本章是用Mori-Tanaka 微觀力學模型與有限元素軟體 COMSOL Multiphysics 來模 擬壓電壓磁顆粒複合材料在8 種特殊極化方向案例之磁電耦合效應。複合材料中在此 所使用之壓電材料為3m 對稱性之鈮酸鋰(LiNbO3,LNO)，壓磁材料為 6mm 對稱性之 鈷鐵氧(CoFe2O4,CFO)，附錄則是將壓電材料換為 6mm 對稱性之鈦酸鋇(BaTiO3,BTO)。
最後將Mori-Tanaka 模式之預測與實驗數據相互比較。
3-1 模擬案例
本章是模擬壓電壓磁顆粒複合材料之LNO 置入 CFO 與 CFO 置入 LNO 在極化方 向沿著全域座標系 x3軸或 x1軸各組合出4 種模擬案例(如圖 3-1)，總共 8 組模擬案例(表 3-1)。特殊極化方向沿著全域座標系 x3軸可以表示成[001]；沿著全域座標系 x1軸可表 示成[100]。此外，複合材料與極化方向之表示方式以 LNO[001]/CFO[100]為例，斜線 左方表示內含物為LNO；斜線右方表示母材為 CFO。
表3-1 LNO-CFO 複合材料配置形式
案例 內含物 極化方向 母材 極化方向
Ⅰ
LNO
[001]
CFO
[001]
Ⅱ [100] [100]
Ⅲ [001] [100]
Ⅳ [100] [001]
Ⅴ
CFO
[001]
LNO
[001]
Ⅵ [100] [100]
Ⅶ [001] [100]
Ⅷ [100] [001]
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Ⅰ 內含物[001]；母材[001] Ⅱ 內含物[100]；母材[100]
Ⅲ 內含物[001]；母材[100] Ⅳ 內含物[100]；母材[001]
內含物極化方向
母材極化方向
全域參考座標系與箭頭指標
圖3-1 內含物與母材極化方向配置形式
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當材料之極化方向為[100]，即局域座標之 x3'軸與全域座標 x1軸同方向時，欲得知 材料在全域座標下之性質，在此使用2-3 節提到之尤拉角，其中尤拉角之 α 0°，
β 90°或 270°，γ 0°，運算後得到之旋轉矩陣 Q 為：
Q = 0 0 1 0 1 0 -1 0 0
.
再經由張量運算即可得到在全域座標下之性質，表3-2 即為 LNO 與 CFO 分別於 極化方向[001]與[100]在全域座標下之材料性質。圖 3-2 為局域座標轉與全域座標之示 意圖。
圖3-2 極化方向之局域座標與全域座標示意圖
使用有限元素軟體模擬之複合材料晶體結構為面心立方(FCC)，內含物球體與球 體間在體積比√2π/6 ≈ 0.7405 時會碰在一起，所以在使用有限元素模擬各案例從體積比 0.1 到 0.7 共 7 個體積比。
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3-2 LiNbO3置入CoFe2O4之壓電壓磁複合材料
3-2-1 LNO[001]置入 CFO[001]
本節討論內含物為 LNO，母材為 CFO 之複合材料，此兩材料之極化方向皆為[001]，
局域座標與全域座標一致，所以不需要使用尤拉角來旋轉局域座標求得全域座標下之 材料性質，材料性質如表3-2a 與表 3-2b。
使用Mori-Tanaka 模式模擬複合材料中，可以模擬沒有內含物存在到母材完全被 內含物所替代的狀況。因此，在設定內含物體積比為0 時，得到之等效材料性質為 CFO[001]的材料性質；設定體積比為 1 時，得到之等效材料性質為 LNO[001]之材料 性質。由體積比0 和 1 得到的等效材料性質來判斷，Mori-Tanaka 模式與程式碼是可 靠的。
由數據觀察得知(圖 3-3)，Mori-Tanaka 模式與有限元素之數據於非耦合的等效係 數都相當吻合，驗證Mori-Tanaka 模式之可靠性。複合材料之性質會隨著內含物體積 比的不同而產生顯著的變化，其中等效彈性係數C*、等效壓電係數e*、等效壓磁係數 q*、 等效介電常數 κ*與等效磁導率 μ*等非耦合之係數全部都隨著體積比的增加，呈現單調 遞增或遞減地緩緩趨向內含物LNO 的材料性質。LNO 之彈性係數C，壓磁係數 q 與 磁導率都 μ 比 CFO 來的小，隨著體積比的增加，LNO 的性質影響複合材料也越大，
所以這三項性質就越來越小。在壓電係數 e 與介電常數 κ 方面，LNO 都較 CFO 來的 大，隨體積比增加，此兩項等效材料性質e*、 κ*也跟著慢慢變大。此外，LNO 為 3m 的晶體結構，在與6mm 晶體結構的 CFO 複合後，等效壓磁係數出現了q16* 、q21* 、q22* ， 不過其最大值僅有1.9035 N/Am，出現在體積比 0.29，相對於其他等效壓磁係數差了102 倍以上。
