4-i
代數第四章
目錄
第四章 直角座標與二元一次方程式 ... 1
學習目標 ... 1
4.1 節 平面上的直角座標 ... 2
4.1.1 節 認識直角座標 ... 3
4.1.2 節 點與座標軸的距離 ... 15
4.1.3 節 點在直角座標上的移動 ... 20
4.1.4 節 兩點的重合與對稱 ... 28
4.1.5 節 由座標求周長與面積 ... 35
4.1.6 節 象限問題 ... 42
4.1 節 習題 ... 46
4.2 節 二元一次方程式的圖形 ... 55
4.2.1 節 畫出二元一次方程式的圖形 ... 55
4.2.2 節 求直線方程式 ... 69
4-ii
4.2.3 節 二元一次聯立方程式的圖解 ... 81
4.2.4 節 直線方程式的移動 ... 89
4.2 節 習題 ... 101
4.3 節 直角座標的應用題與綜合題 ... 112
4.3 節 習題 ... 120
第四章綜合習題 ... 124
基測與會考模擬試題 ... 130
習題解答 ... 140
4-1
第四章 直角座標與二元一次方程式
在本章中,我們將開始學習直角座標,並將前章學過的二元一次方程式應用到直角座 標上,有了這些能力後,就可以解決直角座標上簡單的圖形問題。
學習目標
1.能理解直角座標,並在直角座標上描點。
2.能在直角座標平面上畫出二元一次方程式的圖形。
3.瞭解直角座標平面上二元一次聯立方程式解的意義。
4-2
4.1 節 平面上的直角座標
讓我們回想一下,以前老師排座位時會用第幾排、第幾個來表示位置,現在我們則以
「數對」來表示所處的位置。
下圖(4.1-1)是某班的座位表:
小李坐在第五排第三個,我們以(5,3)表示小李的位置 小博坐在第二排第二個,我們以(2,2)表示小博的位置 阿幼坐在第七排第一個,我們以(7,1)表示小李的位置
第四個
第三個 小李
第二個 小博
第一個 阿幼
第一排 第二排 第三排 第四排 第五排 第六排 第七排
講台 圖 4.1-1
像這樣用數對來表示位置,便是直角座標的概念。
4-3
4.1.1 節 認識直角座標
本小節我們開始正式認識直角座標。
如圖 4.1-2,首先在平面上畫出兩條互相垂直的數線,兩線的交點為原點。
圖 4.1-2 平面座標示意圖 上圖的平面座標圖又稱為直角座標。
水平的數線稱為 x 軸,向右(箭頭方向)為正向,向左為負向。
鉛直的數線稱為 y 軸,向上(箭頭方向)為正向,向下為負向。
x 軸與 y 軸的交點稱為原點,以 O 表示。x 軸與 y 軸稱為座標軸。
x y
↙原點 O
4-4
我們來看看在直角座標上的點如何用數對(x,y)表示,x 為 x 軸的座標,y 為 y 軸的座標:
圖 4.1-3
A: A 點在 x 軸上,且在 x 軸數線上的位置是 3,我們就稱 A 點的座標為(3,0)。 其中 3 是 A 點的 x 座標,0 是 A 點的 y 座標。
B: B 點在 y 軸上,且在 y 軸數線上的位置是 2,我們稱 B 點的座標為(0,2)。 O: O 點在兩軸的位置都是 0,我們稱 O 點的座標為(0,0),也就是原點。
C: C 點不在座標軸上,但若我們從 C 點畫一條鉛直線,會與 x 軸交於 2 這個點,因此 我們稱 C 點的 x 座標為 2;同樣地,我們從 C 點畫一條水平線,會與 y 軸交於 3 這 個點,因此稱 C 點的 y 座標為 3。
x 座標為 2,y 座標為 3,C 點座標為(2,3)。
同樣的方法,我們可以得到 D 點座標為(−4,1),E 點座標為(−3,−2),F 點座標為( −3, 3)。
x
y
4-5
例題 4.1.1-1
寫出下圖中 A、B、C、D 點的座標位置。
圖 4.1-4 詳解:
A:過 A 點的鉛直線交 x 軸於 4,水平線交 y 軸於 3,A 點座標為(4,3)。
B:過 B 點的鉛直線交 x 軸於-2,水平線交 y 軸於-4,B 點座標為(−2,−4)。 C:C 點在 x 軸上,位置為-4,C 點座標為(−4,0)。
D:D 點在 y 軸上,位置為 1,D 點座標為(0,1)。
x
y
4-6
【練習】4.1.1-1
寫出下圖中 A、B、C、D 點的座標位置。
圖 4.1-5
(1)A 點的座標是__________________ (2)B 點的座標是__________________
(3)C 點的座標是__________________ (4)D 點的座標是__________________
y
x
4-7
前面已經介紹了從點來找座標的方法。換一個方向來看,我們也可以從座標來找點。
例如有一點 A 的座標為(4,2),我們想要在圖上描出 A 點,可以從原點出發:
A 點的 x 座標為 4,所以我們往右走 4 格到達(4,0)。(若為負數則從原點往左走)
A 點的 y 座標為 2,所以我們從(4,0)再往上走 2 格,便到達(4,2)。(若為負數則從原點 往下走)
如圖 4.1-6
圖 4.1-6
當然我們也可以先找 y 軸位置再找 x 軸位置,也就是先往上走 2 格,再往右走 4 格,也 能到達一樣的位置。
y
x
4-8
例題 4.1.1-2
在圖 4.1-7 中標出下列各點的位置:
(1) A(1,0) (2) B(−1,2) (3) C(0,4) (4) D(2,5) (5) E(−4,3)
詳解:
依照前頁所教的作法將點一個一個找出。
圖 4.1-7
y
x
4-9
【練習】4.1.1-2
在圖中標出下列各點的位置:
(1) A(−3,0) (2) B( −0, 4) (3) C(−5,−3) (4) D( −4, 2)
y
x
4-10
例題 4.1.1-3
在圖 4.1-8 中標出下列各點的位置:
(1) A ,0) 3 41
( (2) B ,3) 4 13
(− (3) C ) 2 ,1 3
(−
詳解:
本題含有分數座標 A ,0)
3 41
( :我們將 x 座標 4 和 5 做 3 等分,取第 1 等分的點找出 3 4 。 1
B ,3) 4 13
(− :我們將 x 座標-1 和-2 做 4 等分,取第 3 等分的點找出 4 13
− 。 (注意要從-1 開始找)
C ) 2 ,1 3
(− : 我們將 y 座標 0 和 1 做 2 等分,取第 1 等分的點找出 2 1 。
圖 4.1-8
4-11
【練習】4.1.1-3
在圖中標出下列各點的位置:
(1) A ,0) 2 31
( (2) B ) 2 11 , 2
( − (3) C ) 4 11 3, 32
(− −
y
x
4-12
象限
從前面的例子我們可以觀察到,當一個點的 x 座標與 y 座標都為正數時,這個點會落 在原點的右上角區域;x 座標為負,y 座標為正,會落在左上角區域;x 座標為負,y 座標也為負,會落在左下角區域;x 座標為正,y 座標為負,會落在右下角區域。
這四個區域我們稱為象限,由 x 軸與 y 軸當分界線。
右上角的區域為第一象限,然後逆時針方向依序為第二象限,第三象限,第四象限。
在此請注意一點:因為 x 軸與 y 軸是這些象限的分界線,所以在座標軸上的任意點都 不屬於任一象限。例如(3,0)在 x 軸上,( −0, 2)在 y 軸上,都不屬於任一象限
每一象限的座標都有些特性:
第一象限中的座標,x 座標為正,y 座標也為正,用( ++, )表示;
第二象限中的座標,x 座標為負,y 座標為正,用( +−, )表示;
第三象限中的座標,x 座標為負,y 座標也為負,用( −− 表示; , ) 第四象限中的座標,x 座標為正,y 座標為負,用( −+, )表示。
圖 4.1-9
y
x
4-13
例題 4.1.1-4
寫出下列各點各在第幾象限,並畫在座標平面上。
