以知識結構及貝氏網路為基礎進行國小五年級小數乘法單元課程設計與評量建構之研究─以彰化縣某國小為例

國 立 台 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系 碩 士 班 碩 士 論 文

指導教授：施淑娟 博士

以知識結構及貝氏網路為基礎

進行國小五年級小數乘法單元課程設計

與評量建構之研究

─以彰化縣某國小為例

研究生：林建福 撰

中 華 民 國 九 十 七 年 六 月

摘要

本研究是以國小五年級「小數乘法」單元為特定研究領域，根據教育部（2003） 編訂之九年一貫數學領域課程綱要，結合知識結構理論及貝氏網路來進行小數乘 法單元課程設計與評量研發。在課程設計的部分，包括自編教材與教學活動設計 以及補救教學設計，在評量部分，則是編製一套電腦化適性診斷測驗，而後，將 這套課程與評量運用於實際教學，以探討其教學與補救教學成效，並且分析以知 識結構理論及貝氏網路為基礎的電腦化適性診斷測驗，在教學實務上的應用效果。 研究結果發現： 1. 結合知識結構及貝氏網路所編製的小數乘法單元的適性診斷測驗，能達到節 省題目、縮短施測時間的目的。 2. 教師對以知識結構及貝氏網路為基礎的「小數乘法」單元教材給予高度的肯 定；六成七以上的學生認為在學習上是有幫助的。 3. 在教學成效部分，實驗教學組的學生在「小數乘法」單元的測驗表現顯著優 於傳統教學組，教學成效明顯。 4. 在補救教學部分，實驗教學組的學生在「小數乘法」單元的測驗表現顯著優 於傳統教學組，進步成效明顯。 5. 實驗教學組在「小數乘法」單元之補救教學結果顯示，低分組學生的測驗平 均進步表現顯著優於中分組與高分組，平均進步分數達 13.862 分。 6. 實驗結束四週後的延後測，實驗教學組的學生在「小數乘法」單元的測驗表 現仍顯著優於傳統教學組，顯示此課程設計有助於學生之知識理解及學後保 留。

A study of Decimal Multiplication Curriculum Design and Assessment

Construction in the Fifth Grade Mathematics Based on Knowledge

Structure Theories and Bayesian Networks - Taking an elementary

School in Changhua as an Example

Abstract

This study attempts to design math teaching materials, a remedial instruction model and diagnostic assessment methods for elementary school students based on knowledge structure theories and Bayesian networks. The content of the design lessons focus on the unit of decimal multiplication in the fifth grade mathematics. First, the development of curriculum based on knowledge structure theories and Bayesian networks are processed according to related decimal multiplication indicators of Grades 1-9 Math Curricula, these materials including the design of teaching materials, activities and the remedial instruction model. Furthermore, diagnostic assessments are established using the Bayesian Networks based computerized adaptive diagnostic testing(BNAT). Next, the materials and tests are provided for experimental teaching in order to explore their learning effectiveness.

The results of this study are briefly outlined as follows:

1. The computerized adaptive diagnostic testing based on knowledge structure theories and Bayesian networks can measure efficiently, reduce the number of items administrated, and shorten testing time.

2. All teachers take a affirmative attitude toward the decimal multiplication course based on knowledge structure theories and Bayesian networks, and more than 67% of the students think it is helpful to their mathematics learning.

3. The experimental group is significantly better than the traditional teaching group on their average scores at the first test. It shows that the decimal multiplication course based on knowledge structure theories and Bayesian networks is more effective than the traditional teaching material.

4. After taking the remedial instruction in this study, the experimental group is also significantly better than the traditional teaching group on their average scores at the second test. It shows that this remedial teaching material is valuable for using.

progress on their average and are significant better than the students with high and middle scores, the average progressive score is up to 13.862.

6. The experimental group is significantly better than the traditional teaching group on their average scores at the postponed-test which be administrated four weeks later. It shows that the curriculum design based on knowledge structure theories and Bayesian networks contributes to improve students' math understanding and retain students' math knowledge.

Keywords: knowledge structure, Bayesian network, decimal multiplication, Computerized Adaptive Diagnostic Testing, remedial instructions

目 錄

第一章 緒論 ... 1 第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的 ... 4 第三節 待答問題 ... 5 第四節 名詞界定 ... 6 第五節 研究範圍與限制 ... 8 第二章 文獻探討 ... 11 第一節 小數乘法教材 ... 11 第二節 知識結構理論與分析 ... 16 第三節 貝氏網路 ... 19 第四節 電腦化適性測驗 ... 23 第五節 補救教學 ... 27 第三章 研究方法 ... 29 第一節 研究流程 ... 29 第二節 研究對象 ... 45 第三節 研究工具 ... 46 第四節 資料收集與分析 ... 49 第四章 研究結果 ... 51 第一節 電腦化適性診斷測驗建置 ... 50 第二節 電腦化適性測驗應用與成效 ... 54 第三節 小數乘法自編教材 ... 60 第四節 自編教材使用回饋分析 ... 62 第五節 自編教材與現行教材的學習成效比較 ... 71 第六節 不同補救教學模式的學習成效比較 ... 75 第七節 實驗組補救教學模式學習成效分析 ... 78 第八節 實驗組錯誤類型與子技能發生情形之比較分析 ... 82 第九節 延後測結果分析 ... 86 第五章 結論與建議 ... 89 第一節 結論 ... 89 第二節 建議 ... 92 參考文獻 ... 94 中文部分 ... 94 英文部分 ... 98 附錄一 小數乘法紙筆測驗試題 ... 101 附錄二 教師使用教材回饋單 ... 105 附錄三 學生學習回饋單 ... 108 附錄四 預試作答反應分析表 ... 109 附錄五 貝氏網路診斷辨識率分析表 ... 110 附錄六 單元講義之部分內容摘錄 ... 111 附錄七 學生加油手冊之部分內容摘錄 ... 113 附錄八 教學手冊之部分內容摘錄 ... 115

附錄九 多媒體教材之部分教材內容簡報 ... 123 附錄十 教師回饋意見內容表 ... 124 附錄十一實驗組教師教學回饋意見表 ... 128

圖目次

圖 2-2-1 陳述性知識、知識結構、程序性知識其三者關係……… 16 圖 2-2-2 知識結構階層圖……… 18 圖 2-3-1 貝氏網路非循環的有向圖……… 20 圖 2-4-1 學生知識結構圖……… 25 圖 3-1-1 研究流程圖……… 30 圖 3-1-2 小數乘法之貝氏網路圖初稿……… 33 圖 3-1-3 小數乘法專家知識結構圖……… 34 圖 3-1-4 知識結構試題化流程圖……… 35 圖 3-1-5 小數乘法試題結構圖……… 38 圖 3-1-6 小數乘法之部分試題結構圖……… 39 圖 3-1-7 小數乘法之部分試題結構圖……… 39 圖 3-1-8 小數乘法部分學生結構圖……… 39 圖 3-1-9 小數乘法學生知識結構圖……… 40 圖 3-1-10 補救教學結構圖……… 41 圖 3-1-11 實驗流程圖……… 44 圖 4-2-1 系統登入畫面……… 54 圖 4-2-2 系統施測畫面……… 55 圖 4-2-3 系統診斷結果畫面……… 55 圖 4-2-4 班級學習狀態統計書(以 Bug 概念列表為例)……… 56 圖 4-2-5 班級學習狀態統計書(以 Skill 概念列表為例)……… 56 圖 4-2-6 學生進行電腦診斷測驗之情形一……… 57 圖 4-2-7 學生進行電腦診斷測驗之情形二……… 57

表目次

表 2-1-1 小數乘法常見之錯誤類型……… 13 表 2-1-2 本研究之錯誤類型……… 14 表 2-3-1 貝氏網路在教育上之應用研究整理……… 21 表 3-1-1 本研究之子技能一覽表……… 31 表 3-1-2 本研究之錯誤類型一覽表……… 32 表 3-1-3 試題設計例示……… 36 表 3-1-4 測驗試題與錯誤類型及子技能對應表……… 37 表 4-1-1 小數乘法單元預試信度、難易度、鑑別度分析表……… 52 表 4-2-1 前、後測適性判斷結果統計表……… 59 表 4-4-1 教學手冊實用部分統計表……… 62 表 4-4-2 教學手冊評鑑回饋統計表……… 63 表 4-4-3 單元講義評鑑回饋統計表……… 66 表 4-4-4 學生加油手冊評鑑回饋統計表……… 67 表 4-4-5 實驗組教師教學省思統計表……… 67 表 4-4-6 實驗組教師教學省思綜合表……… 68 表 4-4-7 學生學習回饋單統計表……… 69 表 4-4-8 學生自認單元教材較為困難學習重點統計表……… 70 表 4-4-9 學生自認有幫助的學習方式統計表……… 70 表 4-5-1 實驗組及控制組之起點成績與前測成績統計表……… 71 表 4-5-2 實驗組、控制組之組內迴歸係數同質性考驗……… 71 表 4-5-3 前測成績統計……… 72 表 4-5-4 實驗組及控制組之誤差變異量的 Levene 檢定……… 72

