磁電耦合效應之最佳化

本章主要模擬不同極化方向之組合，藉其方法得到最佳磁電耦合效應。首先 使用尤拉角將空間中任意的材料極化方向由局域座標轉至全域座標，並計算其極 化組合產生之磁電效應。將最佳處之材料性質利用有限元素法模擬等效性質與體 積比之關係，再使用Mori-Tanaka 微觀力學模型與其驗證結果之正確性。4-1 節 闡述BTO 置入 CFO 複合材料經過任意極化方向組合後之最佳磁電耦合效應。4-2 節則闡述CFO 置入 BTO 複合材料經過任意極化方向組合，其產生之最佳磁電耦 合效應。4-3 節本章的結果與討論，將有限元素法與 Mori-Tanaka 模式得到之最 佳化磁電耦合效應相互比較。

4-1 BaTiO 3

置入

CoFe 2 O 4

之最佳磁電耦合效應

本文使用之尤拉角是以 x′ ₃

、x′′和

₂ x ′′′ ₃

軸為旋轉軸，依序逆時針旋轉

α

、β和γ ， 將空間中任意極化方向之材料性質從局域座標轉至全域座標。由於BTO 和 CFO 是屬於

6mm

的晶格對稱形式，而材料的極化方向是沿著

x′ ₃

軸，所以當以

x′ ₃

軸作 旋轉時並不會改變材料性質，因此本章有關6mm 對稱晶格材料僅作x′′旋轉

₂

β角

和

x ′′′ ₃

軸旋轉γ 角。另外磁電耦合效應與材料性質以及內含物的體積比有關，本文

取極化方向皆為

[ ]

001 時所得到最佳磁電耦合效應之體積比作為模擬的基準，以 利於計算不同極化方向之組合所產生之磁電耦合效應。

67

4-1-1 BTO 置入 CFO 之等效磁電電壓係數 α ^* _{E , 11}

3-2-1 節中得知BTO

[

001

]

/CFO

[

001

]

之最佳α

^* _{E , 11}

為-0.0306V/cmOe 且發生 在f = 0.34，因此計算不同極化方向之磁電效應時固定 f = 0.34，再比較各種極化 方向產生的磁電效應並記錄極值發生處。經過旋轉後，得到最佳α

^* _{E , 11}

為

-1.3384V/cmOe，其對應的尤拉角為

( α _m ,β _m ,γ _m ) = ( α _i ,β _i ,γ _i ) )

90 , 111 , 0 ( or ) 90 , 69 , 0

( ° ° ° ° ° °

=

，其中下標

m

代表母材 (matrix)、

i

代表內含物

(inclusion)。

圖4-1a 為固定β

_m = 69 °

、γ

_m = 0 9 °

，α

_E ^* _{, 11}

與β 與

_i

γ 之關係；圖 4-1b 為固定

_i

°

i = 69

β 、γ

_i = 0 9 °

，α

^* _{E , 11}

與β 與

_m

γ 之關係；圖 4-1c 為固定

_m

β

_m =111 °

、γ

_m = 0 9 °

，

* 11 ,

α

E

與β 與

_i

γ 之關係；圖 4-1d 為固定

_i

β

_i =111 °

、γ

_i = 0 9 °

，α

_E ^* _{, 11}

與β 與

_m

γ 之關

_m

係。

68

(a)

(b)

0

45 90

135 180

0 45 90 135 180 -1.5

-1 -0.5 0 0.5

γ _i

(deg)

β _i

(deg)

α * E, 1 1 (V /c mO e)

Normal = -0.0306V/cmOe Max. = -1.3384V/cmOe ( α,β,γ ) = (α,69 ^o ,90 ^o ) f = 0.34

0

45 90

135 180

0 45 90 135 180 -1.5

-1 -0.5 0 0.5

γ _m

(deg)

β _m

(deg)

α * E, 1 1 (V /c mO e)

Normal = -0.0306V/cmOe

Max. = -1.3384V/cmOe

( α,β,γ ) = (α,69 ^o ,90 ^o )

f = 0.34

69

(c)

(d)

圖4-1

α _E ^* _{, 11}

與β 、

_i

γ 、

_i

β 、

_m

γ 於 f = 0.34 之關係

_m

0

45 90

135 180

0 45 90 135 180 -1.5

-1 -0.5 0 0.5

γ _i

(deg)

