第四章 直角座標與二元一次方程式
4.2 節 二元一次方程式的圖形
4.2.2 節 求直線方程式
4-69
4-70
例題 4.2.2-1
求通過(1,2)和(2,1)的直線方程式。
詳解：
設直線方程式為y=ax+b，然後分別將兩點座標代入：
代入(1,2)：2=a +b 化簡得a+b=2 代入(2,1)：1= 2a +b 化簡得2a+b=1 寫成聯立方程式：
= +
= +
1 2
2 b a
b a
) 2 ...(
) 1 ...(
由(2)− 得(1) a=−1
再將a=−1代入(1)，解得b=3 直線方程式為y= x− +3
圖 4.2-13
【練習】4.2.2-1
求通過(1,3)和(2,4)的直線方程式。
x y
x
y
4-71
例題 4.2.2-2
求通過(1,4)和(2,3)的直線方程式。
詳解：
設直線方程式為y=ax+b，然後分別將兩點座標代入：
代入(1,4)：4=a +b 化簡得a+b=4 代入(2,3)：3= 2a +b 化簡得2a+b=3 寫成聯立方程式：
= +
= +
3 2
4 b a
b a
) 2 ...(
) 1 ...(
由(2)− 得(1) a=−1
再將a=−1代入(1)，解得b=5 直線方程式為y= x− +5
圖 4.2-14
【練習】4.2.2-2
求通過(2,2)和(1,4)的直線方程式。
x y
x
y
4-72
例題 4.2.2-3
求通過( −1, 1)和(−2,2)的直線方程式。
詳解：
設直線方程式為y=ax+b，然後分別將兩點座標代入：
代入( −1, 1)：−1=a +b 化簡得a+b=−1
代入(−2,2)：2= 2− a +b 化簡得−2a+b=2 寫成聯立方程式：
= +
−
−
= +
2 2
1 b a
b a
) 2 ...(
) 1 ...(
由( −1) (2)得a=−1
再將a=−1代入(1)，解得b=0
直線方程式為y =−x
圖 4.2-14
【練習】4.2.2-3
求通過(1,1)和(2,2)的直線方程式。
x y
x
y
4-73
例題 4.2.2-4
求通過(−1,−2)和(0,3)的直線方程式。
詳解：
設直線方程式為y=ax+b，然後分別將兩點座標代入：
代入(−1,−2)：− 2=−a +b 化簡得−a+b=−2 代入(0,3)：3=b 化簡得b=3
寫成聯立方程式：
=
−
= +
−
3 2 b
b a
) 2 ...(
) 1 ...(
將(2)代入(1)得a=5 直線方程式為y= x5 +3
圖 4.2-16
【練習】4.2.2-4
求通過(0,1)和(−1,2)的直線方程式。
x y
x
y
4-74
在 4.2.1 節中，我們學過平行或垂直座標軸的直線：
若方程式的形式為x =k，則其圖形為垂直 x 軸或平行 y 軸的直線。
若方程式的形式為y =h，則其圖形為平行 x 軸或垂直 y 軸的直線。
反過來說，若直線垂直 x 軸或平行 y 軸，則其方程式的形式為x =k 若直線平行 x 軸或垂直 y 軸，則其方程式的形式為y =h
這個觀念可以協助我們求出平行或垂直座標軸的直線方程式。
例如想求通過(1,2)且平行 x 軸的直線方程式。
我們知道平行 x 軸的直線方程式形式是y =h，而點(1,2)的 y 座標為 2。
因此可以直接寫出直線方程式為y=2。
圖 4.2-17，y=2的圖形
x
y
4-75
例題 4.2.2-5
求通過(−1,−2)且垂直 y 軸的直線方程式。
詳解：
垂直 y 軸的直線方程式，形式為y =h )
2 , 1
(− − 的 y 座標為－2
可將直線方程式寫為：y=−2
圖 4.2-18
【練習】4.2.2-5
求通過( −3, 2)且平行 y 軸的直線方程式。
y
x y
x
4-76
我們知道座標平面上任兩點，一定可以找到通過此兩點的直線，但是三點就不一定了。
若是三點在同一條直線上，我們稱為三點共線。
如圖 4.2-19(a)，三點共線，但在圖 4.2-19(
b
)中，三點就沒有共線了。
圖 4.2-19(a) 圖 4.2-19(b)
