第四章 相位領先與相位落後補償器設計
4.1 相位領先與相位落後補償器之設計原理
4.1.1 相位領先補償器
本章利用相位領先-落後補償器(Phase Lead-Lag Compensator) [19][20]
[21][22]來取代速度迴路的PID控制器。相對於PID控制器，相位領先補償器 (Phase Lead Compensator)與相位落後補償器(Phase Lag Compensator)是以波德 圖為根據，進而設計控制器使系統達到所需效能。
基本上，相位領先補償器類似於PD控制器，是由頻率響應的觀點來設計 提升系統於高頻時的相位角，具有改善相對穩定度與暫態響應的特性；而相 位落後補償器則類似於PI控制器，可提升系統在低頻時的增益值，具有改善 穩態響應、降低系統的穩態誤差與抑制雜訊的特性。
4.1 相位領先與相位落後補償器之設計原理
4.1.1 相位領先補償器
相位領先補償器是為了提供開迴路系統有足夠的相位大小，增加系統開 迴路時波德圖的相位邊限(Phase Margin)，進而提升系統閉迴路時的穩定度 與改善暫態響應。相位領先補償器的轉移函數(Transfer Function)如(4-1)式所 示：
0 , 1 0
, 0 1 ,
) 1
( > < < >
+
= + α τ
ατ
τ K s K s
s
GC (4-1)
其中K為比例增益(proportional gain)，α 和τ 為相位領先補償器的設計參 數，圖 4-1 為比例增益K為 1 時之波德圖。
dB 0
Decade dB
slope:20 /
) (jω GC
∠
dB j GC( ω)
0o
90o τ
1
ατ 1 α ωm =τ 1
ω ω
φm
α log1
10 α
log1 20
圖 4-1 相位領先補償器之波德圖
相位領先補償器設計的觀念及步驟如下：
1 ． 首 先 調 整 比 例 控 制 器 增 益 K ， 使 系 統 開 迴 路 時 的 波 德 增 益 圖 (magnitude)之 0 dB 交越點ω 之頻寬達到設定的頻寬目標，並由 0 dBg
交越點ω 的頻率向下對，求出此時波德相位圖(phase)的相位邊限g
φ 。若欲設計的相位邊限大小為φ ，且d φd >φ則表示系統的相位邊限 不夠，需設計相位領先補償器來補償相位大小。
2．若相位邊限不夠，則需利用相位領先補償器補償的相位大小為φ ，m
其中φm =φd −φ ，接著利用(4-2)式求得相位領先補償器的參數α 。 1
0 sin ,
1 sin
1 < <
+
= − α
φ α φ
m
m (4-2)
3．接著決定相位領先補償器補償相位峰值的位置，即圖 4-1 中的頻率
g
m ω
ω = 。當相位領先補償器加入系統後，波德增益圖會微幅增加，
使新的 0 dB 交越點ω 會稍大於原本的 0 dB 交越點*g ω 。 g
4．利用(4-3)式計算出相位領先補償器的參數τ ，即可完成(4-1)式相位 領先補償器的設計。
α τ ω
m
= 1 (4-3)
從頻域響應而言，相位領先補償器相當於高通濾波器(high pass filter)，
會將高頻雜訊放大，故若參數α 之數值越小，則對具有雜訊干擾的系統越不 利。而參數α 之數值與補償的相位大小為φ 有關，故設計時通常使m φm <50o。
<<設計範例>>
考慮一單位回授控制系統，其開迴路系統轉移函數為
) 20 ( ) 400
( = +
s s s
G ，希
望將系統之相位邊限φ 提升至d 70o，並提升其頻寬。系統之波德圖如圖 4-2 所示，將系統分別乘上增益K =5和K =10，可將 0 dB 交越點ωg =15.7rad/sec 增加至ωg5 =42.5rad/sec 與ωg10 =61.6rad/sec，而系統相位邊限φ =52o減少為
25o 5 =
φ 與φ10 =18o。並由圖 4-2 可看出增益K增加並不會改變系統相位圖的 圖形，但若增益K太大時，則會使系統相位邊限φ 太小而難以補償。
) (jω G
φ φ
) ( 5⋅G jω
) ( 10⋅G jω
ωg
g5
ω
g10
ω
由於欲提升相位邊限φ 至d 70o，且φm <50o的條件下，選擇增益K =5進行 相位領先補償器的設計，由圖 4-2 可得知ωg =42.5rad/sec、φm =45o，即可 算出α =0.17157、τ =0.05615，得到之相位領先補償器
s s GC
0.009633 1
0.05615s 5 1
)
( +
⋅ +
= ，
其補償結果如圖 4-3 所示：
) (jω G
φm
) ( ) (jω G jω GC ⋅ )
(jω GC
) (jω GC
∠
(
GC(jω)⋅G(jω))
∠
) (jω
∠G
圖 4-3 理想相位領先補償器設計範例之補償結果(φ =70o)
由圖 4-3 可發現相位領先補償器能將系統在頻率為42.5rad/sec 時的相 位邊界φ 由25o提升至70o，提升了45o，符合設計時φ 的大小，也達到設計m
時相位邊界70o的目標；並且系統的 0 dB 交越點ω 由g 15.7rad/sec 增加至85.8 rad/sec。
將系統經相位領先補償器補償前與補償後進行閉迴路測試，其頻率響應 如圖 4-4，可發現系統閉迴路的頻寬由25.4rad/sec 提升至138rad/sec，且相 位部分也大幅提升。
) (s G of Feedback Unit
r Compensato Lead
with
s G of Feedback
Unit ( )
圖 4-4 理想相位領先補償器設計範例之閉迴路補償結果
接著將閉迴路系統做步階響應測試，如圖 4-5，經過相位領先補償器補 償後，改善了系統暫態的響應速度。
) (s G of Feedback Unit
r Compensato Lead
with
s G of Feedback
Unit ( )