(1) A(3,2) (2) B(−3,−2) (3) C( −3, 2) (4) D(−3,2) 詳解:
A 點 x 座標為正,y 座標也為正,在第一象限。
B 點 x 座標為負,y 座標也為負,在第三象限。
C 點 x 座標為正,y 座標為負,在第四象限。
D 點 x 座標為負,y 座標為正,在第二象限。
圖 4.1-10
y
x
4-14
【練習】4.1.1-4
寫出下列各點各在第幾象限,並畫在座標平面上。
(1) A(−1,4) (2) B(−1,−4) (3) C(1,4) (4) D( −1, 4) A 點在第_______象限;B 點在第_______象限;
C 點在第_______象限;D 點在第_______象限。
y
x
4-15
4.1.2 節 點與座標軸的距離
本小節會介紹如何計算直角座標上一點到兩座標軸的距離。
現在直角座標平面上有點 A(3,2)。
我們想知道 A(3,2)與 x 軸的距離,可以做一條過 A 點的鉛直線交於 x 軸,如下圖 4.1-11。鉛直線與 x 軸的交點是(3,0),而 A 到(3,0)的線段長是 2,也就是 A 到 x 軸的距 離為 2。
接著我們再看 A(3,2)與 y 軸的距離,做一條過 A 點的水平線段交於 y 軸,水平線與 y 軸的交點是(0,2),而 A 到(0,2)的線段長是 3,也就是 A 到 y 軸的距離為 3。
我們再看 B(−3,−2)到兩軸的距離。
B 到(−3,0)的線段長是 2,也就是 B 到 x 軸的距離為 2。
B 到( −0, 2)的線段長是 3,也就是 B 到 y 軸的距離為 3。
圖 4.1-12
y
x
4-16
觀察前面例子可以發現,A(3,2)到 x 軸的距離是 2,B(−3,−2)到 x 軸的距離是 2。
到 x 軸的距離其實就是 y 座標的絕對值。
A(3,2)到 y 軸的距離是 3,B(−3,−2)到 y 軸的距離是 3。
到 y 軸的距離其實就是 x 座標的絕對值。
也就是說,座標平面上任一點 P( ba, ),與 x 軸的距離是 b ,與 y 軸的距離是 a 。
圖 4.1-15
※ 在 x 軸上的點,例如(3,0),到 x 軸的距離是 0。
在 y 軸上的點,例如(0,5),到 y 軸的距離是 0。
y
x
P(a,b)
|a|
|b|
4-17
例題 4.1.2-1
在座標平面上畫出下列各點,並求各點到兩軸的距離:
(1) A(1,2) (2) B(−5,4) (3) C(−4,−3) (4) D( −2, 5) 詳解:
A 點到 x 軸距離為
2 = 2
,到 y 軸距離為1 = 1
。 B 點到 x 軸距離為4 = 4
,到 y 軸距離為− 5 = 5
。 C 點到 x 軸距離為− 3 = 3
,到 y 軸距離為−4 =4。 D 點到 x 軸距離為− 5 = 5
,到 y 軸距離為2 = 2
。圖 4.1-13
y
x
4-18
【練習】4.1.2-1
在座標平面上畫出下列各點,並求各點到兩軸的距離:
(1) A(2,3) (2) B(−3,2) (3) C(−3,−1) (4) D( −1, 4) A 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。
B 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。
C 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。
D 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。
x
4-19
例題 4.1.2-2
求下列各點到兩軸的距離:
(1) A ) 2 11 , 0
( (2) B ) 3 ,2 3
(− (3) C , 1) 2 31
(− − (4) D(−2,0) 詳解:
A 點到 x 軸距離為
2 11 2
11 = ,到 y 軸距離為
0 = 0
。B 點到 x 軸距離為
3 2
32 = ,到 y 軸距離為
− 3 = 3
。 C 點到 x 軸距離為−1 =1,到 y 軸距離為2 31 2 31 =
− 。
D 點到 x 軸距離為
0 = 0
,到 y 軸距離為 −2 =2。【練習】4.1.2-2
求下列各點到兩軸的距離:
(1) A(−1,0) (2) B ) 7 , 3 2
(− − (3) C( −0, 3) (4) D ) 2 31 , 5 (−
A 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。
B 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。
C 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。
D 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。
4-20
4.1.3 節 點在直角座標上的移動
前幾節我們學習了在座標上描點與計算點和座標軸的距離,接下來我們來看點如何在 座標平面上移動。
我們已經知道直角座標是由 x 軸與 y 軸所組成,x 軸從原點往右邊為正、往左邊為負;
y 軸從原點往上為正、往下方為負。
在圖 4.1-14 中,
A(2,1)往右邊移動 1 單位,會到達 A'(3,1) B(1,2)往上移動 1 單位,會到達 B'(1,3) C(−2,1)往左邊移動 2 單位,會到達 C'(−4,1) D(−2,−1)往下移動 2 單位,會到達 D'(−2,−3)
. 圖 4.1-14
y
x
4-21
由前面的例子可知,座標平面上的點在移動時有以下規律:
往右邊移動 s 單位,即為 x 座標增加 s;往左邊移動 s 單位,即為 x 座標減少 s。
往上移動 t 單位,即為 y 座標增加 t;往下移動 t 單位,即為 y 座標減少 t。
也就是說圖 4.1-15,若有一點 P( ba, ) (1)往右邊移動 s 單位,會到達(a +s,b)。 (2)往左邊移動 s 單位,會到達(a −s,b)。 (3)往上移動 t 單位,會到達(a,b+ 。 t) (4)往下移動 t 單位,會到達(a,b− 。 t)
圖 4.1-15
y
x
P( ba, ) ) , (a b+t
) , (a b−t
) , (a +s b )
, (a −s b
4-22
例題 4.1.3-1
寫出下列各點座標;
(1)在座標平面上,由原點出發,往右移動 4 單位,到達 A 點,A 點座標為何?
(2)由 A 點出發,往上移動 3 單位,到達 B 點,B 點座標為何?
(3)由 B 點出發,往左移動 6 單位,到達 C 點,C 點座標為何?
(4)由 C 點出發,往下移動 7 單位,到達 D 點,D 點座標為何?
詳解:
如圖 4.1-16
(1) 原點為(0,0),往右移動 4 單位,也就是 x 座標加 4。A 點座標為(0+4,0)=(4,0)。
(2) A 點為(4,0),往上移動 3 單位,也就是 y 座標加 3。B 點座標為(4,0+3)=(4,3)。
(3) B 點為(4,3),往左移動 6 單位,也就是 x 座標減 6。B 點座標為(4−6,3)=(−2,3)。
(4) C 點為(−2,3),往下移動 7 單位,也就是 y 座標減 7。
D 點座標為(−2,3−7)=(−2,−4)。
圖 4.1-16
y
x x
4-23
【練習】4.1.3-1
寫出下列各點座標;
(1)在座標平面上,由原點出發,往右移動 3 單位,到達 A 點,A 點座標為何?
