理論架構

第二章 理論架構

本章介紹模擬複合材料等效行為之理論與方程式。2-1 節闡述複合材料的材 料組成律與統御方程式；2-2 節介紹用來模擬複合材料行為的微觀力學模型，在 眾多的微觀力學模型中選擇Mori-Tanaka 模式作為模擬本文複合材料行為的工具；

2-3 節為張量轉換(Tensor transformation)與尤拉角(Euler angle)，本文藉由改變材 料的極化方向尋找最佳的磁電耦合效應，而為了將局域座標下之材料性質轉換至

全域座標，因此使用張量轉換與尤拉角；最後2-4 節是闡述本文使用有限元素軟

體COMSOL Multiphysics 模擬複合材料行為之流程。

2-1 材料組成律與等效性質 2-1-1 材料組成律與統御方程式

對於一壓電壓磁雙相複合材料而言，其材料組成律為:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

+ +

=

+ +

=

+ +

=

, ,

,

l il l il kl ikl i

l il l il kl ikl i

l lij l lij mn ijmn ij

H μ E λ ε q B

H λ E κ ε e D

H q E e ε C σ

(2.1)

其中

σ _ij

應力(Stress) ，為二階張量；

D _i

電位移(Electric displacement)，為一階張 量；

B _i

磁通量(Magnetic induction)，為一階張量。ε 應變(Strain)，為二階張量；

_mn

E l

電場(Electric field)，為一階張量；

H _l

磁場(Magnetic field)，為一階張量。C

_ijkl

材料彈性係數(Elasticity)，為四階張量；κ 介電常數(Dielectric permittivity)，為

_il

二階張量；μ 磁導率(Magnetic permeability)，為二階張量；

_il e _ikl

壓電耦合常數 (Piezoelectric coupling coefficient)，為三階張量；

q _ikl

壓磁耦合常數(Piezomagnetic coupling coefficient)，為三階張量。最後λ 是壓電材料與壓磁材料產生耦合所得

_il

的磁電耦合係數(Magnetic-electric coupling coefficient)，為二階張量。

另外應變與位移 u 相關、電場和磁場是對電位能ϕ與磁位能ψ取梯度向量而

9

10

11

其中

A 是第 _r r

個內含物的應變集中因子(Strain concentration factor)且滿足:

I

含物的編號。故綜合(2.12)、(2.14)與(2.15)式，N 相複合材料的等效性質可從(2.12) 式改寫為:

12

2-1-3 材料的選擇

本文選擇壓電材料鈦酸鋇(BaTiO

3

, BTO)、鉍鐵氧(BiFeO

3

, BFO)與壓磁材料 鈷鐵氧(CoFe

2

O

4

, CFO)為討論對象，其中 BaTiO

3

和CoFe

2

O

4

是6mm 晶體對稱性 又屬於六角晶系(Hexagonal)，而 BiFeO

3

是3m 晶體對稱性[39]。利用 IEEE standard[40]將材料的晶格對稱形式表為圖 2-1，其中左上方是 6×6 的彈性係數矩 陣

C

、左下方和右上方分別是3×6 和轉置的 6×3 壓電耦合係數矩陣 、右下角是 3×3 的介電常數矩陣 。壓磁材料是將壓電材料中的 3×6 的壓電耦合係數矩陣替 換成壓磁耦合係數矩陣 、3×3 的介電常數矩陣替換成磁導率矩陣

μ

。

(a) 6mm 晶格對稱形式[40] (b) 3m 晶格對稱形式[40]

圖2-1 晶體對稱矩陣示意圖

2-2 微觀力學模型

微觀力學模型(Micromechanical model)是用來計算等效行為中內含物的應變 集中因子

A

。它分別有Dilute 模式、Mori-Tanaka (MT)模式和自恰法模式

(Self-consistent method)等。本文選擇 Mori-Tanaka 模式來模擬複合材料的等效性 質，而使用Mori-Tanaka 模式的原因是因為 Mori-Tanaka 模式考慮了內含物彼此 間相互的作用，可以用來模擬沒有內含物到完全充滿了內含物的複合材料行為，

因此適用範圍較廣泛。而使用Mori-Tanaka 模式也會使用到等效夾雜理論、

Eshelby 張量與 Dilute 模式，所以本文將先介紹等效夾雜理論、Eshelby 張量和 Dilute 模式，最後再介紹 Mori-Tanaka 模式。

e κ

q

13

2-2-1 等效夾雜理論

等效夾雜理論(Equivalent inclusion method)是將均質物體藉由特徵應變模擬 非均質之行為，如圖2-2 為等效夾雜理論示意圖，其中(a)為非均質物體、(b)為 等效物體。

圖2-2 等效夾雜理論示意圖

假設給予均勻的廣義表面力

Σ _ij n _{j s} = Σ _ij ⁰ n _j

作為邊界條件，透過廣義虎克定律將 圖2-2(a)之廣義力學行為表示成:

Σ pt

Σ

Σ

=

⁰

+ , (2.19)

Ζ pt

Ζ

Ζ

=

⁰

+ , (2.20)

( ^pt )

pt L Ζ Ζ

Σ Σ

Σ = ⁰ + = ₁ ⁰ +

,

Ω

內部 (2.21) 另外圖2-2(b)之

Ω

內部廣義力學行為:

( ^{0 *} )

0

0 Σ L Ζ Σ Ζ

Σ

Σ

= +

^pt

= +

^pt

− ,

Ω

內部 (2.22)

其中

Σ ⁰

是無窮遠邊界上外加的廣義應力，

Σ 是內含物造成擾動(Perturbation)所 ^pt

產生的廣義應力，

Ζ ⁰

是無窮遠邊界上外加的廣義應變，

Ζ 是內含物造成擾動所 ^pt

產生的廣義應變，

Ζ ^*

是廣義特徵應變(Eigenstrain)。

而等效夾雜理論就是令圖 2-2(a)與圖 2-2(b)之內含物的廣義應力相等:

14

( ) 0 ( ^{0 *} )

0

1 Ζ Ζ L Ζ Ζ Ζ

L

+

^pt

= +

^pt

−

.

(2.23)

2-2-2 廣義 Eshelby 張量

Eshelby 張量是用來連接因內含物造成擾動所產生的應變 ε ^pt

和等效模型中

的特徵應變

ε ^*

(圖 2-3):

* Ab MnAb pt

Mn

S

ε

ε

= , (2.24)

其中

ε ^pt

是內含物造成擾動的應變，

ε ^*

是特徵應變、屬於非彈性應變，其可為熱 應變、塑性應變、相轉換應變或初始應變等等。

圖2-3 Eshelby 示意圖[41]

Eshelby 張量是 Eshelby[42]於 1957 年利用等向性(Isotropic)的材料求得，此 張量屬於四階張量形式，與母材的材料性質和內含物的形狀有關。而Eshelby 張 量只用於處理力的場變數，本文討論的壓電壓磁複合材料擁有多個場變數，所以 使用廣義的Eshelby 張量並將(2.24)式改為[43]:

* Ab MnAb pt

Mn

=S Ζ

Ζ , (2.25)

其中

S _MnAb

又稱為磁電彈性Eshelby 張量[42, 44]，將其展開:

15

MnAb iJAb

M

16

綜合(2.20)、(2.25)與(2.28)式，內含物總廣義應變為:

( )

其中

A ^dilute

是由Dilute 模式求得的應變集中因子。最後將(2.30)式代回(2.17)式，

即可得到Dilute 模式的等效材料性質。

2-2-4 Mori-Tanaka 模式

Mori-Tanaka 模式模擬複合材料的行為時，考慮了複合材料內顆粒與顆粒之

17

pt r

r Ζ Ζ

Ζ

=

₀

+ , (2.32)

Σ r

是第r 個內含物的總廣義應力；

Ζ _r

是第r 個內含物的總廣義應變，

Ζ ₀

是母 材的平均廣義應變，

Ζ _r ^pt

是第r 個內含物造成擾動所產生的廣義應變。

圖2-5 Mori-Tanaka 示意圖

利用等效夾雜理論、廣義Eshelby 張量和 Dilute 模式的應變集中因子得到內 含物的平均廣義應變，其過程如下:

[ ] 0 [ 0 ^{* *} ]

*

0 r r r

r

r L Ζ SΖ L Ζ SΖ Ζ

Σ

= + = + − , (2.33)

( )

[ ₀ ¹ ₀ ] ¹ _{0 0}

0 Ζ I SL L L Ζ A Ζ

Ζ

Ζ _r

= +

_r ^pt

= +

⁻ _r

−

⁻

=

^dilute _r

, (2.34)

再利用樣品內含物的平均廣義應變

Ζ _r

將樣品內含物的總廣義應變

Ζ 與無窮遠 _r

邊界上外加的廣義應變

Ζ 作連接，即可得到: ⁰

0 1

1 0

0 I A Ζ

Ζ

−

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=

∑ ^N

r

dilute r

f

r

f , (2.35)

0 1

1

0 I A Ζ

A Ζ

−

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=

∑ ^N

r

dilute r r dilute

r

r

f f , (2.36)

1

1 0

−

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=

∑ ^N

r

dilute r r dilute

r MT

r A

f

I

f

A

A

, (2.37)

最後將(2.37)式代回(2.17)式可得到 Mori-Tanaka 模式求得的等效材料性質。

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2-3 張量轉換與尤拉角

當描述材料極化方向之局域座標(Local coordinate systems)與結構之全域座 標(Global coordinate systems)不一致時，需要使用張量轉換將材料性質由局域座 標轉換至全域座標(圖 2-6 所示)。