如何決定三點是否共線呢？我們只要隨意拿兩點，求得通過此兩點的直線方程式，然 後將第三點代入這個方程式，如能滿足此方程式，則三點共線，如不滿足，就不共線。
例題 4.2.2-6
座標平面上有三點 A(1,5)、B(0,3)、C(−2,−1)，請判斷此三點是否共線。
詳解：
判斷三點是否共線：先找兩點求出直線方程式，再看第三點是否在直線上。
我們先求出通過 A(1,5)、B(0,3)兩點的直線
設直線方程式為y=ax+b，然後分別將 A(1,5)、B(0,3)兩點代入：
代入(1,5)：5=a +b 化簡得a+b=5 代入(0,3)：3=b 化簡得b=3
x y
x
y
4-77
寫成聯立方程式：
=
= +
3 5 b
b a
) 2 ...(
) 1 ...(
將(2)代入(1)得a=2
通過 A(1,5)、B(0,3)兩點的直線方程式為y= x2 +3
接著我們再看看 C(−2,−1)是否在y= x2 +3上 將(−2,−1) 代入y= x2 +3
左式：y=−1
右式：2x+3=2(−2)+3=−1
左式＝右式，可知 C(−2,−1)在y= x2 +3上 因此 A、B、C 三點共線
圖 4.2-20
【練習】4.2.2-6
座標平面上有三點 A( −3, 5)、B( −0, 3)、C(−3,−1)，請判斷此三點是否共線。
x y
x
y
4-78
例題 4.2.2-7
座標平面上有三點 A( −2, 2)、B( −0, 1)、C(−2,1)，請判斷此三點是否共線。
詳解：
判斷三點是否共線：先找兩點求出直線方程式，再看第三點是否在直線上。
我們先求出通過 A( −2, 2)、B( −0, 1)兩點的直線
設直線方程式為y=ax+b，然後分別將 A( −2, 2)、B( −0, 1)兩點代入：
代入( −2, 2)：−2=2a +b 化簡得2a+b=−2 代入( −0, 1)：−1=b 化簡得b=−1 寫成聯立方程式：
−
=
−
= +
1 2 2
b b a
) 2 ...(
) 1 ...(
將(2)代入(1)得
2
−1
= a
通過 A(1,5)、B(0,3)兩點的直線方程式為 1 1 −2
−
= x
y
接著我們再看看 C(−2,1)是否在 1 21 −
−
= x
y 上
將(−2,1) 代入 1 21 −
−
= x y
左式：y=1
右式： ( 2) 1 0 2
1 1 2
1 − =− − − =
− x
左式≠右式，可知 C(−2,1)不在 1 21 −
−
= x
y 上
因此 A、B、C 三點不共線
圖 4.2-21
x
y
4-79
【練習】4.2.2-7
座標平面上有三點 A(3,1)、B(1,0)、C(−2,−3)，請判斷此三點是否共線。
例題 4.2.2-8
已知座標平面上三點 A(−1,−9)、B(5,15)、C(c,2c+1)，在同一直線上，試求：
(1)此直線方程式 (2)c 之值
詳解：
題目已說明 A、B、C 三點共線，我們可以先用 A、B 兩點求出直線方程式，再將 C 點座標代入直線方程式，找出 c 之值。
設直線方程式為y=ax+b，然後分別將 A(−1,−9)、B(5,15)兩點代入：
代入(−1,−9)：−9=−a +b 化簡得a−b=9 代入(5,15)：15= 5a +b 化簡得5a+b=15
x
y
4-80
寫成聯立方程式：
= +
=
−
15 5
9 b a
b a
) 2 ...(
) 1 ...(
利用加減消去法，(1)＋(2) 得到：
15 9 5 = + + a
a 6 =a 24 a=4 將a=4代入(1)得到：
9
4−b= b=−5
通過 A(−1,−9)、B(5,15)兩點的直線方程式為y= x4 −5
將 C(c,2c+1)代入 y= x4 −5 5
) ( 4 ) 1 2
( c+ = c − 5 4 1
2c+ = c− 6 2 =c
=3 c
因此本題三點共線的直線方程式為y= x4 −5，c 之值為 3。
【練習】4.2.2-8
已知座標平面上三點 A(3,4)、B(−1,−4)、C(−k,−k+1)，在同一直線上，試求：
(1)此直線方程式 (2)k 之值
4-81