β _i

(deg)

α * E, 1 1 (V /c mO e)

Normal = -0.0306V/cmOe Max. = -1.3384V/cmOe ( α,β,γ ) = (α,111 ^o ,90 ^o ) f = 0.34

0 45

90 135 180

0 45 90 135 180 -1.5

-1 -0.5 0 0.5

γ _m

(deg)

β _m

(deg)

α * E, 1 1 (V /c mO e)

Normal = -0.0306V/cmOe

Max. = -1.3384V/cmOe

( α,β,γ ) = (α,111 ^o ,90 ^o )

f = 0.34

70

71

加，

BTO(0 ° ,69 ° ,90 ° )

之介電性質逐漸顯現則等效介電常數逐漸提升，當f = 1 時呈現

BTO(0 ° ,69 ° ,90 ° )

之介電性質。由

q ^*

之結果發現，當f = 0 時呈現

) 90 , 69 , 0

( ° ° °

之性質且擁有10 個元素，因此等效壓電耦合常數亦有 10 個元素，分 別為

q ₁₅ ^*

、

q ₁₆ ^*

、q 、

^* ₂₁

q 、

^* ₂₂ q ^* ₂₃

、q 、

^* ₂₄ q ₃₁ ^*

、

q ₃₂ ^*

、

q ₃₃ ^*

與

q ₃₄ ^*

，當f = 1 呈現

) ,90 ,69

BTO(0 ° ° °

之性質，所以等效壓磁耦合常數為0。由從

μ ^*

之結果發現，當 f = 0 時呈現

CFO ( 0 ° ,69 ° ,90 ° )

之磁導率性質且擁有5 個元素，因此等效介電常數 亦有5 個元素，分別為

μ ₁₁ ^*

、

μ ^* ₂₂

、μ 、

₂₃ ^*

μ 與

₃₂ ^*

μ ，隨著內含物增加等效磁導率

₃₃ ^*

隨之減少，當f = 1 則完整呈現

BTO(0 ° ,69 ° ,90 ° )

之磁導率。

由

λ ^*

之結果中得知，當對

BTO(0 ° ,69 ° ,90 ° )

/

CFO ( 0 ° ,69 ° ,90 ° )

