理論架構

第二章 理論架構

本章介紹壓電壓磁複合材料之理論，藉由理論模擬複合材料之等效材料性質，並 探討材料所呈現之磁電耦合效應。2-1 節介紹壓電與壓磁材料的組成律及複合後的統 御方程式、等效材料性質的定義與連續條件；2-2 節介紹複合材料的微觀力學模型；

2-3 介紹尤拉角與張量轉換；2-4 節則是介紹用來驗證微觀力學模型的有限元素軟體之 建模流程。

2-1 材料組成律與等效材料性質

2-1-1 材料組成律與統御方程式

壓電與壓磁材料受力時不只是會產生變形，它分別還會產生電場、磁場，反之亦 然，這種現象是因為機械場與電場或磁場之耦合。在不考慮溫度對材料的影響下，壓 電材料之組成律是由彈性係數、壓電係數與介電常數構成；壓磁材料之組成律則是由 彈性係數、壓磁係數與磁導率構成。

壓電材料之組成律為：

σ_ij C_ijklε_kl e_lij E_l ,

D_i e_iklε_kl κ_il E_l , (2.1)

方程式中σ_ij為二階張量之應力(stress)、D_i為一階張量之電位移(electric displacement)；ε_kl 為二階張量之應變(strain)、E_l為一階張量之電場(electric field)；C_ijkl為四階張量之彈性 係數(elastic coefficient)、e_ikl為連接機械場與電場關係之三階張量的壓電係數

(piezoelectric coefficient)、κ_il為二階張量之介電常數(dielectric permittivity)。

壓磁材料之組成律為：

10

σ_ij C_ijklε_kl q_lij H_l , B_i q_iklε

kl μ_il H_l , (2.2)

方程式中B_i為一階張量之磁通量密度(magnetic flux density)、H_l為一階張量之磁場 (magnetic field)、q_ikl為連接機械場與磁場之三階張量的壓磁係數、μ_il為二階張量之磁 導率(magnetic permeability)。

將兩種材料合成為壓電壓磁複合材料，考慮複合材料之彈性場、電場與磁場為線 性的情況下，複合材料之磁電彈耦合之組成律可寫成：

σ_ij C_ijklε_kl e_lij E_l q_lij , D_i e_iklε_kl κ_il E_l λ_li , B_i q_iklε

kl λ_il E_l μ_il . (2.3)

方程式中多出的 λ_il即為連接電場與磁場之磁電係數(magnetoelectric coefficient)，

其為二階張量。此外，有些單相材料有微小的磁電效應，但是都太微弱以致將之忽略，

所以本研究假設單相材料之 λ_il = 0。

美國國家標準協會(ANSI)與國際電機電子工程師學會(IEEE)之共同標準對壓電 [39]與壓磁組成律[40]皆有詳細規範。

為了在方便日後的運算，將原本之彈性、電、磁之變數轉換成廣義應力Σ_iJ、廣義 應變Z_Mn與材料性質L_iJMn之張量形式表示，其中下標為小寫之符號從1 到 3、下標為大 寫則從1 到 5，轉換關係如下：

Σ_iJ

σ_ij, D_i,

B_i, J 1,2,3, J 4 , J 5 , Z_Mn

ε_mn= u_m,n+ u_n,m ⁄2 , E_n=φ_,n ,

n=ψ_,n ,

M=1,2,3, M=4 , M=5 ,

(2.4)

其中u 為位移，φ_,i為電勢能，ψ_,i為磁勢能。

磁電彈之材料性質則表示為：

11

L_iJMn

C_ijmn, J 3, M 3, e_ijn, J 3, M 4, q_ijn, J 3, M 5, e_imn, J 4, M 3, -κ_in, J 4, M 4, -λ_in, J 4, M 5, q_imn, J 5, M 3,

-λ_in, J 5, M 4,

-μ_in, J 5, M 5.

(2.5)

經過轉換後，可以將(2.3)式之廣義應力應變關係寫成：

Σ_iJ L_iJMnZ_Mn. (2.6)

磁電彈之材料性質L_iJMn可以利用(2.7)式，將鄰近之兩下標換成對應之下標，藉此 表示成12 12矩陣形式，其轉換關係如下[41]：

11→1, 22→2, 33→3, 23→4, 13→5, 12→6,

41→7, 42→8, 43→9, 51→10, 52→11, 53→12. (2.7) 轉換之後，(2.6)式之廣義應力、應變與磁電彈材料性質之張量運算可以表示成矩 陣形式：

Σ LZ, (2.8)

