2. 理論基礎
2.1 生產力與效率
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al.(2017)則研究印尼，Bachewe et al.(2015)觀察了伊索比亞，黃禕等(2014)和葛靜 芳等(2016)討論了中國農業，歐洲部分則有 Đokić et al.(2017)探討歐盟和 Dakpo et al.(2016)以法國為研究對象。綜上所述，在世界各國的研究均逐漸可以看到 Färe-Primont TFP index 的影子，惟台灣尚未有將其應用於農業相關的研究。
本文以資料較齊全的台灣本島及澎湖縣共二十個行政區作為研究標的，以各 類種植作物代表農業、肉品蛋類代表牧業，再將此二類加總得到之農牧業生產相 關資料用 DEA 輔以 Färe-Primont TFP index 分析，從平均效率值、效率變動和效 率排名等方面觀察台灣農牧業的生產狀況。以下將於第二章進一步說明效率概念、
DEA 計算過程和 Färe-Primont TFP index 的結構，於第三章說明資料出處與處理 方式，於第四章呈現實證結果，並在第五章作出結論。
2. 理論基礎
2.1 生產力與效率
生產理論的基本假設為「沒有免費的午餐」，欲得產出必須先有投入。投入 要素生產力代表每一單位投入能製造的產出，在簡單的單一投入(x)單一產出(y)假 設下，要素生產力定義如下：
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡𝑦 =𝑦
𝑥 (1) 然而現實生產已少有單一投入產出的情況，故在複合投入產出之下需要對生 產力的計算進行調整，而生產力又根據計算放入的投入延伸出偏要素生產力 (partial factor productivity, PFP)及總要素生產力(TFP)兩種，數學式如下：
𝑃𝐹𝑃𝑖 = 𝑌(𝑦)
𝑥𝑖 (2) 𝑇𝐹𝑃 =𝑌(𝑦)
𝑋(𝑥) (3) (2)、(3)式中𝑥𝑖代表第 i 種投入要素，𝑦, 𝑥分別為原始產出、投入，𝑌(. ), 𝑋(. )
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為衡量總產出、總投入的函數，均具備非負向、非遞減、線性齊次等性質。
PFP 探討的主要為某一投入要素與總產出的關係，TFP 呈現的則是所有投入 要素加總後的總投入與總產出的關係。如要觀察某一關鍵投入要素對總產出的關 係可使用 PFP，但風險在於可能忽略其他重要投入要素造成的影響。例如欲比較 勞動(labor)對總產出的影響，我們蒐集大國 A 國與小國 B 國的生產資料進行比 較，則可能因為投入要素中包含土地這類大國明顯優勢的要素，造成兩國總產出 顯著的差距，如此情況下則對 B 國的勞動生產力計算較為不利，故 PFP 之運用 有其極限，若據以制定政策，恐形成扭曲的政策。
相對於 PFP 在使用上需要更繁複的操作及針對某特定投入要素的性質，TFP 納入所有投入要素的方式避免了上述的問題，更為全面的計算生產力，在學術上 的應用也較多，故在本文將採用 TFP 作為主要討論的生產力，若未特別註明，則 本文中出現的生產力一詞指的就是總要素生產力。
接著探討何謂「效率」，效率指的是生產者在同樣的限制下實踐自身潛在最 大利得或最小成本的能力，且為相對比較的概念。Koopmans(1951)定義了生產技 術 效 率 與 無 效 率 的 基 本 概 念1， Farrell(1957) 則 進 一 步 將 效 率 分 為技 術 效 率 (technical efficiency, TE) 和 配 置 效 率 (allocative efficiency, AE) 與 經 濟 效 率 (economic efficiency, EE)。技術效率旨在衡量生產者是否有效運用生產技術，藉 由比較生產結果與生產邊界的差距得知，可從固定投入極大化產出與固定產出極 小化投入兩個面向觀察；配置效率重點在於加入價格因素，評斷生產者是否選擇 適當的產出或投入要素組合進行生產；上述兩效率均達成即滿足經濟效率，經濟 效率最常見的應用為成本、收益、獲利效率。
圖 1 及圖 2 將更完整地說明技術效率及配置效率。
1 假設𝐿(𝑦)為投入集合，𝑃(𝑥)為產出集合。
從投入面而言，若𝑥′≥ 𝑥, 𝑥 ∈ 𝐿(𝑦)，則𝑥′為技術無效率(inefficient)；
從產出面而言，若𝑦′≤ 𝑥, 𝑥 ∈ 𝑃(𝑥)，則𝑦′為技術無效率。
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圖 1 技術效率
圖 1 中 OF’曲線為生產要素在技術限制下可達到的生產邊界，線段以下至 橫軸的區塊為生產可能集合，數學式如下：