提供平均電場

E 1

，則BTO 中的

e ₁₅

、

e ₁₆

項會參與耦合的行為，而CFO 中的

q ₁₅

、

q ₁₆

項因應 BTO 的耦合行為產生平均磁場

H ₁

，因此得到λ ；如果提供平均電場

^* ₁₁ E ₂

，則 BTO 中的e 、

₂₁

e 、

₂₂ e ₂₃

、e 項會參與耦合的行為，而 CFO 材料中的

₂₄

q 、

₂₁

q 、

₂₂ q 23

、q 項會因應 BTO 的耦合行為產生平均磁場

₂₄ H ₂

，因此會得到λ 。然而除

^* ₂₂

了產生

H ₂

以外，CFO 中

q ₃₁

、

q ₃₂

、

q ₃₃

、

q ₃₄

項也會因應BTO 的耦合行為產生 平均磁場

H ₃

，所以會得到

λ ^* ₂₃

；如果提供平均電場

E ₃

，則BTO 中的

e ₃₁

、

e ₃₂

、

e 33

、

e ₃₄

項會參與耦合的行為，而CFO 材料中的

q ₃₁

、

q ₃₂

、

q ₃₃

、

q ₃₄

項會因應 BTO 的耦合行為產生平均磁場

H ₃

，因此會得到

λ ^* ₃₃

。另外除了產生

H ₃

以外，

CFO 中q 、

₂₁

q 、

₂₂ q ₂₃

、q 項也會因應 BTO 的耦合行為產生平均磁場

₂₄ H ₂

，所 以會得到

λ ^* ₃₂

。

得到λ 、

^* ₁₁

λ 、

^* ₂₂ λ ^* ₂₃

、

λ ^* ₃₂

與

λ ^* ₃₃

以及

κ ₁₁ ^*

、

κ ^* ₂₂

、κ 、

₂₃ ^* κ ₃₂ ^*

與

κ ₃₃ ^*

，也就可以 得知

α

_E

^* _{, 11}

、

α ^*

_E

_{, 22}

、

α ^*

_E

_{, 23}

、

α

_E

^* _{, 32}

與

α ^*

_E

_{, 33}

。從

α ^* _E

(圖 4-3)之結果得知當 f = 0.31 時，

則

α

_E

^* _{, 11}

之極值達至-1.3441V/cmOe。當 f = 0.34 時，則α

^* _{E , 22}

之極值達至

-0.5520V/cmOe。當 f = 0.25 時，則α

^* _{E , 23}

之極值達至469.6768V/cmOe。當 f = 0.50 時，則α

^* _{E , 32}

之極值達至-5.7341V/cmOe。當 f = 0.07 時，則α

^* _{E , 33}

之極值達至

72

-3.6658V/cmOe。α

_E ^* _{, 23}

之值較大之原因是因為

λ ^* ₂₃

大且接近

λ ^* ₃₃

，但

κ ₂₃ ^*

小，所以

* 23 ,

α

E

值可達到將近500V/cmOe 之數。

另外當 f = 0.85 時，則λ 之極值達至-2.8008×10

₁₁ ^{* -10}

Ns/VC。當 f = 0.86 時，則

*

λ 之極值達至-1.3603×10

22 ^-10

Ns/VC。當 f = 0.42 時，則

λ ^* ₂₃

之極值達至

3.3454×10

^-9

Ns/VC。當 f = 0.90 時，則

λ ^* ₃₂

之極值達至-1.0644×10

^-10

Ns/VC。當 f = 0.48 時，則

λ ^* ₃₃

之極值達至-9.9930×10

^-9

Ns/VC。

73

Volume Fraction of Inclusion C

*

(P a)

Volume Fraction of Inclusion e

*

(C /m

2

)

Volume Fraction of Inclusion κ

*

(C

2

/Nm

2

)

Volume Fraction of Inclusion q

*

(N /A m )

Volume Fraction of Inclusion μ

*

(N s

2

/C

2

)

Volume Fraction of Inclusion

λ

*

(N s/ V C )

74

(a) α

^{* E , 11}

(b) α

^{E * , 22}

(c) α

^{* E , 23}

(d) α

^{E * , 32}

(e) α

^{* E , 33}

圖4-3

α ^* _E

與 f 之關係

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

Volume Fraction of Inclusion α

* E,11

(V /c mO e)

MT SQU HEX

BTO(0

^o

,69

^o

,90

^o

)/CFO(0

^o

,69

^o

,90

^o

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1

Volume Fraction of Inclusion α

* E,22

(V /c mOe)

MT SQU HEX

BTO(0

^o

,69

^o

,90

^o

)/CFO(0

^o

,69

^o

,90

^o

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-100 0 100 200 300 400 500

Volume Fraction of Inclusion α

* E,23

(V /c m O e)

MT SQU HEX

BTO(0

^o

,69

^o

,90

^o

)/CFO(0

^o

,69

^o

,90

^o

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2

Volume Fraction of Inclusion α

* E,32

(V /c m O e)

MT SQU HEX

BTO(0

^o

,69

^o

,90

^o

)/CFO(0

^o

,69

^o

,90

^o

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

Volume Fraction of Inclusion α

* E,33

(V /c mOe)

MT SQU HEX

BTO(0

^o

,69

^o

,90

^o

)/CFO(0

^o

,69

^o

,90

^o

)

75

4-1-2 BTO 置入 CFO 之等效磁電電壓係數 α ^* _{E , 33}

3-2-1 節得知BTO

[

001

]

/CFO

[

001

]

之最佳α

_E ^* _{, 33}

為1.1494V/cmOe 發生在內含 物體積比f = 0.06，在計算等效性質時固定 f = 0.06，再比較各種極化方向產生的 磁電效應並記錄極值發生處。經過旋轉後，得到最佳之α

^* _{E , 33}

為-5.7986V/cmOe，

其對應的尤拉角為

(

α

_m ,

β

_m ,

γ

_m ) = (

α

_i ,

β

_i ,

γ

_i ) = (

α

, 90 ° , 0 ° )