表 4-6-5 實驗組與控制組後測成績共變數分析……… 77 表 4-6-6 實驗組與控制組後測成績估計邊緣平均數……… 77 表 4-6-7 實驗組與控制組之事後比較……… 77 表 4-7-1 實驗組前後測之相依樣本統計量……… 78 表 4-7-2 實驗組前後測之相依樣本 t 檢定……… 78 表 4-7-3 實驗組之高分組相依樣本統計量……… 79 表 4-7-4 實驗組之高分組相依樣本 t 檢定……… 79 表 4-7-5 實驗組之中分組相依樣本統計量……… 79 表 4-7-6 實驗組之中分組相依樣本 t 檢定……… 79 表 4-7-7 實驗組之低分組相依樣本統計量……… 80 表 4-7-8 實驗組之低分組相依樣本 t 檢定……… 80 表 4-7-9 實驗組中各組變異數同質性檢定……… 81 表 4-7-10 實驗組均等平均數的 Robust 檢定……… 81 表 4-7-11 Games-Howell 事後比較檢定法……… 81 表 4-8-1 實驗組前、後測出現錯誤類型統計表……… 82 表 4-8-2 實驗組前、後測達子技能統計表……… 85 表 4-9-1 實驗組、控制組之組內迴歸係數同質性考驗……… 86 表 4-9-2 實驗組及控制組之誤差變異量的 Levene 檢定……… 87 表 4-9-3 實驗組與控制組延後測成績之共變數分析摘要表……… 87 表 4-9-4 實驗組與控制組延後測成績估計邊緣值……… 87 表 4-9-5 實驗組與控制組之事後比較……… 88

第一章 緒論

本研究是以國小五年級「小數乘法」單元為特定研究領域，根據教育部（2003） 編訂之九年一貫數學領域課程綱要，結合知識結構理論及貝氏網路來進行小數乘 法單元課程設計與評量研發。在課程設計的部分，包括自編教材與教學活動設計 以及補救教學設計，在評量部分，則是編製一套電腦化適性診斷測驗，而後，將 這套課程與評量運用於實際教學，以探討其教學與補救教學成效，並且分析以知 識結構理論及貝氏網路為基礎的電腦化適性診斷測驗，在教學實務上的應用效 果。本論文共分五章：第一章為緒論，第二章為文獻探討，第三章為研究設計與 實施，第四章為結果與討論，第五章為結論與建議。本章將針對研究動機與目的、 待答問題、重要名詞界定與研究限制逐一進行闡述。

第一節 研究動機

在進入二十一世紀且處於高度文明化的世界中，數學知識及數學能力，已逐 漸成為日常生活及職場裡應具備的基本能力（教育部，2003），因此，如何讓學 生的數學能力獲得提升，落實把每一位學生帶上來，是國民教育階段相當重要的 課題。然而，分析目前國內數學的教學現況，雖然在一綱多本的政策下，教師擁 有多元的教材可以選擇，但常因坊間各版本教材，在課程設計時，只呈現單元之 間的順序及單元內的教學目標，缺乏單元內教材細部的知識結構分析，如此將造 成學生在轉換教材時，容易產生重覆學習或漏失掉某些重要數學概念的現象，而 教師想要針對學生的錯誤或漏失掉的數學概念進行診斷，亦會產生困難，不知如 何著手。此外，若要實踐把每一位學生帶上來的目標，教師在獲知學生錯誤或缺 失該念之後進行補救教學，更是不可或缺，但在現行各版本教材中，都只重視教 學部份的教材編製與教學活動設計，對於補救教學部分的課程設計，均付之闕 如，因此，教學者在測驗後往往僅能針對試卷做檢討，再次複習指導，並沒有一 套結構性、完整性的補救方式，導致學生的學習困難無法得到立即的矯治，影響 後續的學習。

近年來，已有許多學者以知識結構理論為基礎，進行國小數學領域適性診斷 測驗及補救教學設計之研究，並獲得顯著的效果，如曾彥鈞（2007）建置「以知 識結構為基礎之電腦適性測驗診斷系統」，可以滿足以知識結構為基礎的適性測 驗所需之各項功能，且相關研究顯示以此系統進行之適性測驗可以有效節省施測 題數，達到適性化的效果；另外林立敏（2007）也指出，在連結不同知識結構之 適性測驗方面，與紙筆測驗相較，確實可以節省試題，節省施測時間，並且提供 概念診斷報告，可讓教學者掌握學習者的學習狀態，讓學習者了解錯誤概念，進 行有效率之補救教學，具有適性化與個別化的功能。 另外，亦有學者研發出結合知識結構與貝氏網路電腦化適性診斷測驗及補教 教學系統，如施淑娟、吳玫君、許天維、陳淑勤（2008）的研究，以結合知識結 構與貝氏網路為基礎之電腦適性診斷測驗，及數位個別指導教材之編製應用於實 際的教學診斷與個別指導教學，研究結果發現，不論是個別指導組或團班教學 組，經過融入數位教材進行教學與補救後，學生的平均分數皆有進步，顯示所研 發之數位個別指導教材具有應用價值。 但上述的研究多針對電腦適性測驗診斷與數位個別指導教材的研發與應 用，在實際的數學課室中，要讓每位學生使用數位教材來進行個別化指導或補救 教學，首先便要克服電腦設備缺乏的困難，在現行教育環境下，頂多只能達到班 班有電腦、網路，尚未到達人人有電腦的階段，其次，在現行團班教學的體制下， 教師的人力與教學時數的缺乏，亦會導致個別化指導的方式難以推行，因此，上

表示方式，但同樣在處理部分量的計算，小數計算可以延續整數的運算法則，而 不需要像分數一般，另創一套新的運算規則。而在實際生活中，用到小數乘法的 機會也相當廣泛，如賣場的電子磅秤、加油站的加油槍電子流量表、外幣匯率… 等，都是運用小數乘法來結算金額，亦說明其對生活的重要性。然而在眾多文獻 顯示（Bell, Swan & Taylor, 1981；Hart, et al., 1981；Markovits & Even, 1999；Radatz, 1979；艾如昀，1994；杜建台，1996；林軍治，1986；陳永峰，1998；陳明沂， 2006；劉曼麗，1998、1999、2001、2002b、2004；簡茂發、劉湘川，1993等）， 學生在學習小數乘法單元課程，常會有錯誤類型與迷失概念的發生，造成學習的 困難，因此在教學上特別需要加以診斷與補救。 綜而言之，本研究企圖以國小五年級數學領域「小數乘法」為內容，以進行 知識結構及貝氏網路為基礎的自編教材、補救教材，以及電腦化診斷測驗研發， 來進行教學以及教學後錯誤概念的診斷，最後再依據適性測驗系統診斷報告書進 行研究者所設計的補救教學，期望能同時完成教學、診斷以及補救，並瞭解其應 用成效，另外，也藉由研究結果進一步分析以知識結構及貝氏網路為基礎的電腦 化適性診斷測驗和傳統團班教學模式結合的效果，期使本研究所設計之教材及電 腦化適性診斷測驗未來能有效應用於學校數學領域教學，並有效提升學生的數學 能力。

第二節 研究目的

基於上述動機，本研究主要目的為根據教育部（2003）編訂之九年一貫數學 領域課程綱要，針對單元能力指標（5-n-09），結合知識結構及貝氏網路來進行 自編國小五年級「小數乘法」單元教材及教學活動、編製電腦化適性診斷測驗及 補救教學模式，並透過教學實驗，由教學成效、補救教學成效以及適性診斷測驗 之成效，綜合評估此套教材與評量設計之應用效果，以下羅列主要目的 一、針對五年級「小數乘法」單元能力指標（5-n-09），以知識結構與貝氏網路 為基礎，編製適性診斷測驗。 二、探討結合知識結構與貝氏網路之小數乘法單元電腦化適性診斷測驗的成效。 三、針對五年級「小數乘法」單元能力指標（5-n-09），以知識結構及貝氏網路 為基礎，編製單元教材與補救教材。 四、瞭解教師與學生對以知識結構及貝氏網路為基礎的自編「小數乘法」單元教 材之滿意度與建議。 五、探討以知識結構及貝氏網路為基礎之自編「小數乘法」單元教材的學習及補 救成效。