(2)由 A 點出發,往下移動 2 單位,到達 B 點,B 點座標為何?
(3)由 B 點出發,往左移動 5 單位,到達 C 點,C 點座標為何?
(4)由 C 點出發,往上移動 6 單位,到達 D 點,D 點座標為何?
y
x
4-24
例題 4.1.3-2
在座標平面上,甲由原點出發,沿著 x 軸向右走 5 單位,再往下方走 2 單位,到達 A 點,則:
(1)A 點的座標為何?
(2)A 點到 x 軸的距離為何?
(3)A 點到 y 軸的距離為何?
詳解:
甲的移動如圖 4.1-17
(1) 甲由原點出發,沿著 x 軸向右走個 5 單位,也就是 x 座標加 5,
座標為(0+5,0)=(5,0)。
再往下方走個 2 單位,也就是 y 座標減 2,A 點座標為(5,0−2)=(5,−2)。
(2) A 點到 x 軸的距離,也就是 y 座標的絕對值:
− 2 = 2
。(3) A 點到 y 軸的距離,也就是 x 座標的絕對值:
5 = 5
。圖 4.1-17
y
x
4-25
【練習】4.1.3-2
在座標平面上,乙由原點出發,沿著 x 軸向左走 3 單位,再往上方走 4 單位,到達 B 點,則:
(1)B 點的座標為何?
(2)B 點到 x 軸的距離為何?
(3)B 點到 y 軸的距離為何?
y
x
4-26
例題 4.1.3-3
座標平面上,有一點 P( ba, ),若 P 點先向右移動 7 單位,再向下移動 8 單位,會到 達 Q( −4, 5),則 P 點座標為何?
詳解:
P 的移動如圖 4.1-18 解法一:
我們將點的移動反過來看,從 Q( −4, 5)出發,向上移動 8 單位,再向左移動 7 單 位,會到達 P( ba, )。
) 5 , 4
( − 向上移動 8 單位,會到達(4,−5+8)=(4,3) )
3 , 4
( 向左移動 7 單位,會到達(4−7,3)=(−3,3) 因此 P 的座標為(−3,3)。
解法二:
P( ba, )往右移動 7 單位,會到達(a +7,b) )
, 7
(a + b 向下移動 8 單位,會到達(a+ b7, −8)
題目說會到達 Q( −4, 5),也就是( −4, 5)和(a+ b7, −8)是一樣的,兩邊 x 座標與 y 座 標會相等。(這裡運用到點的重合觀念,會在下一節詳細介紹)
可列出聯立方程式:
−
=
−
= +
5 8
4 7 b
a ,解得a=−3、b=3。
因此 P 的座標為(−3,3)。
圖 4.1-18
y
x
4-27
【練習】4.1.3-3
座標平面上,有一點 P( ba, ),若 P 點先向上移動 6 單位,再向左移動 7 單位,會到 達 Q(−2,3),則 P 點座標為何?
y
x
4-28
4.1.4 節 兩點的重合與對稱
兩點重合: 在座標平面上,若兩點重合,表示兩點的位置相同,所以兩點的 x 座標相 同,y 座標也相同。
例如若點 P( ba, )與 Q(1,2)重合,則可得a=1、b=2,P 座標為(1,2)。如圖 4.1-19
圖 4.1-19
兩點對稱: 在座標平面上,若兩點對稱於 x 軸,則兩點的 x 座標相同,y 座標互為相反 數。若兩點對稱於 y 軸,則兩點的 y 座標相同,x 座標互為相反數。
若兩點對稱於原點,則兩點的 x 座標、y 座標皆互為相反數。
※相反數:在數線上分別位於兩點兩邊,且與原點距離相等的兩個點所代表的兩數,
如 8 與-8。
圖 4.1-20 中,A、B 兩點對稱於 x 軸。
圖 4.1-20 P( ba, )
Q(1,2)
y
x
x
y
4-29
圖 4.1-21 中,C、D 兩點對稱於 y 軸。
圖 4.1-21
若有 P、Q 兩點對稱於 x 軸,且 P 座標為( ba, ),則 Q 座標為(a −, b)。 若有 P、K 兩點對稱於 y 軸,且 P 座標為( ba, ),則 K 座標為(−a,b)。 如圖 4.1-22
圖 4.1-22
x y
P( ba, )
Q(a −, b) K(−a,b)
x
y
4-30
例題 4.1.4-1
A(a+ b2, −1)與 B( −4, 5)為座標平面上重合的兩點,試求 a
、
b 之值。詳解:
A、B 兩點重合,因此 x 座標相同,y 座標也相同。
可列出聯立方程式:
−
=
−
= +
5 1
4 2 b
a
解得a=2、b=−4
【練習】4.1.4-1
A(a− b1, +3)與 B(3,5)為座標平面上重合的兩點,試求 a
、
b 之值。例題 4.1.4-2
A(a+5,2b−7)與 B(b− a1,3 +6)為座標平面上重合的兩點,試求 A 點座標。
詳解:
A、B 兩點重合,因此 x 座標相同,y 座標也相同。
可列出聯立方程式:
+
=
−
−
= +
6 3 7 2
1 5
a b
b a
化簡得
= +
−
−
=
−
13 2 3
6 b a
b a
解得a=−1、b=5
將 a
、
b 之值代入 A 點座標:x 座標:a+5=(−1)+5=4
4-31
y 座標:2b−7=2(5)−7=3 得 A 點座標為(4,3)
驗算:
將 a
、
b 之值代入 B 點座標:x 座標:b−1=5−1=4
y 座標:3a+6=3(−1)+6=3 得 B 點座標為(4,3)
A 點與 B 點兩點重合,符合題意,故答案正確。
【練習】4.1.4-2
A(a+2b,6−a)與 B(4,b−1)為座標平面上重合的兩點,試求 a
、
b 之值與 B 點座標。4-32
例題 4.1.4-3
座標平面上,A(2,3)與 B( ba, )對稱於 x 軸,試求 B 點座標。
詳解:
A、B 兩點對稱於 x 軸,即 x 座標相同,y 座標互為相反數。
因此 B 的 x 座標為 2,y 座標為−(3)=−3 B 點座標為( −2, 3)
圖 4.1-23
x
y
4-33
【練習】4.1.4-3
座標平面上,A(−2,−3)與 B( ba, )對稱於 y 軸,試求 B 點座標。
例題 4.1.4-4
座標平面上,A(2a+1,2−b)與 B(b,3a)對稱於 y 軸,試求 A 點座標。
詳解:
A、B 兩點對稱於 y 軸,即 x 座標互為相反數,y 座標相同。
x 座標互為相反數:2a+1=−(b),化簡得2a+b=−1 y 座標相同;2−b 3= a,化簡得3a+b=2
可列出聯立方程式:
= +
−
= +
2 3
1 2
b a
b a
解得a=3,b=−7
代入 A 點 x 座標:2a+1=23+1=7 代入 A 點 y 座標:2−b=2−(−7)=9 得 A 點座標為(7,9)
驗算:
B 點座標為(b,3a)=(−7,33)=(−7,9),與點 A(7,9)對稱 y 軸,故答案正確。
x
y
4-34
【練習】4.1.4-4
座標平面上,A(3a+ b1, +1)與 B(2b+1,−2a)對稱於 x 軸,試求 A 點座標。
4-35
4.1.5 節 由座標求周長與面積
在座標平面上,我們可以用點與線來做出一些幾何圖形,例如三角形、長方形和正方 形等。當然也可以再利用座標計算這些圖形的周長與面積。
長方形周長=(長+寬)×2 長方形面積=長×寬 三角形面積=底×高÷2
