第三章 研究方法與數據來源
第二節 研究方法
本研究擬先藉複迴歸分析探討影響生育率之可能相關因素，其中包括房價 因子；再應用因果分析及共整合分析探討生育 率及房價間是否具顯著之領先落後 關係，分析方法詳述如下。
壹、 複迴歸分析
本研究欲探討房價、失業 率、物價、經濟成長、女性教育程度與國民所得對 生育率的影響，而研究兩個以上的解釋變數對被解釋變數的影響之研究方法即為 所謂的複迴歸分析方法（multiple regression analysis），又稱為多元迴歸方 程式（林惠玲、陳正倉，2006）。本研究之複迴歸方程式為：
Yi = α + β1X1i + β2X2i + β3X3i + β4X4i + β5X5i + β6X6i + εi （1）
式中X1i,…, X6i為解釋變數，共有六個。α, β1,…,β6為迴歸參數，其中 α為截距，β1,…,β6為偏迴歸係數（partial regression coefficient），又 稱迴歸係數。
估計時利用普通最小平方法（ Ordinary Least Square，簡稱OLS），根據 Gauss-Markov 定理， OLS 為線性不偏估計式中變異數最小的估計式（ Best Linear Unbiased Estimator，簡稱BLUE），亦即最有效 率。
估 計 時利 用 普 通 最 小 平 方 法 （ Ordinary Least Square ， 簡 稱 OLS ） ， 根 據 Gauss-Markov 定理， OLS 為線性不偏估計式中變異數最小的估計式（ Best Linear Unbiased Estimator，簡稱BLUE），亦即最有效率。
貳、 單根檢定
然而，傳統的迴歸分析方法如普通最小平方法，皆假設經濟變數的時間數 列是穩定的（stationary）時間數列，亦即殘差項的平均值須為0，同時變異數 須為一固定常數。若時間數列非為穩定時，而仍使用傳統的迴歸分析法進行分析，
所估計之結果可能產生假性迴歸（spurious regression）的情形。易言之，估 計值將不具有一致性且可能高估判定係數，而殘差項的變異數將隨時間經過而趨 近於無窮大，最後使用此資 料所建構的模型，其估計與實證出來的結果將不具意 義。根據Granger 與Newbold（1974）指出，大部分經濟變數的時間數列，皆具 有非穩定的特性。因此，進 行時間數列分析前，須先對變數進行穩定性的檢定。
由於本研究所使用的資料，是屬於時間序列數值。因此，在進行時間序列分 析之前，須先檢定該資 料是否為一恆定狀態，具此再以計量模型進行分析與預測，
其結果才有實質意涵。一般常用之檢定方法很多，如：Dickey ＆ Fuller（1979）
的DF 檢定、Augmented DF test（1981）的ADF 檢定、Phillips-Perron（1986）
的PP 檢定等，PP 檢定與前者之不同在於該檢定允許模型的殘差項具有自我相關 與異質變異。本研究將使用Dickey and Fuller（1981）所提出之ADF 檢定法及 Phillips-Perron（1986）的PP 檢定，檢驗變 數之時間序列資料是否呈定態。其 檢方式如下:
一、 ADF 單根檢定
ADF 單根檢定與DF 檢定最大的差異，在於DF 檢定未將殘差可能存在自我 相 關 的 問 題 納 入 考 慮 ， 導 致 殘 差 項不 再 符 合 iid （ independent identical distribution）之假設，其檢定結果因而受質疑。而ADF 檢定將原DF 檢定的迴 歸式加入被解釋變數的落差項（lagged left-hand-side variables），透過最 適落後期數之選擇使殘差向成為白噪音（white noise），因此ADF 亦可稱為DF 檢 定之擴充模型。而ADF的模型有三種：
1. 不含截距項與時間趨勢之模型
（2）
2. 含截距項但無時間趨勢之模型
3. 含截距項與時間趨勢之模型
其中ΔYt = Yt-Yt-1，Δ為一階差分，Yt為預測變數，α0為截距項，β為 判定係數，t 為時間趨勢項，εt為殘差項。其檢定假設為：
H0：β＝0 （表示Yt數列存在單根，為非定態序列）
H1：β ≠ 0 （表示Yt數列不存在單根，為定態序列）
在進行檢定時，若無法拒絕H0，則表示該時間序列資料為非為穩定狀態，即 該數列存在單根，必須經由差分轉換處理，再重複進行單根檢定，直至序列資料 呈現穩定狀態。
二、 PP 檢定
DF 檢定與ADF 檢定所隱含的殘差須無自我相關且具有同質變異，但並非所 有序列均滿足此條件，而PP 檢定允許檢定式的殘差具自我相關和異質變異，故 本研究另利用PP 檢定以輔助ADF 檢定。該檢定所用之臨界值及檢定假說與 ADF 相同，即若拒絕須無假設，則為穩定序列。
ΔYt =α0 +βYt-1 +∑ki=1γiΔYt-1+εt （3）
ΔYt= βYt-1+ ∑ γki=1 iΔYt-1 + εt
(2)
ΔYt =α0+α1t+βYt-1 +∑ki=1γiΔYt-1+εt （4）
三、 共整合分析
由於許多經濟變數都是具有時間趨勢的非穩定狀態(如本研究的人均CPI等)，
若直接利用傳統迴歸方法進行估計，會產生「虛假迴歸」的問題。因此，常見的 解決方式是，就變數水準值進行差分7
文獻上較常見的共整合分析，早期有Engle & Granger(1987)的兩階段分析法，
1990 年代以後則以Johansen & Juselius(1990)的最大概似共整合分析法為主流，
各分述如下：