圖2-6 極化方向與座標系統示意圖

使用張量轉換本文的各個材料性質，其過程為:

mnop lp ko jn im

ijkl

Q Q Q Q C

C = ′ , (2.38)

mno ko jn im

ijk

Q Q Q e

e = ′ , (2.39)

mno ko jn im

ijk

Q Q Q q

q = ′ , (2.40)

mn jn im

ij

Q Q

κ

κ

= ′ , (2.41)

mn jn im

ij

Q Q

μ

μ

= ′ , (2.42)

其中C 、

_ijkl

e 、

_ijk

q 、

_ijk κ _ij

與

μ _ij

是使用全域座標表示之材料性質；C′ 、

_mnop e′ _mno

、

q′ _mno

、 κ

mn ′

與μ

_mn ′

則是使用局域座標表示之材料性質；Q 代表轉換座標矩陣，而轉換矩

_ij

陣則可使用尤拉角

Q ( α

,

β

,

γ )

表示[46]。如圖 2-7 所示，先以

x′ ₃

軸為旋轉軸，逆時

19

對於全部轉換矩陣的描述可將(2.43)、(2.44)、(2.45)式合併，得到:

)

20

2-4 有限元素法 2-4-1 體積代表元素

體積代表元素(Representative volume element, RVE)的定義是複合材料中最

小的體積代表元素[47]。

本論文的壓電壓磁雙相複合材料是在滿足週期性條件下，探討其中一個二維 的體積代表元素行為。而二維平面的週期性的單位晶胞有五種，分別是邊長相等、

兩邊夾角為

90 ^°

的正方形晶胞；邊長不相等、兩邊夾角為

90 ^°

的長方形晶胞，而 長方形晶胞又分為含中心點與不含中心點兩種；邊長不相等、兩邊夾角不為

90 ^°

的平行四邊形晶胞；邊長相等、兩邊夾角為

120 ^°

的正六邊形晶胞[48]。而本文選 擇正方形和正六邊形兩種週期性單位晶胞作為模擬的對象，如圖2-8(a)是正方形 的週期性單位晶胞示意圖，圓柱纖維的極限體積比為 0.7854

4 ≈

π

，因此設定體積

比f = 0.7 為模擬的極限；圖 2-8(b)是正六邊形的週期性單位晶胞示意圖，圓柱纖 維的極限體積比為

0 . 9069

3 2

π

≈

，因此設定體積比f = 0.8 為模擬的極限。由極 限體積比可知正六邊形單位晶胞比正方形單位晶胞模擬的範圍更廣泛。

另外正六邊形可由正三角形組成，而圓柱位於正三角形的頂點，所以圓柱之 間的距離相等；正方形內的圓柱只有在水平和垂直方向的距離相等。這也說明了 正六邊形單位晶胞擁有橫向等向性的特性，而正方形單位晶胞則是橫向異相性 [49]。雖然正方形單位晶胞不具有橫向等向性，但是它操作過程簡單、邊界條件 設定容易，所以它經常被使用[50]。

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(a) 正方形單位晶胞 (b) 正六邊形單位晶胞

圖2-8 纖維複合結構週期性示意圖[49, 50]

2-4-2 週期性邊界條件

本論文之模型是以符合週期性邊界條件建立，因此在複合材料體積代表元素 內任何一點的位移、電位能、磁位能、應力、電位移和磁通量，與其他的體積代 表元素內位置相同的點上，兩者的值會是一樣的。

(a) (b) 圖2-9 週期性單位晶胞

以圖2-9(a)作為模擬正方形的單位晶胞，此模型的廣義位移以

Φ

來表示，

Φ

22

23

24

2-4-4 有限元素法建模流程

本論文所使用的有限元素軟體為 COMSOL Multiphysics，為了建立壓電壓磁

複合材料模型，首先在COMSOL 軟體內建的結構力學模組中選擇了壓電模組，

這樣一來擁有複合材料中的壓電性質的設定項目。之後再從軟體中內建的 AC/DC 模組裡選擇了靜態磁性無電流模組，此模組是為了提供複合材料中屬於 壓磁材料方面的磁性設定。

建模的流程(圖 2-10)首先繪製體積代表元素的模型結構，輸入材料參數包括 彈性係數、壓電耦合常數、壓磁耦合常數、介電常數和磁導率等，再設定材料組 成率和平衡方程式，之後設定邊界條件，由於體積代表元素是符合週期性條件，

因此除了設定邊界條件是連續且完美交界面外，還要設定週期性邊界條件。當環 境的條件皆設定好之後，可選擇不同粗細的網格得到各種的計算元素數量和自由 度數量，之後再進行求解得到此體積代表元素受到外力後產生的各種反應。最後 對模型作體積分並取平均得到

Σ

與

Ζ

然後可得到等效性質。

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圖2-10 COMSOL 建模流程

26

在文檔中 壓電壓磁纖維複合材料磁電耦合效應之最佳化 (頁 26-44)