LNO 為 3m 對稱性材料，雖然介電常數 κ11= κ22與磁導率μ11= μ22，不過彈性係數 存在許多交叉項，壓電係數擁有8 個元素，與 6mm 對稱性之材料係數不相同，可能 使得複合後之等效介電常數 κ11* 與 κ22*、等效磁導率 μ11* 與 μ22*、等效磁電係數 λ11* 與 λ22* 不
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相同，或出現交叉項( κij*, μij*, λij*,i≠j)，而結果顯示 Mori-Tanaka 模式與有限元素法的橫 向等效材料性質之數據相同，且沒有交叉項的存在。
等效磁電係數 λij*之數據隨體積比呈現類似拋物線的路徑，比較Mori-Tanaka 模式 與有限元素法之橫向等效磁電係數 λ11* 與 λ22* ，此兩數據在體積比0.3 之前都還大致相 符，但是到了體積比0.4 後差距開始拉大，不過此兩項數據隨體積比有合理的變化趨 勢。在縱向等效磁電係數 λ33* 上，Mori-Tanaka 模式之數據與有限元素法都相當吻合。
此外，在Mori-Tanaka 模式下， λ11* 與 λ22* 於體積比0.59 時出現最佳值-1.1906×10-9 Ns/VC；
λ33* 在體積比0.51 時有最佳值 -2.4679×10-10 Ns/VC，其值與 λ11* 與 λ22* 相差約4.82 倍。
最關注的磁電電壓係數 αE,ij* 中(圖 3-4)，其數據皆隨體積比呈現像拋物線之路徑，
Mori-Tanaka 模式與有限元素法之數據在 αE,11* 與 αE,22* 於體積比 0.3 前大致上相符，到 了體積比0.4 後即誤差變大，不過兩數據隨體積比變化之趨勢一致。在縱向磁電電壓 係數 αE,33* 上，Mori-Tanaka 模式與有限元素法都相當吻合。此外，在 Mori-Tanaka 模式 下， αE,11* 與 αE,22* 於體積比0.38 時有最佳值-8.0548 V/cmOe； αE,33* 於體積比0.39 有最 佳值-2.0829 V/cmOe，與橫向之最佳值相差約 3.867 倍。
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Volume Fraction of Inclusion C* (N/m2 )
Volume Fraction of Inclusion
e* (C/m2 )
Volume Fraction of Inclusion
* (N
Volume Fraction of Inclusion
q* (N/Am)
Volume Fraction of Inclusion
* (N
Volume Fraction of Inclusion
* (N
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圖3-4 磁電電壓係數αE*與體積比f 之關係
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -9
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
*E,11
*E,22
*E,33
* E (V/cmOe)
LNO[001]/CFO[001]
Volume Fraction of Inclusion
M-T FEM
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3-2-2 LNO[100]置入 CFO[100]
本節討論內含物LNO 與母材 CFO，兩材料之極化方向皆為[100]，所以需要使用 尤拉角對局域座標之 x2'軸順時針旋轉 90° 或逆時針旋轉270° ，材料性質如表 3-2c 與 3-2d
使用Mori-Tanaka 模式模擬複合材料，在體積比為 0 時，得到等效材料性質為 CFO[100]之材料性質，在體積比為 1 時，得到等效材料性質為 LNO[100]之材料性質，
由此可以判斷Mori-Tanaka 模式及程式碼之可靠性。
直接的觀察下，由於內含物為球體，極化方向皆為[100]之複合材料就像是將整體 材料旋轉 90°平放，所以材料的性質只是改變方向。在使用 Mori-Tanaka 模式模擬與有 限元素法驗證後，其結果僅是LNO[001]/CFO[001]在 x1方向與 x3方向的等效材料性質 分別轉為LNO[100]/CFO[100]在 x3方向與 x1方向的等效材料性質，由於是對 x2'軸旋轉，
