代數第四章 目錄

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4-i

代數第四章

目錄

第四章 直角座標與二元一次方程式 ... 1

學習目標 ... 1

4.1 節 平面上的直角座標 ... 2

4.1.1 節 認識直角座標 ... 3

4.1.2 節 點與座標軸的距離 ... 15

4.1.3 節 點在直角座標上的移動 ... 20

4.1.4 節 兩點的重合與對稱 ... 28

4.1.5 節 由座標求周長與面積 ... 35

4.1.6 節 象限問題 ... 42

4.1 節 習題 ... 46

4.2 節 二元一次方程式的圖形 ... 55

4.2.1 節 畫出二元一次方程式的圖形 ... 55

4.2.2 節 求直線方程式 ... 69

(2)

4-ii

4.2.3 節 二元一次聯立方程式的圖解 ... 81

4.2.4 節 直線方程式的移動 ... 89

4.2 節 習題 ... 101

4.3 節 直角座標的應用題與綜合題 ... 112

4.3 節 習題 ... 120

第四章綜合習題 ... 124

基測與會考模擬試題 ... 130

習題解答 ... 140

(3)

4-1

第四章 直角座標與二元一次方程式

在本章中,我們將開始學習直角座標,並將前章學過的二元一次方程式應用到直角座 標上,有了這些能力後,就可以解決直角座標上簡單的圖形問題。

學習目標

1.能理解直角座標,並在直角座標上描點。

2.能在直角座標平面上畫出二元一次方程式的圖形。

3.瞭解直角座標平面上二元一次聯立方程式解的意義。

(4)

4-2

4.1 節 平面上的直角座標

讓我們回想一下,以前老師排座位時會用第幾排、第幾個來表示位置,現在我們則以

「數對」來表示所處的位置。

下圖(4.1-1)是某班的座位表:

小李坐在第五排第三個,我們以(5,3)表示小李的位置 小博坐在第二排第二個,我們以(2,2)表示小博的位置 阿幼坐在第七排第一個,我們以(7,1)表示小李的位置

第四個

第三個 小李

第二個 小博

第一個 阿幼

第一排 第二排 第三排 第四排 第五排 第六排 第七排

講台 圖 4.1-1

像這樣用數對來表示位置,便是直角座標的概念。

(5)

4-3

4.1.1 節 認識直角座標

本小節我們開始正式認識直角座標。

如圖 4.1-2,首先在平面上畫出兩條互相垂直的數線,兩線的交點為原點。

圖 4.1-2 平面座標示意圖 上圖的平面座標圖又稱為直角座標。

水平的數線稱為 x 軸,向右(箭頭方向)為正向,向左為負向。

鉛直的數線稱為 y 軸,向上(箭頭方向)為正向,向下為負向。

x 軸與 y 軸的交點稱為原點,以 O 表示。x 軸與 y 軸稱為座標軸。

x y

↙原點 O

(6)

4-4

我們來看看在直角座標上的點如何用數對(x,y)表示,x 為 x 軸的座標,y 為 y 軸的座標:

圖 4.1-3

A: A 點在 x 軸上,且在 x 軸數線上的位置是 3,我們就稱 A 點的座標為(3,0)。 其中 3 是 A 點的 x 座標,0 是 A 點的 y 座標。

B: B 點在 y 軸上,且在 y 軸數線上的位置是 2,我們稱 B 點的座標為(0,2)。 O: O 點在兩軸的位置都是 0,我們稱 O 點的座標為(0,0),也就是原點。

C: C 點不在座標軸上,但若我們從 C 點畫一條鉛直線,會與 x 軸交於 2 這個點,因此 我們稱 C 點的 x 座標為 2;同樣地,我們從 C 點畫一條水平線,會與 y 軸交於 3 這 個點,因此稱 C 點的 y 座標為 3。

x 座標為 2,y 座標為 3,C 點座標為(2,3)。

同樣的方法,我們可以得到 D 點座標為(−4,1),E 點座標為(−3,−2),F 點座標為( −3, 3)。

x

y

(7)

4-5

例題 4.1.1-1

寫出下圖中 A、B、C、D 點的座標位置。

圖 4.1-4 詳解:

A:過 A 點的鉛直線交 x 軸於 4,水平線交 y 軸於 3,A 點座標為(4,3)。

B:過 B 點的鉛直線交 x 軸於-2,水平線交 y 軸於-4,B 點座標為(−2,−4)。 C:C 點在 x 軸上,位置為-4,C 點座標為(−4,0)。

D:D 點在 y 軸上,位置為 1,D 點座標為(0,1)。

x

y

(8)

4-6

【練習】4.1.1-1

寫出下圖中 A、B、C、D 點的座標位置。

圖 4.1-5

(1)A 點的座標是__________________ (2)B 點的座標是__________________

(3)C 點的座標是__________________ (4)D 點的座標是__________________

y

x

(9)

4-7

前面已經介紹了從點來找座標的方法。換一個方向來看,我們也可以從座標來找點。

例如有一點 A 的座標為(4,2),我們想要在圖上描出 A 點,可以從原點出發:

A 點的 x 座標為 4,所以我們往右走 4 格到達(4,0)。(若為負數則從原點往左走)

A 點的 y 座標為 2,所以我們從(4,0)再往上走 2 格,便到達(4,2)。(若為負數則從原點 往下走)

如圖 4.1-6

圖 4.1-6

當然我們也可以先找 y 軸位置再找 x 軸位置,也就是先往上走 2 格,再往右走 4 格,也 能到達一樣的位置。

y

x

(10)

4-8

例題 4.1.1-2

在圖 4.1-7 中標出下列各點的位置:

(1) A(1,0) (2) B(−1,2) (3) C(0,4) (4) D(2,5) (5) E(−4,3)

詳解:

依照前頁所教的作法將點一個一個找出。

圖 4.1-7

y

x

(11)

4-9

【練習】4.1.1-2

在圖中標出下列各點的位置:

(1) A(−3,0) (2) B( −0, 4) (3) C(−5,−3) (4) D( −4, 2)

y

x

(12)

4-10

例題 4.1.1-3

在圖 4.1-8 中標出下列各點的位置:

(1) A ,0) 3 41

( (2) B ,3) 4 13

(− (3) C ) 2 ,1 3

(−

詳解:

本題含有分數座標 A ,0)

3 41

( :我們將 x 座標 4 和 5 做 3 等分,取第 1 等分的點找出 3 4 。 1

B ,3) 4 13

(− :我們將 x 座標-1 和-2 做 4 等分,取第 3 等分的點找出 4 13

− 。 (注意要從-1 開始找)

C ) 2 ,1 3

(− : 我們將 y 座標 0 和 1 做 2 等分,取第 1 等分的點找出 2 1 。

圖 4.1-8

(13)

4-11

【練習】4.1.1-3

在圖中標出下列各點的位置:

(1) A ,0) 2 31

( (2) B ) 2 11 , 2

( − (3) C ) 4 11 3, 32

(− −

y

x

(14)

4-12

象限

從前面的例子我們可以觀察到,當一個點的 x 座標與 y 座標都為正數時,這個點會落 在原點的右上角區域;x 座標為負,y 座標為正,會落在左上角區域;x 座標為負,y 座標也為負,會落在左下角區域;x 座標為正,y 座標為負,會落在右下角區域。