。圖4-4 是固定

°

=

= _i 90

m

β

β ，得到α

_E ^* _{, 33}

與γ 、

_m

γ 之關係。

_i

圖4-4

α _E ^* _{, 33}

與γ 、

_i

γ 於 f = 0.06 之關係

_m

因為α

^{E * , 33}

是計算

x ₃

軸上的等效磁電效應與場量之關係，而觀察圖2-7 尤拉角 的旋轉過程中，從

x ′′′ ₃

軸旋轉γ 得到

x ₃

的座標系統可發現

x ₃

軸與

x ′′′ ₃

軸同向，所以

x 3

軸計算得到的α

_E ^* _{, 33}

會

x ′′′ ₃

軸計算得到的α

_E ^* _{, 33}

相同。當使用尤拉角旋轉座標系統 計算α

_E ^* _{, 33}

時，首先

α

因為材料對稱性的關係，所以作任何旋轉皆不會影響材料 性質；γ 因為旋轉前

x ′′′ ₃

與旋轉後

x ₃

軸皆同向，所以旋轉任何角度也不影響材料

0

45 90

135 180

0 45 90 135 180 -6 -4 -2 0 2 4 6

γ _i (deg) γ _m (deg)

* α (V /c m O e ) E, 33

Normal = 1.1494V/cmOe Max. = -5.7986V/cmOe ( α,β,γ ) = (α,90 ^o ,γ)

f = 0.06

76

77

。當f = 0.85，λ 之極值達至-2.5511×10

^* ₂₂ ^-10

Ns/VC。當 f = 0.50，

λ ^* ₃₃

之極值達至 -1.6832×10

^-8

Ns/VC。

78

Volume Fraction of Inclusion C

*

(P a)

Volume Fraction of Inclusion e

*

(C /m

2

)

Volume Fraction of Inclusion κ

*

(C

2

/N m

2

)

Volume Fraction of Inclusion q

*

(N /A m )

Volume Fraction of Inclusion μ

*

(N s

2

/C

2

)

Volume Fraction of Inclusion

λ

*

(N s/ V C )

79

(a) α

^* _{E , 11}

(b) α

_E ^* _{, 22}

(c)

α _E ^* _{, 33}

圖4-6 與 f 之關係

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1

Volume Fraction of Inclusion α

* E,11

(V /c m O e)

MT SQU HEX

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

Volume Fraction of Inclusion α

* E,22

(V /c m O e)

MT SQU HEX

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Volume Fraction of Inclusion α

* E,33

(V /c m O e)

MT SQU HEX

*

α E

[ ]

^{1 00 /CFO}

[ ]

^{1 00}

BTO

[ ]

^{1 00 /CFO}

[ ]

^{1 00}

BTO

[ ]

1 00 /CFO

[ ]

1 00

BTO

80

4-2 CoFe 2 O 4

置入

BaTiO 3

之最佳磁電耦合效應

4-2-1 CFO 置入 BTO 之等效磁電電壓係數 α ^* _{E , 11}

3-3-1 節中得知CFO

[

001

]

/BTO

[

001

]

之最佳

α

_E

^* _{, 11}

為-0.0244V/cmOe 且發生 在內含物體積比f = 0.98，因此計算不同極化方向之磁電效應時固定 f = 0.98，再 比較各種極化方向產生的磁電效應並記錄極值發生處。經過旋轉後，得到最佳之

* 11 ,

α

E 為-2.4823V/cmOe，其對應的尤拉角為

(

α

_m ,

β

_m ,

γ

_m ) = (

α

_i ,

β

_i ,

γ

_i ) = (

α

, 90 ° , 90 ° )

。 圖4-7a 是固定β

_m = 90 °

、γ

_m = 90 °

，得到α

^* _{E , 33}

與β 、

_i

γ 之關係 ；圖 4-7b 是固

_i

定β

_i = 90 °

、γ

_i = 90 °

，得到α

_E ^* _{, 33}

與β 、

_m

γ 之關係。

_m

81

(a)

(b)

圖4-7

α _E ^* _{, 11}

與β 、

_i

γ 、

_i

β 、

_m

γ 於 f = 0.98 之關係

_m

0

45 90

135 180

0 45 90 135 180 -2.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

γ _i (deg) β _i (deg)

* α (V /c m O e ) E,1 1

Normal = -0.0244V/cmOe Max. = -2.4823V/cmOe ( α,β,γ ) = (α,90 ^o ,90 ^o ) f = 0.98

0

45 90

135 180

0 45 90 135 180 -2.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

γ _m (deg) β _m (deg)

