第四章 直角座標與二元一次方程式
4.2 節 二元一次方程式的圖形
4.2.4 節 直線方程式的移動
4-89
4-90
例題 4.2.4-1
找出在座標平面上與直線方程式3x− y4 =12平行，且通過點(2,1)的直線方程式。
詳解：
與3x− y4 =12平行的直線，可以設成3x− 4y=k 因為通過點(2,1)，因此將(2,1)代入可使等式成立。
將(2,1)代入3x− 4y=k：
=k
−
(2) 4 (1) 3
=k
− 4 6
=k 2
=2 k
得直線方程式為3x− y4 =2
圖 4.2-29
【練習】4.2.4-1
找出在座標平面上與直線方程式2x− y3 =6平行，且通過點(1,2)的直線方程式。
y
x
12 4
3x− y= 2
4 3x− y=
x
y
4-91
例題 4.2.4-2
找出在座標平面上與直線方程式x+ y4 =−8平行，且通過點(1,1)的直線方程式。
詳解：
與x+ y4 =−8平行的直線，可以設成x+ 4y=k 因為通過點(1,1)，因此將(1,1)代入可使等式成立。
將(1,1)代入x+ 4y=k：
=k
+4 (1) )
1 (
=k + 4 1
=k 5
=5 k
得直線方程式為x+ y4 =5
圖 4.2-30
【練習】4.2.4-2
找出在座標平面上與直線方程式4x+ y=8平行，且通過點( −1, 1)的直線方程式。
y
x
5+ y4 = x
8 4 =− + y x
x
y
4-92
例題 4.2.4-3
找出在座標平面上與直線方程式y=4平行，且通過點(1,3)的直線方程式。
詳解：
與y=4平行的直線，可以設成y =k
因為通過點(1,3)，因此將(1,3)代入可使等式成立。
將(1,3)代入y =k：
=k ) 3 (
=3 k
得直線方程式為y=3
圖 4.2-31
【練習】4.2.4-3
找出在座標平面上與直線方程式x=4平行，且通過點(2,3)的直線方程式。
y
x
=4 y
=3 y
x
y
4-93
例題 4.2.4-4
找出在座標平面上與直線方程式y= x2 +1平行，且通過點(1,5)的直線方程式。
詳解：
本題直線方程式為y= x2 +1
我們可以將平行的直線方程式設成y= 2x+k 不需要移項設成ax+by=c的形式
(因為平行的直線只要求常數項即可)
通過點(1,5)，將(1,5)代入 y= 2x+k來求出 k。
+k
=2 (1) )
5
( ：
+k
= 2 5
=k 3
=3 k
得直線方程式為y= x2 +3
圖 4.2-32
【練習】4.2.4-4
找出在座標平面上與直線方程式y= x3 −1平行，且通過點(0,2)的直線方程式。
y
x
3= x2 + y
1
= x2 + y
x
y
4-94
從前面的題目中，我們已經瞭解了如何找出平行的直線方程式，接下來便可以正式做 直線移動的題目。
※本書中我們僅討論水平與垂直的移動。
我們先用圖形來看看直線的移動，例如有直線方程式y = x，我們將此直線往上移動 2 個單位，如圖 4.2-33。因為圖形不會旋轉，所以移動後的直線仍與原直線平行。
圖 4.2-33
往上移動 2 個單位的直線方程式要如何求出來呢？我們可以先設法找到直線上任一 點，接著就能用前面學過的平行直線方程式觀念來求出。
將y = x往上移動
2 單位後的直線 y = x
x y
↑
4-95
我們隨意找一個y = x上的點，例如(1,1)。
因為直線是往上移動 2 單位，所以點(1,1)往上移動 2 單位，也會在移動後的直線上。
) 1 , 1
( 往上移動 2 單位即
y
座標加 2，也就是(1,3)。於是我們所要求的直線就可以寫成是：與y = x平行且通過(1,3)的直線。
設平行的直線方程式為y=x+k，將(1,3)代入：
+k
= )(1 ) 3 (
+k
=1 3
=k 2
=2 k
得到此直線方程式為y= x+2
也就是直線方程式y = x往上移動 2 單位後，得到的直線方程式為 y= x+2
4-96
例題 4.2.4-5 (向上移動的直線方程式)
在直角座標平面上，若將直線方程式y= x−3 +10的圖形，向上移動 3 個單位長，則 移動後的直線方程式為何？
詳解：
1. 在直線方程式y=−3 +x 10上任取一點：
代入x=3，得y=1，即點(3,1)在直線上。
2. 將點(3,1)往上移動 3 單位：
即 y 座標加 3，移動後的座標為(3,4)
3. 求平行直線方程式y=−3 +x 10且通過點(3,4)的直線：
設平行的直線方程式為y= 3− x+k 將(3,4)代入y= 3− x+k：
(4)=−3(3)+k 4= 9− +k
k=13
