第二章 文獻探討
第三節 貝氏網路
一、貝氏網路理論
貝氏網路是以貝氏定理為基礎的一種機率圖形模式，利用此方法可以將教 育測驗領域中的不確定性組合成模型(Vomlel, 2004）。貝氏網路圖形結構將變數 及變數間的影響以節點及有向連線的網路結構呈現，而貝氏證據推論則根據此網 路結構的先驗機率分布，結合所觀察到的證據訊息計算未觀察到變數之後驗機 率，再依後驗機率推論未觀察到的變數狀態。簡言之，貝氏網路係指依據網路結 構的先驗機率分布，由可觀察到的證據訊息來推論未觀察到的變數狀態。因為貝 氏網路是以非循環有向圖 (Directed Acyclic Graph, DAG)為基礎，且應用了其變 數之間的因果關係，及其相互影響的機率，所以貝氏網路也叫做貝氏信念網路、
因果關係網路、機率網路等，此模型一開始使用在遺傳理論上，後來經轉變後出 現在許多領域中，例如導航器系統、認知科學和人工智慧等領域等，因此應用範 圍十分廣泛。
貝氏網路是一個以條件機率為基礎所建構出來具方向性且非循環的有向 圖，Pearl (1988)指出：將貝氏網路中用因果關係來表示變數之間的影響，當變數
A
確定有影響變數B
的因果關係時，從A
到B
將產生一個相依的連結邊。此時，
‧ 條件機率
P
(B|A
)表示給予A
的條件之下，B
發生的機率。‧ 機率
P
(A
)和機率P
(B
)表示A
和B
各自發生的機率。‧
P
(B|A
)，P(B
)和P
(A
)在研究中是先用訓練的資料求得。由以上貝氏定理可以看出，使用貝氏方法最大的優點即是結合事前機率(經 驗值)與樣本機率(經由訓練樣本得知)，有效地利用樣本資訊，引入經驗值來得 到理想的統計數值。相較於傳統統計方法只由樣本數統計，利用貝氏方法可以得 到更多資訊。此外，貝氏方法是利用到以前的經驗(即事前機率)，因此在分析時 不需太多樣本數即可得到不錯的結果。
貝氏網路以機率的方法來整合不確定性的功能，利用其完整的機率理論及 決策理論，來作不確定性因素的推論，而學生的錯誤法則具有不穩定性，這種不
B A
C
子節點( node )
條件機率（link）
表示連接強度 親節點( node )
子節點( node )
圖 2-3-1 貝氏網路非循環的有向圖
二、貝氏網路在教育上之應用
表 2-3-1 貝氏網路在教育上之應用研究整理(續)
第四節 電腦化適性診斷測驗
根據Thissen & Steinberg (1986)的分法，所有的試題反應模式(Item Response Models)依其基本假設與參數估計時的設限不同，可以歸納為下列三大類：
(一)差異模式(difference models)：適用於次序反應的資料。
(二)除總模式(divide-by-total models)：適用於次序和名義反應的資料。
(三)左加模式(left-side added models)：適用於有猜題(guessing)可能的單選題反應 資料。
雖然歸類方式不盡相同，不過到目前為止，大多數已發展出來並且已在使用 中的試題反應模式，還是以適用於二元化計分(binary scoring)的性向或成就測驗 資料為主（余民寧，1992）。
IRT 的目的在於提供試題的不變量(invariant)和能力估計值。由於IRT 試題 反應理論是針對古典測驗理論的缺失而發展出來的，所以它有幾項特色
(Hambleton & Swaminathan, 1985)，在這裡詳細說明如下：
1、在受試母群中，試題參數估計值是不受取樣的影響，不同的取樣結果只會呈 現ICC的局部區間，連結了不同的取樣結果即可完整呈現整體的ICC圖。
2、在試題的選擇中，受試者能力估計值不受取樣的影響。
3、受試者的能力可以確切估計求得。
以試題反應理論為主的電腦化適性診斷測驗，是根據考生先前的表現情形，
來決定下一階段將呈現給受試者作答的試題，而且這樣的試題是能對考生能力的 估計精確性提供做出最大訊息量。透過這樣的機制，使得測驗的長度可以縮短，
也不會犧牲測量精確性。換言之，對於高能力的受試者毋需提供較為容易的試題 作答，對於低能力的受試者，也不會有試題難度太高而造成心理上的打擊，因為 這些試題是相對於他們的能力水準來選取的。因此就電腦化適性診斷測驗來說，
不僅可以做到精確估計考生能力來進行「因材施測」，更可節省許多施測時間和 成本，優點相當明顯。
故基於IRT 理論的電腦化適性診斷測驗，將根據受試者的作答情形，依照 能力值的不同，給定不同的試題。換言之，一般以試題反應理論為基礎的電腦化 適性診斷測驗，施測結果為一能力值或量尺分數。
由於學生的錯誤類型並不具順序性或線性排列，即並非所有學生皆會先出現 錯誤類型1而後才出現錯誤類型2，因此無法單獨將錯誤類型與某一分數進行對 應，只能根據受試者的作答情形，依照能力值的不同，給定不同試題。換言之，