* α (V /c m O e ) E,1 1

Normal = -0.0244V/cmOe

Max. = -2.4823V/cmOe

( α,β,γ ) = (α,90 ^o ,90 ^o )

f = 0.98

82

83

κ 之結果發現，當 f = 0 時是 *

BTO

[

010

]

之介電性質，隨著內含物增加等效介電 常數逐漸減少，當f = 1 時是CFO

[

010

]

之性質，此兩種情況之κ 與

₁₁ ^* κ ₃₃ ^*

相等，κ

₂₂ ^*

比κ 、

₁₁ ^* κ ₃₃ ^*

大；由

q ^*

之結果發現，當f = 0 時完整呈現BTO

[

010

]

之性質，因此等 效壓磁耦合常數為0，隨著內含物增加等效壓磁耦合常數逐漸提升，當 f = 1 時完 整呈現CFO

[

010

]

之壓磁耦合性質，此時q 與

₁₆ ^*

q 相等、

^* ₃₄ q ^* ₂₁

與q 相等。由

^* ₂₃ μ ^*

之 結果發現，當f = 0 時呈現BTO

[

010

]

之磁導率性質，隨著內含物增加等效磁導率 逐漸提升，當f = 1 則呈現CFO

[

010

]

之磁導率，此兩種情況之μ 與

₁₁ ^* μ ₃₃ ^*

相等，μ

₂₂ ^*

比μ 、

₁₁ ^* μ ₃₃ ^*

大。

由

λ

^*之結果發現，當提供平均磁場

H ₁

，CFO 中的

q ₁₆

會參與耦合的行為，

而BTO 中的

e ₁₆

項因應CTO 的耦合行為產生平均電場

E ₁

，因此可以得到λ ；

₁₁ ^*

提供平均磁場

H ₂

，則CFO 中的q 、

₂₁

q 、

₂₂ q ₂₃

項會參與耦合的行為，而BTO 材料中的e 、

₂₁

e 、

₂₂ e ₂₃

項會因應CFO 的耦合行為產生平均電場

E ₂

，因此得到λ ；

^* ₂₂

提供平均磁場

H ₃

，則CFO 中的

q ₃₄

項會參與耦合的行為，而BTO 材料中的

e ₃₄

項會因應CFO 的耦合行為產生平均電場

E ₃

，因此得到

λ ^* ₃₃

。

經由模擬得到λ 、

^* ₁₁

λ 、

^* ₂₂ λ ^* ₃₃

與κ 、

₁₁ ^*

κ 、

₂₂ ^* κ ₃₃ ^*

，也就可以得知

α

_E

^* _{, 11}

、

α

_E

^* _{, 22}

與

* 33 ,

α

E 。因此，從

α ^* _E

(圖 4-9)之結果得知當 f = 0.98 時，則

α ^*

_E

_{, 11}

之極值達至

-2.4823V/cmOe。當 f = 0.97 時，則

α ^*

_E

_{, 22}

之極值達至0.6641V/cmOe。當 f = 0.92 時，則

α _E ^* _{, 33}

之極值達至-6.2357V/cmOe。

另外當 f = 0.83 時，則λ 之極值達至-7.1907×10

^* ₁₁ ^-10

Ns/VC。當 f = 0.81 時，則

*

λ 之極值達至 3.4856×10

22 ^-10

Ns/VC。當 f = 0.50 時，則

λ ^* ₃₃

之極值達至 -1.8145×10

^-8

Ns/VC。

84

Volume Fraction of Inclusion C

*

(P a)

Volume Fraction of Inclusion e

*

(C /m

2

)

Volume Fraction of Inclusion κ

*

(C

2

/N m

2

)

Volume Fraction of Inclusion q

*

(N /A m )

Volume Fraction of Inclusion μ

*

(N s

2

/C

2

)

Volume Fraction of Inclusion

λ

*

(N s/ V C )

85

(a)

α ^* _{E , 11}

(b)

α _E ^* _{, 22}

(c)

α _E ^* _{, 33}

圖4-9

α ^* _E

與 f 之關係

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

Volume Fraction of Inclusion α

* E,11

(V /c mO e)

MT SQU HEX

CFO[010]/BTO[010]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Volume Fraction of Inclusion α

* E,22

(V /c mO e)

MT SQU HEX

CFO[010]/BTO[010]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Volume Fraction of Inclusion α