例題 4.1.5-1
如圖 4.1-24,長方形 ABCD 中,A 點座標為(1,2),B 點座標為(1,1),C 點座標為(3,1), D 點座標為(3,2),試求長方形 ABCD 的周長與面積。
詳解:
要計算周長,首先需要先算出長與寬的長度,
也就是 A、B 兩點的距離與 B、C 兩點的距離
若兩點間的 x 座標相同,則距離為 y 座標相減的絕對值。
若兩點間的 y 座標相同,則距離為 x 座標相減的絕對值。
圖 4.1-24
x
y
4-36
A、B 兩點因為 x 座標相同,因此距離為 y 座標相減的絕對值。
A、B 距離為2−1=1,即長方形的寬為 1。
B、C 兩點因為 y 座標相同,因此距離為 x 座標相減的絕對值。
B、C 距離為
3 − 1 = 2
,即長方形的長為 2。長方形 ABCD 周長=(1+2)2=6
長方形面積是長×寬
長方形 ABCD 面積=21=2
長方形 ABCD 的周長為 6 單位,面積為 2 平方單位。
【練習】4.1.5-1
如圖 4.1-25,長方形 ABCD 中,A 點座標為(1,1),B 點座標為( −1, 3),C 點座標為( −3, 3), D 點座標為(3,1),試求長方形 ABCD 的周長與面積。
圖 4.1-25
x
y
4-37
例題 4.1.5-2
如圖 4.1-26,三角形 ABC 中,A 點座標為(−1,1),B 點座標為(2,1),C 點座標為(2,5), 試求三角形 ABC 的面積。
詳解:
三角形 ABC 面積:底×高÷2=AB BC2
(這裡 AB 代表 A 點與 B 點的距離, BC 代表 B 點與 C 點的距離。) A、B 兩點因為 y 座標相同,因此距離為 x 座標相減的絕對值。
3 3 2 ) 1
(− − = − =
= AB
B、C 兩點因為 x 座標相同,因此距離為 y 座標相減的絕對值。
4 4 5
1− = − =
= BC
三角形 ABC 面積=AB BC2=342=6 三角形 ABC 面積為 6 平方單位。
圖 4.1-26
x
y
4-38
【練習】4.1.5-2
三角形 ABC 中,A 點座標為(−1,2),B 點座標為(−1,−3),C 點座標為( −3, 3),試求三 角形 ABC 的面積。
例題 4.1.5-3
如圖 4.1-27,三角形 ABC 中,A 點座標為(−2,0),B 點座標為(4,0),C 點座標為(2,4), 試求三角形 ABC 的面積。
詳解:
三角形 ABC 面積:底×高÷2 底為 AB ,AB= 4−(−2) =6
高為 C 點到 x 軸的距離,也就是 y 座標的絕對值,高:
4 = 4
三角形 ABC 的面積=底×高÷2=642=12三角形 ABC 面積為 12 平方單位。
x
y
4-39
圖 4.1-27
【練習】4.1.5-3
三角形 ABC 中,A 點座標為(0,3),B 點座標為( −0, 3),C 點座標為(5,1),試求三角形 ABC 的面積。
x y
x
y
4-40
例題 4.1.5-4
如圖 4.1-28,三角形 ABC 中,A 點座標為(−2,−2),B 點座標為( −4, 2),C 點座標為 )
2 , 2
( ,試求三角形 ABC 的面積。
詳解:
三角形 ABC 面積:底×高÷2 底為 AB ,AB= 4−(−2) =6
高為 C 點到 AB 的距離,由 C 作鉛直線交 AB 於 D 點,由圖形可知 D 點座標為( −2, 2) 高為 CD ,CD= 2−(−2) =4
三角形 ABC 的面積=底×高÷2=642=12 三角形 ABC 面積為 12 平方單位。
圖 4.1-28
x
y
4-41
【練習】4.1.5-4
三角形 ABC 中,A 點座標為(−2,4),B 點座標為(−2−2),C 點座標為(3,1),試求三 角形 ABC 的面積。
x
y
4-42
4.1.6 節 象限問題
在 4.1.1 節中,我們已介紹了象限的基本意義,如圖 4.1-29。
圖 4.1-29
第一象限中的座標,x 座標為正,y 座標也為正,用( ++, )表示;
第二象限中的座標,x 座標為負,y 座標為正,用( +−, )表示;
第三象限中的座標,x 座標為負,y 座標也為負,用( −− 表示; , ) 第四象限中的座標,x 座標為正,y 座標為負,用( −+, )表示。
本節我們將更進一步介紹象限的相關問題。
x
y
4-43
例題 4.1.6-1
座標平面上,若點( ba, )在第二象限,求下列各點分別在哪一象限或哪一座標軸上:
(1) (−a,b) (2) (a −, b) (3) ( aba, ) (4) ( a− ,0) (5) ( b0, ) (6) (−ab,a) 詳解:
) ,
( ba 在第二象限,符號表示為( +−, ),即a0、b0。 (1) a0→− a0,即(−a,b)的 x 座標為正,y 座標也為正,
符號表示為( ++, ),在第一象限。
(2) b0→−b0,即(a −, b)的 x 座標為負,y 座標也為負,
符號表示為( −− ,在第三象限。 , )
(3) a0、b0→ab0,即( aba, )的 x 座標為負,y 座標也為負,
符號表示為( −− ,在第三象限。 , )
(4) ( a− ,0)的 x 座標不為零,y 座標為零,在 x 軸上。
(5) ( b0, )的 x 座標為零,y 座標不為零,在 y 軸上。
(6) ab0→− ab0;即(−ab,a)的 x 座標為正,y 座標為負,
符號表示為( −+, ),在第四象限。
【練習】4.1.6-1
座標平面上,若點( ba, )在第三象限,求下列各點分別在哪一象限或哪一座標軸上:
點 ( ab, ) ( a− ,0) (−b,a) ( a0, ) (ab,b) (−ab −, a) 象限或
座標軸
4-44
例題 4.1.6-2
座標平面上,若點(a −, ab)在第二象限,求下列各點分別在哪一象限或哪一座標軸 上:
(1) ( ba, ) (2) ( , ) b
ab a (3) (b −, a)
詳解:
) ,
(a −ab 在第二象限,符號表示為( +−, ),即a0、− ab0。
0
− ab →ab0
因為a0,可得b0 (若 a
、
b 都小於 0,那麼 ab 會大於 0) (1) a0、b0,即( ba, )的 x 座標為負,y 座標為正,符號表示為( +−, ),在第二象限。
(2) ab0、 0 b
a ,即( , ) b
ab a 的 x 座標為負,y 座標也為負,
符號表示為( −− ,在第三象限。 , )
(3) b0、− a0,即(b −, a)的 x 座標為正,y 座標也為正,
符號表示為( ++, ),在第一象限。
【練習】4.1.6-2
座標平面上,若點(−a,ab)在第四象限,求下列各點分別在哪一象限或哪一座標軸 上:
點 ( ba, ) (−ab,a) (0,− b) 象限或
座標軸
4-45
例題 4.1.6-3
座標平面上,若點 A(a+ a1,2 +7)在第三象限內,且 A 點到 x 軸距離為 1,則 A 點到 y 軸距離是多少?