其中

Σ

σ₁₁ σ₂₂ σ₃₃ σ₂₃ σ₃₁ σ₁₂ D₁ D₂ D₃ B₁ B₂ B₃

, Z

ε₁₁ ε₂₂ ε₃₃ 2ε₂₃ 2ε₃₁ 2ε₁₂ E₁ E₂ E₃ H₁ H₂ H₃

,

12 體積元素(representative volume element,RVE)，所以〈Σ〉即為平均廣義應力，〈Z〉為平均 廣義應變。

在含有N 個內含物之複合材料中，每一個內含物之平均廣義應變可以與整體材料

13

之平均廣義應變藉由應變集中因子連結[42]：

〈Z_r〉 A_r〈Z〉 (2.14)

其中〈Z_r〉為第 r 個內含物之平均廣義應變，A_r即為母材(r = 0)或第 r 個內含物之廣義應 變集中因子(strain concentration factor)，其值可以隨不同的微觀模型而不同，且須滿 足： voltage coefficient)，其表示式為：

summation.

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其中λ_ij^*為等效磁電係數、 κ_ij^*為等效介電常數，此處之下標 i,j 沒有相加運算。磁電電 壓係數之單位為V/cmOe，其物理意義為在每公分 cm 厚度之試體上施加一厄斯特

Oe 的磁場，會產生α_E,ij^* 伏特之電位差 V 。

2-1-3 材料的選擇

本研究所使用之壓電材料為鈮酸鋰 LiNbO₃,LNO 和鈦酸鋇 BaTiO₃,BTO ；壓磁 材料為鈷鐵氧 CoFe₂O₄,CFO 。 LiNbO₃為一單晶材料，屬於三角晶系(trigonal)，擁有 3m 之對稱性，將它對 x₃軸旋轉 120°晶格結構會相同，且鈮酸鋰的居禮溫度高達約 1210^°C，使其在室溫下保有鐵電性[43]； CoFe₂O₄和BaTiO₃為陶瓷材料，屬於六角晶 系(hexagonal)，擁有 6mm 之橫向等向性，LNO、CFO 與 BTO 之材料常數如表 2-1 所 示。

材料性質之對稱性如圖2-1，左上方為 6×6 之彈性矩陣；左下方和右上方分別為 為 3×6 和轉置後 6×3 的壓電矩陣，而壓磁矩陣之對稱性與壓電矩陣相同；右下方為介 電常數，而磁導率之對稱性與介電常數相同。

圖2-1 6mm 與 3m 晶體對稱性之材料矩陣對稱形式(應力控制)[39]

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表2-1 材料性質

材料名稱 LiNbO₃[43] CoFe₂O₄[44] BaTiO₃[21]

材料性質/對稱性 (3m) (6mm) (6mm)

C11 (GPa) 203 286 166

C12 (GPa) 53 173 77

C13 (GPa) 75 170.5 78

C33 (GPa) 245 269.5 162

C44 (GPa) 60 45.3 43

C14 (GPa) 9 0 0

κ11 nC²⁄ mN ² 0.39 0.08 11.2

κ33 nC²⁄ mN ² 0.257 0.093 12.6

μ₁₁ μNs²⁄C² 5 590 5

μ₃₃ μNs²⁄C² 10 157 10

e₃₁ C m⁄ ² 0.2 0 -4.4

e₃₃ C m⁄ ² 1.3 0 18.6

e₁₅ C m⁄ ² 3.7 0 11.6

e₂₂ C m⁄ ² 2.5 0 0

q₃₁ N Am⁄ 0 580.3 0

q₃₃ N Am⁄ 0 699.7 0

q₁₅ N Am⁄ 0 550 0

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2-2 微觀力學模型

本節在介紹求得複合材料之等效材料性質的方法，其關鍵在找到之前所提的應變 集中因子A_r，較常使用的模型為Dilute 模式、Mori-Tanaka 模式[45]、自洽法

(self-consistent method)[46]與雙內含物模型(double-inclustion model)[47]等。本篇研究所 使用之模型為Mori-Tanaka，而使用此方法還需要用到等效夾雜理論與廣義 Eshelby 張 量，進而才能推導至Dilute 模式及 Mori-Tanaka 模式。

2-2-1 等效夾雜理論

非均質體(圖 2-2a)在Ω範圍內擁有材料性質為L₁之內含物 ，而圖 2-2b 在Ω範圍中，

設其有一廣義特徵應變 Z^*，材料性質與母材相同，藉此模擬內含物，使得全範圍成為 均質體。廣義特徵應變 Z^*可以用來代替非彈性的應變，例如溫度變化、相轉換及塑性 應變等等。

圖2-2 等效夾雜理論示意圖[42]

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在非均質(圖 2-2a)與均質體圖(2-2b)的邊界施加一相同之廣義應力：

Σn|_s Σ⁰n, (2.22)

由於有內含物或是廣義特徵應 Z^*變存在所造成廣義擾動(perturbation)應力Σ^pt與 廣義擾動應變Z^pt，使得內含物和廣義特徵應變內存在應力Σ⁰ Σ^pt與應變Z⁰ Z^pt。