4. 得移動後的直線方程式為y= x−3 +13
圖 4.2-34
【練習】4.2.4-5
在直角座標平面上，若將直線方程式y= x2 +3的圖形，向上移動 1 個單位長，則移 動後的直線方程式為何？
x x y
10
−3 +
= x y
13
−3 +
= x y
y
4-97
例題 4.2.4-6 (向下移動的直線方程式)
在直角座標平面上，若將直線方程式y= x5 +2的圖形，向下移動 2 個單位長，則移 動後的直線方程式為何？
詳解：
1. 在直線方程式y= x5 +2上任取一點：
代入x=0，得y=2，即點(0,2)在直線上。
2. 將點(0,2)往下移動 2 單位：
即 y 座標減 2，移動後的座標為(0,0)
3. 求平行直線方程式y= x5 +2且通過點(0,0)的直線：
設平行的直線方程式為y= 5x+k 將(0,0)代入y= 5x+k：
(0)=5(0)+k 0= 0+k
k=0
4. 得移動後的直線方程式為y=5x
圖 4.2-35
【練習】4.2.4-6
在直角座標平面上，若將直線方程式y=−x的圖形，向下移動 4 個單位長，則移動 後
的直線方程式為何？
x x y
2
= x5 + y
x y=5
y
4-98
例題 4.2.4-7 (向右移動的直線方程式)
在直角座標平面上，若將直線方程式y= x2 −1的圖形，向右移動 3 個單位長，則移 動後的直線方程式為何？
詳解：
1. 在直線方程式y= x2 −1上任取一點：
代入x=0，得y=−1，即點( −0, 1)在直線上。
2. 將點( −0, 1)往右移動 3 單位：
即 x 座標加 3，移動後的座標為( −3, 1)
3. 求平行直線方程式y= x2 −1且通過點( −3, 1)的直線：
設平行的直線方程式為y= 2x+k 將( −3, 1)代入y= 2x+k：
(−1)=2(3)+k −1=6+k
k=−7
4. 得移動後的直線方程式為y= x2 −7
圖 4.2-36
【練習】4.2.4-7
在直角座標平面上，若將直線方程式y= x3 −4的圖形，向右移動 3 個單位長，則移 動後的直線方程式為何？
x x y
1
= x2 − y
7
= x2 − y
y
4-99
例題 4.2.4-8 (向左移動的直線方程式)
在直角座標平面上，若將直線方程式y= x4 −3的圖形，向左移動 2 個單位長，則移 動後的直線方程式為何？
詳解：
1. 在直線方程式y= x4 −3上任取一點：
代入x=0，得y=−3，即點( −0, 3)在直線上。
2. 將點( −0, 3)往左移動 2 單位：
即 x 座標減 2，移動後的座標為(−2,−3)
3. 求平行直線方程式y= x4 −3且通過點(−2,−3)的直線：
設平行的直線方程式為y= 4x+k 將(−2,−3)代入y= 4x+k： (−3)=4(−2)+k
−3=−8+k k=5
4. 得移動後的直線方程式為y= x4 +5
圖 4.2-37
【練習】4.2.4-8
在直角座標平面上，若將直線方程式y=−2 +x 4的圖形，向左移動 2 個單位長，則 移動後的直線方程式為何？
x y x
5
= x4 + y
3
= x4 − y
y
4-100
讓我們整理一下剛才所做的直線移動題目：
例題 4.2-5：y=−3 +x 10，向上移動 3 單位，得到y= x−3 +13 例題 4.2-6：y= x5 +2，向下移動 2 單位，得到y=5x
例題 4.2-7：y= x2 −1，向右移動 3 單位，得到y= x2 −7 例題 4.2-8：y= x4 −3，向左移動 2 單位，得到y= x4 +5
這些移動後的直線方程式是否有什麼規則呢？
事實上，座標平面上若有直線方程式y=ax+b：
(1)往上移動 c 單位後，得到的直線方程式為y=ax+b+c (2)往下移動 c 單位後，得到的直線方程式為y=ax+b−c (3)往右移動 c 單位後，得到的直線方程式為y=a(x−c)+b (4)往左移動 c 單位後，得到的直線方程式為y=a(x+c)+b
我們來驗證看看：
例題 4.2-5： y=−3 +x 10，向上移動 3 單位：
3 10 3 + +
−
= x
y ，化簡得y=−3 +x 13，與原答案相同。
例題 4.2-6： y= x5 +2，向下移動 2 單位：
2
= x5 +
y ，化簡得y=5x，與原答案相同。
例題 4.2-7： y= x2 −1，向右移動 3 單位：
得到y= x2( −3)−1，化簡得y= x2 −7，與原答案相同。
例題 4.2-8： y= x4 −3，向左移動 2 單位後：
得到y= x4( +2)−3，化簡得y= x4 +5，與原答案相同。
4-101