本節將就研究中所採用之研究方法的基本方法論作介紹。本研究採用數學規劃中 的非線性整數規劃，並以多目標規劃進行決策。數學規劃之基本形式如式 2-1 所示：
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i = 1,2,….m (2-1)
其中 X=(x1,....,xn)為決策變數，f( X)為目標函數，
g
i(x)為第 i 條限制式，m 為限制 條件總數。數學規劃的類型大致可分為線性規劃、非線性規劃、動態規劃、整數規劃、多階層規劃等五種，本節將針對非線性規劃與整數規劃作介紹，並介紹多目標規劃。
2.3.1 非線性規劃與整數規劃
相對於線性規劃而言，若 f( X)以及
g
i(x)中有任一函數不是決策變數之線性函 數，則稱其為非線性規劃模式(NLP)。馮正民與邱裕鈞於研究分析方法一書中整理出非 線性規劃問題可分為以下幾種：a. 無限制式的非線性規劃：即只有非線性之目標函數而沒有限制式之非線性規劃。此 類問題通常以偏微分方式求解。
b. 線性限制式的非線性規劃：限制式為線性函數，而目標式為非線性。
c. 二次規劃：此為線性限制式的非線性規劃之特殊狀況，即目標式為二次函數，而限 制式均為線性的狀況。
d. 凸規劃：目標式為凹函數而限制式為凸函數。此類問題之局部最佳解即為整體最佳 解。
e. 非凸規劃：不是凸規劃之非線性規劃即稱為非凸規劃。由於其局部最佳解未必為整 體最佳解，故暫無演算法可保證求得最佳解。
f. 可分割規劃：目標式與限制式均為可分割函數，即可表示為 N 個單變數之和。
g. 幾何規劃：目標式與限制式均為幾何函數。
h. 隨機規劃：目標式與限制式部分係數為隨機變數。
一般而言，含限制式之非線性規劃有所謂 KKT 條件：
β
ii x
T S
X f
g MAX
≤ ) ( .
) (
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(2-2) 若f( X)為凹函數，
g
i(x)均為凸函數，則式 2-2 的 KKT 條件為最佳解的充分條件。而 整數規劃則是指在模式中決策變數∈整數集合的狀況。而若決策變數∈{0,1}，則稱為 0-1 整數規劃問題，亦即組合最佳化問題。2.3.2 多目標規劃
如前所述，一般數學規劃僅針對單一目標求解，但是實際進行決策時，決策者往 往需要同時針對多種目標評準以進行決策。但是對於實際面對的狀況而言，這些目標 與評準往往彼此衝突。如本研究所探討的問題，上游成員的利潤即是下游成員的成本，
而彼此皆希望追求成本最小利潤最大的情況下，衝突就此產生。於是如何在這些互斥 的目標下求取妥協的結果，即是多目標規劃重要的目的。
根據 Hwang 和 Masud (1979)指出，多目標的特性有(1)可量化的目標；(2)定義清 楚的限制因素；(3)獲得權衡(trade-off)的程序。多目標規劃即是在一組可量化的目 標與定義清楚的限制下，於權衡的過程中，探討各目標的影響，求出非劣解。其間的 關係如圖 2-8 所示：
i u
x i u g
x i g
x g x
f
i i i i
m
i i
∀
∀
∀
∑∇
≥
=
≤
=
−
∇
=
0 ) 0 (
) 0 (
) 0 ( )
(
1
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圖 2-8 衝突目標示意圖
Z1與 Z2各有其最佳解，因最佳解不同，遷就任何一方則必須犧牲另一方之目標。
多目標規劃即是在可行解的範圍下經由權衡取得非劣解。非劣解又稱折衷解或柏雷圖 解(Pareto＇s solution)，其意義在於若模式已求出非劣解，則無法在不損失其中一 組目標值的情況下改善其他目標值，亦即各目標已達經濟學之柏雷圖最佳(Pareto optimality)境界。王斌偉整理出兩項 Pareto 最適解的定義：
若有一多目標式如式 2-3 所示： 關於多目標規劃之求解方法，Hwang 和 Masud(1979)提出可分為四種類型：
X1
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1. 決策者完全不提供偏好資訊：問題認定、目標函數與限制式決定後，決策者 不提供主觀之偏好資訊，僅接受分析者求解所得到之結果。
2. 決策者事先提供偏好資訊：在求解之前，決策者便提供自身偏好，所求得之 解將為決策者之偏好解。
3. 決策者事後提供偏好：分析者於分析後提出所有或大部分非劣解，再由決策 者選擇其滿意解。
4. 決策者漸進提供偏好：即為互動法，此法基於決策者對問題之認知與理解程 度，受決策情況與所處環境之影響。因此決策者僅能提供局部偏好資訊，進行 多次反覆過程後，逐漸求得一滿意解。
因為本研究著眼於無政策干擾下之自由市場，故將以決策者完全不提供偏好資訊 的情況進行研究。以下介紹兩種在決策者完全不提供偏好資訊的情況下常用的求解方 法：
ε－限制法主要是將求解重點放在多個目標中最重要的一個，而將其他目標各設 定一可接受水準，再轉為限制條件，使原有多目標問題轉變為單目標問題，再以一般 數學規劃解法求解。以兩個目標式之多目標規劃為例，若決策者較重視其中之一目標，
則使此目標為目標式，另外調查決策者對於另一目標之最低要求(ε)，使此目標成為 限制條件（例如：g(x)> ε）。其意義為，在次要目標可達成 ε 水準下，主要目標之 最佳解。
整體準則法為求取正理想解與妥協解之間的差距最小化。其將各目標距離最 佳解的比例加總，而成為單目標問題。其目標函數的意義為使多目標最佳解距離 各目標最佳解極小。而由於各目標之單位與尺度不同，故各目標與最佳值間的距 離須先予以標準化。因此，對 K 個目標式而言，可轉換其目標式為：
其所求得解之意義為使 k 目標最接近正理想解的解。距離參數 d 表示距離之權重，
若 d 越大，則距離差越大者，影響力越大。而 Boychuk&Ovchinnikov 曾提出研究認為
( ) ( )
∑ ( ) ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
k
d
f x f x f x
k k k
*
*
min
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當 d=1 時即可求出滿意之解，故本研究採用 d=1 求其妥協解。