詳解:
A 點到 x 軸距離為 1,即 y 座標為 1 或-1……(1) A 點在第三象限,可知 y 座標為負……(2)
由(1)(2)得 A 點的 y 座標為-1 y 座標:2a+7=−1,解得a=−4
將a=−4代入 x 座標:a+1=(−4)+1=−3,得 x 座標為-3 A 點到 y 軸距離為 x 座標的絕對值:
− 3 = 3
得 A 點到 y 軸距離為 3。
圖 4.1-30
【練習】4.1.6-3
座標平面上,若 B 點(b− b9, −1)在第二象限內,且 B 點到 x 軸距離為 4,則 B 點到 y 軸距離是多少?
) 7 2 , 1 (a+ a+
x y
x
y
4-46
4.1 節 習題
習題 4.1-1
圖 4.1-31 是博幼國中 1 年 3 班的座位表,座位位置以數對(行,個)來表示,例如小 博的位置是(2,4)。請回答下列的問題:
第五個 小美
第四個 小惠 小博 小新 阿明
第三個 小強
第二個 小白
第一個 小李 小幼
第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 圖 4.1-31
(1)小李的位置在 (2)小惠的位置在
(3)小強的位置在 (4)阿明的位置在
(5)坐在(3,4)的是 (6)坐在(3,1)的是
4-47
習題 4.1-2
依據圖 4.1-32,寫出各點座標:
圖 4.1-32
(1)A 點座標為 (2)B 點座標為 (3)C 點座標為 (4)D 點座標為 (5)E 點座標為 (6)F 點座標為 習題 4.1-3
在座標平面上標出下列各點的位置:
A(2,3)、 B( −3, 5)、C(−2.5,−4)、D(−4,0)、E(−3,3.5)
x y
x
y
4-48
習題 4.1-4
座標平面上,求下列各點到 x 軸與 y 軸的距離:
(1)A( −4, 4)到 x 軸的距離是 單位長,到 y 軸的距離是 單位長。
(2)B(−8,6)到 x 軸的距離是 單位長,到 y 軸的距離是 單位長。
(3)C(2.5,− 到 x 軸的距離是 單位長,到 y 軸的距離是 單位長。 3) (4)D(−5,−4)到 x 軸的距離是 單位長,到 y 軸的距離是 單位長。
習題 4.1-5
在座標平面上有 A(4,4)、B( −3, 4)、C( −4, 3)、D(−3,4)四點,請問哪一點和 x 軸的距 離最近?
習題 4.1-6
直角座標上有一點 A(-1,-2),從 A 往上移動 2 個單位長,再向右移動 3 個單位長,
請問移動後的座標位置是?
習題 4.1-7
在座標平面上,從 A 點出發,先往上 2 個單位長,再向右 4 個單位長,最後再往下 5 個單位長,便可回到原點。則 A 點的座標為?
習題 4.1-8
座標平面上有一點 P(a+b,a−b),若 P 點先向右移動 10 個單位,再向上移動 7 個 單位,最後到達 Q(5,2),求 a
、
b 之值及 P 點座標。●
4-49
習題 4.1-9
有一隻螞蟻從座標平面上 A 點向東走 2 單位,又向南走 3 單位,再向西走 1 單位,
最後到達( −0, 1),則 A 點座標為何?(東為 x 軸正向;北為 y 軸正向)
習題 4.1-10
在座標平面上,甲由原點出發,沿著 x 軸向右走 5 單位,再往下走 2 單位,到達 A 點,則:
(1)A 點的座標為 。
(2)A 點到 x 軸的距離為 。 (3)A 點到 y 軸的距離為 。
習題 4.1-11
設 A 為座標平面上的一點,若 A 與 x 軸的距離是 4,A 與 y 軸的距離是 3,且 A 在第 二象限內,則 A 的座標為多少?
習題 4.1-12
在座標平面上,若點 A(3a −5,a)在第二象限內,且 A 點到 y 軸距離為 2,則 A 點到 x 軸距離是多少?
習題 4.1-13
座標平面上,若兩點(a,2)與(1,2)距離 4 個單位長,則 a=?
4-50
習題 4.1-14
在座標平面上,乙由(−6,7)出發,向 (填入左或右)移動 個單位,
再向 (填入上或下)移動 個單位後,將可到達原點。
習題 4.1-15
座標平面上,以 x 軸為對稱軸,則 A(−3,5)的對稱點座標為 。
習題 4.1-16
座標平面上,A(2a+b,4a−b)、B(a+3b,a−18)兩點互相對稱於 x 軸,求 a
、
b 之值 與 A 點座標。習題 4.1-17
已知座標平面上兩點 A(2,a +b)、B(a,2a+1)重合,則 A 點座標為 。
習題 4.1-18
已知座標平面上兩點 A(a+3b,3a−b)、B(2a +b,5)重合,則 A 點座標為 。
習題 4.1-19
A 點座標為( −5, 1),若 B 點與 A 點對稱於 x 軸,C 點與 A 點對稱於 y 軸,試求 B、C 兩點的座標。
4-51
習題 4.1-20
座標平面上有 A(a+ b1, −1),B(−4,1)兩點,若 A 點向左移動 5 個單位後即與 B 點重 合,試求 a、b 之值。
習題 4.1-21
長方形四個頂點座標分別為 A(2,3)、B(0,3)、C(0,0)、D(2,0), 試求此長方形的周長與面積。
習題 4.1-22
甲由原點 O 出發,沿著 x 軸向右方走 5 個單位到達 A 點,接著向上方走 6 個單位到 達 B 點,再向左方走 5 個單位到達 C 點,試回答下列問題:
(1)求 A、B、C 的座標。
(2)四邊形 OABC 是何種四邊形?
(3)求四邊形 OABC 的周長與面積。
4-52
習題 4.1-23
如圖 4.1-33,四邊形 ABCD 為長方形,且AB與 x 軸垂直,試回答下列問題:
(1)B 點座標為何?
(2)D 點座標為何?
(3)四邊形 ABCD 之面積為何?
圖 4.1-33
習題 4.1-24
座標平面上有三點 A(0,3)、B( −0, 5)、C(4,1),試求三角形 ABC 的面積。
習題 4.1-25
座標平面上,A(m,2m−3n)在 x 軸上,B(3m−3n−3,n)在 y 軸上。
O 為原點,則三角形 AOB 的面積為 平方單位。
4-53
習題 4.1-26
如圖 4.1-34,長方形 ABCD 中,已知 A 點座標為(−2,3),C 點座標為( −3, 1),且AB與 x 軸垂直,求長方形 ABCD 的周長。
習題 4.1-27
座標平面上有 P(−3,4)、Q(2,2)、R(−3,−2)三點,求三角形 PQR 的面積。
圖 4.1-34
圖 4.1-35
4-54
習題 4.1-28
下表中各點分別在哪一象限內或哪一個座標軸上?
點 (2,0) (7,2) (−5,−3) ( −6, 2) ( −0, 8) 象限或
座標軸 習題 4.1-29
若 a>0,b<0,則下表中各點分別在哪一象限內或哪一個座標軸上?