一般以試題反應理論為基礎的電腦化適性診斷測驗，施測結果為一能力值或量尺 分數。所以IRT 本身並不適用診斷測驗上，較適合用在成就測驗，如國中基本學 力測驗。使用以估計分數為目的之適性測驗來進行學習診斷，所提供的訊息相當 有限。
二、以知識或試題結構為主的電腦化適性診斷測驗
郭伯臣、謝友振、張峻豪、蔡坤穎（2005）的研究結果顯示使用學生試題結 構之電腦化適性診斷測驗演算法，在節省試題和預測精準度兩方面都有最佳的表 現，研究中比較了三種估計試題結構方法，Airasian, & Bart(1973)所研發之「順
至於如何以學生試題結構作為電腦適性診斷測驗選題策略的依據，何政翰
（2004）研究指出根據學生試題結構中各相關概念間之上下位次序關係，可達到 節省施測題數之成效。以圖2-4-1之學生知識結構為例，如在紙筆診斷測驗中需 施測圖中概念A-H所有試題，才能得知學生的學習情況，但在電腦化適性診斷測 驗中，A為最上位試題，若A題答對，則代表以下B至H的下位概念試題都可以不必 施測，若受試者答錯概念A的試題，則需進一步往下施測概念B和C的試題，如概 念C錯、概念B對，在電腦化適性診斷測驗中僅需再施測概念G和H兩試題，因此就 可以節省概念D、E、F等試題。
圖 2-4-1 學生知識結構圖
三、以貝氏網路為基礎之電腦化適性診斷測驗
貝氏網路是一種以貝氏理論為基礎，且非常強大的知識表現方法和推論的工 具，可以用來說明變項間相互影響程度的機率關係，在人工智慧領域相當的熱 門，且廣泛的應用於醫學、工程等方面，而其在預測及診斷上的能力，近來也被 應用於教育的研究上（李俊儀，2005）。
研究指出，如果運用以證據為中心的評量設計所定義的貝氏網路結構圖，將 學生的作答資料分成訓練資料和測試資料，將訓練資料用來訓練貝氏網路函式的 參數，作為將來推論運算所需；測試資料則當作學生作答的證據，利用其聯合樹 的推論方法，可算出聯合機率，用以推論學生所具有的錯誤類型和子技能（郭伯 臣、李俊儀、許雅菱、林文質，2005）。
A
B C
D E F G H
因此，利用貝氏網路的優點，將其應用到電腦化適性診斷測驗，不但具有電 腦化適性診斷測驗的優點，更能利用貝氏網路的推論能力，取得學生的背景資 料，快速準確分辨出學生的能力等級，進一步地針對學生的錯誤類型、子技能來 進行電腦補救教學（劉麒峰，2003）。
綜合上述三種電腦化適性診斷測驗的優缺點，本研究將採用以結合知識結構 及貝氏網路為基礎的電腦化適性診斷測驗作為診斷學生錯誤類型及子技能的診 斷工具。
第五節 補救教學 礎之適性補救教學(computer-based adaptive remedial instruction，簡稱CBRI)，另 一 則 是 以 教 師 為 基 礎 之 適 性 補 救 教 學 (teacher-based adaptive remedial instruction，簡稱TBRI)。以下就針對二種類型的適性補救模式加以說明。
一、以電腦為基礎之線上動畫補救教學
二、以教師為基礎之個別補救教學
以教師為基礎之適性補救教學，是以人力進行補救教學，教師必須在學生進 行測驗後針對學生的錯誤概念，配合學生需求，以教材和學生練習本等工具進行 補救教學，此種模式教師能依學生個別差異給予立即指導。洪素敏（2004）研究 指出老師適當的介入，給予線索、協助探索，是有正面的教育意義的。其一，可 以減少學生的嘗試錯誤率；其二，減少浪費太多的時間；其三，讓學生能朝正確 的歷程邁進。因此，教師在補救教學中的角色，結合具體與半具體的操作學習於 整個補救教學活動中，給予學生多方面的感覺經驗，從瞭解、互動與溝通到學習 的引導，是電腦所無法達成的。就補救教學的本質來說，它可以看做是教師教學 活動的一部分，而這個教學措施是適應學生個別差異的具體實踐，也可以看做是
「適性化教育」的落實（施淑娟、吳玫君、許天維、陳淑勤，2008）。
由上述綜合，根據錯誤類型所設計之補救教學，可大量節省補救的時間與提 高教學成效，而本研究考量教學環境的設備及教師所扮演的角色，採用以教師為 基礎之團班補救教學。教師依據適性測驗的診斷報告書，找出學生的錯誤類型，
從錯誤人數最多的重點開始指導，指導模式為教師參照研究者所自編的「教學手 冊」之補救教學結構圖所建議路徑，利用學生的補救教材─「學生加油手冊」（每 位一本），先在黑板上進行重點指導，再藉由提問及行間巡視，進行 40 分鐘的團 班補救教學。
第三章 研究方法
本章主要在說明結合知識結構理論及貝氏網路來進行小數乘法單元課程設 計與評量研發的研究方法與步驟。本章就整個研究流程、研究對象、研究工具、
資料的處理與分析加以討論，茲說明如下：
第一節 研究流程
本研究根據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，針對五年級
「小數乘法」單元能力指標（5-n-09），建立專家知識結構與貝氏網路，將能力
「小數乘法」單元能力指標（5-n-09），建立專家知識結構與貝氏網路，將能力