這四個區域我們稱為象限,由 x 軸與 y 軸當分界線。

右上角的區域為第一象限,然後逆時針方向依序為第二象限,第三象限,第四象限。

在此請注意一點:因為 x 軸與 y 軸是這些象限的分界線,所以在座標軸上的任意點都 不屬於任一象限。例如(3,0)在 x 軸上,( −0, 2)在 y 軸上,都不屬於任一象限

每一象限的座標都有些特性:

第一象限中的座標,x 座標為正,y 座標也為正,用( ++, )表示;

第二象限中的座標,x 座標為負,y 座標為正,用( +−, )表示;

第三象限中的座標,x 座標為負,y 座標也為負,用( −− 表示; , ) 第四象限中的座標,x 座標為正,y 座標為負,用( −+, )表示。

圖 4.1-9

y

x

(15)

4-13

例題 4.1.1-4

寫出下列各點各在第幾象限,並畫在座標平面上。

(1) A(3,2) (2) B(−3,−2) (3) C( −3, 2) (4) D(−3,2) 詳解:

A 點 x 座標為正,y 座標也為正,在第一象限。

B 點 x 座標為負,y 座標也為負,在第三象限。

C 點 x 座標為正,y 座標為負,在第四象限。

D 點 x 座標為負,y 座標為正,在第二象限。

圖 4.1-10

y

x

(16)

4-14

【練習】4.1.1-4

寫出下列各點各在第幾象限,並畫在座標平面上。

(1) A(−1,4) (2) B(−1,−4) (3) C(1,4) (4) D( −1, 4) A 點在第_______象限;B 點在第_______象限;

C 點在第_______象限;D 點在第_______象限。

y

x

(17)

4-15

4.1.2 節 點與座標軸的距離

本小節會介紹如何計算直角座標上一點到兩座標軸的距離。

現在直角座標平面上有點 A(3,2)。

我們想知道 A(3,2)與 x 軸的距離,可以做一條過 A 點的鉛直線交於 x 軸,如下圖 4.1-11。鉛直線與 x 軸的交點是(3,0),而 A 到(3,0)的線段長是 2,也就是 A 到 x 軸的距 離為 2。

接著我們再看 A(3,2)與 y 軸的距離,做一條過 A 點的水平線段交於 y 軸,水平線與 y 軸的交點是(0,2),而 A 到(0,2)的線段長是 3,也就是 A 到 y 軸的距離為 3。

我們再看 B(−3,−2)到兩軸的距離。

B 到(−3,0)的線段長是 2,也就是 B 到 x 軸的距離為 2。

B 到( −0, 2)的線段長是 3,也就是 B 到 y 軸的距離為 3。

圖 4.1-12

y

x

(18)

4-16

觀察前面例子可以發現,A(3,2)到 x 軸的距離是 2,B(−3,−2)到 x 軸的距離是 2。

到 x 軸的距離其實就是 y 座標的絕對值。

A(3,2)到 y 軸的距離是 3,B(−3,−2)到 y 軸的距離是 3。

到 y 軸的距離其實就是 x 座標的絕對值。

也就是說,座標平面上任一點 P( ba, ),與 x 軸的距離是 b ,與 y 軸的距離是 a 。

圖 4.1-15

※ 在 x 軸上的點,例如(3,0),到 x 軸的距離是 0。

在 y 軸上的點,例如(0,5),到 y 軸的距離是 0。

y

x

P(a,b)

|a|

|b|

(19)

4-17

例題 4.1.2-1

在座標平面上畫出下列各點,並求各點到兩軸的距離:

(1) A(1,2) (2) B(−5,4) (3) C(−4,−3) (4) D( −2, 5) 詳解:

A 點到 x 軸距離為

2 = 2

,到 y 軸距離為

1 = 1

B 點到 x 軸距離為

4 = 4

,到 y 軸距離為

− 5 = 5

C 點到 x 軸距離為

− 3 = 3

,到 y 軸距離為−4 =4。 D 點到 x 軸距離為

− 5 = 5

,到 y 軸距離為

2 = 2

圖 4.1-13

y

x

(20)

4-18

【練習】4.1.2-1

在座標平面上畫出下列各點,並求各點到兩軸的距離:

(1) A(2,3) (2) B(−3,2) (3) C(−3,−1) (4) D( −1, 4) A 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。

B 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。

C 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。

D 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。

x

(21)

4-19

例題 4.1.2-2

求下列各點到兩軸的距離:

(1) A ) 2 11 , 0

( (2) B ) 3 ,2 3

(− (3) C , 1) 2 31

(− − (4) D(−2,0) 詳解:

A 點到 x 軸距離為

2 11 2

11 = ,到 y 軸距離為

0 = 0

B 點到 x 軸距離為

3 2

32 = ,到 y 軸距離為

3 = 3

C 點到 x 軸距離為−1 =1,到 y 軸距離為

2 31 2 31 =

− 。

D 點到 x 軸距離為

0 = 0

,到 y 軸距離為 −2 =2。

【練習】4.1.2-2

求下列各點到兩軸的距離:

(1) A(−1,0) (2) B ) 7 , 3 2

(− − (3) C( −0, 3) (4) D ) 2 31 , 5 (−

A 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。

B 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。

C 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。

D 點到 x 軸距離為____________,到 y 軸距離為____________。

(22)

4-20

4.1.3 節 點在直角座標上的移動

前幾節我們學習了在座標上描點與計算點和座標軸的距離,接下來我們來看點如何在 座標平面上移動。

我們已經知道直角座標是由 x 軸與 y 軸所組成,x 軸從原點往右邊為正、往左邊為負;

y 軸從原點往上為正、往下方為負。

在圖 4.1-14 中,

A(2,1)往右邊移動 1 單位,會到達 A'(3,1) B(1,2)往上移動 1 單位,會到達 B'(1,3) C(−2,1)往左邊移動 2 單位,會到達 C'(−4,1) D(−2,−1)往下移動 2 單位,會到達 D'(−2,−3)

. 圖 4.1-14

y

x

(23)

4-21

由前面的例子可知,座標平面上的點在移動時有以下規律:

往右邊移動 s 單位,即為 x 座標增加 s;往左邊移動 s 單位,即為 x 座標減少 s。

往上移動 t 單位,即為 y 座標增加 t;往下移動 t 單位,即為 y 座標減少 t。

也就是說圖 4.1-15,若有一點 P( ba, ) (1)往右邊移動 s 單位,會到達(a +s,b)。 (2)往左邊移動 s 單位,會到達(a −s,b)。 (3)往上移動 t 單位,會到達(a,b+ 。 t) (4)往下移動 t 單位,會到達(a,b− 。 t)

圖 4.1-15

y

x

P( ba, ) ) , (a b+t

) , (a bt

) , (a +s b )

, (a −s b

(24)

4-22

例題 4.1.3-1

寫出下列各點座標;

(1)在座標平面上,由原點出發,往右移動 4 單位,到達 A 點,A 點座標為何?

(2)由 A 點出發,往上移動 3 單位,到達 B 點,B 點座標為何?

(3)由 B 點出發,往左移動 6 單位,到達 C 點,C 點座標為何?

(4)由 C 點出發,往下移動 7 單位,到達 D 點,D 點座標為何?