，讓變數成為穩定數列後再加以估計。但 在進行差分時，常常可能因為過度差分而喪失資料所包含的訊息。因此，另一種 策略則是利用變數間的長期均衡關係，亦即共整合(cointegration) 分析，直接 針對變數的水準值進行估計。
1. Engle & Granger 兩階段程序法
Engle and Granger 於1987 提出共整合（co-integration）理論，其定義 是將一組非定態之時間序列變數經由線性組合成定態，則稱這些變數具有「共整 合」關係。此方法可有效避免資 料經由差分後而喪失原本長期趨於均衡值的型態，
且可避免假性迴歸發生。該 理論之主要目的是將兩非定態之時間序列資料，整合 為一定態線性組合，經過單根檢定使各變數之整合階次相同，達到「同階定態」
的形式，次而探討變數間是否存在長期穩定的關係。
本研究之兩主要時間序列變數為房價（HPIt）與生育率（TFRt），將其原始 資料經過ADF 單根檢定後，確立並整合 資料之階次，其估計之共整合迴歸式如 下：
TFRt = c0 + a1HPIt + εt (5) 其中c0與a1為估計數之係數，TFRt為生育率，HPIt為房價，εt為殘差項。
若εt符合定態，則稱生育 率與房價間具有共整合關係。因此必須對殘差項作ADF 單根檢定其是否為定態，其檢定式如下：
H0：ρ=0 （無共整合存在）
H1：ρ≠ 0 （存在共整合關係）
2. Johansen & Juselius 最大概似估計法
7若一個具有單根的時間序列變數yt為非定態，在經過一階差分就能去除其隨機趨勢，使其變成
Δεt =ρεt-1 +∑ δiki=1 Δεt-i+ vt (6)
ㄧ般而言 Engle & Granger（1987）雖可有效避免假性迴歸的發生，但若使 用於小樣本數或高階共整合檢定（有n 個相同整合階次的變數）時，則可能影響 其檢定效果，且Engle & Granger（1987）在實際運用上有一些限制，例如可能 無法判斷共整合組數等。相較而言，另一檢定方法 Johansen（1988）所提出的 最大概似估計法（maximum likelihood approach），在實際運用上較具彈性，
亦較常用於多變量變數之檢定。不過，由於本研究僅考慮房價與生育率兩變數，
因此仍選擇使用Engle & Granger（1987）之兩階段程序法檢定其變數間是否存 在共整合關係。
3. 因果關係
本研究欲了解房價與少子化間之關聯性，此關聯性係指，一變數的當期與他 變數的過去值間之「相關關係」，而非總體經濟理論中真正的因果關係。為檢驗 這種統計上之因果關係，本研究採用Granger Causality因果分析，透過此檢定 可瞭解兩個變數間之領先（lead）或落後（lag）關係。Granger因果關係是時間 序列向量自我迴歸模型（Vector Autoregression，VAR）的一種，該檢定係建立 在變數預測的角度，其定義為，假設有Xt與Yt兩變數，Xt=bijYt-k，Yt= aijXt-k，
當對Y進行預測時，除了Y本身過去的落後期變數外，若增加X變數過去的資訊能 降低對Y的預測誤差，進而提高對Y的預測準確性，則稱變數 X「Granger影響」
（Granger Cause）變 數Y；反之， 若X不會Granger影響Y，則表示X無助於預測Y。
其測試假說為：
H０：aij = bij=0 （表示無因果關係）
H１：aij≠ 0或bij≠0 （表示有因果關係）
Granger將兩變數間之因果關係分為四種：
1.獨立關係：即aij 與bij 均為0，表示兩變數之過往資料均無法預測另一變數，
相互獨立，不具因果關係。
2.單因果關係：即僅aij≠ 0或僅bij＝0，表示僅某一變數領先另一變數。
3.立即因果關係：兩變數不僅過去資料能預測當期變數，甚至加入當期變數間均 能互相影響，例如Xt對Yt有影響。
4.回饋因果關係：即aij≠0且bij≠0，表示兩變數間可互相預測，具因果關係。
本研究之房價與少子化的因果關係模型設定如下所示，其中房價（HPt）與 生育率（TFRt）為我們欲探討之變數，k為遞延期數，而迴歸誤差ε1t與ε2t彼 此間相互獨立並符合均數為零、變異固定之均一分配。
與VAR (vector autoregression model)模型相似的是，Granger因果關係檢 定必須建立在變數具有定態性質的基礎上，因此我們也會在作因果關係檢定前，
先使用單根檢定並將不具定態性質的變數作差分處理。
(四)預計可能遭遇之困難及解決途徑
預期中之困難主要為資料問題，如房價及生育率資料，解決方式將以信義房 價指數為主、永慶房價為輔，在連續資料中取得一致可信任之房價長期穩定之序 列，而自2009年起，永慶指數推出區域之房價指數，可提供為本研究對六大都市 之資料。其次之困難則為應用上及論述之普及性(generalization)上，即 若實證 結果為真，顯示高房價為影響低生育 率之顯著因子，且領先低生育率，但在普及 性上擴大至世界各國是否為真，以德國為 例，其房價在近15年內相當穩定，但生 育率仍節節下降，因此即使實證上在我國為真，但在德國則可能隱含著除房價外，
仍有其他因素(如生活壓力或女性追求自主等因素)引導著低生育率，也因此在實 務意涵上，即使政府能扭轉高房價的趨勢，或是提供價位及品質均合宜的住屋環 境，是否能引導生育率提高，則是本研究在最後須強化之實證分析及論述。
TFRt=αi+∑ki=1α1iTFRt-i+∑ki=1α2i HPIt-i+ε1t （7）
HPIt=βi+∑ki=1α1iHPIt-i+∑ki=1α2i TFRt-i+ε2t （8）