第三節 待答問題

根據上述的研究目的，本研究將探討下列問題： 1-1.針對五年級「小數乘法」單元能力指標（5-n-09），以知識結構及貝氏網路 為基礎的適性診斷測驗信效度為何及試題分析結果？ 2-1.以自編「小數乘法」教材為範圍，以知識結構及貝氏網路為基礎之機率推論 的電腦化適性診斷測驗，是否達到省題之成效？ 3-1.針對五年級「小數乘法」單元能力指標（5-n-09），如何編製以知識結構及 貝氏網路為基礎之單元教材？ 4-1.教師對以知識結構及貝氏網路為基礎的自編「小數乘法」單元教材的滿意度 與建議為何？ 4-2.學生對以知識結構及貝氏網路為基礎的自編「小數乘法」單元教材的滿意度 與建議為何？ 5-1.經準實驗第一階段教學後，使用自編單元教材與使用現行教材之兩組學生在 學習成效上是否有顯著差異？ 5-2.經準實驗第二階段教學後，運用研究者自編之補救教學模式與一般補救教學 模式之兩組學生在學習進步上是否有顯著差異？ 5-3.準實驗第二階段之補教教學中，使用自編單元教材之低、中、高程度學生的 學習進步成績是否達顯著差異？ 5-4.準實驗第二階段之補教教學中，使用自編單元教材之低、中、高程度學生， 在各組間的學習進步成績上是否達顯著差異？ 5-5.使用自編單元教材的學生，經準實驗第一、二階段教學後，其錯誤類型發生 率與子技能達成率分別為何？ 5-6.單元教學結束四週後，使用自編單元教材與使用現行教材之兩組學生，在能 力指標（5-n-09）的範圍，此課程設計是否有助於學生之知識理解及學後保 留？

第四節 名詞界定

針對本研究常見的名詞，釋義說明如下：

一、貝氏網路

貝氏網路（Bayesian networks）是一種以貝氏理論為基礎，由節點與連結所 組成具有方向性且非循環的有向圖(Directed Acyclic Graph，簡稱DAG)，以節點 表示所欲研究的變項，連結代表變項間的影響關係，其影響程度的強弱則藉由條 件機率的方式來表達（施淑娟，2006）。換言之，這個有向圖是這些變項之聯合 機率分佈的分解表示法。本研究以貝氏網路為適性診斷測驗之推論工具，協助教 學者分析診斷出學生錯誤類型與子技能的有無，以作為本研究之補救教學模式的 依據。 二、知識結構 知識的本質是由概念以結構化的型式所組成，在知識結構中，下層概念為上 層概念的先備知識。本研究中，分為專家知識結構與學生知識結構兩類，專家知 識結構主要作為編製診斷測驗試題的依據，是由學者專家分析相關文獻，根據學 生學習歷程、概念發展順序及概念間上下位關係，繪製專家知識結構；學生知識 結構乃是利用「無參數試題反應理論與試題順序結構分析法之多點計分整合模 式」(郭伯臣，1995）中所開發之試題結構分析程式作為分析工具，從學生在診 斷測驗試題的表現中，分析出學生各概念間的上下位關係。 三、小數乘法

錯誤，其錯誤類型的分類是研究者參考相關文獻、教學經驗交流與專家學者討論 等方式所訂定出。 五、子技能 許天維、劉湘川（1994）界定數學技能，係指不要擬定計畫，直接運用數學 事實、定義、規則、性質以及定理，對數、量和形進行演算和操作的能力。本研 究之子技能為根據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，針對五年 級「小數乘法」單元能力指標（5-n-09）而所訂定之基本能力，且該能力的具備 與否通常會影響錯誤類型的發生。 六、電腦化適性診斷測驗 本研究所指電腦化適性診斷測驗係以結合知識結構及貝氏網路為基礎，進行 適性診斷的測驗。進行施測時，是選取最上位子技能的題目予以作答，若受試者 作答正確，則預測其下位子技能亦達成，若受試者答錯，則下一題將選取答錯試 題之下位子技能的題目。透過這樣的選題方式，可快速精準的進行診斷，找出學 生的錯誤類型，以進行補救教學。 七、補救教學 補救教學係指針對評量後，依照其個別情況實施不同的教學方式與補救課 程，其實施應依據評量測驗後之分析結果來進行。本研究中，補救教學係指研究 者結合專家與學生知識結構，編製補救教學結構後，依據補救教學結構設計補救 教材及規劃補救教學路徑，在實際教學時，教師只需要依其診斷報告書中班上大 多數學生之錯誤類型或未達子技能之部分，依照補救教學結構所建議之路徑進行 補救教學，因各班有其優劣程度之分，所以各班補救教學的概念順序自然也不同。

第五節 研究範圍與限制

一、研究範圍 本研究之教學教材為研究者依據教育部（2003）頒布九年一貫課程網要之數 學能力指標（5-n-09）所編製，並建置以知識結構及貝氏網路為基礎的電腦化適 性診斷測驗及其補救教學模式。本研究旨在探討整套自編教材（含適性測驗及補 教教學模式）的教學成效及師生對其之評論，除上述以外之其他因素則不在本研 究探討範圍。 二、研究限制 本研究受限於時間、資源、人力及其他主客觀因素影響，茲將本研究之限制 分述如下： （一）研究樣本 本研究考量到研究人力、時間與資源的限制，因此研究樣本來源是以研究者 服務之學校五年級學生為主，取樣六個班，191名學生為實驗研究樣本，分成三 班實驗組與三班控制組，經刪除不當樣本後，有效樣本共計187名，因此，實驗 的結果可能會受到取樣的影響，造成本研究結果推論上的限制。 （二）研究時間 本研究採用準實驗不等組設計方式進行實驗，因此，實驗組與控制組之受試 者的授課時間（含補救教學）、測驗的時間均需相同，同時，受試者的診斷測驗 時機必須在小數乘法單元學習完後立即進行施測，否則失去實驗的意義。

其個人感受進行調查，其資料僅以描述性統計或質化敘述加以處理，不進行量化 之統計考驗，以做為研究結果參考。

第二章 文獻探討

本研究主要目的是根據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要， 結合知識結構理論及貝氏網路來進行小數乘法單元課程設計與評量研發。在課程 設計的部分，利用以知識結構自編單元教材與教學活動設計以及補救教學設計， 在評量部分，結合知識結構與貝氏網路編製電腦化適性診斷測驗，而後，將這套 課程與評量運用於實際教學，以探討其教學與補救教學成效。因此，本將針對「小 數乘法教材」、「知識結構理論與分析」、「貝氏網路」、「電腦化適性診斷」與「補 救教學」等內容進行文獻探討。

第一節 小數乘法教材

一、小數數概念 小數的歷史可追溯到西元前2400年，當時的巴比倫人便已有位值的概念，不 過他們的計數單位是60進位，所以小數的實用性便沒那麼明顯。後來經過印度及 阿拉伯數學家的改進，便演變成現在我們所看到的。而人類數概念的發展是先發 展出分數，再透過小數，將分數推廣至印度─阿拉伯記數系統。因此，在國小數 學教材中，會先引入整數及分數的教材，待學童能正確理解並掌握分數及整數的 記法與位值概念後，再透過分數概念引入小數的記法。如小數0.1 是分數 1 10的 另一種記法，小數0.01是分數 1 100的另一種記法，最後再引導學童發現小數的記 法和整數的記法相同，都會滿足位值概念。以小數「0.35」為例，它和分數 35 100 的意義相同，都是等分割後的結果；它的記法也和整數的記法相同，都滿足左邊 位置的位值，都是相鄰右邊位置位值10倍的位值概念，例如個位的位值是十分位 位值的10倍，十分位的位值是百分位位值的10倍（周筱亭、黃敏晃，2002）。 雖然小數概念發展在分數概念之後，但是現在的社會中，使用小數的機會遠 大於分數（周筱亭等人，2002）。例如賣場的電子磅秤，在電子螢幕上透過小數

運算產生結果；日常生活中常使用的電器用品，例如溫度計、微波爐等，也常透 過小數來顯示數值；所以在日常生活中，學童觀察或使用小數的機會遠大於分 數，地位也愈來愈重要。 小數概念可以區分記數系統知識、運算規則知識和數量表示知識等三種知識 (Hiebert, 1992；劉曼麗，2005)；其中，記數系統知識就是針對形式而言，知道 什麼是小數的形式，什麼不是小數的形式；運算規則知識指學生操弄規則以產生 正確答案的小數知識；數量表示知識就是能了解小數所表示數量的意思。為了要 讓學童對小數概念真正內化與了解，那就必須加強上述三種知識的連結，建立正 確的連結方式在於教師的擁有完整的教學程序：有明確的活動去連結小數的意 義、符號；能寫出小數的符號、語意及符號語言的發展(Hiebert, 1992)。因此， 透過小數學習階段的發展，不斷地加強三種知識間的連結，則是幫助學生學習小 數的最佳途徑。 二、小數乘法教學 小數乘法問題包括了小數的整數倍、整數的小數倍及小數的小數倍，其中的 小數還可以依難度分成單位小數、純小數及帶小數。進行小數乘法活動時，有兩 種安排教材的方式，第一種是透過分數的乘法活動來進行小數乘法活動，也就是 說，先將小數轉換為分數，進行分數的乘法活動後，再將所得到分數的答案，轉 換成小數的答案；它的解題過程可用下列的式子來表示：