詳解:

如圖 4.1-16

(1) 原點為(0,0),往右移動 4 單位,也就是 x 座標加 4。A 點座標為(0+4,0)=(4,0)

(2) A 點為(4,0),往上移動 3 單位,也就是 y 座標加 3。B 點座標為(4,0+3)=(4,3)

(3) B 點為(4,3),往左移動 6 單位,也就是 x 座標減 6。B 點座標為(4−6,3)=(−2,3)

(4) C 點為(−2,3),往下移動 7 單位,也就是 y 座標減 7。

D 點座標為(−2,3−7)=(−2,−4)

圖 4.1-16

y

x x

(25)

4-23

【練習】4.1.3-1

寫出下列各點座標;

(1)在座標平面上,由原點出發,往右移動 3 單位,到達 A 點,A 點座標為何?

(2)由 A 點出發,往下移動 2 單位,到達 B 點,B 點座標為何?

(3)由 B 點出發,往左移動 5 單位,到達 C 點,C 點座標為何?

(4)由 C 點出發,往上移動 6 單位,到達 D 點,D 點座標為何?

y

x

(26)

4-24

例題 4.1.3-2

在座標平面上,甲由原點出發,沿著 x 軸向右走 5 單位,再往下方走 2 單位,到達 A 點,則:

(1)A 點的座標為何?

(2)A 點到 x 軸的距離為何?

(3)A 點到 y 軸的距離為何?

詳解:

甲的移動如圖 4.1-17

(1) 甲由原點出發,沿著 x 軸向右走個 5 單位,也就是 x 座標加 5,

座標為(0+5,0)=(5,0)

再往下方走個 2 單位,也就是 y 座標減 2,A 點座標為(5,0−2)=(5,−2)

(2) A 點到 x 軸的距離,也就是 y 座標的絕對值:

2 = 2

(3) A 點到 y 軸的距離,也就是 x 座標的絕對值:

5 = 5

圖 4.1-17

y

x

(27)

4-25

【練習】4.1.3-2

在座標平面上,乙由原點出發,沿著 x 軸向左走 3 單位,再往上方走 4 單位,到達 B 點,則:

(1)B 點的座標為何?

(2)B 點到 x 軸的距離為何?

(3)B 點到 y 軸的距離為何?

y

x

(28)

4-26

例題 4.1.3-3

座標平面上,有一點 P( ba, ),若 P 點先向右移動 7 單位,再向下移動 8 單位,會到 達 Q( −4, 5),則 P 點座標為何?

詳解:

P 的移動如圖 4.1-18 解法一:

我們將點的移動反過來看,從 Q( −4, 5)出發,向上移動 8 單位,再向左移動 7 單 位,會到達 P( ba, )。

) 5 , 4

( − 向上移動 8 單位,會到達(4,−5+8)=(4,3) )

3 , 4

( 向左移動 7 單位,會到達(4−7,3)=(−3,3) 因此 P 的座標為(−3,3)。

解法二:

P( ba, )往右移動 7 單位,會到達(a +7,b) )

, 7

(a + b 向下移動 8 單位,會到達(a+ b7, −8)

題目說會到達 Q( −4, 5),也就是( −4, 5)和(a+ b7, −8)是一樣的,兩邊 x 座標與 y 座 標會相等。(這裡運用到點的重合觀念,會在下一節詳細介紹)

可列出聯立方程式:



=

= +

5 8

4 7 b

a ,解得a=−3、b=3。

因此 P 的座標為(−3,3)。

圖 4.1-18

y

x

(29)

4-27

【練習】4.1.3-3

座標平面上,有一點 P( ba, ),若 P 點先向上移動 6 單位,再向左移動 7 單位,會到 達 Q(−2,3),則 P 點座標為何?

y

x

(30)

4-28

4.1.4 節 兩點的重合與對稱

兩點重合: 在座標平面上,若兩點重合,表示兩點的位置相同,所以兩點的 x 座標相 同,y 座標也相同。

例如若點 P( ba, )與 Q(1,2)重合,則可得a=1、b=2,P 座標為(1,2)。如圖 4.1-19

圖 4.1-19

兩點對稱: 在座標平面上,若兩點對稱於 x 軸,則兩點的 x 座標相同,y 座標互為相反 數。若兩點對稱於 y 軸,則兩點的 y 座標相同,x 座標互為相反數。

若兩點對稱於原點,則兩點的 x 座標、y 座標皆互為相反數。

※相反數:在數線上分別位於兩點兩邊,且與原點距離相等的兩個點所代表的兩數,

如 8 與-8。

圖 4.1-20 中,A、B 兩點對稱於 x 軸。

圖 4.1-20 P( ba, )

Q(1,2)

y

x

x

y

(31)

4-29

圖 4.1-21 中,C、D 兩點對稱於 y 軸。

圖 4.1-21

若有 P、Q 兩點對稱於 x 軸,且 P 座標為( ba, ),則 Q 座標為(a −, b)。 若有 P、K 兩點對稱於 y 軸,且 P 座標為( ba, ),則 K 座標為(−a,b)。 如圖 4.1-22

圖 4.1-22

x y

P( ba, )

Q(a −, b) K(−a,b)

x

y

(32)

4-30

例題 4.1.4-1

A(a+ b2, −1)與 B( −4, 5)為座標平面上重合的兩點,試求 a

b 之值。

詳解:

A、B 兩點重合,因此 x 座標相同,y 座標也相同。

可列出聯立方程式:



=

= +

5 1

4 2 b

a

解得a=2、b=−4

【練習】4.1.4-1

A(a− b1, +3)與 B(3,5)為座標平面上重合的兩點,試求 a

b 之值。

例題 4.1.4-2

A(a+5,2b−7)與 B(b− a1,3 +6)為座標平面上重合的兩點,試求 A 點座標。

詳解:

A、B 兩點重合,因此 x 座標相同,y 座標也相同。

可列出聯立方程式:



+

=

= +

6 3 7 2

1 5

a b

b a

化簡得

= +

=

13 2 3

6 b a

b a

解得a=−1、b=5

將 a

b 之值代入 A 點座標:

x 座標:a+5=(−1)+5=4

(33)

4-31

y 座標:2b−7=2(5)−7=3 得 A 點座標為(4,3)

驗算:

將 a

b 之值代入 B 點座標:

x 座標:b−1=5−1=4

y 座標:3a+6=3(−1)+6=3 得 B 點座標為(4,3)

A 點與 B 點兩點重合,符合題意,故答案正確。

【練習】4.1.4-2

A(a+2b,6−a)與 B(4,b−1)為座標平面上重合的兩點,試求 a

b 之值與 B 點座標。

(34)

4-32

例題 4.1.4-3

座標平面上,A(2,3)與 B( ba, )對稱於 x 軸,試求 B 點座標。

詳解:

A、B 兩點對稱於 x 軸,即 x 座標相同,y 座標互為相反數。

因此 B 的 x 座標為 2,y 座標為−(3)=−3 B 點座標為( −2, 3)

圖 4.1-23

x

y

(35)

4-33

【練習】4.1.4-3

座標平面上,A(−2,−3)與 B( ba, )對稱於 y 軸,試求 B 點座標。

例題 4.1.4-4

座標平面上,A(2a+1,2−b)與 B(b,3a)對稱於 y 軸,試求 A 點座標。

詳解:

A、B 兩點對稱於 y 軸,即 x 座標互為相反數,y 座標相同。

x 座標互為相反數:2a+1=−(b),化簡得2a+b=−1 y 座標相同;2−b 3= a,化簡得3a+b=2

可列出聯立方程式:



= +

= +

2 3

1 2

b a

b a

解得a=3,b=−7

代入 A 點 x 座標:2a+1=23+1=7 代入 A 點 y 座標:2−b=2−(−7)=9 得 A 點座標為(7,9)