所以在 x2方向之等效材料性質皆相同。就張量符號而言，即是將LNO[001]/CFO[001]
等效材料性質之張量下標1 換為 3，3 換為 1 即可得到 LNO[100]/CFO[100]之等效材料 性質。
在此極化方向下等效磁電係數 λij*(圖 3-5f)與磁電電壓係數 αE,ij* (圖 3-6)皆呈現類似 拋物線之路徑，Mori-Tanaka 模式之等效磁電係數 λ11* 在體積比0.51 時有最佳值 -2.4679×10-10 Ns/VC； λ22* 與 λ33* 於體積比0.59 時出現最佳值-1.1906×10-9 Ns/VC；磁 電電壓係數 αE,11* 於體積比0.39 有最佳值-2.0829 V/cmOe；αE,22* 與 αE,33* 於體積比0.38 時 有最佳值-8.0548 V/cmOe。
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Volume Fraction of Inclusion C* (N/m2 )
Volume Fraction of Inclusion
e* (C/m2 )
Volume Fraction of Inclusion
* (N
Volume Fraction of Inclusion
q* (N/Am)
Volume Fraction of Inclusion
* (N
Volume Fraction of Inclusion
* (N
s/VC)
M-T FEM
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圖3-6 磁電電壓係數αE*與體積比f 之關係
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -9
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
*E,11
*E,22
*E,33 LNO[100]/CFO[100]
Volume Fraction of Inclusion
* E (V/cmOe)
M-T FEM
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3-2-3 LNO[001]置入 CFO[100]
本節在討論複合材料之內含物為極化方向[001]之 LNO，母材為極化方向[100]之 CFO，所以需要用尤拉角將 CFO 之材料性質對局域座標 x2''軸順時針旋轉 90° 或逆時針 旋轉270° ，材料性質如表 3-2a 與 3-2d。
使用Mori-Takana 模式模擬複合材料中，在體積比為 0 時，得到等效材料性質為 CFO[001]之材料性質；在體積比為 1 時，得到等效材料性質為 LNO[100]之材料性質，
藉此可以判斷Mori-Tanaka 模式與程式碼之可靠性。
由數據觀察得知(圖 3-7)， Mori-Tanaka 模式與有限元素之數據於非耦合之等效係 數都相當吻合。複合材料之性質會隨著內含物體積比的不同而產生顯著的變化，其中 等效彈性係數C*、等效壓電係數e*、等效壓磁係數q*、等效介電常數κ*與等效磁導率 μ* 等非耦合之係數全部都隨著體積比的增加，呈現單調遞增或遞減地緩緩從CFO[100]
的材料性質趨向內含物LNO[001]的材料性質。
由於為CFO 的極化方向改變，使得等效介電常數 κ11*、 κ22* 與κ33* 與等效磁導率 μ11* 、 μ22* 與 μ33* 皆不相等，不過都沒有出現交叉項。此外，LNO 為 3m 的晶體結構，在與 6mm 晶體結構的CFO 複合後，等效壓磁係數多出了q14*、q25*、q36*，不過其最大值僅有1.7226 N/Am，相較於其他等效壓磁係數小了102倍以上。
在耦合項之等效磁電係數 λij*方面，因為CFO 的極化方向改變，使得磁電係數的 對角線值消失，轉而出現交叉項 λ12* 、 λ21* 與 λ13* 、 λ31* ，其趨勢隨體積比增加呈現像拋 物線的路徑。比較Mori-Tanaka 模式與有限元素法，在體積比 0.3 之前都相當吻合，
但是到了體積比0.4 之後，兩者數據之誤差開始加大，不過兩數據隨體積比變化之趨 勢是合理的。在Mori-Tanaka 模式之等效磁電係數， λ12* 在體積比0.63 有最佳值 8.4241×10-11 Ns/VC； λ21* 在體積比0.59 有最佳值 8.1193×10-10 Ns/VC； λ13* 在體積比 0.50 有最佳值 -1.9310×10-10 Ns/VC； λ31* 在體積比0.58 有最佳值-1.2507×10-9 Ns/VC。