* E,33

(V /c m O e)

MT SQU HEX

CFO[010]/BTO[010]

86

4-2-2 CFO 置入 BTO 之等效磁電電壓係數 α ^* _{E , 33}

3-3-1 節得知CFO

[

001

]

/BTO

[

001

]

之最佳

α _E ^* _{, 33}

為1.2288V/cmOe 發生在內含 物體積比f = 0.94，在計算等效性質時固定 f = 0.94，再比較各種極化方向產生的 磁電效應並記錄極值發生處。經過旋轉後，得到最佳之

α ^* _{E , 33}

為-6.2079V/cmOe

，其對應的尤拉角為

(

α

_m ,

β

_m ,

γ

_m ) = (

α

_i ,

β

_i ,

γ

_i ) = (

α

, 90 ° , 0 ° )

。圖4-10 是固定

°

=

= _i 90

m

β

β ，得到

α _E ^* _{, 33}

與γ 、

_m

γ 之關係。

_i

圖4-10

α ^* _{E , 33}

與γ 、

_i

γ 於 f = 0.94 之關係

_m

已知旋轉(

α

,

β

,

γ

) (= 0°,90°,0°)之極化方向是沿著

[ ] ^{1 00}

^{，根據4-1-2 節}

[ ] 1 00

BTO

/

CFO [ ] 1 00

得知其結果會與BTO

[ ]

100 /CFO

[ ]

100 相同，僅

e ^*

、

q ^*

有著負 號之差異。同理，

CFO [ ] 1 00

/

BTO [ ] 1 00

(圖 4-11、圖 4-12)亦會與CFO

[ ]

100 /

[ ]

100

BTO 之等效性質相同，因此本節之結果可參閱3-3-4 節並與其相驗證。

從

α ^* _E

之結果得知當f = 0.97 時，則

α ^* _{E , 11}

之極值達至0.6617V/cmOe。當 f = 0.98

0 45

90 135

180

0 45 90 135 180 -10

-5 0 5 10

γ _i (deg) γ _m (deg)

α * E, 33 (V /c m O e )

Normal = 1.2288V/cmOe Max. = -6.2079V/cmOe ( α,β,γ) = (α,90 ^o ,γ)

f = 0.94

87

時，則

α ^* _{E , 22}

之極值達至-2.4823V/cmOe。當 f = 0.92 時，則

α ^* _{E , 33}

之極值達至

-6.2357V/cmOe；由

λ ^*

之結果得知，當f = 0.81，

λ ^* ₁₁

之極值達至3.4856×10

^-10

Ns/VC。

當f = 0.83，λ 之極值達至-7.1907×10

^* ₂₂ ^-10

Ns/VC。當 f = 0.50，λ

^* ₃₃

之極值達至 -1.8145×10

^-8

Ns/VC。

88

Volume Fraction of Inclusion C

*

(P a)

Volume Fraction of Inclusion e

*

(C /m

2

)

Volume Fraction of Inclusion κ

*

(C

2

/Nm

2

)

Volume Fraction of Inclusion q

*

( N /Am )

Volume Fraction of Inclusion μ

*

(N s

2

/C

2

)

Volume Fraction of Inclusion

λ

*

(N s/V C )

89

(a)

(b)

(c)

圖4-12 與 f 之關係

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Volume Fraction of Inclusion α

* E,11

( V /cm O e)

MT SQU HEX

* 11 ,

α E

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

Volume Fraction of Inclusion α

* E,22

( V /cm O e)

MT SQU HEX

* 22 ,

α E

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Volume Fraction of Inclusion α

* E,33

( V /cm O e)

MT SQU HEX

* 33 ,

α E

*

α E

[ ]

1 00 /BTO

[ ]

1 00 CFO

[ ]

^{1 00 /BTO}

[ ]

^{1 00}

CFO

[ ]

1 00 /BTO

[ ]

1 00

CFO

90

4-3 結果與討論

任意極化方之最佳磁電耦合效應

本節之模擬是將內含物與母材分別取隨機極化方向組合，經過比對後得到最

佳磁電耦合效應。因此可以固定母材(內含物)極化方向，得到

α ^* _E

與內含物(母材) 極化方向之關係(圖 4-1、圖 4-4、圖 4-7、圖 4-10)。在固定內含物體積比下，

[

001

]