在遵守廣義虎克定律下，Ω內之廣義應力與廣義應變之關係式為

Σ Σ⁰ Σ^pt L₁ Z⁰ Z^pt , (2.23)

Σ Σ⁰ Σ^pt L₀ Z⁰ Z^pt Z^* , (2.24) 而等效夾雜理論就是令 Ω 內之廣義應力相等：

L₁ Z⁰ Z^pt L₀ Z⁰ Z^pt Z^* . (2.25)

2-2-2 廣義 Eshelby 張量

廣義Eshelby 張量之目的在於連接前一節代替內含物之廣義特徵應變 Z^*與本身存 在造成的廣義擾動應變之間的關係，就力學來說，Eshelby 張量就是將特徵應變



_ij^與擾

動應變



_ij^pt連接起來：

 _{ijkl kl}

ij S





^pt (2.26)

Eshelby 張量S_ijkl為四階張量，其與母材之材料性質及內含物形狀有關。Eshelby 張量一 開始僅能處理應力應變場與等向性問題[48]，之後不同的物理場與耦合場的 Eshelby 張量陸續提出，本研究使用Li 與 Dunn 之 Eshelby 張量[49]，其是將原本的 Eshelby 張 量推廣至磁電彈之廣義Eshelby 張量，因此(2.26)式改寫為：

Z_ij^pt S_ijklZ_kl^, _(2.27) 其中

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19

其中

z₁ ^pq= 1 ξ₃ ^{p 2}cos θ^q/a₁ , z₂ ^pq= 1 ξ₃ ^{p 2}sin θ^q/a₂ , z₃ ^pq = ξ₃ ^p/a₃ ,

W ^pq=W_ξ ^pW_θ ^q.

p 跟 q 表示第幾個高斯積分點，對高斯積分點 ξ ₃^p 、



^q積分之對應的權重分別為為W_ξ ^p、 W_θ ^q；U 跟 V 表示高斯積分點的總數，在此依文獻[51]將 U 取 16，V 取 64。

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2-2-3 Dilute 模式

在非均質體中，異質物會在自己周圍造成擾動，如果異質物體積比夠小，彼此距 離夠遠，內含物彼此就不會相互影響。Dilute 模式定義是在非均質體中，異質物零星 均勻的分佈在母材中而彼此不相互影響，假設母材之廣義應力為外加之邊界條件Σ⁰， 內含物附近母材之應力即為加邊界條件之廣義應力[42]。

(a) (b) 圖2-4 Dilute 模式示意圖[50]

對非均質體施加一廣義應力 Σn|_s Σ⁰n，如圖 2-4，利用等效夾雜理論：

L₁ Z⁰ Z^pt L₀ Z⁰ Z^pt Z^* , (2.30) 再利用Eshelby 張量所連接廣義擾動應變Z^pt與廣義特徵應變Z^*之關係Z^pt＝SZ^*帶入 (2.30)式：

L₁ Z⁰ SZ^* L₀ Z⁰ SZ^* Z^* , (2.31)

經由移項整理後可以得到廣義特徵應變：

Z^* S L₁ L₀ ^-1L₀ ^-1Z⁰, (2.32) 因此內含物之總應變為：





Ζ⁰ Ζ^pt

Ζ

 

1 0

 

^{1 0}

1

0 L L Ζ

SL

I ^  ^ , (2.33)

21

依照平均應變定理得知〈Z〉 Z⁰，內含物之平均應變〈Z_r〉為Z，比照(2.14)式〈Z_r〉=A_r〈Z〉

後可以得知，Dilute 模式之應變集中因子為：

A^dilute= I+SL₀^-1 L₁-L₀ ^-1 . (2.34)

2-2-4 Mori-Tanaka 模式

(b) (b) 圖2-5 Mori-Tanaka 模式示意圖[50]

Mori-Tanaka 模式是考慮內含物間彼此相互影響，而 Dilute 為假設在內含物含量 相當小不會相互影響[50]。每一個內含物對其中一個內含物所造成應力和應變的影響 都不相同，在此並非直接去計算每個干擾的影響，Mori-Tanaka 模式是假設內含物受 到母材之平均廣義應力影響，藉此模擬任一內含物所受到其他內含物干擾的情況，所 以每一個內含物附近母材之應力為平均廣義應力(圖 2-5b)。所以對非均質體受到邊界 條件影響後，遵守廣義虎克定律僅是將原本Dilute 模式之連續方程式中的Σ₀換成〈Σ₀〉，

Z₀換成〈Z₀〉：



0 ^pt



1 pt

0 Σ L Ζ Ζ

Σ

Σ    , (2.35)



^{  }







 Σ Σ L Ζ Ζ Ζ

Σ ₀ ^pt _{0 0} ^pt , (2.36)