驗算:

B 點座標為(b,3a)=(−7,33)=(−7,9),與點 A(7,9)對稱 y 軸,故答案正確。

x

y

(36)

4-34

【練習】4.1.4-4

座標平面上,A(3a+ b1, +1)與 B(2b+1,−2a)對稱於 x 軸,試求 A 點座標。

(37)

4-35

4.1.5 節 由座標求周長與面積

在座標平面上,我們可以用點與線來做出一些幾何圖形,例如三角形、長方形和正方 形等。當然也可以再利用座標計算這些圖形的周長與面積。

長方形周長=(長+寬)×2 長方形面積=長×寬 三角形面積=底×高÷2

例題 4.1.5-1

如圖 4.1-24,長方形 ABCD 中,A 點座標為(1,2),B 點座標為(1,1),C 點座標為(3,1), D 點座標為(3,2),試求長方形 ABCD 的周長與面積。

詳解:

要計算周長,首先需要先算出長與寬的長度,

也就是 A、B 兩點的距離與 B、C 兩點的距離

若兩點間的 x 座標相同,則距離為 y 座標相減的絕對值。

若兩點間的 y 座標相同,則距離為 x 座標相減的絕對值。

圖 4.1-24

x

y

(38)

4-36

A、B 兩點因為 x 座標相同,因此距離為 y 座標相減的絕對值。

A、B 距離為2−1=1,即長方形的寬為 1。

B、C 兩點因為 y 座標相同,因此距離為 x 座標相減的絕對值。

B、C 距離為

31 = 2

,即長方形的長為 2。

長方形 ABCD 周長=(1+2)2=6

長方形面積是長×寬

長方形 ABCD 面積=21=2

長方形 ABCD 的周長為 6 單位,面積為 2 平方單位。

【練習】4.1.5-1

如圖 4.1-25,長方形 ABCD 中,A 點座標為(1,1),B 點座標為( −1, 3),C 點座標為( −3, 3), D 點座標為(3,1),試求長方形 ABCD 的周長與面積。

圖 4.1-25

x

y

(39)

4-37

例題 4.1.5-2

如圖 4.1-26,三角形 ABC 中,A 點座標為(−1,1),B 點座標為(2,1),C 點座標為(2,5), 試求三角形 ABC 的面積。

詳解:

三角形 ABC 面積:底×高÷2=AB BC2

(這裡 AB 代表 A 點與 B 點的距離, BC 代表 B 點與 C 點的距離。) A、B 兩點因為 y 座標相同,因此距離為 x 座標相減的絕對值。

3 3 2 ) 1

(− − = − =

= AB

B、C 兩點因為 x 座標相同,因此距離為 y 座標相減的絕對值。

4 4 5

1− = − =

= BC

三角形 ABC 面積=AB BC2=342=6 三角形 ABC 面積為 6 平方單位。

圖 4.1-26

x

y

(40)

4-38

【練習】4.1.5-2

三角形 ABC 中,A 點座標為(−1,2),B 點座標為(−1,−3),C 點座標為( −3, 3),試求三 角形 ABC 的面積。

例題 4.1.5-3

如圖 4.1-27,三角形 ABC 中,A 點座標為(−2,0),B 點座標為(4,0),C 點座標為(2,4), 試求三角形 ABC 的面積。

詳解:

三角形 ABC 面積:底×高÷2 底為 AB ,AB= 4−(−2) =6

高為 C 點到 x 軸的距離,也就是 y 座標的絕對值,高:

4 = 4

三角形 ABC 的面積=底×高÷2=642=12

三角形 ABC 面積為 12 平方單位。

x

y

(41)

4-39

圖 4.1-27

【練習】4.1.5-3

三角形 ABC 中,A 點座標為(0,3),B 點座標為( −0, 3),C 點座標為(5,1),試求三角形 ABC 的面積。

x y

x

y

(42)

4-40

例題 4.1.5-4

如圖 4.1-28,三角形 ABC 中,A 點座標為(−2,−2),B 點座標為( −4, 2),C 點座標為 )

2 , 2

( ,試求三角形 ABC 的面積。

詳解:

三角形 ABC 面積:底×高÷2 底為 AB ,AB= 4−(−2) =6

高為 C 點到 AB 的距離,由 C 作鉛直線交 AB 於 D 點,由圖形可知 D 點座標為( −2, 2) 高為 CD ,CD= 2−(−2) =4

三角形 ABC 的面積=底×高÷2=642=12 三角形 ABC 面積為 12 平方單位。

圖 4.1-28

x

y

(43)

4-41

【練習】4.1.5-4

三角形 ABC 中,A 點座標為(−2,4),B 點座標為(−2−2),C 點座標為(3,1),試求三 角形 ABC 的面積。

x

y

(44)

4-42

4.1.6 節 象限問題

在 4.1.1 節中,我們已介紹了象限的基本意義,如圖 4.1-29。

圖 4.1-29

第一象限中的座標,x 座標為正,y 座標也為正,用( ++, )表示;

第二象限中的座標,x 座標為負,y 座標為正,用( +−, )表示;

第三象限中的座標,x 座標為負,y 座標也為負,用( −− 表示; , ) 第四象限中的座標,x 座標為正,y 座標為負,用( −+, )表示。

本節我們將更進一步介紹象限的相關問題。

x

y

(45)

4-43

例題 4.1.6-1

座標平面上,若點( ba, )在第二象限,求下列各點分別在哪一象限或哪一座標軸上:

(1) (−a,b) (2) (a −, b) (3) ( aba, ) (4) ( a− ,0) (5) ( b0, ) (6) (−ab,a) 詳解:

) ,

( ba 在第二象限,符號表示為( +−, ),即a0、b0。 (1) a0→− a0,即(−a,b)的 x 座標為正,y 座標也為正,

符號表示為( ++, ),在第一象限。

(2) b0→−b0,即(a −, b)的 x 座標為負,y 座標也為負,

符號表示為( −− ,在第三象限。 , )

(3) a0、b0→ab0,即( aba, )的 x 座標為負,y 座標也為負,

符號表示為( −− ,在第三象限。 , )

(4) ( a− ,0)的 x 座標不為零,y 座標為零,在 x 軸上。

(5) ( b0, )的 x 座標為零,y 座標不為零,在 y 軸上。

(6) ab0→− ab0;即(−ab,a)的 x 座標為正,y 座標為負,

符號表示為( −+, ),在第四象限。

【練習】4.1.6-1

座標平面上,若點( ba, )在第三象限,求下列各點分別在哪一象限或哪一座標軸上:

( ab, ) ( a− ,0) (−b,a) ( a0, ) (ab,b) (−ab −, a) 象限或

座標軸

(46)

4-44

例題 4.1.6-2

座標平面上,若點(a −, ab)在第二象限,求下列各點分別在哪一象限或哪一座標軸 上:

(1) ( ba, ) (2) ( , ) b

ab a (3) (b −, a)

詳解:

) ,

(a −ab 在第二象限,符號表示為( +−, ),即a0、− ab0。

0

− abab0

因為a0,可得b0 (若 a

b 都小於 0,那麼 ab 會大於 0) (1) a0、b0,即( ba, )的 x 座標為負,y 座標為正,

符號表示為( +−, ),在第二象限。

(2) ab0、 0 b

a ,即( , ) b

ab a 的 x 座標為負,y 座標也為負,

符號表示為( −− ,在第三象限。 , )

(3) b0、− a0,即(b −, a)的 x 座標為正,y 座標也為正,

符號表示為( ++, ),在第一象限。

【練習】4.1.6-2

座標平面上,若點(−a,ab)在第四象限,求下列各點分別在哪一象限或哪一座標軸 上:

( ba, ) (−ab,a) (0,− b) 象限或

座標軸

(47)

4-45

例題 4.1.6-3

座標平面上,若點 A(a+ a1,2 +7)在第三象限內,且 A 點到 x 軸距離為 1,則 A 點到 y 軸距離是多少?