BTO /CFO

[

001

]

之

α ^*

_E

_{, 11}

為-0.0306V/cmOe，利用極化方向組合得到最佳之

* 11 ,

α

E 為-1.3384V/cmOe，提升幅度約 44 倍。CFO

[

001

]

/BTO

[

001

]

之

α

_E

^* _{, 11}

為 -0.0244V/cmOe，利用極化方向組合得到最佳之

α ^*

_E

_{, 11}

為-2.4823V/cmOe，提升幅 度約101 倍；BTO

[

001

]

/CFO

[

001

]

之

α ^*

_E

_{, 33}

為1.1494V/cmOe，利用極化方向組合 得到最佳之

α

_E

^* _{, 33}

為-5.7986V/cmOe，提升幅度約 5 倍。CFO

[

001

]

/BTO

[

001

]

之

* 33 ,

α

E 為1.2288V/cmOe，利用極化方向組合得到最佳之

α

_E

^* _{, 33}

為-6.2079V/cmOe，

提升幅度約5 倍。

根據本節之結果發現，BTO

[

100

]

/CFO

[

100

]

與

BTO [ ] 1 00

/

CFO [ ] 1 00

擁有最 佳之

α

_E

^* _{, 33}

(圖 3-9、圖 4-6)；CFO

[

100

]

/BTO

[

100

]

、

CFO [ ] 1 00

/

BTO [ ] 1 00

與

[

010

]

CFO /BTO

[

010

]

擁有最佳之

α

_E

^* _{, 33}

，因此說明了BTO/CFO、CFO/BTO 複合 材料當其材料之極化方向皆垂直於

[ ]

001 時，則擁有最佳之α

^* _{E , 33}

(圖 3-15、圖 4-9、

圖4-11)。另外從 CFO/BTO 任意極化方向模擬結果得知CFO

[

010

]

/BTO

[

010

]

亦 擁有最佳α

_E ^* _{, 11}

，而

[ ]

010 中有關

x ₁

軸上各個材料性質會與

[ ]

100 、

[ ] 1 00

中

x ₂

軸上 各個材料性質相同，

[ ]

010 中有關

x ₂

軸上各個材料性質會與

[ ]

100 、

[ ] 1 00

中

x ₁

軸 上各個材料性質相同。所以CFO

[

010

]

/BTO

[

010

]

模擬結果之α 、

_E ^* _{, 11}

α

^* _{E , 22}

(圖 4-9) 分別等於CFO

[

100

]

/BTO

[

100

]

、

CFO [ ] 1 00

/

BTO [ ] 1 00

之α

^* _{E , 22}

、α

^* _{E , 11}

(圖 3-15、

圖4-11) 。

另外模擬結果亦發現當 BTO/CFO 複合材料之極化方向不是沿著

[ ]

001 時，其

91

水平方向磁電耦合效應α

_E ^* _{, 11}

、α

^* _{E , 22}

顯示，有限元素法與MT 數值方法之結果不 吻合。反之CFO/BTO 複合材料於任意極化方向所求得的水平方向磁電耦合效應，

有限元素法與MT 數值方法求得之結果相當吻合。

Oh[51]近年利用壓磁/壓電纖維狀複合材料(CFO/BFO)之實驗量測得到

α _E ^* _{, 31}

為0.12V/cmOe，此數值比其以往量測得到之α

^* _{E , 33}

大5 倍。本章之壓磁/壓電 (CFO/BTO)複合材料得到最佳磁電耦合效應為-6.2357V/cmOe。而本文亦嘗試利 用BiFeO

3

(BFO)替代 BTO 並與 CFO 作複合，其模擬結果請參閱附錄 A~D。

本章磁電效應最佳化之模擬整理於表 6，並作以下幾點之結論:

1. 根據最佳化之等效性質得知，最佳水平向之磁電電壓係數為CFO

[

010

]

/

[

010

]

BTO 之

α ^* _{E , 11}

為-2.4823V/cmOe，最佳垂直向之磁電電壓係數為

[

100

]

CFO /BTO

[

100

]

、

CFO [ ] 1 00

/

BTO [ ] 1 00

、CFO

[

010

]

/BTO

[

010

]

之

α ^* _{E , 33}

為-6.2357V/cmOe。

2. CFO

[

010

]