點 ( ba, ) ( a− ,0) ( ab, ) (−a,ab) (0,−ab) 象限或
座標軸
習題 4.1-30
若( ba, )在第二象限,則下表中各點分別在哪一象限內或哪一個座標軸上?
點 ( ab, ) ( , ) b a a
b (b −a,a)
( a
2, 0 )
(ab −, ab) 象限或座標軸
習題 4.1-31
在座標平面上,已知點( ba, )在第二象限,點( dc, )在第三象限,則點(a+c,b−d)在第幾 象限?
4-55
4.2 節 二元一次方程式的圖形
4.1 節中我們學習了直角座標上點的表示,本節將結合第三章學過的二元一次方程式,
將其圖形畫在直角座標上。
4.2.1 節 畫出二元一次方程式的圖形
若現在有一個二元一次方程式:x− y=0
我們將二元一次方程式x− y=0的解用數對表示,有(5,5)、(3,3)、(2,2)、(0,0)、(−4,−4) 等無限多組,將這些數對記在直角座標上,如圖 4.2-1。
圖 4.2-1
x
y
4-56
若將圖 4.2-1 的點連接起來,會得到一條直線,如圖 4.2-2:
圖 4.2-2
事實上,二元一次方程式的圖形都是一條直線。
因為兩點可以決定一條直線,所以若我們想在座標平面畫出二元一次方程式的圖形,
只需要找出二元一次方程式的兩組不同的解,標在座標平面上,再畫出過此兩點的直 線即為此二元一次方程式的圖形。
x
y
4-57
例題 4.2.1-1
下表中的 x
、
y 值都是二元一次方程式x− y=2的解,請完成下表,並在座標平面上 標出各數對的位置。x 5 3
y 0 -2 -5
詳解:
方程式為x− y=2
(1)x=5時,(5)− y=2,解得y=3 (2)x=3時,(3)− y=2,解得y=1 (3)y=0時,x−(0)=2,解得x=2 (4)y=−2時,x−(−2)=2,解得x=0 (5)y=−5時,x−(−5)=2,解得x=−3 填入表格:
x 5 3 2 0 -3
y 3 1 0 -2 -5
標在座標平面:
圖 4.2-3
x
y
4-58
【練習】4.2.1-1
下表中的 x
、
y 值都是二元一次方程式2x− y=1的解,請完成下表,並在座標平面 上標出各數對的位置。x 3 1 0
y -3 -5
x
y
4-59
例題 4.2.1-2
在座標平面上畫出二元一次方程式x− y3 =3的圖形。
詳解:
因為二元一次方程式的圖形是一條直線,所以我們只要找到方便計算的兩組解,標 在座標平面上,再畫出過這兩點的直線即可。
將x=0代入x− y3 =3,得到(0)− y3 =3,解得y=−1。即( −0, 1)為一解。
將y=0代入x− y3 =3,得到x−3(0)=3,解得x=3。即(3,0)為一解。
將( −0, 1)和(3,0)畫在座標平面上,並過此兩點做直線。
圖 4.2-4
x
y
4-60
【練習】4.2.1-2
在座標平面上畫出二元一次方程式x+ y=5的圖形。
例題 4.2.1-3
在座標平面上畫出二元一次方程式3x+ y2 =6的圖形。
詳解:
將x=0代入3x+ y2 =6,得到3(0)+2y=6,解得y=3。即(0,3)為一解。
將y=0代入3x+ y2 =6,得到3x+2(0)=6,解得x=2。即(2,0)為一解。
將(0,3)和(2,0)畫在座標平面上,並過此兩點做直線。
x
y
4-61
圖 4.2-5
【練習】4.2.1-3
在座標平面上畫出二元一次方程式4x+ y3 =−12的圖形。
x y
x
y
4-62
瞭解了基本的二元一次方程式圖形後,我們再來看看幾個較特殊的方程式:
若方程式的形式為x =k,則其圖形為垂直 x 軸或平行 y 軸的直線。
若方程式的形式為y =h,則其圖形為平行 x 軸或垂直 y 軸的直線。
圖 4.2-6
若方程式的形式為axby=0,也就是常數項為 0。因為將(0,0)代入可使等號成立 )
0 0 0
(a b = ,可知此方程式圖形必通過原點。
圖 4.2-7
x
y
x y
k x =
h y =
x
y
4-63
例題 4.2.1-4
在座標平面上畫出二元一次方程式x=3的圖形。
詳解:
方程式為x=3,也就是其解的 y 座標為任意數,只要 x 座標為 3 即可。
因此像(3,2)、(3,5)、(3,11)、(3,0)、( −3, 8) 等全都是解。
我們取其中兩組解(3,2)(3,5),標在直角座標上畫出圖形。
圖 4.2-8
【練習】4.2.1-4
在座標平面上畫出二元一次方程式y=−2的圖形。
x y
x
y
4-64
例題 4.2.1-5
在座標平面上畫出下列圖形:
(1) 通過(−1,−2)且垂直 x 軸的直線。
(2) 通過(3,2)且平行 x 軸的直線。
詳解:
(1) 垂直 x 軸的直線為鉛垂線。
先在座標平面標出點(−1,−2), 再畫出通過此點的鉛垂線。
圖 4.2-9
(2) 平行 x 軸的直線為水平線。
先在座標平面標出點(3,2), 再畫出通過此點的水平線。
圖 4.2-10
x y
x
y
4-65
【練習】4.2.1-5
在座標平面上畫出下列圖形:
(1) 通過( −2, 2)且垂直 y 軸的直線。
(2) 通過(−3,2)且平行 y 軸的直線。
x y
x
y
4-66
例題 4.2.1-6
在座標平面上畫出二元一次方程式2x− y3 =0的圖形。
詳解:
二元一次方程式常數項等於 0,圖形為通過原點的直線。
將x=0代入2x− y3 =0,得到2(0)−3y=0,解得y=3。即(0,0)為一解。
將x=3代入2x− y3 =0,得到2(3)−3y=0,解得y=2。即(3,2)為一解。
將(0,0)和(3,2)畫在座標平面上,並過此兩點做直線。
圖 4.2-11
【練習】4.2.1-6
在座標平面上畫出二元一次方程式−4x+3y=0的圖形。
x y
x
y
4-67
座標平面上的直線方程式圖形,與 x 軸相交時,y 座標為 0。因此,我們若想求直線 與 x 軸的交點,將y=0代入方程式即可。同樣地,若想求直線與 y 座軸的交點,將x=0 代入方程式即可。
例題 4.2.1-7
座標平面上有一直線方程式2x+ y=4,求:
(1)此直線與 x 軸、y 軸的交點座標。
(2)此直線與兩軸圍成的三角形面積。
(3)此直線不通過哪個象限?
詳解:
(1) 將 y=0代入2x+ y=4,得到2x+(0)=4,解得x=2。 與 x 軸交點為(2,0)。
將x=0代入2x+ y=4,得到2(0)+y=4,解得y=4。 與 y 軸交點為(0,4)。
(2) 如圖 4.2-12
直線2x+ y=4與兩軸圍成的三角形,
底為 2 ((0,0)到(2,0)距離為 2) 高為 4 ((0,0)到(0,4)距離為 4)
面積為 4
2 4 1
2 = (平方單位)
(3) 如圖 4.2-12,此直線不通過第三象限。
圖 4.2-12
x
y
4-68
【練習】4.2.1-7
座標平面上有一直線方程式5x− y4 =20,求:
(1)此直線與 x 軸、y 軸的交點座標。
(2)此直線與兩軸圍成的三角形面積。
(3)此直線不通過哪個象限?
x
y
4-69
4.2.2 節 求直線方程式
4.2.1 小節中我們學習了如何由二元一次方程式畫出圖形,在本節中,我們將反過來,
學習如何利用平面上兩個點的座標找出二元一次方程式。
我們知道任何一個二元一次方程式都可以用ax+by=c來表示,但其實我們也可以寫成 b
ax
y= + 的形式。
例如:
9 2
3x+ y= −5x+2y=−4 移項得 2y= x−3 +9 移項得 2y= x5 −4
2 9 23 +
−
= x
y 2
25 −
= x y
為什麼要寫成y=ax+b的形式呢?