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最重視的磁電電壓係數αE,ij* 方面，由於等效介電係數 κij*存在對角線之數值，而等 效磁電係數 λij*僅存在交叉項，所以此一配置沒有磁電電壓係數 αE,ij* 。
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Volume Fraction of Inclusion C* (N/m2 )
Volume Fraction of Inclusion
e* (C/m2 )
Volume Fraction of Inclusion
* (N
Volume Fraction of Inclusion
q* (N/Am)
Volume Fraction of Inclusion
* (N
Volume Fraction of Inclusion
* (N
s/VC)
M-T FEM
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3-2-4 LNO[100]置入 CFO[001]
本節在討論內含物為LNO，極化方向為[100]，母材為 CFO，極化方向為[001]的 複合材料，所以需要用尤拉角將LNO 之材料性質對局域座標 x2''軸順時針旋轉 90° 或 逆時針旋轉270° ，材料性質如表 3-2b 與 3-2c。
使用Mori-Tanaka 模式模擬複合材料，在體積比為 0 時，得到等效材料性質為 CFO[001]之材料性質，在體積比為 1 時，得到等效材料性質為 LNO[100]之材料性質，
由此可以判斷Mori-Tanaka 模式及程式碼之可靠性。
由數據觀察(圖 3-8)，此配置僅是將 LNO[001]/CFO[100]對全域座標之 x2軸旋轉90°，
材料之等效材料性質只是改變方向，原本LNO[001]/CFO[100]在 x1方向與 x3方向之等 效材料性質分別為此案例在 x3方向與 x1方向之等效材料性質。就張量之下標符號而言，
就是將LNO[001]/CFO[100]等效材料性質之下標 1 改為 3，3 改為 1 即轉為此案例之等 效材料性質。
所以此配置依然不存在磁電電壓係數αE,ij* ，因為等效介電常數κij*在對角線上有值，
而等效磁電係數 λij*存在於交叉項。Mori-Tanaka 模式下，等效磁電係數轉成在 λ13* 於體 積比0.58 有最佳值 -1.2507×10-9 Ns/VC； λ31* 在體積比0.50 有最佳值 -1.9310×10-10 Ns/VC； λ23* 於體積比0.59 時有最佳值8.1193×10-10 Ns/VC； λ32* 在體積比0.63 有最佳 值 8.4241×10-11 Ns/VC。
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Volume Fraction of Inclusion C* (N/m2 )
Volume Fraction of Inclusion
e* (C/m2 )
Volume Fraction of Inclusion
* (
Volume Fraction of Inclusion
q* (N/Am)
Volume Fraction of Inclusion
* (N
Volume Fraction of Inclusion
* (N
s/VC)
M-T FEM
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3-3 CoFe2O4置入 LiNbO3之壓電壓磁複合材料
3-3-1 CFO[001]置入 LNO[001]
本節在討論內含物為CFO，母材為 LNO 的複合材料，此兩材料之極化方向皆為 [001]，局域座標與全域座標一樣，所以不需要使用尤拉角來旋轉局域座標，材料性質 如表3-2a 與 3-2b。
使用Mori-Tanaka 模式模擬複合材料中，可以模擬從沒有內含物存在到母材完全 被內含物所替代的狀況。因此，在設定內含物體積比為0 時，模擬出來之等效材料性 質為LNO[001]的材料性質；設定體積比為 1 時，模擬出來之等效材料性質為 CFO[001]
之材料性質。由體積比0 和 1 得到的等效材料性質來判斷，Mori-Tanaka 與程式碼是
之材料性質。由體積比0 和 1 得到的等效材料性質來判斷，Mori-Tanaka 與程式碼是