO 材料中的

q ₁₅

項因應BTO 的耦合行為產生平均磁場

H ₁

，因此可以得到複合材料的λ ；如果提供平均電

^* ₁₁

場

E ₂

，則BTO 中的e 項會參與耦合的行為，而 CFO 材料中的

₂₄

q 項會因應

₂₄

32

BTO 的耦合行為產生平均磁場

H ₂

，因此會得到複合材料的λ ；如果提供平均

^* ₂₂

電場

E ₃

，則BTO 中的

e ₃₁

、

e ₃₂

、

e ₃₃

項會參與耦合的行為，而CFO 材料中的

q ₃₁

、

q 32

、

q ₃₃

項會因應BTO 的耦合行為產生平均磁場

H ₃

，因此會得到複合材料的

*

λ 33

。

另外指標參數等效磁電電壓係數

α ^* _E

，其模擬結果(圖 3-4)發現當內含物的體 積比f = 0.34 時，在 MT 的曲線中得到

α

_E

^* _{, 11}

的極值-0.0306V/cmOe，此時的

α

_E

^* _{, 33}

為 0.7644V/cmOe。由於材料晶格對稱性的關係，λ

^* ₂₂

會等於λ

^* ₁₁

且κ

₂₂ ^*

會等於κ

₁₁ ^*

，所 以

α ^*

_E

_{, 22}

也會與

α

_E

^* _{, 11}

同在f = 0.34 時有極值-0.0306V/cmOe；當 f = 0.06 時，MT 的 曲線找到

α ^*

_E

_{, 33}

的極值1.1494V/cmOe，而此時的

α

_E

^* _{, 11}

為-0.0119V/cmOe。而

λ 最 ^*

佳處會因為

κ 關係，所以不會與 ^* α ^* _E

一致。當f = 0.87 時，

λ ^* ₁₁

與λ 之極值達至

^* ₂₂

-7.0038×10

^-12

Ns/VC。當 f = 0.44 時，

λ ^* ₃₃

之極值達至2.7891×10

^-12

Ns/VC。

根據(2.17)式得知等效性質是由母材、內含物之材料性質、內含物體積比計 算得來。為了比較極化方向組成造成複合材料磁電耦合效應之影響，在此將內含 物體積比固定在BTO

[

001

]

/CFO

[

001

]

產生最佳磁電電壓係數之體積比，藉以比 較極化方向之組合。

33

Volume Fraction of Inclusion C

*

(P a)

Volume Fraction of Inclusion e

*

(C /m

2

)

Volume Fraction of Inclusion κ

*

(C

2

/N m

2

)

Volume Fraction of Inclusion q

*

( N /A m )

Volume Fraction of Inclusion μ

*

(N s

2

/C

2

)

Volume Fraction of Inclusion

λ

*

(N s/ V C )

34

(a)

α ^* _{E , 11}

_、

α ^* _{E , 22}

(b)

α ^* _{E , 33}

圖3-4 與 f 之關係

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0

Volume Fraction of Inclusion

α * E, 11 , α * E,2 2 (V /c m O e )

MT SQU HEX

BTO[001]/CFO[001]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Volume Fraction of Inclusion

α * E, 33 (V /c m O e )

MT SQU HEX

BTO[001]/CFO[001]

*

α E

35

由模擬結果得知當 f =0.1、0.2 和 0.8 時有限元素法之正六邊形單位晶胞模擬

* 11 ,

α

E 的結果產生誤差外，其他體積比的模擬值皆和MT 曲線吻合，造成誤差的原 因乃因為當計算體積比過大或過小時，有限元素軟體運算時需耗大量之記憶體超 過本文儀器之極限，因此造成計算上之誤差；正方形單位晶胞的有限元素模型在 f =0.6 和 0.7 時有明顯的誤差，這是因為正方形單位晶胞本身不具有橫向等向性，

由於材料的極化方向是沿著纖維

x ₃

軸方向，代表複合物的晶面是以

x ₃

軸為對稱 中心，而

α ^*

_E

_{, 11}

是探討x 軸上的

₁

λ

^* ₁₁

和κ

₁₁ ^*

的關係，所以不具橫向等向性的正方形單 位晶胞在探討垂直對稱軸的平面時容易產生誤差，且當內含物的體積比越大時，

誤差越大。

另外當對複合材料施加

E ₁

且f = 0.5 時，Mori-Tanaka 得到κ 為 2.3478×10

₁₁ ^{* -10}

C

²

/Nm

²

、λ 為-5.2114×10

^* ₁₁ ^-12

Ns/VC 與

α _E ^* _{, 11}

為-0.0277V/cmOe。將其用於驗證有限 元素網格求解結果(圖 3-5)，得知正方形單位晶胞所選用之網格，其求解結果相 互接近；正六邊形單位晶胞其網格求解結果顯示，較粗化(Coarser)網格之值明顯 離Mori-Tanaka 值很遠，而使用粗化(Coarse)、正常(Normal)與細化(Fine)等網格，