因為這麼一來,若是已知方程式通過哪些點,則未知數只有 a
、
b 兩個。我們可以用二元一次聯立方程式的解法來找出 a
、
b 之值。例如在座標平面上,若有直線通過(1,3)、(−1,−1)兩點,我們想將找出其方程式,可以 先將方程式設為y=ax+b,然後分別將兩點座標代入:
代入(1,3) → 3=a +b 化簡得a+b=3 代入(−1,−1) → −1=−a +b 化簡得−a+b=−1 寫成聯立方程式:
−
= +
−
= +
1 3 b a
b a
) 2 ...(
) 1 ...(
由( +1) (2)得2 =b 2,解得b=1 再將b=1代入(1),解得a=2
於是我們知道了,通過(1,3)、(−1,−1)兩點的直線方程式y=ax+b,就是y= x2 +1。
4-70
例題 4.2.2-1
求通過(1,2)和(2,1)的直線方程式。
詳解:
設直線方程式為y=ax+b,然後分別將兩點座標代入:
代入(1,2):2=a +b 化簡得a+b=2 代入(2,1):1= 2a +b 化簡得2a+b=1 寫成聯立方程式:
= +
= +
1 2
2 b a
b a
) 2 ...(
) 1 ...(
由(2)− 得(1) a=−1
再將a=−1代入(1),解得b=3 直線方程式為y= x− +3
圖 4.2-13
【練習】4.2.2-1
求通過(1,3)和(2,4)的直線方程式。
x y
x
y
4-71
例題 4.2.2-2
求通過(1,4)和(2,3)的直線方程式。
詳解:
設直線方程式為y=ax+b,然後分別將兩點座標代入:
代入(1,4):4=a +b 化簡得a+b=4 代入(2,3):3= 2a +b 化簡得2a+b=3 寫成聯立方程式:
= +
= +
3 2
4 b a
b a
) 2 ...(
) 1 ...(
由(2)− 得(1) a=−1
再將a=−1代入(1),解得b=5 直線方程式為y= x− +5
圖 4.2-14
【練習】4.2.2-2
求通過(2,2)和(1,4)的直線方程式。
x y
x
y
4-72
例題 4.2.2-3
求通過( −1, 1)和(−2,2)的直線方程式。
詳解:
設直線方程式為y=ax+b,然後分別將兩點座標代入:
代入( −1, 1):−1=a +b 化簡得a+b=−1
代入(−2,2):2= 2− a +b 化簡得−2a+b=2 寫成聯立方程式:
= +
−
−
= +
2 2
1 b a
b a
) 2 ...(
) 1 ...(
由( −1) (2)得a=−1
再將a=−1代入(1),解得b=0
直線方程式為y =−x
圖 4.2-14
【練習】4.2.2-3
求通過(1,1)和(2,2)的直線方程式。
x y
x
y
4-73
例題 4.2.2-4
求通過(−1,−2)和(0,3)的直線方程式。
詳解:
設直線方程式為y=ax+b,然後分別將兩點座標代入:
代入(−1,−2):− 2=−a +b 化簡得−a+b=−2 代入(0,3):3=b 化簡得b=3
寫成聯立方程式:
=
−
= +
−
3 2 b
b a
) 2 ...(
) 1 ...(
將(2)代入(1)得a=5 直線方程式為y= x5 +3
圖 4.2-16
【練習】4.2.2-4
求通過(0,1)和(−1,2)的直線方程式。
x y
x
y
4-74
在 4.2.1 節中,我們學過平行或垂直座標軸的直線:
若方程式的形式為x =k,則其圖形為垂直 x 軸或平行 y 軸的直線。
若方程式的形式為y =h,則其圖形為平行 x 軸或垂直 y 軸的直線。
反過來說,若直線垂直 x 軸或平行 y 軸,則其方程式的形式為x =k 若直線平行 x 軸或垂直 y 軸,則其方程式的形式為y =h
這個觀念可以協助我們求出平行或垂直座標軸的直線方程式。
例如想求通過(1,2)且平行 x 軸的直線方程式。
我們知道平行 x 軸的直線方程式形式是y =h,而點(1,2)的 y 座標為 2。
因此可以直接寫出直線方程式為y=2。
圖 4.2-17,y=2的圖形
x
y
4-75
例題 4.2.2-5
求通過(−1,−2)且垂直 y 軸的直線方程式。
詳解:
垂直 y 軸的直線方程式,形式為y =h )
2 , 1
(− − 的 y 座標為-2
可將直線方程式寫為:y=−2
圖 4.2-18
【練習】4.2.2-5
求通過( −3, 2)且平行 y 軸的直線方程式。
y
x y
x
4-76
我們知道座標平面上任兩點,一定可以找到通過此兩點的直線,但是三點就不一定了。
若是三點在同一條直線上,我們稱為三點共線。
如圖 4.2-19(a),三點共線,但在圖 4.2-19(
b
)中,三點就沒有共線了。
圖 4.2-19(a) 圖 4.2-19(b)
如何決定三點是否共線呢?我們只要隨意拿兩點,求得通過此兩點的直線方程式,然 後將第三點代入這個方程式,如能滿足此方程式,則三點共線,如不滿足,就不共線。
例題 4.2.2-6
座標平面上有三點 A(1,5)、B(0,3)、C(−2,−1),請判斷此三點是否共線。
詳解:
判斷三點是否共線:先找兩點求出直線方程式,再看第三點是否在直線上。
我們先求出通過 A(1,5)、B(0,3)兩點的直線
設直線方程式為y=ax+b,然後分別將 A(1,5)、B(0,3)兩點代入:
代入(1,5):5=a +b 化簡得a+b=5 代入(0,3):3=b 化簡得b=3
x y
x
y
4-77
寫成聯立方程式:
=
= +
3 5 b
b a
) 2 ...(
) 1 ...(
將(2)代入(1)得a=2
通過 A(1,5)、B(0,3)兩點的直線方程式為y= x2 +3
接著我們再看看 C(−2,−1)是否在y= x2 +3上 將(−2,−1) 代入y= x2 +3
左式:y=−1
右式:2x+3=2(−2)+3=−1
左式=右式,可知 C(−2,−1)在y= x2 +3上 因此 A、B、C 三點共線
圖 4.2-20
【練習】4.2.2-6
座標平面上有三點 A( −3, 5)、B( −0, 3)、C(−3,−1),請判斷此三點是否共線。
x y
x
y
4-78
例題 4.2.2-7
座標平面上有三點 A( −2, 2)、B( −0, 1)、C(−2,1),請判斷此三點是否共線。
詳解:
判斷三點是否共線:先找兩點求出直線方程式,再看第三點是否在直線上。
我們先求出通過 A( −2, 2)、B( −0, 1)兩點的直線
設直線方程式為y=ax+b,然後分別將 A( −2, 2)、B( −0, 1)兩點代入:
代入( −2, 2):−2=2a +b 化簡得2a+b=−2 代入( −0, 1):−1=b 化簡得b=−1 寫成聯立方程式:
−
=
−
= +
1 2 2
b b a