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑠𝑒𝑡 = [(𝑥𝑡, 𝑦𝑡)|𝑥𝑡 𝑐𝑎𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑒 𝑦𝑡] (4) B 點為固定投入在 X 時生產者的潛在最大產出，C 點為固定產出在 Y 時生產者 的潛在最小投入。落在 OF’曲線上的 B,C 兩點皆達到技術效率，不在線上的觀 察點 A 屬於技術不效率，可從投入和產出兩方面探討其不效率，數學式如下：
𝑇𝐸𝑜 = 𝑋𝐴̅̅̅̅
𝑋𝐵̅̅̅̅
⁄ (5) 𝑇𝐸𝑖 = 𝑌𝐶̅̅̅̅
𝑌𝐴̅̅̅̅
⁄ (6) (5)式是從產出面描述 A 點的效率值，用實際產出與潛在最大產出的比值表示；
(6)式則從投入面描述 A 點的效率值，用潛在最小投入與實際投入的比值表示，
投入面以此方式可使效率值小於 1，於比較上更為直觀。
圖 2 為探討配置效率，從經濟效率中的成本面出發進行討論。
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圖 2 經濟效率（以成本效率為例）
圖 2 假設固定規模報酬(constant returns to scale, CRS)，生產活動包含兩種投 入(𝑥1, 𝑥2)及一種產出 y，單位等產量線(unit isoquant) BE 即為具有技術效率的投 入組合點2。觀察點 A 位於投入集合內部，為技術不效率，而 B,E 點落在等產量 線上，是技術效率點。(𝑤1, 𝑤2)為兩投入的價格，通過 C,E 與通過 B 點的兩條直 線平行，為不同水準的等成本線，通過 C,E 值線的成本較通過 B 值線的成本低。
等產量線上的效率投入組合中，若廠商能夠尊重市場價格機能選擇要素組合，
使得要素投入量滿足「兩投入邊際生產力比值（邊際技術替代率）等於兩投入價 格比值（相對價格）」的條件，或「花在𝑥1或𝑥2的最後一塊錢都帶來相同的邊際 生產力」的條件，則稱具有配置效率，即：
𝑀𝑃1 𝑀𝑃2 =𝑤1
𝑤2 ⇒ 𝑀𝑃1
𝑤1 =𝑀𝑃2
𝑤2 (7) (7)式中邊際生產力比值為通過等產量線的點之切線斜率，在等產量線為曲 線的情況下會有不同的值，配置效率即發生在要素邊際生產力比值等於要素價格
2 設生產函數為𝑦 = 𝑓 (𝑥1, 𝑥2)，𝐶𝑅𝑆隱含1 = 𝑓 (𝑥1
⁄ ,𝑦 𝑥2
⁄ )。 𝑦
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比的點上，如圖 2 中的 E 點。就經濟意義而言，配置效率指的就是生產者對於要 素的配置比例(input mix or input ratio)是最適當的，即生產者在已知(𝑤1, 𝑤2)下能 選擇對的(𝑥1, 𝑥2)數量及比例。因此，B 點雖達到技術效率但並未達到配置效率，
因其要素比例不適當。
Farrell(1957)提出射線方式衡量效率，將經濟效率（如成本效率）拆解為技術 效率與配置效率（或稱價格效率）之乘積。在圖 2 的假設下，最低成本為通過 CE 直線的成本，故 B 點屬於成本無效率，而觀察點 A 的成本效率值可分解為：
𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑦 = 𝑡𝑒𝑐ℎ𝑛𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑦 × 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑦 𝑂𝐶̅̅̅̅
𝑂𝐴̅̅̅̅
⁄ = 𝑂𝐵̅̅̅̅
𝑂𝐴̅̅̅̅
⁄ × 𝑂𝐶̅̅̅̅
𝑂𝐵̅̅̅̅
⁄ (8) 生產力及效率之意義如前述，而它們值的高低或變動存在著一些關係，扼要 討論如下。
圖 3 生產力與效率
圖 3 中 F’代表時點 t’的生產邊界，A 為觀察點，B 點達到生產效率，C 則為
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達到生產效率且極大化生產力的點。就觀察點 A 而言，其生產不具效率，廠商若 從產出面改善效率，產量可調整至 B 效率點之水準，此時生產力也跟著提升，但 B 點的生產力並非生產者可達到的極限。從圖 3 可看出 B 點是處於變動生產規 模(variable returns to scale, VRS)的規模報酬遞減階段，而生產力極大的生產規模 應屬於 CRS，如 C 點。因此，比較 A, B, C 三點，可看出廠商達到生產效率與極 大化生產力之間意義上的差別，同時亦可看出若廠商 A 欲提升生產力，一則可 藉效率提升，二則可藉調整生產規模來達成。
此外，值得一提的是，在時間過程中，若時點 t’’有技術進步(technical progress) 現象，則生產邊界(效率前緣) F’會擴張外移至 F’’，因此，𝑋𝐴之潛在最大產量可 由 B 提升至 B’點，最大生產力規模(most-productive scale size, MPSS)亦隨之改變，
由 C 點移動至 D 點。