求解之值則會接近Mori-Tanaka 值。另外由有限元素解與 Mori-Tanaka 之相對誤 差(表 3)得知，正方形單位晶胞各網格計算κ 、

₁₁ ^*

λ 和

^* ₁₁ α ^* _{E , 11}

產生之誤差約為0.07

％~2.85％。正六邊形單位晶胞扣除掉較粗化網格選項，其於網格計算κ 、

₁₁ ^*

λ 和

^* ₁₁

* 11 ,

α E

產生之誤差約為0.03％~2％。因此當數值誤差不明顯時，可添加時間因素於 模擬過程中，因此本文之正方形單位晶胞選擇了粗化網格，正六邊形單位晶胞選 擇了正常網格。

最後由此案例結果得知有限元素法求解之等效性質和 MT 求得之等效性質 為一致，代表本文有限元素法操作步驟及細部設定是符合整體的基本假設，因此 之後其他複合材料模擬試驗可按照此模組之設定操作。

36

(a) κ

₁₁ ^*

(b) λ

^* ₁₁

(c)

α _E ^* _{, 11}

圖3-5 MT 與有限元素網格之關係

Coarser Coarse Normal Fine

2.36 2.38 2.4 2.42 2.44 2.46 2.48 x 10

^-10

Predefined Mesh Size κ

* 11

(C

2

/N m

2

)

MT SQU HEX

f = 0.5

Coarser Coarse Normal Fine

-5.4 -5.3 -5.2 -5.1 -5 -4.9 -4.8 -4.7 x 10

^-12

Predefined Mesh Size λ

* 11

(N s/ V C )

MT SQU HEX

f = 0.5

Coarser -28 Coarse Normal Fine

-27 -26 -25 -24

Predefined Mesh Size α

* E,11

(m V /c m O e)

MT SQU HEX

f = 0.5

37

表3 有限元素網格與 MT 之相對誤差 正方形單位晶胞與MT 之相對誤差 ( f = 0.5)

較粗化 粗化 正常 細化

元素數量 2627 4788 16747 32708 自由度數量 21045 36785 122615 235155 求解時間(秒/次) 9.01 14.81 143.81 468.91

*

κ 11

2.69％ 2.76％ 2.71％ 2.81％

*

λ 11

1.82％ 1.61％ 1.96％ 1.84％

* 11 ,

α E

0.84％ 1.12％ 0.74％ 0.94％

正六邊形單位晶胞與MT 之相對誤差 ( f = 0.5) 元素數量 1099 1978 5589 11490 自由度數量 9080 16425 43275 86110 求解時間(秒/次) 1.26 2.74 12.03 39.11

*

κ 11

2.41％ 0.26％ 0.57％ 0.67％

*

λ 11

^8.34％ 1.68％ 0.07％ 0.35％

* 11 ,

α E

10.53％ 1.93％ 0.63％ 0.26％

38

3-2-2

BTO

[ ]

100 置入CFO

[ ]

001

當BTO 之極化方向是

[

100 的方向而 CFO 之極化方向為

] [

001 的時候，則

] [

100

]

BTO /CFO

[

001

]

將得到新的耦合性質。從(3.4)式得知BTO

[

100

]

之材料性質，

將其與BTO

[

001

]

之性質相比可觀察出材料對稱性因極化方向改變而產生的變化，

例如(3.4)式中的彈性係數C 、

₁₁

C 、

₁₂ C ₁₃

、

C ₃₃

、C 和

₄₄ C ₆₆

會與(3.2)式中的

C ₃₃

、

C 32

、

C ₃₁

、C 、

₁₁ C ₆₆

和C 相等；(3.4)式中的壓電耦合常數

₄₄

e 、

₁₁

e 、

₁₂ e ₁₃

、

e ₂₆

和

e 35

會與(3.2)式中的

e ₃₃

、

e ₃₂

、

e ₃₁

、e 和

₂₄ e ₁₅

相等；而(3.4)式中的

κ ₁₁

、κ

₃₃

、

μ ₁₁

和 μ

33

會與(3.2)式中的κ

₃₃

、

κ ₁₁

、μ

₃₃

和

μ ₁₁

相等。

其等效性質(圖 3-6)由

C 之結果可發現，當 f = 0 時呈現 ^*

CFO

[

001

]

之彈性係 數與BTO

[

001

]

/CFO

[

001

]

有著相同的等效彈性係數起始點，之後隨著內含物的 添加，BTO

[

100

]

之彈性係數逐漸顯現，所以等效彈性係數逐漸減小，當f = 1 時 完全呈現BTO

[

100

]