0.6×0.4＝

6

×

4

＝

24

助學童觀察 6×4＝24，0.6×4＝2.4，0.6×0.4＝0.24，希望學童能察覺位值變化 的規則，得到ｍ位小數乘以ｎ位小數時答案是（ｍ＋ｎ）位小數的算則 (周筱亭 等人，2002；周筱亭、劉君毅，2005)。 三、錯誤類型 錯誤類型通常是指學生在某一學習領域中，所具有的概念不同於教學者或專 家所持有或公認的想法，陳永峰（1998）指出在教學時，應不要直接讓學生記憶 乘、除法的計算規則，讓學生瞭解計算規則背後的原理，如透過分數的連結來瞭 解小數乘法，當學生清楚計算的原理原則後，就不易記錯計算規則，而 Gable, Enright, & Hendrickson (1991)也建議將數學錯誤分析和教學或評量結合，以作為 教師改進教學的有力依據。 本研究中之錯誤類型係指學生在解決國小數學領域「小數乘法」範圍中，可 能發生的錯誤，根據文獻探討發現，國小學童在學習小數乘法運算時容易產生的 錯誤類型可歸納為以下幾類，如表 2-1-1、表 2-1-2 所示： 表 2-1-1 小數乘法常見之錯誤類型 編號 小數乘法錯誤類型

1 乘法使積變大，除法使商變小（Bell, Swan & Taylor, 1981；劉曼麗，2001；周筱

亭等人，2002；陳明沂，2006) 2 忽視小數點的存在(劉曼麗，1999) 3 受到 0 的影響而將個數放在小數點後（劉曼麗，2002) 4 任何一個數乘以 0 點幾，答案就會變 0 點幾。（郭孟儒，2002) 5 將小數點遺漏或位置放錯(南一書局，2006) 6 使用正確的運算及數字，但錯在完成運算的某一個步驟上。（許淑萍，2002；整理 自方正吉，1994；吳季鴻，2001；郭正仁，2000） 7 在乘除小數時，會放錯積數的小數點或餘數的小數點(艾如昀，1994；陳永峰， 1998；簡茂發、劉湘川，1993；Hart, et al., 1981) 8 缺乏小數稠密性的概念（艾如昀，1994；杜建台，1996；陳永峰，1998；劉曼麗， 1998） 9 提出學童很難接受乘數小於 1，積會比被乘數小（林軍治，1986） 10 學生多數認為積數的小數點應對齊被乘數小數點，當 1.8×15 能獲得正確答案， 在 0.18×1.5 便遭受挑戰（劉曼麗，2004） 11 小數乘法中，數感被許多教育工作者當作是一個課程中重要的元素。只有少數學 生可以用數感去解題，如果只用點數小數點後有幾位的規則去標記小數點，將導 致錯誤的答案。（Even, & Markovits, 1993)

本研究以上述常見之錯誤類型為依據，並蒐集相關文獻及資料，諮詢專家學 者之意見，整理並定義出本研究之錯誤類型，如表 2-1-2 所示，其說明如下： 表 2-1-2 本研究之錯誤類型 代碼 錯誤類型 B1 忽略了小數乘積末位的「0」而又利用小數乘法算則來判斷 B2 乘法小數點置放，成加減法小數點置放 B3 忽視小數點的存在 B4 不知小數點的意義 B5 錯誤的直式乘法概念 B6 誤認小數乘法的積的小數位數是由高位往低位計數 B7 不會運用小數乘法算則 B8 以為乘法使積變大 B9 無法判別被乘數、乘數與積的關係 B10 乘法小數點置放，取最多小數位置放 B11 不知小數的位值概念 B12 在小數乘法文字題方面時，轉譯題意有困難 小數乘法之錯誤類型說明如下： (1)忽略了小數乘積末位的「0」而又利用小數乘法算則來判斷。 例：0.8 × 0.05，忽略 8 × 5= 40 中 40 末位的「0」，利用小數乘法算 則誤判答案為 0.004。 (2)乘法小數點置放，成加減法小數點置放。 說明：通常受到小數加減計算，小數點要對齊的影響，誤將小數點對齊 被乘數與乘數之小數點。 2.1 2 × 1.0 2

14.35。 (5)錯誤的直式乘法概念 說明：在此錯誤類型的出現常是在於乘法運算過程中，未能將算式對齊， 當乘數中有數字「0」時，更容易出現。 例：算式 3.21 × 1.02 時，誤寫成 3.21 × 1.2。 (6)誤認小數乘法的積的小數位數是由高位往低位計數 例：算式 10.9×6 時，先算 109×6＝657，再誤取小數點由高位往右取一位， 成 6.54。 (7)不會運用小數乘法算則 說明：無法從小數乘法算則中判斷積數的大小 (8)以為乘法使積變大 例：25 × 0.99 誤以為因為是乘法，結果會變大，所以判斷結果會大於 25 (9)無法判別被乘數、乘數與積的關係 說明：當被乘數與乘數均大於 0 時，積與被乘數的大小關係，由乘數是否 為 1 來判別。 (10) 乘法小數點置放，取最多小數位置放 例：算式 3.75×2.7 時，先求 375×27＝10125，再取二位小數成 101.25。 (11) 不知小數的位值概念 例 1：無法判斷 5.55 中的個位數 5 與百分位數 5 之間的倍數關係 例 2：無法判斷 5.50 與 5.5 的大小關係 (12) 在小數乘法文字題方面時，轉譯題意有困難 例：紅花布條一公尺需要 3.25 元，佩佩買 3.05 公尺的紅花布條，共需 花費多少元？誤解為小數的加法類型，如：3.25+3.05＝6.3（公尺）

第二節 知識結構理論與分析

一、知識的種類及表徵 知識的來源一直是人類所欲探討的主題，認知理論普遍認為個體知識與思考 技能的獲得歸因於特定領域結構化知識的發展，當個體在特定領域知識愈具結構 化，則愈可促進相關知識的建構或精鍊新的知識（黃湃翔、江新合、洪振方，2007）。 近來認知心理學家將知識區分為「陳述性知識」（declarative knowledge）及 「程序性知識」（procedural knowledge）兩類。所謂陳述性知識是指關於事實、 想法、物體或事件等知識，這類知識是指對事實型態資料的記憶，通常可以用符 號加以表達。此記憶又可以分為兩種形式：情節性記憶包含個人特殊經驗以及過 去事件的情節，例如：「昨天晚餐我吃了一碗牛肉麵」，又可稱為自傳式記憶；語 意性記憶是表示普遍的事實，與學習和經驗的內容有關，例如：「2 小於 4」；所 謂程序性知識係指得到認知技能，或能運用知識或策略來解決問題、思考和作決 策。程序性知識使基模相互關連，而成為心理運作的表徵模式；相對而言，陳述 性知識則為程序性知識提供心理運作的基礎。陳述性知識和程序性知識雖然不 同，但彼此關係密切，Hiebert & Lefevre (1986)認為陳述性知識和程序性知識不 可截然劃分，兩者在互動中同時發展，如解決四則運算問題的程序性知識，需用 到加、減、乘、除的陳述性知識，而四則運算的陳述性知識也在程序性知識不斷 執行當中逐漸發展形成。

二、知識結構（knowledge structures）

Shavelson (1972)指出知識結構是存在長期記憶中的認知結構，並能掌握知識 的組織特質和關係，個人可透過建構、修正和重組知識結構方式，來改變學習和 認知上的表現；江淑卿、郭生玉（1997）認為知識結構存在於長期記憶中概念間 的關係與組織，有助於個人進行儲存、提取和操弄等訊息的處理歷程。

Morton & Bekerian (1986)主張將知識結構分成「語意網路理論」與「基模理 論」兩種，其中語意網路理論較強調知識在記憶中的組織方式，而基模理論則較 重視知識在記憶中的運作歷程。語意網路理論主張人類的知識是由概念節點與概 念節點的連結關係所形成的結構化網路。因此，各節點間的關係以及概念節點如 何促使網路的活化，是語意網路理論探討的重心。而基模理論主張人類以抽象的 知識結構來表徵過去的行動或經驗。因此，訊息的儲存與提取、行動程序的組織、 目標的設定等方面，才是基模理論關注的焦點。Solso (1995)提出五種有關人類 語意組織方式的知識結構表徵，而以網路模式最具有應用價值，所謂的網路模 式，認為知識是以各個獨立單位所聯結形成的網路方式貯存在記憶中，我們之所 以能記憶每一個字的原因，乃是因為它與一個複雜的「關係網路」(network of relationships)聯結在一起的緣故（余民寧，1997）。 Ausubel(1968)認為知識結構是階層性的組織。階層性的知識結構，包含了更 多的上、下階層概念的關係。本研究結合語意網路理論中的概念節點與概念節點 的連結關係所形成的結構化網路及Ausubel在階層性的知識結構中所提有更多的 概念是包括了詳細的概念兩項重要理論，將教材單元知識結構以知識結構階層圖 來表示。如圖2-2-2所示，概念A為概念B、C的上位概念，反之概念B、C為概念A 的下位概念，或稱為先備知識，箭頭方向即是表示概念的階層關係，上位概念比 下位概念有較大的範疇和領域，要學會上位概念，必須具備所有的下位概念；反 之學會所有的下位概念，僅表示具備學習上位概念的先備知識，並不保證一定學 會了上位概念。

