環境選擇

在 NSGA-III 中，繁殖會使用到環境選擇中的一些資訊，因此這邊先介紹環 境選擇的機制。

在 NSGA-II 中，族群所繁殖的子族群數量為 N，也就是親代與子族群所組 成的混合族群，其族群大小為 2N，我們首先會評估此混合族群中各項個體的各 個目標值，並依照這些目標值來判斷個體間的凌越關係，給予族群中的各個個體 各自的階級，接著按照此階級順序來決定哪些個體能存活至下一代，階級越好的 個體則有越高的優先權可以存活，直到填滿下一代的族群大小 N 為止，當然，

在此機制下，最後被選到以填滿族群的階層，受到下一代族群大小的限制，沒有 辦法整個階層內的個體皆能存活，因此此階層內的個體必須互相比較擁擠距離，

而擁擠距離大的個體則會被選入，直到填滿族群大小 N 為止。

整理之後可列出以下的步驟：

(1) 計算個體的目標值。

(2) 計算個體的階層。

(3) 階層較好的個體優先存活至下一代。

(4) 遇到不能完整存活至下一代的階層，則計算該階層中個體的擁擠距離，

以該值作為存活順序的依據，直到填滿下一代的族群大小為止。

在 NSGA-III 中，與原版的差異只在步驟 (4) 的部分，NSGA-III 使用了超 平面與參考點的機制替換掉擁擠距離，以下將詳述 NSGA-III 之環境選擇過程。

20

假設在第 t 個演化世代 (generation)，族群為 P_t，而產生的子代為 Q_t，兩 者的混合族群為 R，大小為 2N，經過上述 (1) 與 (2) 的步驟後，可以得到 R_{t t} 中 含有 r₁,r₂,…r_k,…,r_u 共 u 個階層，假設第 k 個階層是正好橫跨或恰好填滿下一 代族群 P_t+1 大小 N 的階層，如圖 7 所示。

接著評判 r_k 中哪些解可存活到下一代的方式就是與原版相異的部分，首先 由 r₁,r₂,…r_k 組成一族群 S_t (N ≤ | S_t | ≤ 2N)，並執行下列步驟：

(一) 建構超平面 (Creation of hyper-plane)

假設問題有 M 個目標，因此每個個體各自會有 f₁, f₂, …, f_M 共 M 個目標值，

利用 S_t ，我們可以找到一個含有族群中各目標最小值的理想點 (ideal point) z^* =

(f^*_1,

f

^*_{2, …,}

f

^*_M) ，接著再將 S_t 中的全部個體對 z^* 做正規化，得到 f_i^'(x) = f_i(x)

－ f^*_i 最 後 再 對 經 過 目 標 值 被 正 規 化 的 S_t 以 ASF 函 式 (achievement scalarizing function, ASF) 找出 族群中 在 各個目 標方向上的 極端解 (extreme solution)，並以此 M 個極端點形成一個超平面。此超平面由於是以族群內個體

r ₁ r ₂

…

r _u

… r _k

P t (size N)

Q t (size N)

圖 7：階層與選擇

N

21

分布的狀況來決定的，因此在每一個演化世代皆有可能變換，從而調適族群在目 標空間中的分散程度。

ASF(x, w) = max

^M_i=1 f_i^' (x) / w_i, for x ∈ S_t. (4) 在計算此 ASF 函式時，若其中的權重向量 w_i 之值等於零，我們會將其替 換成 10^-6，否則當分母代入零時，會造成計算上的困擾。此 ASF 函式，其用意 在於計算個體與此 w 方向的靠近程度。以三目標問題為例，我們將代入三組 w 值 (1, 10^-6, 10^-6)、(10^-6, 1, 10^-6) 以及 (10^-6, 10^-6, 1)，分別代表 X、Y 與 Z 這三 軸的方向，找出族群在正規化後的座標系中，最靠近這三個軸的個體，假設圖 8 為已正規化後的目標空間，使用此機制後可找出最靠近三軸的極端解為點 A、

點 C 以及點 D。

圖 8：使用 ASF 尋找極端解

(二) 依據超平面上的參考點評估族群分散程度

建構完超平面後，先將 S_t 中各點往理想點的方向投影在此平面上，如圖 9 所示。分割數 p 決定在此超平面上，每個邊要被分割為幾段。依照數學的重複

D

f

2

f

1

f

3

C

B

A

22

組合概念，我們可以得到此超平面上會有 H 個平均散布的參考點，如圖 10 所 示。

H 的計算方法為

(^M+p−1_p ) =_(M−1)!(p)!^(M+p−1)!，M 為問題的目標數個數。由於各個參 考點皆是以一個 M 元的方向向量投影至超平面上所形成的，w_i = (w_i1, w_i2, …,

w

_iM)，i = 1, …, H，且 ∑^M_j=1

w

_ij=1，又 w_ij 的值取決於 p 的大小，w_ij∈ {0, ¹

p, ²

p, …, ^p

p}，

所有的參考點則為此種狀況下的所有可能的組合，故可視為 M－1 件相同物與

p 件相同物的相同物排列。

圖 9：超平面與投影 (Deb & Jain [8])

圖 10：參考點與投影點 (Deb & Jain [8])

23

對於每個參考點，都會有一組與其距離最近的投影點集，假設 S_t 在空間中 分布的非常均勻，我們可以假定每個參考點的理想投影點集大小應為 ρ_ideal = N/H，

而欠乏值 deficient = ρ_ideal － ρ_actual 的大小即可代表此參考點區塊的貧瘠程度

（ρ_actual 為該參考點的實際投影點集數量）。

為了保持族群的多樣性，NSGA-III 在計算完各參考點的欠乏值後，會優先 選擇該值最高的參考點 （若有多個參考點的欠乏值相同，則隨機選取其一），而 在此參考點的投影點集中，階層屬於 r_k 的個體，將會互相比較彼此之間對於此 參考點的 ASF 值，此值最小的個體則可存活至下一代 P_t+1 （與原版的 NSGA-II 相同，優先權較 r_k 高的階層皆早已確定可存活至下一代），而被選擇到的參考 點，其欠乏值會減 1，接著再重複此選取機制，直到填滿 P_t+1 為止。

整個 NSGA-III 評估族群與環境選擇的流程大致如下：

(1) 依照問題給予親代與子代的混合族群中每個個體對應的目標值。

(2) 將個體依照目標值間的凌越關係劃分階層。

(3) 階層較好的個體可以優先存活至下一代，直到遇到不能完整存活至下一 代的階層為止。

(4) 將步驟 (3) 所提到的階層與較其好的階層中的所有個體融合至一新的 混合族群 S_t。

(5) 繪製 S_t 所構成的超平面，將事先建構好的權重向量以及 S_t 中的個體投 影至該超平面上，並將這些投影點做叢集 (clustering)。

24

(6) 步驟 (3) 所提到之階層中的個體，依 (5) 之叢集結果做為存活順序的依 據，個體間先比較欠乏值，再比較 ASF 值，直到填滿下一代的族群大小為止。

在文檔中 強化親代選擇機制之平行化高目標演化式演算法 (頁 27-32)