詳解:

A 點到 x 軸距離為 1,即 y 座標為 1 或-1……(1) A 點在第三象限,可知 y 座標為負……(2)

由(1)(2)得 A 點的 y 座標為-1 y 座標:2a+7=−1,解得a=−4

a=−4代入 x 座標:a+1=(−4)+1=−3,得 x 座標為-3 A 點到 y 軸距離為 x 座標的絕對值:

− 3 = 3

得 A 點到 y 軸距離為 3。

圖 4.1-30

【練習】4.1.6-3

座標平面上,若 B 點(b− b9, −1)在第二象限內,且 B 點到 x 軸距離為 4,則 B 點到 y 軸距離是多少?

) 7 2 , 1 (a+ a+

x y

x

y

(48)

4-46

4.1 節 習題

習題 4.1-1

圖 4.1-31 是博幼國中 1 年 3 班的座位表,座位位置以數對(行,個)來表示,例如小 博的位置是(2,4)。請回答下列的問題:

第五個 小美

第四個 小惠 小博 小新 阿明

第三個 小強

第二個 小白

第一個 小李 小幼

第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 圖 4.1-31

(1)小李的位置在 (2)小惠的位置在

(3)小強的位置在 (4)阿明的位置在

(5)坐在(3,4)的是 (6)坐在(3,1)的是

(49)

4-47

習題 4.1-2

依據圖 4.1-32,寫出各點座標:

圖 4.1-32

(1)A 點座標為 (2)B 點座標為 (3)C 點座標為 (4)D 點座標為 (5)E 點座標為 (6)F 點座標為 習題 4.1-3

在座標平面上標出下列各點的位置:

A(2,3)、 B( −3, 5)、C(−2.5,−4)、D(−4,0)、E(−3,3.5)

x y

x

y

(50)

4-48

習題 4.1-4

座標平面上,求下列各點到 x 軸與 y 軸的距離:

(1)A( −4, 4)到 x 軸的距離是 單位長,到 y 軸的距離是 單位長。

(2)B(−8,6)到 x 軸的距離是 單位長,到 y 軸的距離是 單位長。

(3)C(2.5,− 到 x 軸的距離是 單位長,到 y 軸的距離是 單位長。 3) (4)D(−5,−4)到 x 軸的距離是 單位長,到 y 軸的距離是 單位長。

習題 4.1-5

在座標平面上有 A(4,4)、B( −3, 4)、C( −4, 3)、D(−3,4)四點,請問哪一點和 x 軸的距 離最近?

習題 4.1-6

直角座標上有一點 A(-1,-2),從 A 往上移動 2 個單位長,再向右移動 3 個單位長,

請問移動後的座標位置是?

習題 4.1-7

在座標平面上,從 A 點出發,先往上 2 個單位長,再向右 4 個單位長,最後再往下 5 個單位長,便可回到原點。則 A 點的座標為?

習題 4.1-8

座標平面上有一點 P(a+b,ab),若 P 點先向右移動 10 個單位,再向上移動 7 個 單位,最後到達 Q(5,2),求 a

b 之值及 P 點座標。

(51)

4-49

習題 4.1-9

有一隻螞蟻從座標平面上 A 點向東走 2 單位,又向南走 3 單位,再向西走 1 單位,

最後到達( −0, 1),則 A 點座標為何?(東為 x 軸正向;北為 y 軸正向)

習題 4.1-10

在座標平面上,甲由原點出發,沿著 x 軸向右走 5 單位,再往下走 2 單位,到達 A 點,則:

(1)A 點的座標為 。

(2)A 點到 x 軸的距離為 (3)A 點到 y 軸的距離為

習題 4.1-11

設 A 為座標平面上的一點,若 A 與 x 軸的距離是 4,A 與 y 軸的距離是 3,且 A 在第 二象限內,則 A 的座標為多少?

習題 4.1-12

在座標平面上,若點 A(3a −5,a)在第二象限內,且 A 點到 y 軸距離為 2,則 A 點到 x 軸距離是多少?

習題 4.1-13

座標平面上,若兩點(a,2)與(1,2)距離 4 個單位長,則 a=?

(52)

4-50

習題 4.1-14

在座標平面上,乙由(−6,7)出發,向 (填入左或右)移動 個單位,

再向 (填入上或下)移動 個單位後,將可到達原點。

習題 4.1-15

座標平面上,以 x 軸為對稱軸,則 A(−3,5)的對稱點座標為 。

習題 4.1-16

座標平面上,A(2a+b,4ab)、B(a+3b,a−18)兩點互相對稱於 x 軸,求 a

b 之值 與 A 點座標。

習題 4.1-17

已知座標平面上兩點 A(2,a +b)、B(a,2a+1)重合,則 A 點座標為 。

習題 4.1-18

已知座標平面上兩點 A(a+3b,3ab)、B(2a +b,5)重合,則 A 點座標為 。

習題 4.1-19

A 點座標為( −5, 1),若 B 點與 A 點對稱於 x 軸,C 點與 A 點對稱於 y 軸,試求 B、C 兩點的座標。

(53)

4-51

習題 4.1-20

座標平面上有 A(a+ b1, −1),B(−4,1)兩點,若 A 點向左移動 5 個單位後即與 B 點重 合,試求 a、b 之值。

習題 4.1-21

長方形四個頂點座標分別為 A(2,3)、B(0,3)、C(0,0)、D(2,0), 試求此長方形的周長與面積。

習題 4.1-22

甲由原點 O 出發,沿著 x 軸向右方走 5 個單位到達 A 點,接著向上方走 6 個單位到 達 B 點,再向左方走 5 個單位到達 C 點,試回答下列問題:

(1)求 A、B、C 的座標。

(2)四邊形 OABC 是何種四邊形?

(3)求四邊形 OABC 的周長與面積。

(54)

4-52

習題 4.1-23

如圖 4.1-33,四邊形 ABCD 為長方形,且AB與 x 軸垂直,試回答下列問題:

(1)B 點座標為何?

(2)D 點座標為何?

(3)四邊形 ABCD 之面積為何?

圖 4.1-33

習題 4.1-24

座標平面上有三點 A(0,3)、B( −0, 5)、C(4,1),試求三角形 ABC 的面積。

習題 4.1-25

座標平面上,A(m,2m−3n)在 x 軸上,B(3m−3n−3,n)在 y 軸上。

O 為原點,則三角形 AOB 的面積為 平方單位。

(55)

4-53

習題 4.1-26

如圖 4.1-34,長方形 ABCD 中,已知 A 點座標為(−2,3),C 點座標為( −3, 1),且ABx 軸垂直,求長方形 ABCD 的周長。

習題 4.1-27

座標平面上有 P(−3,4)、Q(2,2)、R(−3,−2)三點,求三角形 PQR 的面積。

圖 4.1-34

圖 4.1-35

(56)

4-54

習題 4.1-28

下表中各點分別在哪一象限內或哪一個座標軸上?