圖2-2-2 知識結構階層圖 張新仁（1993）認為個人在大腦神經系統中，已經學習與保留的學科知識， 包括事實、概念和原則。學習者會將所學到的知識，在腦中形成一個有組織的層 級架構，即為知識結構。 由上述可知，知識結構理論探究的重點在於：人們如何將經由表徵歷程所獲 得的知識，組織成能清楚顯示各知識概念間連結關係的知識結構。 本研究的知識結構分為專家知識結構與學生知識結構兩類，專家知識結構主 要作為編製診斷測驗試題以及編製小數乘法單元教材的依據，此結構為參考相關 文獻，根據知識結構編製原則，訂出各相關概念間的上下位次序關係，建立知識 結構草案，並邀請6位具有教學及測驗編製經驗的專家學者進行檢核，繪製出專 家知識結構；而學生知識結構乃是利用「無參數試題反應理論與試題順序結構分 析法之多點計分整合模式」(郭伯臣，1995）中所開發之試題結構分析程式作為 分析工具，從學生在診斷測驗試題的表現中，分析出學生各試題間的上、下位的 A B C D E F G H

第三節 貝氏網路

一、貝氏網路理論 貝氏網路是以貝氏定理為基礎的一種機率圖形模式，利用此方法可以將教 育測驗領域中的不確定性組合成模型(Vomlel, 2004）。貝氏網路圖形結構將變數 及變數間的影響以節點及有向連線的網路結構呈現，而貝氏證據推論則根據此網 路結構的先驗機率分布，結合所觀察到的證據訊息計算未觀察到變數之後驗機 率，再依後驗機率推論未觀察到的變數狀態。簡言之，貝氏網路係指依據網路結 構的先驗機率分布，由可觀察到的證據訊息來推論未觀察到的變數狀態。因為貝 氏網路是以非循環有向圖 (Directed Acyclic Graph, DAG)為基礎，且應用了其變 數之間的因果關係，及其相互影響的機率，所以貝氏網路也叫做貝氏信念網路、 因果關係網路、機率網路等，此模型一開始使用在遺傳理論上，後來經轉變後出 現在許多領域中，例如導航器系統、認知科學和人工智慧等領域等，因此應用範 圍十分廣泛。 貝氏網路是一個以條件機率為基礎所建構出來具方向性且非循環的有向 圖，Pearl (1988)指出：將貝氏網路中用因果關係來表示變數之間的影響，當變數 A確定有影響變數B的因果關係時，從A到B將產生一個相依的連結邊。此時， 節點A稱為節點B的親節點，而節點B稱為節點A的子節點。如圖 2-3-1 所示， 圖中的節點表示一個事件，節點之間的連線則表示事件的因果關係，而其影響程 度的強弱則藉由條件機率來表達；該網路中之節點表示隨機變數，而連結線用來 表示兩個變數間的關聯或因果關係。換言之，這個有向圖是這些變數之聯合機率 分佈的分解表示法（呂靜芳，1999）。 至於貝氏網路中的機率推理，則是根據貝氏定理來進行，所謂貝氏定理，如 式子(2.1)： P(B) P(B|A)P(A) P(A|B)= (2.1)

‧ 條件機率P(B|A)表示給予A的條件之下，B發生的機率。 ‧ 機率P(A)和機率P(B)表示A和B各自發生的機率。 ‧ P(B|A)，P(B)和P(A)在研究中是先用訓練的資料求得。 由以上貝氏定理可以看出，使用貝氏方法最大的優點即是結合事前機率(經 驗值)與樣本機率(經由訓練樣本得知)，有效地利用樣本資訊，引入經驗值來得 到理想的統計數值。相較於傳統統計方法只由樣本數統計，利用貝氏方法可以得 到更多資訊。此外，貝氏方法是利用到以前的經驗(即事前機率)，因此在分析時 不需太多樣本數即可得到不錯的結果。 貝氏網路以機率的方法來整合不確定性的功能，利用其完整的機率理論及 決策理論，來作不確定性因素的推論，而學生的錯誤法則具有不穩定性，這種不 B A C 子節點( node ) 條件機率（link） 表示連接強度 親節點( node ) 子節點( node ) 圖 2-3-1 貝氏網路非循環的有向圖

二、貝氏網路在教育上之應用 貝氏網路是近年來在一些專業領域上相當熱門的判斷方法。其在專業領域的 應用上，如生物科技及搜尋引擎等專業領域中，都有極佳的辨識效果。而在教育 測驗領域中，學習與錯誤類型的診斷因為也包含了不確定性的因素成分以及多變 項的特性，所以在教育領域中，亦逐漸受到重視。特別是在數學領域，由於它是 一門結構性較強的知識，各知識概念間的關係非常密切，更成為此工具在教育測 驗上應用的重點。目前為此，許多研究已顯示貝氏網路在數學教育領域中的錯誤 診斷上是具有其成效性，並也累積了豐富的研究成果，整理如下表所示： 表 2-3-1 貝氏網路在教育上之應用研究整理 資料來源 研究者/年份 研究內容 以 貝 氏 網 路 為 基 礎 的 國 中 數 學 相 關 因 素預測及診斷系統 劉麒峰(2005) 應用貝氏分類法，取得學生的背景資料，快速準確 分辨出學生的能力等級。 以 貝 氏 網 路 為 基 礎 的 電 腦 化 適 性 診 斷 測驗選題策略-以國 小 數 學 科 診 斷 測 驗 為例 李俊儀(2005) 將貝氏網路應用在電腦化適性診斷測驗，比較不同 選題策略，建構試題結構，提供電腦化適性診斷測 驗時，選題的依據。 貝 氏 網 路 在 教 育 測 驗分析上之應用 許雅菱(2005) 以證據中心的評量設計為基礎，依照步驟建立一個 完整的評量傳送模式，並利用四程序來傳送在此評 量傳送模式中其子模式之間的資訊，設計一份以證 據中心為設計理念的評量。 以 貝 氏 網 路 為 基 礎 之 能 力 指 標 測 驗 編 製 及 補 救 教 學 動 畫 製 作 － 以 六 年 級 數 學 領 域 之 「 比 和 比 值」相關指標為例 陳曉琪(2005) 建立一套以數學能力指標的智慧型自動化診斷系 統，並建置線上診斷評量及補救教學系統，利用貝 氏網路強大的預測功能來診斷學生具有的錯誤概 念，和了解學童是否巳學會了相關的子技能，期望 能更接近學童學習時所遭遇困難的實際情況之分 類及診斷。 以 貝 氏 網 路 建 構 適 性化學習環境 謝錦泉(2006) 利用貝氏網路建置一學習診斷系統以自動辨識每 位學習者在學習過程中顯現的特質，進而推論學習 者的學習風格及知識學習的盲點。 續後頁

表 2-3-1 貝氏網路在教育上之應用研究整理(續) 資料來源 研究者/年份 研究內容 以貝氏網路為基礎的 適性測驗電腦化的可 行性評估-以國小數 學科診斷測驗為例 林垣圻(2006) 本研究以國小四年級數學科「面積」單元為例，利 用試題證據訓練貝氏網路，選用ＡＯ*演算法來作 為選題策略，建構試題結構，以建立實體的電腦線 上診斷系統。 多重貝氏網路在教育 測驗上的應用 謝典佑(2006) 探討單一貝氏網路模組和多重貝氏網路模組在不 同融合演算法下，對於學生錯誤類型及其技能分類 之辨識率的比較。 應用貝氏網路進行國 小五年級「小數」單 元學習診斷之研究 施淑娟(2006) 以貝氏網路的方法論著手，發展學生模式與證據模 式，建立一個以貝氏網路為基礎的錯誤類型與子技 能認知診斷模式，並以特定單元「小數」作為應用 領域。研究中加入探討子技能變項、測驗資料型 態、分類決斷值以及訓練樣本大小等四個因素對貝 氏網路認知診斷模式診斷正確率之影響。 綜合上述研究結果顯示，將貝氏網路模式應用於教育領域中來診斷錯誤類型 是可行性的，藉由其所提供圖形化的觀察與強而有力的機率推理模式，能協助教 學者診斷分析出學生的錯誤類型。因此本研究將以結合知識結構及貝氏網路為基 礎，來分析推測學生具有的錯誤類型訊息，並將研究中之診斷結果能進一步轉化 為進行教師教學修正與學生補救教學的依據，研究結果亦可作為後續建立貝氏網 路的電腦化認知診斷之重要基礎。

第四節 電腦化適性診斷測驗

本節主要探討以結合知識結構與貝氏網路為基礎之電腦化適性診斷測驗的 相關文獻，一般的適性測驗可以分為以試題反應理論(IRT)為主的結構、利用知 識或試題結構為主，以及貝氏網路為基礎之電腦化適性診斷測驗。以下就將三種 性測驗分別介紹。 一、以試題反應理論為主的電腦化適性診斷測驗

根據Thissen & Steinberg (1986)的分法，所有的試題反應模式(Item Response Models)依其基本假設與參數估計時的設限不同，可以歸納為下列三大類： (一)差異模式(difference models)：適用於次序反應的資料。

