第二章 文獻回顧
3.1 相關分析
任何客觀事件都不是孤立的，反應在事物的數量方面，就表現為變數 與變數之間的相關，如銷售量與廣告費之間、子女數目與雙親教育程度之 間、抽菸與肺癌罹患率之間或工作的績效與工作滿足之間的相關。因此在 社會科學的研究中，除了瞭解一個變數的情況外，更重要的是瞭解兩個變 數之間的關係。
一群受測體中每個都測
X
和Y
兩種變數，所得到的資料是為雙變數資 料（Bivariate Data）。雙變數資料可供「相關」和「預測」的研究，若其 中一個的某些值之變化會造成另一個的值做系統性的變化，則稱此二變數 為相關的（Correlated），否則稱之為獨立的（Independent）。兩相關變數 變動的方向若一致則為正相關，否則為負相關。雙變數資料間可能呈現函 數相關（完全相關）、統計相關（非完全相關）或不相關（零相關）的情形。描述雙變數間相關情形的模式有確定模式（描述函數相關）及機率模 式（描述統計相關）兩種。機率模式又可稱為非確定模式。兩者的區別如 下：
1. 能確實掌握影響
Y
的所有因素時用確定模式Y=f
（x
）表示（1）
f
（X
）可以是X
的直線函數，也可以是X
的非直線函數。（2）
Y
的值可由X
的值透過函數f
（X
）予以確定。（3）散佈圖上所有的資料點（
x,y
）都會落在代表關聯的函數線上。2. 只能掌握影響
Y
的主要因素時用機率模式Y
=f
（X
）+ε表示（1）
f
（X
）為規律部份。（2）ε為隨機誤差部份，反應模型未考慮的許多因素（包括量測誤差）之 合成效果。如模型
Y
=a
+Bx
+ε顯示Y
與X
間有直線趨勢的統計關係，但函數 f（
X
）只能決定Y
的平均值，個別觀察值仍受隨機性因素ε的 影響。（3）散佈圖上的資料點（
x,y
）不會全部落在代表關聯趨勢的直線上。變數間會呈現統計相關（即有隨機誤差ε的存在）的主要原因有三：
1. 某些影響反應變數值的原因被忽略了。
2. 有些無法預測的隨機行為發生。
3. 觀查或測量所造成的變數值誤差。
欲瞭解屬量的雙變數間之相關情形可先繪製散佈圖（Scatter Plot）
並檢視散點分布的「形式」、「方向」及「強度」，然後再計算數值描述。
1. 「形式」是指散點分佈所呈現的趨勢。
2. 「方向」是指正相關還是負相關。
3. 「強度」則由散點遵循某種形式的程度來決定，點散佈的愈廣相關程度 越弱。
若雙變數資料的散佈圖呈一直線趨勢，則此兩變數間可能存在直線關 係，宜進一步作直線相關分析。散點分佈不成直線趨勢則說明了兩變數間 不存在直線關係。
因直線函數可描述許多現象之間的關係，固通常用直線相關來量測兩 變數變動趨勢的一致性。兩變數之間的共變異就是它們共同改變的情形，
可反映它們之間變動趨勢的一致性，故可用來測量變數間的直線相關。若 兩者改變的情形沒有關聯，其值為 0。若改變方向一致（即一個變數值較大 時，另一個變數的值也往往較大），其值為正。若改變方向相反（即一個變 數值較大時，另一個變數的值往往較小），其值為負。
雖然共變異σxy可以測量
X
與Y
間的直線相關程度，但其數值會受變數的 測量尺度影響，需用尺度標準化的積差（或稱皮爾遜）相關係數（Product moment或Pearson correlation coefficient）ρxy=
y x
xy
σ σ
σ
（3-1）來測量，其中σx與σy分別為
X
與Y
的標準差。ρ的一般性質如下述：
1. 因-1≦ρ≦+1 且與變數所使用的測量單位無關，故可做不同母體之間的 比較。
2. ρ為兩變數成直線（即兩變數間的一致性）程度的一種測度，測的是統 計關係而不是數學函數關係，更不是因果關係。
3. ρ2表示在
X
已知時，Y
之變異縮減（Variance Reduction）的比例，也就是
Y
的變異中可由X
之變動加以解釋的部份所佔的比例。4. ｜ρ｜值大小反應變數間直線相關的密切程度，符號反應直線相關之方 向。
5. ρ只測量直線相關不能描述非直線關，因此ρ=0 只說明無直線相關，並 不代表沒有其他形式的相關。
母體中的ρ未知時須根據變數的類型及測量尺度選擇適當的推論方 式。
令{（
X
i,Y
i）} 表由二元常態母體取出的隨機樣本，則樣本相關係數 1n r =y x
xy
S S
S
（3-2）為母體相關係數ρ的最大概似估計（Maximun likelihood estimate）。其 中
S
xy為X
與Y
間的樣本共變異，S
x為X
的樣本標準差，S
y為Y
的樣本標準差。用 r 估計ρ雖有偏誤（Biased），但在大樣本的情況下偏誤甚小，可以 忽略不計。判定兩變數間相關之有無與高低不可只看 r 的數值大小，還需 考慮樣本數的問題。
1. 因為 r 的變異與樣本數成反比，樣本數愈大變異愈小。
2. 因此，當 n 小時，r 必須較大才能說兩變數有相關存在，當 n 大時，則 r 稍小時也可能有相關之存在。
3. 在樣本數約為 30 時，0≦∣r∣≦1/3 為低相關，1/3≦∣r∣≦2/3 為中 等相關，2/3≦∣r∣≦1 為高相關。
只知兩變數相關但不知兩者有無依存關係（即有反應變數與解釋變數 的關係）時只能用相關分析來瞭解相關的程度及方向。若由相關理論或實 務經驗得知兩相關變數間有依存關係，則適合作迴歸分析，並可由自變數 的值去推測應變數的值。一般而言，相關分析是迴歸分析的基礎，相關愈 大表示愈可以從其中一個變數較正確地預測另外一個變數。迴歸和相關分 析只代表變數與變數間相關的可能程度，不可當做建立因果關係的解釋。
有相關存在，不一定表示