點 (2,0) (7,2) (−5,−3) ( −6, 2) ( −0, 8) 象限或

座標軸 習題 4.1-29

若 a>0,b<0,則下表中各點分別在哪一象限內或哪一個座標軸上?

( ba, ) ( a− ,0) ( ab, ) (−a,ab) (0,−ab) 象限或

座標軸

習題 4.1-30

( ba, )在第二象限,則下表中各點分別在哪一象限內或哪一個座標軸上?

( ab, ) ( , ) b a a

b (b −a,a)

( a

2

, 0 )

(ab −, ab) 象限或

座標軸

習題 4.1-31

在座標平面上,已知點( ba, )在第二象限,點( dc, )在第三象限,則點(a+c,bd)在第幾 象限?

(57)

4-55

4.2 節 二元一次方程式的圖形

4.1 節中我們學習了直角座標上點的表示,本節將結合第三章學過的二元一次方程式,

將其圖形畫在直角座標上。

4.2.1 節 畫出二元一次方程式的圖形

若現在有一個二元一次方程式:x− y=0

我們將二元一次方程式x− y=0的解用數對表示,有(5,5)、(3,3)、(2,2)、(0,0)、(−4,−4) 等無限多組,將這些數對記在直角座標上,如圖 4.2-1。

圖 4.2-1

x

y

(58)

4-56

若將圖 4.2-1 的點連接起來,會得到一條直線,如圖 4.2-2:

圖 4.2-2

事實上,二元一次方程式的圖形都是一條直線。

因為兩點可以決定一條直線,所以若我們想在座標平面畫出二元一次方程式的圖形,

只需要找出二元一次方程式的兩組不同的解,標在座標平面上,再畫出過此兩點的直 線即為此二元一次方程式的圖形。

x

y

(59)

4-57

例題 4.2.1-1

下表中的 x

y 值都是二元一次方程式x− y=2的解,請完成下表,並在座標平面上 標出各數對的位置。

x 5 3

y 0 -2 -5

詳解:

方程式為x− y=2

(1)x=5時,(5)− y=2,解得y=3 (2)x=3時,(3)− y=2,解得y=1 (3)y=0時,x−(0)=2,解得x=2 (4)y=−2時,x−(−2)=2,解得x=0 (5)y=−5時,x−(−5)=2,解得x=−3 填入表格:

x 5 3 2 0 -3

y 3 1 0 -2 -5

標在座標平面:

圖 4.2-3

x

y

(60)

4-58

【練習】4.2.1-1

下表中的 x

y 值都是二元一次方程式2x− y=1的解,請完成下表,並在座標平面 上標出各數對的位置。

x 3 1 0

y -3 -5

x

y

(61)

4-59

例題 4.2.1-2

在座標平面上畫出二元一次方程式x− y3 =3的圖形。

詳解:

因為二元一次方程式的圖形是一條直線,所以我們只要找到方便計算的兩組解,標 在座標平面上,再畫出過這兩點的直線即可。

x=0代入x− y3 =3,得到(0)− y3 =3,解得y=−1。即( −0, 1)為一解。

y=0代入x− y3 =3,得到x−3(0)=3,解得x=3。即(3,0)為一解。

將( −0, 1)和(3,0)畫在座標平面上,並過此兩點做直線。

圖 4.2-4

x

y

(62)

4-60

【練習】4.2.1-2

在座標平面上畫出二元一次方程式x+ y=5的圖形。

例題 4.2.1-3

在座標平面上畫出二元一次方程式3x+ y2 =6的圖形。

詳解:

x=0代入3x+ y2 =6,得到3(0)+2y=6,解得y=3。即(0,3)為一解。

y=0代入3x+ y2 =6,得到3x+2(0)=6,解得x=2。即(2,0)為一解。

將(0,3)和(2,0)畫在座標平面上,並過此兩點做直線。

x

y

(63)

4-61

圖 4.2-5

【練習】4.2.1-3

在座標平面上畫出二元一次方程式4x+ y3 =−12的圖形。

x y

x

y

(64)

4-62

瞭解了基本的二元一次方程式圖形後,我們再來看看幾個較特殊的方程式:

若方程式的形式為x =k,則其圖形為垂直 x 軸或平行 y 軸的直線。

若方程式的形式為y =h,則其圖形為平行 x 軸或垂直 y 軸的直線。

圖 4.2-6

若方程式的形式為axby=0,也就是常數項為 0。因為將(0,0)代入可使等號成立 )

0 0 0

(a b = ,可知此方程式圖形必通過原點。

圖 4.2-7

x

y

x y

k x =

h y =

x

y

(65)

4-63

例題 4.2.1-4

在座標平面上畫出二元一次方程式x=3的圖形。

詳解:

方程式為x=3,也就是其解的 y 座標為任意數,只要 x 座標為 3 即可。

因此像(3,2)、(3,5)、(3,11)、(3,0)、( −3, 8) 等全都是解。

我們取其中兩組解(3,2)(3,5),標在直角座標上畫出圖形。

圖 4.2-8

【練習】4.2.1-4

在座標平面上畫出二元一次方程式y=−2的圖形。

x y

x

y

(66)

4-64

例題 4.2.1-5

在座標平面上畫出下列圖形:

(1) 通過(−1,−2)且垂直 x 軸的直線。

(2) 通過(3,2)且平行 x 軸的直線。

詳解:

(1) 垂直 x 軸的直線為鉛垂線。

先在座標平面標出點(−1,−2), 再畫出通過此點的鉛垂線。

圖 4.2-9

(2) 平行 x 軸的直線為水平線。

先在座標平面標出點(3,2), 再畫出通過此點的水平線。

圖 4.2-10

x y

x

y

(67)

4-65

【練習】4.2.1-5

在座標平面上畫出下列圖形:

(1) 通過( −2, 2)且垂直 y 軸的直線。

(2) 通過(−3,2)且平行 y 軸的直線。

x y

x

y

(68)

4-66

例題 4.2.1-6

在座標平面上畫出二元一次方程式2x− y3 =0的圖形。

詳解:

二元一次方程式常數項等於 0,圖形為通過原點的直線。

x=0代入2x− y3 =0,得到2(0)−3y=0,解得y=3。即(0,0)為一解。

x=3代入2x− y3 =0,得到2(3)−3y=0,解得y=2。即(3,2)為一解。

將(0,0)和(3,2)畫在座標平面上,並過此兩點做直線。

圖 4.2-11

【練習】4.2.1-6

在座標平面上畫出二元一次方程式−4x+3y=0的圖形。

x y

x

y

(69)

4-67

座標平面上的直線方程式圖形,與 x 軸相交時,y 座標為 0。因此,我們若想求直線 與 x 軸的交點,將y=0代入方程式即可。同樣地,若想求直線與 y 座軸的交點,將x=0 代入方程式即可。

例題 4.2.1-7

座標平面上有一直線方程式2x+ y=4,求:

(1)此直線與 x 軸、y 軸的交點座標。

(2)此直線與兩軸圍成的三角形面積。

(3)此直線不通過哪個象限?