(二)除總模式(divide-by-total models)：適用於次序和名義反應的資料。

(三)左加模式(left-side added models)：適用於有猜題(guessing)可能的單選題反應 資料。 雖然歸類方式不盡相同，不過到目前為止，大多數已發展出來並且已在使用 中的試題反應模式，還是以適用於二元化計分(binary scoring)的性向或成就測驗 資料為主（余民寧，1992）。 IRT 的目的在於提供試題的不變量(invariant)和能力估計值。由於IRT 試題 反應理論是針對古典測驗理論的缺失而發展出來的，所以它有幾項特色

(Hambleton & Swaminathan, 1985)，在這裡詳細說明如下：

1、在受試母群中，試題參數估計值是不受取樣的影響，不同的取樣結果只會呈 現ICC的局部區間，連結了不同的取樣結果即可完整呈現整體的ICC圖。 2、在試題的選擇中，受試者能力估計值不受取樣的影響。 3、受試者的能力可以確切估計求得。 以試題反應理論為主的電腦化適性診斷測驗，是根據考生先前的表現情形， 來決定下一階段將呈現給受試者作答的試題，而且這樣的試題是能對考生能力的 估計精確性提供做出最大訊息量。透過這樣的機制，使得測驗的長度可以縮短，

也不會犧牲測量精確性。換言之，對於高能力的受試者毋需提供較為容易的試題 作答，對於低能力的受試者，也不會有試題難度太高而造成心理上的打擊，因為 這些試題是相對於他們的能力水準來選取的。因此就電腦化適性診斷測驗來說， 不僅可以做到精確估計考生能力來進行「因材施測」，更可節省許多施測時間和 成本，優點相當明顯。 故基於IRT 理論的電腦化適性診斷測驗，將根據受試者的作答情形，依照 能力值的不同，給定不同的試題。換言之，一般以試題反應理論為基礎的電腦化 適性診斷測驗，施測結果為一能力值或量尺分數。 由於學生的錯誤類型並不具順序性或線性排列，即並非所有學生皆會先出現 錯誤類型1而後才出現錯誤類型2，因此無法單獨將錯誤類型與某一分數進行對 應，只能根據受試者的作答情形，依照能力值的不同，給定不同試題。換言之， 一般以試題反應理論為基礎的電腦化適性診斷測驗，施測結果為一能力值或量尺 分數。所以IRT 本身並不適用診斷測驗上，較適合用在成就測驗，如國中基本學 力測驗。使用以估計分數為目的之適性測驗來進行學習診斷，所提供的訊息相當 有限。 二、以知識或試題結構為主的電腦化適性診斷測驗 郭伯臣、謝友振、張峻豪、蔡坤穎（2005）的研究結果顯示使用學生試題結 構之電腦化適性診斷測驗演算法，在節省試題和預測精準度兩方面都有最佳的表 現，研究中比較了三種估計試題結構方法，Airasian, & Bart(1973)所研發之「順

至於如何以學生試題結構作為電腦適性診斷測驗選題策略的依據，何政翰 （2004）研究指出根據學生試題結構中各相關概念間之上下位次序關係，可達到 節省施測題數之成效。以圖2-4-1之學生知識結構為例，如在紙筆診斷測驗中需 施測圖中概念A-H所有試題，才能得知學生的學習情況，但在電腦化適性診斷測 驗中，A為最上位試題，若A題答對，則代表以下B至H的下位概念試題都可以不必 施測，若受試者答錯概念A的試題，則需進一步往下施測概念B和C的試題，如概 念C錯、概念B對，在電腦化適性診斷測驗中僅需再施測概念G和H兩試題，因此就 可以節省概念D、E、F等試題。 圖 2-4-1 學生知識結構圖 三、以貝氏網路為基礎之電腦化適性診斷測驗 貝氏網路是一種以貝氏理論為基礎，且非常強大的知識表現方法和推論的工 具，可以用來說明變項間相互影響程度的機率關係，在人工智慧領域相當的熱 門，且廣泛的應用於醫學、工程等方面，而其在預測及診斷上的能力，近來也被 應用於教育的研究上（李俊儀，2005）。 研究指出，如果運用以證據為中心的評量設計所定義的貝氏網路結構圖，將 學生的作答資料分成訓練資料和測試資料，將訓練資料用來訓練貝氏網路函式的 參數，作為將來推論運算所需；測試資料則當作學生作答的證據，利用其聯合樹 的推論方法，可算出聯合機率，用以推論學生所具有的錯誤類型和子技能（郭伯 臣、李俊儀、許雅菱、林文質，2005）。 A B C D E F G H

因此，利用貝氏網路的優點，將其應用到電腦化適性診斷測驗，不但具有電 腦化適性診斷測驗的優點，更能利用貝氏網路的推論能力，取得學生的背景資 料，快速準確分辨出學生的能力等級，進一步地針對學生的錯誤類型、子技能來 進行電腦補救教學（劉麒峰，2003）。 綜合上述三種電腦化適性診斷測驗的優缺點，本研究將採用以結合知識結構 及貝氏網路為基礎的電腦化適性診斷測驗作為診斷學生錯誤類型及子技能的診 斷工具。

第五節 補救教學

補救教學主要的工作在於先發現與診斷學習的困難所在之處，再利用適當的 補救教學幫助低成就學生解決學習上的問題，以提高學生學習的效果。因此，補 救教學的實施應依據評量測驗後之分析結果來進行，並可針對學童個人的評量結 果，更進一步理解學生既有的知識與經驗，藉此可從中找出學生易發生的錯誤類 型，發現其學習上的問題並加以輔導修正。王惠美（2002）也提到許多學習評鑑 系統在評估學生學習成果時，往往只是計算答題結果，顯示學習者答對或答錯的 題數，或僅止於診斷學習者的錯誤型態，並無法進一步地分析每一種概念迷失背 後的原因。 基於上述補救教學原則，適性補救教學的模式便因應而生，根據林立敏、白 曉珊、郭伯臣、劉育隆（2007)提出適性補救教學可分為二種：一是以電腦為基 礎之適性補救教學(computer-based adaptive remedial instruction，簡稱CBRI)，另 一 則 是 以 教 師 為 基 礎 之 適 性 補 救 教 學 (teacher-based adaptive remedial instruction，簡稱TBRI)。以下就針對二種類型的適性補救模式加以說明。 一、以電腦為基礎之線上動畫補救教學 以知識結構為基礎之線上動畫補救教學是依據專家知識結構圖中的概念節 點進行設計，製作符合概念節點的多媒體動畫補救教學教材（李淑娟，2006）。 動畫補救教學的實施是根據受試者適性診斷測驗分析而得的錯誤概念來進行的 電腦化適性補救教學，不同能力的受試者所呈現的學習困難和迷思概念皆有所不 同，透過適性診斷測驗可精確的分析出來，進而讓受試者能針對學習上的迷思概 念，進行即時線上補救教學，可達成補救教學中適性化與個別化的目標。 學生的錯誤概念以電腦輔助教學設備進行補救，是接受設定好的電腦程式進 行補救，已有相關之研究（黃碧雲，2005；蔡昆穎，2004），指出此種方式具有 一定之成效，但其缺點是學生在進行補救時產生的問題可能無法立即解決，且教 學現場必須準備足夠的軟、硬體設備，對現行小學來說亦有經費上的困難。

二、以教師為基礎之個別補救教學 以教師為基礎之適性補救教學，是以人力進行補救教學，教師必須在學生進 行測驗後針對學生的錯誤概念，配合學生需求，以教材和學生練習本等工具進行 補救教學，此種模式教師能依學生個別差異給予立即指導。洪素敏（2004）研究 指出老師適當的介入，給予線索、協助探索，是有正面的教育意義的。其一，可 以減少學生的嘗試錯誤率；其二，減少浪費太多的時間；其三，讓學生能朝正確 的歷程邁進。因此，教師在補救教學中的角色，結合具體與半具體的操作學習於 整個補救教學活動中，給予學生多方面的感覺經驗，從瞭解、互動與溝通到學習 的引導，是電腦所無法達成的。就補救教學的本質來說，它可以看做是教師教學 活動的一部分，而這個教學措施是適應學生個別差異的具體實踐，也可以看做是 「適性化教育」的落實（施淑娟、吳玫君、許天維、陳淑勤，2008）。 由上述綜合，根據錯誤類型所設計之補救教學，可大量節省補救的時間與提 高教學成效，而本研究考量教學環境的設備及教師所扮演的角色，採用以教師為 基礎之團班補救教學。教師依據適性測驗的診斷報告書，找出學生的錯誤類型， 從錯誤人數最多的重點開始指導，指導模式為教師參照研究者所自編的「教學手 冊」之補救教學結構圖所建議路徑，利用學生的補救教材─「學生加油手冊」（每 位一本），先在黑板上進行重點指導，再藉由提問及行間巡視，進行 40 分鐘的團 班補救教學。

第三章 研究方法

本章主要在說明結合知識結構理論及貝氏網路來進行小數乘法單元課程設 計與評量研發的研究方法與步驟。本章就整個研究流程、研究對象、研究工具、 資料的處理與分析加以討論，茲說明如下：