之彈性係數，所以

C ₁₁ ^*

之終點比C 小、

₃₃ ^*

C 之終點比

₆₆ ^* C ₄₄ ^*

小。

由

e ^*

之結果發現，當f = 0 時因為CFO

[

001

]

無壓電耦合常數與BTO

[

001

]

/

[

001

]

CFO 相同，所以等效壓電耦合常數之起始點為0，隨著內含物的添加

[

100

]

BTO 之壓電耦合性質逐漸顯現，等效壓電耦合常數逐漸增加，當f = 1 時完 全呈現BTO

[

100

]

之壓電耦合常數性質，且因為

[

100 之對稱性關係所以

] e ₁₂ ^*

之曲 線與e 相等。由

₁₃ ^* κ 之結果發現，當 f = 0 時完全呈現 ^*

CFO

[

001

]

之介電性質，隨 著內含物增加，BTO

[

100

]

之介電性質逐漸顯現，等效介電常數逐漸增加，當f = 1 時完全呈現BTO

[

100

]

之介電性質，所以κ

₂₂ ^*

與

κ ₃₃ ^*

相等，κ

₁₁ ^*

比κ

₂₂ ^*

、

κ ₃₃ ^*

大。由

q *

之結果發現，雖然此複合材料使用BTO

[

100

]

/CFO

[

001

]

與BTO

[

001

]

/

[

001

]

CFO 皆使用CFO

[

001

]

，但因為BTO

[

100

]

/CFO

[

001

]

整體材料組合結構改 變造成q 與

₃₁ ^*

q 有些微差異。由

^* ₃₂ μ ^*

之結果發現，當f = 0 時完全呈現CFO

[

001

]

之 磁導率性質，隨著內含物增加，等效磁導率隨之減少，當f = 1 呈現BTO

[

100

]

之 磁導率時，其μ

₂₂ ^*

與

μ ₃₃ ^*

相等，μ

₁₁ ^*

比μ

^* ₂₂

、

μ ₃₃ ^*

大。

39

另外由

λ ^*

之結果中得知，因為BTO

[

100

]

材料性質不同於BTO

[

001

]

，所以 當對複合材料提供平均電場

E ₁

，則BTO 中的e 、

₁₁

e 、

₁₂ e ₁₃

項會參與耦合的行為，

而從(3.3)式知道CFO

[

001

]

材料性質中的

q ₃₁

、

q ₃₂

、

q ₃₃

項因應BTO 的耦合行為 產生平均磁場

H ₃

，因此得到複合材料的等效磁電耦合係數

λ ^* ₁₃

；如果提供平均 電場

E ₃

，則BTO 中的

e ₃₅

項會參與耦合的行為，而CFO 材料中的

q ₁₅

項會因應 BTO 的耦合行為產生平均磁場

H ₁

，因此會得到複合材料的等效磁電耦合係數

*

λ 31

。

由於模擬得到主對角線的λ 、

₁₁ ^*

λ 、

^* ₂₂ λ ^* ₃₃

數值比

λ ^* ₁₃

與

λ ^* ₃₁

的千分之一小，因 此視其為0，相對主對角線上的

α ^* _E

為0 且

κ ₁₃ ^*

和

κ ₃₁ ^*

為0，所以

α ^*

_E

_{, 13}

和

α ^*

_E

_{, 31}

不存在。

最後得到

λ ₁₃ ^*

於f = 0.41 時，極值達至-4.0947×10

^-10

Ns/VC，

λ ^* ₃₁

於f = 0.88 時，極 值達至-1.5107×10

^-10

Ns/VC。

40

Volume Fraction of Inclusion C

*

(P a)

Volume Fraction of Inclusion e

*

( C /m

2

)

Volume Fraction of Inclusion κ

*

(C

2

/N m

2

)

Volume Fraction of Inclusion q

*

(N /A m )

Volume Fraction of Inclusion μ

*

(N s

2

/C

2

)

Volume Fraction of Inclusion

λ

*

(N s/ V C )

41

3-2-3

BTO

[ ]

001 置入CFO

[ ]

100

當 CFO 之極化方向是

[

100 的方向而 BTO 之極化方向是

] [

001 的時候，則

] [

001

]

BTO /CFO

[

100

]

將得到新的耦合性質(圖 3-7)。從(3.5)式得知CFO

[

100

]

之 材料性質，將其與CFO

[

001

]