詳解:

(1) 將 y=0代入2x+ y=4,得到2x+(0)=4,解得x=2。 與 x 軸交點為(2,0)。

x=0代入2x+ y=4,得到2(0)+y=4,解得y=4。 與 y 軸交點為(0,4)。

(2) 如圖 4.2-12

直線2x+ y=4與兩軸圍成的三角形,

底為 2 ((0,0)到(2,0)距離為 2) 高為 4 ((0,0)到(0,4)距離為 4)

面積為 4

2 4 1

2  = (平方單位)

(3) 如圖 4.2-12,此直線不通過第三象限。

圖 4.2-12

x

y

(70)

4-68

【練習】4.2.1-7

座標平面上有一直線方程式5x− y4 =20,求:

(1)此直線與 x 軸、y 軸的交點座標。

(2)此直線與兩軸圍成的三角形面積。

(3)此直線不通過哪個象限?

x

y

(71)

4-69

4.2.2 節 求直線方程式

4.2.1 小節中我們學習了如何由二元一次方程式畫出圖形,在本節中,我們將反過來,

學習如何利用平面上兩個點的座標找出二元一次方程式。

我們知道任何一個二元一次方程式都可以用ax+by=c來表示,但其實我們也可以寫成 b

ax

y= + 的形式。

例如:

9 2

3x+ y= −5x+2y=−4 移項得 2y= x−3 +9 移項得 2y= x5 −4

2 9 23 +

= x

y 2

25 −

= x y

為什麼要寫成y=ax+b的形式呢?

因為這麼一來,若是已知方程式通過哪些點,則未知數只有 a

b 兩個。

我們可以用二元一次聯立方程式的解法來找出 a

b 之值。

例如在座標平面上,若有直線通過(1,3)、(−1,−1)兩點,我們想將找出其方程式,可以 先將方程式設為y=ax+b,然後分別將兩點座標代入:

代入(1,3) → 3=a +b 化簡得a+b=3 代入(−1,−1) → −1=−a +b 化簡得−a+b=−1 寫成聯立方程式:



= +

= +

1 3 b a

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

由( +1) (2)得2 =b 2,解得b=1 再將b=1代入(1),解得a=2

於是我們知道了,通過(1,3)、(−1,−1)兩點的直線方程式y=ax+b,就是y= x2 +1。

(72)

4-70

例題 4.2.2-1

求通過(1,2)和(2,1)的直線方程式。

詳解:

設直線方程式為y=ax+b,然後分別將兩點座標代入:

代入(1,2):2=a +b 化簡得a+b=2 代入(2,1):1= 2a +b 化簡得2a+b=1 寫成聯立方程式:



= +

= +

1 2

2 b a

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

由(2)− 得(1) a=−1

再將a=−1代入(1),解得b=3 直線方程式為y= x− +3

圖 4.2-13

【練習】4.2.2-1

求通過(1,3)和(2,4)的直線方程式。

x y

x

y

(73)

4-71

例題 4.2.2-2

求通過(1,4)和(2,3)的直線方程式。

詳解:

設直線方程式為y=ax+b,然後分別將兩點座標代入:

代入(1,4):4=a +b 化簡得a+b=4 代入(2,3):3= 2a +b 化簡得2a+b=3 寫成聯立方程式:



= +

= +

3 2

4 b a

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

由(2)− 得(1) a=−1

再將a=−1代入(1),解得b=5 直線方程式為y= x− +5

圖 4.2-14

【練習】4.2.2-2

求通過(2,2)和(1,4)的直線方程式。

x y

x

y

(74)

4-72

例題 4.2.2-3

求通過( −1, 1)和(−2,2)的直線方程式。

詳解:

設直線方程式為y=ax+b,然後分別將兩點座標代入:

代入( −1, 1):−1=a +b 化簡得a+b=−1

代入(−2,2):2= 2− a +b 化簡得−2a+b=2 寫成聯立方程式:



= +

= +

2 2

1 b a

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

由( −1) (2)得a=−1

再將a=−1代入(1),解得b=0

直線方程式為y =−x

圖 4.2-14

【練習】4.2.2-3

求通過(1,1)和(2,2)的直線方程式。

x y

x

y

(75)

4-73

例題 4.2.2-4

求通過(−1,−2)和(0,3)的直線方程式。

詳解:

設直線方程式為y=ax+b,然後分別將兩點座標代入:

代入(−1,−2):− 2=−a +b 化簡得−a+b=−2 代入(0,3):3=b 化簡得b=3

寫成聯立方程式:



=

= +

3 2 b

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

將(2)代入(1)得a=5 直線方程式為y= x5 +3

圖 4.2-16

【練習】4.2.2-4

求通過(0,1)和(−1,2)的直線方程式。

x y

x

y

(76)

4-74

在 4.2.1 節中,我們學過平行或垂直座標軸的直線:

若方程式的形式為x =k,則其圖形為垂直 x 軸或平行 y 軸的直線。

若方程式的形式為y =h,則其圖形為平行 x 軸或垂直 y 軸的直線。

反過來說,若直線垂直 x 軸或平行 y 軸,則其方程式的形式為x =k 若直線平行 x 軸或垂直 y 軸,則其方程式的形式為y =h

這個觀念可以協助我們求出平行或垂直座標軸的直線方程式。

例如想求通過(1,2)且平行 x 軸的直線方程式。

我們知道平行 x 軸的直線方程式形式是y =h,而點(1,2)的 y 座標為 2。

因此可以直接寫出直線方程式為y=2。

圖 4.2-17,y=2的圖形

x

y

(77)

4-75

例題 4.2.2-5

求通過(−1,−2)且垂直 y 軸的直線方程式。

詳解:

垂直 y 軸的直線方程式,形式為y =h )

2 , 1

(− − 的 y 座標為-2

可將直線方程式寫為:y=−2

圖 4.2-18

【練習】4.2.2-5

求通過( −3, 2)且平行 y 軸的直線方程式。

y

x y

x

(78)

4-76

我們知道座標平面上任兩點,一定可以找到通過此兩點的直線,但是三點就不一定了。

若是三點在同一條直線上,我們稱為三點共線。

如圖 4.2-19(a),三點共線,但在圖 4.2-19(

b

)中,三點就沒有共線了。

圖 4.2-19(a) 圖 4.2-19(b)

如何決定三點是否共線呢?我們只要隨意拿兩點,求得通過此兩點的直線方程式,然 後將第三點代入這個方程式,如能滿足此方程式,則三點共線,如不滿足,就不共線。

例題 4.2.2-6

座標平面上有三點 A(1,5)、B(0,3)、C(−2,−1),請判斷此三點是否共線。

詳解:

判斷三點是否共線:先找兩點求出直線方程式,再看第三點是否在直線上。

我們先求出通過 A(1,5)、B(0,3)兩點的直線

設直線方程式為y=ax+b,然後分別將 A(1,5)、B(0,3)兩點代入:

代入(1,5):5=a +b 化簡得a+b=5 代入(0,3):3=b 化簡得b=3

x y

x

y

(79)

4-77

寫成聯立方程式:



=

= +

3 5 b

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

將(2)代入(1)得a=2

通過 A(1,5)、B(0,3)兩點的直線方程式為y= x2 +3

接著我們再看看 C(−2,−1)是否在y= x2 +3上 將(−2,−1) 代入y= x2 +3

左式:y=−1

右式:2x+3=2(−2)+3=−1

左式=右式,可知 C(−2,−1)在y= x2 +3上 因此 A、B、C 三點共線

圖 4.2-20

【練習】4.2.2-6

座標平面上有三點 A( −3, 5)、B( −0, 3)、C(−3,−1),請判斷此三點是否共線。

x y

x

y

(80)

4-78

例題 4.2.2-7

座標平面上有三點 A( −2, 2)、B( −0, 1)、C(−2,1),請判斷此三點是否共線。

詳解:

判斷三點是否共線:先找兩點求出直線方程式,再看第三點是否在直線上。

我們先求出通過 A( −2, 2)、B( −0, 1)兩點的直線

設直線方程式為y=ax+b,然後分別將 A( −2, 2)、B( −0, 1)兩點代入:

代入( −2, 2):−2=2a +b 化簡得2a+b=−2 代入( −0, 1):−1=b 化簡得b=−1 寫成聯立方程式:



=

= +

1 2 2

b b a

) 2 ...(

) 1 ...(

將(2)代入(1)得

2

−1

= a

通過 A(1,5)、B(0,3)兩點的直線方程式為 1 1 −2

= x

y

接著我們再看看 C(−2,1)是否在 1 21 −

= x

y

將(−2,1) 代入 1 21 −

= x y

左式:y=1

右式: ( 2) 1 0 2

1 1 2

1 − =−  − − =

− x

左式≠右式,可知 C(−2,1)不在 1 21 −

= x

y

因此 A、B、C 三點不共線

圖 4.2-21

x

y

(81)

4-79

【練習】4.2.2-7

座標平面上有三點 A(3,1)、B(1,0)、C(−2,−3),請判斷此三點是否共線。

例題 4.2.2-8

已知座標平面上三點 A(−1,−9)、B(5,15)、C(c,2c+1),在同一直線上,試求:

(1)此直線方程式 (2)c 之值

詳解:

題目已說明 A、B、C 三點共線,我們可以先用 A、B 兩點求出直線方程式,再將 C 點座標代入直線方程式,找出 c 之值。

設直線方程式為y=ax+b,然後分別將 A(−1,−9)、B(5,15)兩點代入:

代入(−1,−9):−9=−a +b 化簡得a−b=9 代入(5,15):15= 5a +b 化簡得5a+b=15

x

y

(82)

4-80

寫成聯立方程式:



= +

=

15 5

9 b a

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

利用加減消去法,(1)+(2) 得到:

15 9 5 = + + a

a  6 =a 24  a=4 將a=4代入(1)得到:

9

4−b=  b=−5

通過 A(−1,−9)、B(5,15)兩點的直線方程式為y= x4 −5

將 C(c,2c+1)代入 y= x4 −5 5

) ( 4 ) 1 2

( c+ =  c − 5 4 1

2c+ = c− 6 2 =c

=3 c

因此本題三點共線的直線方程式為y= x4 −5,c 之值為 3。

【練習】4.2.2-8

已知座標平面上三點 A(3,4)、B(−1,−4)、C(−k,−k+1),在同一直線上,試求:

(1)此直線方程式 (2)k 之值

(83)

4-81

4.2.3 節 二元一次聯立方程式的圖解

我們已經知道了二元一次方程式的解,在座標平面上的圖形是一條直線。那麼若將兩 個二元一次方程式一起畫在座標平面上,其交點有什麼意義呢?本小節我們將搭配第 三章的二元一次聯立方程式來做介紹。

例題 4.2.3-1

在同一座標平面上畫出下列聯立方程式的圖形,並求聯立方程式的解:



=

= +

0 4 y x

y x

詳解:

將各方程式分別找出兩解,再連線畫出直線圖形

=4 + y

x

x=0代入,得y=4,圖形通過(0,4) 將 y=0代入,得x=4,圖形通過(4,0)

=0

− y

x

x=0代入,得y=0,圖形通過(0,0) 將 y=3代入,得x =3,圖形通過(3,3) 畫出圖形,如圖 4.2-22

圖 4.2-22 由圖形可以看出,兩直線交於一點,且交點為(2,2)

接著我們來解聯立方程式



=

= +

0 4 y x

y x

) 2 ...(

) 1 ...(

利用加減消去法,(1)+(2)得2 =x 4,化簡得x=2

x=2代入(1),得y=2。此聯立方程式之解為(2,2),與圖形交點相同。

由本題我們可以知道,若兩直線方程式交於一點,則交點為其聯立方程式的解。

x

y

(84)

4-82

例題 4.2.3-2

在同一座標平面上畫出下列聯立方程式的圖形,並求聯立方程式的解:



= +

= +

2 2 2

4 y x

y x

詳解:

將各方程式分別找出兩解,再連線畫出直線圖形

=4 + y

x

x=0代入,得y=4,圖形通過(0,4) 將 y=0代入,得x=4,圖形通過(4,0)

2 2

2x+ y= :

x=0代入,得y=1,圖形通過(0,1) 將 y=0代入,得x=1,圖形通過(1,0) 畫出圖形,如圖 4.2-23

圖 4.2-23 由圖形可以看出,兩直線互相平行,沒有交點

接著我們來解聯立方程式



= +

= +

2 2 2

4 y x

y x

) 2 ...(

) 1 ...(

(2)÷2 得:x+ y=1...(3)

利用加減消去法,(1)-(3)得0 =3,不合理,表示此方程組無解。

由本題我們可以知道,若兩直線方程式平行,則其聯立方程式無解。

x

y

(85)

4-83

例題 4.2.3-3

在同一座標平面上畫出下列聯立方程式的圖形,並求聯立方程式的解:



= +

= +

8 2 2

4 y x

y x

詳解:

將各方程式分別找出兩解,再連線畫出直線圖形

=4 + y

x

x=0代入,得y=4,圖形通過(0,4) 將 y=0代入,得x=4,圖形通過(4,0)

8 2

2x+ y= :

x=0代入,得y=4,圖形通過(0,4) 將 y=0代入,得x=4,圖形通過(4,0) 畫出圖形,如圖 4.2-24

圖 4.2-24 由圖形可以看出,兩直線重合

接著我們來解聯立方程式



= +

= +

8 2 2

4 y x

y x

) 2 ...(

) 1 ...(

(2)÷2 得:x+ y=4...(3)

利用加減消去法,(1)-(3)得0 =0,表示此方程組有無限多組解。

由本題我們可以知道,若兩直線方程式重合,則其聯立方程式有無限多組解。

x

y

(86)

4-84

由上面三個例題可以知道,兩條直線方程式在直角座標上的圖形有交於一點、平行、

重合三種狀況,而我們在第三章所解的聯立方程式,都是交於一點的情形,所以可以 找出一組解。

要如何判斷方程組究竟是交於一點、平行、重合哪種情況呢?

假設有聯立方程式



= +

= +

2 2 2

1 1 1

c y b x a

c y b x

a ,我們可以從係數關係來判斷解的種類:

1. 若

2 1 2 1

b b

aa  ,則此方程組恰有一組解 2. 若

2 1 2 1 2 1

c c b

b a

a =  ,則此方程組為無解

3. 若

2 1 2 1 2 1

c c b

b a

a = = ,則此方程組為無限多組解

我們來用前面三個例題驗證看看:

例題 4.2.3-1 聯立方程式是



=

= +

0 4 y x

y x

1=1

ab1=1、c1=4、a2=1、b2=−1、c2=0 1

1 1 1

 − ,可確認此方程組恰有一組解

例題 4.2.3-2 聯立方程式是



= +

= +

2 2 2

4 y x

y x

1=1

ab1=1、c1=4、a2=2、b2=2、c2=2 2

4 2 1 2

1 =  ,可確認此方程組無解

例題 4.2.3-3 聯立方程式是



= +

= +

8 2 2

4 y x

y x

1=1

ab1=1、c1=4、a2=2、b2=2、c2=8 8

4 2 1 2

1 = = ,可確認此方程組有無限多組解

Figure

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