第一節 研究流程

本研究根據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，針對五年級 「小數乘法」單元能力指標（5-n-09），建立專家知識結構與貝氏網路，將能力 指標試題化。編製試題後，進行紙筆測驗，然後依據預試結果，分析學生作答情 形，建立能力指標的學生試題結構，藉以安排電腦化適性測驗流程，建立題庫。 另一方面，依據專家知識結構與貝氏網路，針對各個節點概念與錯誤類型， 編製「小數乘法」單元教材；並依據預試所得結果，分析學生知識結構並結合專 家知識結構建立補救教學結構，據以編製補救教材。 電腦化適性診斷系統完成後，確認系統無誤，接下來便進行教學實驗，先進 行自編教材的教學活動，再進行電腦化適性診斷測驗及補救教學，藉由實驗結 果，評估自編教材的教學成效、補救教學成效及適性診斷系統的成效，本研究之 流程如圖 3-1-1 所示。

擬定研究方向及範圍 蒐集小數乘法相關文獻資料 建立相關錯誤類型與子技能資料 建立貝氏網路架構 建立專家知識結構 編製測驗試題 預試並批閱建檔 修正預試題目 分析學生知識結構 結合專家及學生知識結構 以編製補救教學結構 紙筆測驗 轉化線上適性測驗 自編小數乘法單元教材與補救教材

以下將對研究主要流程逐項加以敘述說明： 一、建立相關錯誤類型與子技能資料 本研究根據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要之能力指標 5-n-09，蒐集「小數乘法」相關文獻及資料，諮詢專家學者之意見，整理出學童 在學習小數乘法的範圍中，須具備之子技能（表3-1-1）及可能發生的錯誤類型 （表3-1-2），以作為研究中試題選項編製之依據。 表 3-1-1 本研究之子技能一覽表 編號 子技能 5-n-09-S01 能解決一位小數乘以整數的直式問題 5-n-09-S02 能解決一位小數乘以整數的應用問題 5-n-09-S03 能解決二位小數乘以整數的直式問題 5-n-09-S04 能解決二位小數乘以整數的應用問題 5-n-09-S05 能解決整數乘以一位小數的直式問題 5-n-09-S06 能解決整數乘以一位小數的應用問題 5-n-09-S07 能解決整數乘以二位小數的直式問題 5-n-09-S08 能解決整數乘以二位小數的應用問題 5-n-09-S09 能解決一位小數乘以一位小數的直式問題 5-n-09-S10 能解決一位小數乘以一位小數的應用問題 5-n-09-S11 能解決一位小數乘以二位小數的應用問題 5-n-09-S12 能解決一位小數乘以二位小數的直式問題 5-n-09-S13 能解決二位小數乘以一位小數的直式問題 5-n-09-S14 能解決二位小數乘以一位小數的應用問題 55-n-09-S15 能解決二位小數乘以二位小數的直式問題 5-n-09-S16 能解決二位小數乘以二位小數的應用問題 5-n-09-S17 能知道小數乘法的積的小數位數等於被乘數與乘數小數位數的和 5-n-09-S18 能了解積的末位或末幾位的 0，寫答時可以省略，其值不變 5-n-09-S19 能了解積的位數不夠點小數點時，要用 0 補足，再點小數點 5-n-09-S20 能判別被乘數大於 0，乘數等於 1 時，所得的積等於被乘數 5-n-09-S21 能判別被乘數和乘數都大於 0，乘數小於 1 時，所得的積比被乘數小 5-n-09-S22 能判別被乘數和乘數都大於 0，而乘數大於 1 時，所得的積比被乘數大 5-n-09-S23 能判別小數乘以 10、100、1000 的小數點移位問題 5-n-09-S24 能判別小數乘以 0.1、0.01、0.001 的小數點移位問題 5-n-09-S25 透過小數點的位移，能了解新數與原數的倍數關係 5-n-09-S26 能運用小數乘法算則，判斷積的大小

表 3-1-2 本研究之錯誤類型一覽表 編號 錯誤類型 B01 忽略了小數乘積末位的「0」而又利用小數乘法算則來判斷 B02 乘法小數點置放，成加減法小數點置放 B03 忽視小數點的存在 B04 不知小數點的意義 B05 錯誤的直式乘法概念 B06 誤認小數乘法的積的小數位數是由高位往低位計數 B07 不會運用小數乘法算則 B08 以為乘法使積變大 B09 無法判別被乘數、乘數與積的關係 B10 乘法小數點置放，取最多小數位置放 B11 不知小數的位值概念 B12 在小數乘法文字題方面時，轉譯題意有困難 二、建立能力指標主題之專家知識結構及貝氏網路架構 本研究以知識結構及貝氏網路作為電腦診斷測驗系統的試題編製及教材編 製的依據，依教育部（2003）所訂的九年一貫數學領域五年級小數乘法能力指標 （5-n-09 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題）分析各子技 能間之知識結構關係，研究者先行擬定初稿後再邀請6位具有教學及測驗編製經 驗的專家學者討論協商，繪製「小數乘法」之貝氏網路結構圖初稿，如圖3-1-2 所示，右一為五年級學童所需具備小數乘法之能力指標；右二為該能力指標下所

圖 3-1-2 小數乘法之貝氏網路圖初稿 5-n-09 Item 1 Item 2 Item 3 Item 4 Item 5 Item 6 Item 10 Item 13 Item 14 Item 15 Item 7 Item 8 Item 9 Item 16 Item 20 Item 21 Item 22 Item 23 Item 24 Item 25 Item 17 Item 18 Item 19 Item 26 Item 29 Item 30 Item 31 Item 32 Item 33 Item 34 Item 27 Item 28 Item 35 Item 36 Item 11 Item 12 B01 B02 B03 B04 B05 B06 B07 B08 B09 B10 B11 B12 5-n-09-S01 5-n-09- S02 5-n-09- S03 5-n-09- S04 5-n-09- S05 5-n-09- S06 5-n-09- S07 5-n-09- S08 5-n-09- S16 5-n-09- S19 5-n-09- S22 5-n-09- S23 5-n-09- S09 5-n-09- S11 5-n-09- S12 5-n-09- S13 5-n-09- S18 5-n-09- S17 5-n-09- S10 5-n-09-S21 5-n-09- S00 5-n-09- S14 5-n-09- S15 5-n-09- S24 5-n-09- S26 5-n-09- S25

(5-n-09-S18) 能了解積的末位或 末幾位的 0，寫答 時可以省略，其值 不變 (5-n-09-S17) 能知道小數乘法的積的 小數位數等於被乘數與 乘數小數位數的和 (5-n-09-S19) 能了解積的位數不 夠點小數點時，要 用 0 補足，再點小 數點 (5-n-09-S21) 能判別被乘數和乘 數都大於 0，乘數 小於 1 時，所得的 積比被乘數小 (5-n-09-S22) 能判別被乘數和乘 數都大於 0，而乘 數大於 1 時，所得 的積比被乘數大 (5-n-09-S26) 能運用小數乘法算 則，判斷積的大小 (5-n-09-S20) 能判別被乘數大於 0，乘數等於 1 時，所 得的積等於被乘數 (5-n-09-S25) 透過小數點的位 移，能了解新數與 原數的倍數關係 (5-n-09-S24) 能判別小數乘以 0.1、0.01、0.001 的小數點移位問題 (5-n-09-S23) 能判別小數乘以 10、100、1000 的 小數點移位問題 (5-n-09-S16) 能解決二位小數乘以 二位小數的應用問題 (5-n-09-S11) 能解決一位小數乘以 二位小數的應用問題 (5-n-09-S14) 能解決二位小數乘以 一位小數的應用問題 (5-n-09-S15) 能解決二位小數乘以 二位小數的直式問題 (5-n-09-S10) 能解決一位小數乘以 一位小數的應用問題 (5-n-09-S12) 能解決一位小數乘以 二位小數的直式問題 (5-n-09-S13) 能解決二位小數乘以 一位小數的直式問題 (5-n-09-S9) 能解決一位小數乘以 一位小數的直式問題 (5-n-09-S7) 能解決整數乘以二位 小數的直式問題 (5-n-09-S8) 能解決整數乘以二位 小數的應用問題

三、編製測驗試題 建立專家知識結構後，依此結構，編製診斷測驗之試題，本研究為了建置電 腦化適性診斷測驗系統之題庫，需先將知識結構試題化，其試題化的方法則依據 「電腦化適性診斷測驗之研究」（陳怡如、吳慧珉、黃碧雲，2004；趙琬津，2006） 所提出的流程來編製，知識結構試題化流程如圖 3-1-4 所示。此外，為配合電腦 線上施測，本研究試題皆以選擇題形式呈現，貝氏網路中的錯誤類型則提供設計 具誘答力選項之依據，每一個子技能節點編製約 1～2 題試題，並邀請上述 6 位 具有教學及測驗編製經驗的專家學者檢核試題，試卷題目共計 36 個試題（附錄 一），表 3-1-3 為本研究試題設計例示，呈現子技能 S16「能解決二位小數乘以 二位小數的應用問題」的試題與其相關錯誤類型，題號 1、101、102 分別是代表 前測、後測及延後測的題目，在反應類型的欄位，◎代表正確的選項，其餘三項 則為誘答選項，分別代表一個錯誤類型及可能解法。本研究之測驗試題與錯誤類 型及子技能對應表如表 3-1-4。 圖 3-1-4 知識結構試題化流程圖 資料來源:整理自趙琬津(2006:28)。 知識結構試題化 試題組卷 知識結構 命題檢核表 編製試題 教材內容 知識結構的草案 知識結構的檢核表 能力指標的解讀