22

23

2-3 尤拉角與張量轉換

尤拉角是一種在空間中旋轉座標的方法，本研究使用尤拉角之目的是當材料之極 化方向與全域座標系不一致時，將極化方向之局域座標系統轉為全域座標系統。如下 圖所示，局域座標 x_i^' 之 x₃^'方向即為極化方向P，而 x₁-x₂-x₃為複合材料之全域座標系。

圖2-6 極化方向與全域座標示意圖

此方法在此是將空間中原本的極化方向之局域座標系依照三個弧度 α、β、γ ，依 序順時針旋轉回到全域參考座標系。而本研究使用的是 x₃^'-x₂^''-x₃^''' 系統來旋轉座標系[52]，

原本的極化方向之局域座標系x₁^'-x₂^'-x₃ ^' 對 x₃ ^' 軸順時針旋轉 α 得到新的座標系 x₁^''-x₂^''-x₃ ^'' 如圖2-7a；再來將新的座標系 x₁^''-x₂^''-x₃ ^''對 x₂^'' 軸順時針旋轉 β 得到新的座標系 x₁^'''-x₂^'''-x₃ ^'''如 圖2-7b；最後再對新的座標系 x₁^'''-x₂^'''-x₃ ^'''的 x₃ ^'''軸順時針旋轉 γ 即得到最後的座標系 x₁-x₂-x₃(全域座標系)如圖 2-7c。

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(a) (b) (c) 圖2-7 尤拉角旋轉示意圖

依序對座標旋轉之旋轉矩陣為 Q_3' α 、Q_2'' β 和Q_3''' γ ： 對極化方向之局域座標 x₁^'-x₂^'-x₃ ^' 之 x₃ ^' 軸逆時針轉旋轉 α ：

Q_3' α

cos sin 0 -sin cos 0

0 0 1

, (2.43)

對新座標系 x₁^''-x₂^''-x₃ ^''的 x₂^'' 軸逆時針旋轉 β：

Q_2'' β cos β 0 -sin β

0 1 0

sin β 0 cos β

, (2.44)

對新座標系 x₁^'''-x₂^'''-x₃ ^'''的 x₃ ^'''軸逆時針旋轉 γ：

Q_3'" γ

cos γ sin γ 0 -sin γ cos γ 0

0 0 1

, (2.45)

最後將各自的旋轉矩陣合併成一個完整的旋轉矩陣，

Q α,β,γ = Q_3'"(γ)Q_2''(β)Q_3'(α), (2.46)

cos β cos α cos γ -sin α sin γ cos α sin γ + cos β sin α cos γ - sin β cos γ - sin α cos γ - cos β cos α sin γ cos α cos γ - cos β sin α sin γ sin β sin γ

sin β cos α sin β sin α cos β

.

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得到尤拉角之旋轉矩陣後，將極化方向之局域座標下各個材料性質經由張量轉換得到 在全域座標下的材料性質。此外，本次使用之尤拉角為逆時針旋轉(α、β、γ >0)，故旋 轉之α、β、γ要小於 0，使得局於座標順時針反轉到全域座標。

彈性係數的四階張量轉換：

C_ijkl = Q_imQ_jnQ_koQ_lpC_mnop^' , (2.47)

壓電係數的三階張量轉換:

e_ijk = Q_imQ_jnQ_koe_mno^' , (2.48)

壓磁係數的三階張量轉換：

q_ijk = Q_imQ_jnQ_koq_mno^' , (2.49)

介電係數的二階張量轉換：

κ_ij = Q_imQ_jnQ_koκ_mn^' , (2.50)

磁導率的二階張量轉換：

μ_ij = Q_imQ_jnQ_koμ_mn^' , (2.51)

其中C_ijkl、e_ijk、q_ijk、κ_ij和μ_ij是轉換過後以全域座標表示之材料性質；C_mnop^' 、e_mno^' 、q_mno^' 、κ_mn^' 和μ_mn^' 為局域座標表示之材料性質；Q_ij為轉換矩陣。

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2-4 有限元素法

2-4-1 體積代表元素

複合材料中，異質物隨機地分佈在母材中，若是要將每一個異質物都考慮進去加 以運算是不切實際的，為了簡化運算，在複合材料中取一個最小體積，其結構足以代 表整個複合材料，此最小體積稱之為體積代表元素(representative volume element,RVE)。

複合材料中，異質物隨機地分佈在母材中，若是要將每一個異質物都考慮進去加 以運算是不切實際的，為了簡化運算，在複合材料中取一個最小體積，其結構足以代 表整個複合材料，此最小體積稱之為體積代表元素(representative volume element,RVE)。

在文檔中 壓電壓磁顆粒複合材料磁電耦合效應之最佳化 (頁 24-60)