) 2 ...(
) 1 ...(
將(2)代入(1)得
2
−1
= a
通過 A(1,5)、B(0,3)兩點的直線方程式為 1 1 −2
−
= x
y
接著我們再看看 C(−2,1)是否在 1 21 −
−
= x
y 上
將(−2,1) 代入 1 21 −
−
= x y
左式:y=1
右式: ( 2) 1 0 2
1 1 2
1 − =− − − =
− x
左式≠右式,可知 C(−2,1)不在 1 21 −
−
= x
y 上
因此 A、B、C 三點不共線
圖 4.2-21
x
y
4-79
【練習】4.2.2-7
座標平面上有三點 A(3,1)、B(1,0)、C(−2,−3),請判斷此三點是否共線。
例題 4.2.2-8
已知座標平面上三點 A(−1,−9)、B(5,15)、C(c,2c+1),在同一直線上,試求:
(1)此直線方程式 (2)c 之值
詳解:
題目已說明 A、B、C 三點共線,我們可以先用 A、B 兩點求出直線方程式,再將 C 點座標代入直線方程式,找出 c 之值。
設直線方程式為y=ax+b,然後分別將 A(−1,−9)、B(5,15)兩點代入:
代入(−1,−9):−9=−a +b 化簡得a−b=9 代入(5,15):15= 5a +b 化簡得5a+b=15
x
y
4-80
寫成聯立方程式:
= +
=
−
15 5
9 b a
b a
) 2 ...(
) 1 ...(
利用加減消去法,(1)+(2) 得到:
15 9 5 = + + a
a 6 =a 24 a=4 將a=4代入(1)得到:
9
4−b= b=−5
通過 A(−1,−9)、B(5,15)兩點的直線方程式為y= x4 −5
將 C(c,2c+1)代入 y= x4 −5 5
) ( 4 ) 1 2
( c+ = c − 5 4 1
2c+ = c− 6 2 =c
=3 c
因此本題三點共線的直線方程式為y= x4 −5,c 之值為 3。
【練習】4.2.2-8
已知座標平面上三點 A(3,4)、B(−1,−4)、C(−k,−k+1),在同一直線上,試求:
(1)此直線方程式 (2)k 之值
4-81
4.2.3 節 二元一次聯立方程式的圖解
我們已經知道了二元一次方程式的解,在座標平面上的圖形是一條直線。那麼若將兩 個二元一次方程式一起畫在座標平面上,其交點有什麼意義呢?本小節我們將搭配第 三章的二元一次聯立方程式來做介紹。
例題 4.2.3-1
在同一座標平面上畫出下列聯立方程式的圖形,並求聯立方程式的解:
=
−
= +
0 4 y x
y x
詳解:
將各方程式分別找出兩解,再連線畫出直線圖形
=4 + y
x :
將x=0代入,得y=4,圖形通過(0,4) 將 y=0代入,得x=4,圖形通過(4,0)
=0
− y
x :
將x=0代入,得y=0,圖形通過(0,0) 將 y=3代入,得x =3,圖形通過(3,3) 畫出圖形,如圖 4.2-22
圖 4.2-22 由圖形可以看出,兩直線交於一點,且交點為(2,2)
接著我們來解聯立方程式
=
−
= +
0 4 y x
y x
) 2 ...(
) 1 ...(
利用加減消去法,(1)+(2)得2 =x 4,化簡得x=2
將x=2代入(1),得y=2。此聯立方程式之解為(2,2),與圖形交點相同。
由本題我們可以知道,若兩直線方程式交於一點,則交點為其聯立方程式的解。
x
y
4-82
例題 4.2.3-2
在同一座標平面上畫出下列聯立方程式的圖形,並求聯立方程式的解:
= +
= +
2 2 2
4 y x
y x
詳解:
將各方程式分別找出兩解,再連線畫出直線圖形
=4 + y
x :
將x=0代入,得y=4,圖形通過(0,4) 將 y=0代入,得x=4,圖形通過(4,0)
2 2
2x+ y= :
將x=0代入,得y=1,圖形通過(0,1) 將 y=0代入,得x=1,圖形通過(1,0) 畫出圖形,如圖 4.2-23
圖 4.2-23 由圖形可以看出,兩直線互相平行,沒有交點
接著我們來解聯立方程式
= +
= +
2 2 2
4 y x
y x
) 2 ...(
) 1 ...(
(2)÷2 得:x+ y=1...(3)
利用加減消去法,(1)-(3)得0 =3,不合理,表示此方程組無解。
由本題我們可以知道,若兩直線方程式平行,則其聯立方程式無解。
x
y
4-83
例題 4.2.3-3
在同一座標平面上畫出下列聯立方程式的圖形,並求聯立方程式的解:
= +
= +
8 2 2
4 y x
y x
詳解:
將各方程式分別找出兩解,再連線畫出直線圖形
=4 + y
x :
將x=0代入,得y=4,圖形通過(0,4) 將 y=0代入,得x=4,圖形通過(4,0)
8 2
2x+ y= :
將x=0代入,得y=4,圖形通過(0,4) 將 y=0代入,得x=4,圖形通過(4,0) 畫出圖形,如圖 4.2-24
圖 4.2-24 由圖形可以看出,兩直線重合
接著我們來解聯立方程式
= +
= +
8 2 2
4 y x
y x
) 2 ...(
) 1 ...(
(2)÷2 得:x+ y=4...(3)
利用加減消去法,(1)-(3)得0 =0,表示此方程組有無限多組解。
由本題我們可以知道,若兩直線方程式重合,則其聯立方程式有無限多組解。
x
y
4-84
由上面三個例題可以知道,兩條直線方程式在直角座標上的圖形有交於一點、平行、
重合三種狀況,而我們在第三章所解的聯立方程式,都是交於一點的情形,所以可以 找出一組解。
要如何判斷方程組究竟是交於一點、平行、重合哪種情況呢?
假設有聯立方程式
= +
= +
2 2 2
1 1 1
c y b x a
c y b x
a ,我們可以從係數關係來判斷解的種類:
1. 若
2 1 2 1
b b
aa ,則此方程組恰有一組解 2. 若
2 1 2 1 2 1
c c b
b a
a = ,則此方程組為無解
3. 若
2 1 2 1 2 1
c c b
b a
a = = ,則此方程組為無限多組解
我們來用前面三個例題驗證看看:
例題 4.2.3-1 聯立方程式是
=
−
= +
0 4 y x
y x
1=1
a 、b1=1、c1=4、a2=1、b2=−1、c2=0 1
1 1 1
− ,可確認此方程組恰有一組解
例題 4.2.3-2 聯立方程式是
= +
= +
2 2 2
4 y x
y x
1=1
a 、b1=1、c1=4、a2=2、b2=2、c2=2 2
4 2 1 2
1 = ,可確認此方程組無解
例題 4.2.3-3 聯立方程式是
= +
= +
8 2 2
4 y x
y x
1=1
a 、b1=1、c1=4、a2=2、b2=2、c2=8 8
4 2 1 2
1 = = ,可確認此方程組有無限多組解