表 3-1-3 試題設計例示 編號 (S16) 能解決二位小數乘以二位小數的應用問題 題目 （ ） 1.自用小客車，每消耗汽油 1 公升可行駛 8.45 公里，若油箱內 還有 1.07 公升的汽油，請問最多共可行駛多少公里？ c 9.0415 d 9.52 e 14.365 f 904.15 選項 選項 1 選項 2 選項 3 選項 4 反應 類型 ◎ 8.45×1.07＝ 9.0415 （B12）在小數乘 法文字題方面 時，轉譯題意有 困難 【誤解】 8.45+1.07＝ 9.52 （B5）錯誤的直 式乘法概念 【誤解】 8.45×1.7＝ 14.365 （B2）乘法小數 點置放，成加減 法小數點置放 【誤解】 845×107＝ 90415 取小數點成 904.15 題目 （ ）101.水龍頭 1 分鐘流出水 3.85 公升的水量，請問 2.05 分共流出多 少公升的水量？ c 5.9 d 8.0975 e 9.875 f 8097.5 選項 選項 1 選項 2 選項 3 選項 4 反應 類型 （B12）在小數乘 法文字題方面 時，轉譯題意有困 難 【誤解】 3.85+2.05＝5.9 ◎ 3.95×2.05＝ 8.0975 （B5）錯誤的直 式乘法概念 【誤解】 3.95×2.5＝ 9.875 （B2）乘法小數 點置放，成加減 法小數點置放 【誤解】 395×205＝ 80975 取小數點成 809.75 題目 （ ）102.紅花布條一公尺需要 3.25 元，佩佩買 3.05 公尺的紅花布條， 共需花費多少元？ c 6.3 d 11.375 e 11.375 f 991.25 選項 選項 1 選項 2 選項 3 選項 4

表 3-1-4 測驗試題與錯誤類型及子技能對應表 代碼 錯誤類型 對應子技能 對應試題 B1 忽略了小數乘積末位的「0」而 又利用小數乘法算則來判斷 S3、S5、S11、S12、 S19 3、5、11、12、19 B2 乘法小數點置放，成加減法小數 點置放 S9、S10、S15、S16 9、10、15、16 B3 忽視小數點的存在 S1、S2 1、2 B4 不知小數點的意義 S1、S2、S3、S4、S6、 S7、S8 1、2、3、4、6、7、 8 B5 錯誤的直式乘法概念 S1、S5、S7、S8、S9、 S10、S11、S12、S13、 S14、S15、S16、S19 1、5、7、8、9、 10、11、12、13、 14、15、16、19 B6 誤認小數乘法的積的小數位數 是由高位往低位計數 S4、S6、S7、S9、S13、 S14、S15 4、6、7、9、13、 14、15 B7 不會運用小數乘法算則 S17、S20、S26 17、20、26、27、 32、33、36 B8 以為乘法使積變大 S21 21 B9 無法判別被乘數、乘數與積的關 係 S21、S22 21、22、28、29 B10 乘法小數點置放，取最多小數位 置放 S11、S13、S14 11、13、14 B11 不知小數的位值概念 S18、S23、S24、S25 18、23、24、25、 30、31、34、35 B12 在小數乘法文字題方面時，轉譯 題意有困難 S2、S11、S16 2、11、16 四、預試及分析學生知識結構 本研究將「小數乘法」單元的知識結構試題化後，共編製成 3 份試卷，其中， 卷 2、卷 3 為卷 1 的複本測驗。每份試卷為 36 題，並請九十六學年度已完成「小 數乘法」單元的六年級學生進行卷 1 的紙筆測驗，受試者需在一節課的時間內施 測，若是時間不足，視情況延長時間。之後再將受試者的作答情形及基本資料在 電腦上建檔，檔案資料包含學校代號、班別、座號及作答情形。將學生的作答情 形輸入電腦後，利用Microsoft Excel 比對正確答案，再依其資料進行試題分析與 學生知識結構分析。

本研究利用二元記分OT 電腦軟體分析，找出適當的學生能力指標內的試題 結構，其理論基礎源於Airasian & Bart (1973)的順序理論(ordering theory;簡稱 OT)，分析工具採用「無參數試題反應理論與試題順序結構分析法之多點計分整 合模式」（郭伯臣，1995）中所開發之試題結構分析程式。用此分析學生之試題 結構關係，其結果不僅作為電腦適性化出題的依據，為電腦化適性診斷測驗建立 適當的試題選題結構，以達到省題的目的，同時亦作為編製補救教學結構的依 據。圖 3-1-5 為 OT 程式分析預試試題之小數乘法試題結構圖，圖 3-1-6 及圖 3-1-7 為小數乘法部分試題結構圖，圖 3-1-8 則為將部分小數乘法試題結構圖轉化成學 生知識結構圖，圖 3-1-9 為經分析後的完整學生知識結構圖，虛線代表經 OT 程 式分析後的學生知識結構之子技能上下位關係，實線則代表原本專家知識結構之 子技能上下位關係。

圖 3-1-6 小數乘法之部分試題結構圖 圖 3-1-7 小數乘法之部分試題結構圖 圖 3-1-8 小數乘法部分學生結構圖 5-n-09-s14 5-n-09-s13 5-n-09-s15 5-n-09-s12 5-n-09-s11 5-n-09-s16

圖 3-1-9 小數乘法學生知識結構圖 5-n-09-S18 5-n-09-S17 5-n-09-S19 5-n-09-S21 5-n-09-S22 5-n-09-S26 5-n-09-S20 5-n-09-S25 5-n-09-S24 5-n-09-S23 5-n-09-S16 5-n-09-S11 5-n-09-S14 5-n-09-S15 5-n-09-S10 5-n-09-S12 5-n-09-S13 5-n-09-S09 5-n-09-S03 5-n-09-S01 5-n-09-S04 5-n-09-S02 5-n-09-S05 5-n-09-S07 5-n-09-S08 5-n-09-S06

圖 3-1-10 補救教學結構圖 六、實驗階段 此階段重點在於探討以知識結構及貝氏網路為基礎之自編「小數乘法」單元 教材、補救教材及電腦化適性診斷測驗在實際教學現場之成效如何？是否能有效 提升學生學習成果？本研究之實驗設計是採準實驗不等前後測控制組設計，實驗 時間為97年4月～5月，為期1個月左右。 實驗流程圖如圖3-1-11，以下就整個實驗流程加以說明： （一）實驗流程 5-n-09-S18 5-n-09-S17 5-n-09-S19 5-n-09-S21 5-n-09-S22 5-n-09-S26 5-n-09-S20 5-n-09-S25 5-n-09-S24 5-n-09-S23 5-n-09-S16 5-n-09-S11 5-n-09-S14 5-n-09-S15 5-n-09-S10 5-n-09-S12 5-n-09-S13 5-n-09-S09 5-n-09-S03 5-n-09-S01 5-n-09-S04 5-n-09-S02 5-n-09-S05 5-n-09-S07 5-n-09-S08 5-n-09-S06

1、實驗第一階段 此階段主要探討自編教材與現行教材的教學成效。實驗組採用以知識結構及 貝氏網路為基礎的自編「小數乘法」教材，控制組則採用現行教材，兩組班級均 進行 5 節課的團班教學活動，課程教學後，再進行 40 分鐘的電腦化適性診斷測 驗（前測）。本研究之實驗組教師均有 4～5 年的教學經驗，在教學活動之前， 亦接受 3 個小時以上的課前教學講習，以瞭解研究者所編製的教材內容與使用方 法。 2、實驗第二階段： 此階段主要探討不同補救教學模式之學習成效。受試者接受前測之後，實驗 組教師依據適性測驗的診斷報告書，找出學生的錯誤類型，從錯誤人數最多的重 點開始指導，指導模式為教師參照研究者所自編的「教學手冊」之補救教學結構 圖所建議路徑（圖 3-1-11），利用學生的補救教材─「學生加油手冊」（每位一 本），先在黑板上進行重點指導，再藉由提問及行間巡視，進行 40 分鐘的團班補 救教學；而控制組則進行一般試卷的檢討。各組經一節課的補救教學後，接下來 進行第二次的電腦化適性診斷測驗（後測）。 3、實驗第三階段： 第二階段結束後，約隔 4～5 週的時間，實驗組與控制組之受試者再進行第 三次的電腦化適性診斷測驗（延後測）。本階段主要探討兩組受試者，經過一段 時間後，所學的知識概念之學後保留程度，進而比較兩組不同教材及補救教學模