第四章 直角座標與二元一次方程式
4.2 節 二元一次方程式的圖形
4.2.1 節 畫出二元一次方程式的圖形
4-55
4-56
若將圖 4.2-1 的點連接起來，會得到一條直線，如圖 4.2-2：
圖 4.2-2
事實上，二元一次方程式的圖形都是一條直線。
因為兩點可以決定一條直線，所以若我們想在座標平面畫出二元一次方程式的圖形，
只需要找出二元一次方程式的兩組不同的解，標在座標平面上，再畫出過此兩點的直 線即為此二元一次方程式的圖形。
x
y
4-57
例題 4.2.1-1
下表中的 x
、
y 值都是二元一次方程式x− y=2的解，請完成下表，並在座標平面上 標出各數對的位置。x 5 3
y 0 －2 －5
詳解：
方程式為x− y=2
(1)x=5時，(5)− y=2，解得y=3 (2)x=3時，(3)− y=2，解得y=1 (3)y=0時，x−(0)=2，解得x=2 (4)y=−2時，x−(−2)=2，解得x=0 (5)y=−5時，x−(−5)=2，解得x=−3 填入表格：
x 5 3 2 0 －3
y 3 1 0 －2 －5
標在座標平面：
圖 4.2-3
x
y
4-58
【練習】4.2.1-1
下表中的 x
、
y 值都是二元一次方程式2x− y=1的解，請完成下表，並在座標平面 上標出各數對的位置。x 3 1 0
y －3 －5
x
y
4-59
例題 4.2.1-2
在座標平面上畫出二元一次方程式x− y3 =3的圖形。
詳解：
因為二元一次方程式的圖形是一條直線，所以我們只要找到方便計算的兩組解，標 在座標平面上，再畫出過這兩點的直線即可。
將x=0代入x− y3 =3，得到(0)− y3 =3，解得y=−1。即( −0, 1)為一解。
將y=0代入x− y3 =3，得到x−3(0)=3，解得x=3。即(3,0)為一解。
將( −0, 1)和(3,0)畫在座標平面上，並過此兩點做直線。
圖 4.2-4
x
y
4-60
【練習】4.2.1-2
在座標平面上畫出二元一次方程式x+ y=5的圖形。
例題 4.2.1-3
在座標平面上畫出二元一次方程式3x+ y2 =6的圖形。
詳解：
將x=0代入3x+ y2 =6，得到3(0)+2y=6，解得y=3。即(0,3)為一解。
將y=0代入3x+ y2 =6，得到3x+2(0)=6，解得x=2。即(2,0)為一解。
將(0,3)和(2,0)畫在座標平面上，並過此兩點做直線。
x
y
4-61
圖 4.2-5
【練習】4.2.1-3
在座標平面上畫出二元一次方程式4x+ y3 =−12的圖形。
x y
x
y
4-62
瞭解了基本的二元一次方程式圖形後，我們再來看看幾個較特殊的方程式：
若方程式的形式為x =k，則其圖形為垂直 x 軸或平行 y 軸的直線。
若方程式的形式為y =h，則其圖形為平行 x 軸或垂直 y 軸的直線。
圖 4.2-6
若方程式的形式為axby=0，也就是常數項為 0。因為將(0,0)代入可使等號成立 )
0 0 0
(a b = ，可知此方程式圖形必通過原點。
圖 4.2-7
x
y
x y
k x =
h y =
x
y
4-63
例題 4.2.1-4
在座標平面上畫出二元一次方程式x=3的圖形。
詳解：
方程式為x=3，也就是其解的 y 座標為任意數，只要 x 座標為 3 即可。
因此像(3,2)、(3,5)、(3,11)、(3,0)、( −3, 8) 等全都是解。
我們取其中兩組解(3,2)(3,5)，標在直角座標上畫出圖形。
圖 4.2-8
【練習】4.2.1-4
在座標平面上畫出二元一次方程式y=−2的圖形。
x y
x
y
4-64
例題 4.2.1-5
在座標平面上畫出下列圖形：
(1) 通過(−1,−2)且垂直 x 軸的直線。
(2) 通過(3,2)且平行 x 軸的直線。
詳解：
(1) 垂直 x 軸的直線為鉛垂線。
先在座標平面標出點(−1,−2)， 再畫出通過此點的鉛垂線。
圖 4.2-9
(2) 平行 x 軸的直線為水平線。
先在座標平面標出點(3,2)， 再畫出通過此點的水平線。
圖 4.2-10
x y
x
y
4-65
【練習】4.2.1-5
在座標平面上畫出下列圖形：
(1) 通過( −2, 2)且垂直 y 軸的直線。
(2) 通過(−3,2)且平行 y 軸的直線。
x y
x
y
4-66
例題 4.2.1-6
在座標平面上畫出二元一次方程式2x− y3 =0的圖形。
詳解：
二元一次方程式常數項等於 0，圖形為通過原點的直線。
將x=0代入2x− y3 =0，得到2(0)−3y=0，解得y=3。即(0,0)為一解。
將x=3代入2x− y3 =0，得到2(3)−3y=0，解得y=2。即(3,2)為一解。
將(0,0)和(3,2)畫在座標平面上，並過此兩點做直線。
圖 4.2-11
【練習】4.2.1-6
在座標平面上畫出二元一次方程式−4x+3y=0的圖形。
x y
x
y
4-67
座標平面上的直線方程式圖形，與 x 軸相交時，y 座標為 0。因此，我們若想求直線 與 x 軸的交點，將y=0代入方程式即可。同樣地，若想求直線與 y 座軸的交點，將x=0 代入方程式即可。
例題 4.2.1-7
座標平面上有一直線方程式2x+ y=4，求：
(1)此直線與 x 軸、y 軸的交點座標。
(2)此直線與兩軸圍成的三角形面積。
(3)此直線不通過哪個象限?
詳解：
(1) 將 y=0代入2x+ y=4，得到2x+(0)=4，解得x=2。 與 x 軸交點為(2,0)。
將x=0代入2x+ y=4，得到2(0)+y=4，解得y=4。 與 y 軸交點為(0,4)。
(2) 如圖 4.2-12
直線2x+ y=4與兩軸圍成的三角形，
底為 2 ((0,0)到(2,0)距離為 2) 高為 4 ((0,0)到(0,4)距離為 4)
面積為 4
2 4 1
2 = (平方單位)
(3) 如圖 4.2-12，此直線不通過第三象限。
圖 4.2-12
x
y
4-68
【練習】4.2.1-7
座標平面上有一直線方程式5x− y4 =20，求：
(1)此直線與 x 軸、y 軸的交點座標。
(2)此直線與兩軸圍成的三角形面積。
(3)此直線不通過哪個象限?
x
y
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