/BTO

[

010

]

與CFO

[

100

]

/BTO

[

100

]

、

CFO [ ] 1 00

/

BTO [ ] 1 00

之

* 33 ,

α E

相同，而CFO

[

010

]

/BTO

[

010

]

之α

^* _{E , 11}

、α

_E ^* _{, 22}

亦分別與CFO

[

100

]

/

[

100

]

BTO 、

CFO [ ] 1 00

/

BTO [ ] 1 00

之α 、

^* _{E , 22}

α

^* _{E , 11}

相同，因此說明

[ ]

010 與

[ ]

100 、

[ ] 1 00

擁有相同極化方向性質。

3. 本文選用之材料 BTO、CFO 皆屬於 6mm 晶格對稱形式，經由模擬任意極化 方向組合後，發現當內含物與母材擁有相同極化方向時，可得到最佳磁電耦 合效應，例如

BTO ( 0 ° ,69 ° ,90 ° )

/

CFO ( 0 ° ,69 ° ,90 ° )

、

BTO ( 0 ° ,111 ° ,90 ° )

/

) ,90 ,111 0 (

CFO ° ° °

、BTO

[

100

]

/CFO

[

100

]

、

BTO [ ] 1 00

/

CFO [ ] 1 00

、

[

100

]

CFO /BTO

[

100

]

、

CFO [ ] 1 00

/

BTO [ ] 1 00

、CFO

[

010

]

/BTO

[

010

]

。 4. BTO 與 CFO 之複合材料，當材料極化方向與纖維方向

[ ]

001 垂直時，複合材

料可以得到最佳α

^* _{E , 33}

，例如BTO

[

100

]

/CFO

[

100

]

、

BTO [ ] 1 00

/

CFO [ ] 1 00

、

92

[

100

]

CFO /BTO

[

100

]

、

CFO [ ] 1 00

/

BTO [ ] 1 00

、CFO

[

010

]

/BTO

[

010

]

。

由於目前的實驗器材與技術進步，可觀察複合材料內不同方向生長之磊晶薄 膜，並得到薄膜上之磁電耦合效應。因此在壓電壓磁雙相複合材料的實驗或模擬 中，選擇適當的極化方向組合即可有效的提升磁電耦合效應。

93

表 6 磁電耦合效應之最佳化

f ( , , ) ( 0 , 69 , 90 )

BTO/CFO

°

°

° γ = β

α ^f ( , , ) ( 0 , 90 , 0 )

BTO/CFO

°

°

° γ =

β

α ^f ( , , ) ( 0 , 90 , 90 ) CFO/BTO

°

°

° γ = β

α ^f ( , , ) ( 0 , 90 , 0 )

CFO/BTO

°

°

° γ =

β α

) Ns/VC (

*

λ

11

0.85 -2.8008×10 ^-10 0.86 -1.4723×10 ^-10 0.83 -7.1907×10 ^-10 0.81 3.4856×10 ^-10

) Ns/VC (

*

λ

22

0.86 -1.3603×10 ^-10 0.85 -2.5511×10 ^-10 0.81 3.4856×10 ^-10 0.83 -7.1907×10 ^-10

) Ns/VC (

*

λ

23

0.42 3.3454×10 ^-9 － － － － － －

) Ns/VC (

*

λ

32

0.90 -1.0644×10 ^-10 － － － － － －

) Ns/VC (

*

λ

33

0.48 -9.9930×10 ^-9 0.50 -1.6832×10 ^-8 0.50 -1.8145×10 ^-8 0.50 -1.8145×10 ^-8

(V/cmOe)

* 11 ,

α

E

0.31 -1.3441 0.35 -0.5781 0.98 -2.4823 0.97 0.6617

(V/cmOe)

* 22 ,

α

E

0.34 -0.5520 0.30 -1.2264 0.97 0.6641 0.98 -2.4823

(V/cmOe)

* 23 ,

α

E

0.25 469.6768 － － － － － －

(V/cmOe)

* 32 ,

α

E

0.50 -5.7341 － － － － － －

(V/cmOe)

* 33 ,

α

E

0.07 -3.6658 0.08 -5.8250 0.92 -6.2357 0.92 -6.2357

94

在文檔中 壓電壓磁纖維複合材料磁電耦合效應之最佳化 (頁 84-112)