之性質相比可觀察出材料對稱性因極化方向改變而 產生的變化，在(3.5)式中的彈性係數C 、

₁₁

C 、

₁₂ C ₁₃

、

C ₃₃

、C 和

₄₄ C ₆₆

會與(3.3) 式中的

C ₃₃

、

C ₃₂

、

C ₃₁

、C 、

₁₁ C ₆₆

和C 相等；在(3.5)式中的壓磁耦合常數

₄₄

q 、

₁₁

q 、

12 q ₁₃

、

q ₂₆

和

q ₃₅

會與(3.3)式中的

q ₃₃

、

q ₃₂

、

q ₃₁

、q 和

₂₄ q ₁₅

相等；而(3.5)式中 的

κ ₁₁

、κ

₃₃

、

μ ₁₁

和μ

₃₃

也會與(3.3)式中的κ

₃₃

、

κ ₁₁

、μ

₃₃

和

μ ₁₁

。

而等效性質(圖 3-7)從

C ^*

之結果可發現，CFO

[

100

]

與BTO

[

001

]

/CFO

[

001

]

之彈性係數已因為旋轉差異，所以當f = 0 時

C ₁₁ ^*

比C 小、

₃₃ ^*

C 比

₆₆ ^* C ₄₄ ^*

小，隨著內 含物增加等效彈性係數逐漸減小，而當f = 1 時，等效彈性係數為BTO

[

001

]

之彈 性係數且與BTO

[

001

]

/CFO

[

001

]

相同。由

e ^*

之結果發現，此複合材料是

[

001

]

BTO /CFO

[

100

]

，其等效壓電耦合常數與BTO

[

001

]

/CFO

[

001

]

之等效壓電 耦合常數相同，

e ₁₅ ^*

與e 相等、

₂₄ ^* e ₃₁ ^*

與

e ^* ₃₂

相等。由

κ 之結果發現， ^*

CFO

[

100

]

與

[

001

]

CFO 之介電性質有旋轉差異，當f = 0 時其κ

₂₂ ^*

與

κ ₃₃ ^*

相等、κ

₁₁ ^*

比κ

₂₂ ^*

、

κ ₃₃ ^*

大，

隨著內含物增加，等效介電常數跟著提升，當f = 1 時完全呈現BTO

[

001

]

之介電 性質，此時的κ

₁₁ ^*

與κ

₂₂ ^*

相等、

κ ₃₃ ^*

比κ

₁₁ ^*

、κ

₂₂ ^*

大。由

q ^*

之結果發現，CFO

[

100

]

與

[

001

]

CFO 之壓磁耦合性質有旋轉差異，當f = 0 時完全呈現CFO

[

100

]

之性質，

但是因為BTO

[

001

]

/CFO

[

100

]

整體之材料性質組合結構改變，所以當內含物逐 漸增加時，其等效壓磁耦合常數並不像BTO

[

001

]

/CFO

[

001

]

之等效壓磁耦合常 數於模擬過程中某幾個元素可保持相等狀態，且等效壓磁耦合常數也逐漸減少，

而當f = 1 時完全呈現BTO

[

001

]

之性質，即等效壓磁耦合常數為0。由

μ ^*

之結果 發現，當f = 0 時完全呈現CFO

[

100

]

之磁導率性質，即μ

^* ₂₂

與

μ ₃₃ ^*

相等，μ

₁₁ ^*

比μ

₂₂ ^*

、

*

μ 33

大，隨著內含物增加，等效磁導率隨之減少，當f = 1 則回復到BTO

[

001

]

之

42

磁導率，其μ

₁₁ ^*

與μ

^* ₂₂

相等，

μ ₃₃ ^*

比μ

₁₁ ^*

、μ

^* ₂₂

大。

另外

λ ^*

之結果中得知，由於BTO

[

001

]

材料性質不同於CFO

[

001

]

，所以當 對複合材料提供平均磁場

H ₁

，則CFO 中的q 、

₁₁

q 、

₁₂ q ₁₃

項會參與耦合的行為，

而從(3.2)式知道 BTO 材料性質中的

e ₃₁

、

e ₃₂

、

e ₃₃

項因應CFO 的耦合行為產生平 均電場

E ₃

，因此得到複合材料的等效磁電耦合係數

λ ^* ₃₁

；而提供平均磁場

H ₃

， 則CFO 中的

q ₃₅

項會參與耦合的行為，而BTO 材料中的

e ₁₅

項因應CFO 的耦合行 為產生平均電場

E ₁

，因此得到複合材料的等效磁電耦合係數

λ ₁₃ ^*

。

由於模擬得到主對角線的λ 、

₁₁ ^*

λ 、

^* ₂₂ λ ^* ₃₃

數值比

λ ^* ₁₃

與

λ ^* ₃₁

的千分之一小，因

由於模擬得到主對角線的λ 、

₁₁ ^*

λ 、

^* ₂₂ λ ^* ₃₃

數值比

λ ^* ₁₃

與

λ ^* ₃₁

的千分之一小，因

在文檔中 壓電壓磁纖維複合材料磁電耦合效應之最佳化 (頁 44-84)