研究方法

一．Logistic廻歸模型

Logistic廻歸模型的基本形式和傳統的線性廻歸模型，都是在描述一個依變 數與多個自變數間的關係。但若廻歸模型之依變數呈現離散型或二分類之特性 時，將無法滿足傳統廻歸模型中依變數為連續性、呈常態分布之假設，此時傳統 廻歸模型可能就不適用。因此，當研究結果的依變數是離散型，其分類只有二類 或少數幾類時，Logistic廻歸分析就變成是很普遍的分析方法，不但適用於依變 數是屬於質化變數（非量化）的廻歸模型，且此模型利用累積機率密度函數將自 變數的實數值轉為機率值，可克服自變數須服從常態分配的假設，而且可進一步 估計事件發生的機率。

Logistic廻歸模型是由線性機率模型（Linear Probability Model，LPM）引申 而出，該模型只要求每個自變數不能是其他自變數的完全線性組合，並且自變數 不能與誤差項相關。其自變數可以是連續的，也可以是二元型的，然依變數卻必 須是連續的，正因為如此，當欲研究的依變數是一個分類變數（categorical variable）而不是連續變數時，線性機率模型的估計和預測會存在下列問題：

一． 由於在線性機率模型中殘差的異質性，參數估計的變異數將是有偏的。

因此，任何假設檢驗都是無效的，即使樣本很大也如此。

二． 由線性機率模型估計的事件機率值在遇到很大或很小的xi值時可能會超 出﹝0, 1﹞區間。

三． 線性機率模型中自變數與依變數是呈線性的關係，亦即不論x_i取任何 值，其廻歸係數都應是常數，然在LPM中其截距和斜率對所有xi值並非 常數。

因此，以二元變數作為因變數的線性機率模型，在自變數與事件發生機率之

間存在非線性關係。而LPM不能擬合這種非線性關係，於是出現了非線性廻歸模 型。

為了使因變數之估計機率值均落於﹝0, 1﹞之間，學者提出利用logistic機率 密度函數作一次單調轉換(Monotonic Transformation)，以保證機率值落在﹝0, 1﹞

之間，此一模型即為Logistic廻歸模型。其模型如下：

假設Y為一二分類變數，事件發生時為 1，事件不發生時為 0；令Z_i＝

β

′ X_i ， 為一過渡隨機變數，且服從logistic分配，函數圖型如圖 3.1：

事件發生的機率定義為

p

_i，可得到下列 logistic 模型

這個比例被稱之為事件發生比（the odds of experiencing an event），簡稱為 odds，

odds 一定為正值，因為 0＜ ＜1。進一步將 odds 取自然對數就能得到一個線性

稱為 logit form，這一轉換的重要性在於，logit (y)有許多線性模型的特質，logit (y) 對其參數而言是性線的，並且與ｘ有關，值域為負無窮到正無窮。因此，Logistic

p =

i _zi

logistic 函數

二．Logistic 廻歸模型的適合度（Goodness of fit）

1989 年，Hosmer 和 Lemeshow 研發了一種對 Logistic 廻歸模型擬合優度的 檢驗方法。這種方法是根據模型預測機率值將資料分成大致相同規模的 10 個 組，而不管模型中有多少共變類型，將觀測資料按其預測機率做升序排序，其中 第一組包含預測機率最小的所有觀測資料，而最後一組包含預測機率最大的所有 觀測資料。

Hosmer-Lemeshow（HL）指標是一種類似於 pearson 統計量的指標。它可 從觀測頻數和預測頻數構成的 2×G 交叉表中求得，其統計式如下：

χ

2值統計顯著表示模型擬合不佳。

三．Logistic 廻歸模型參數估計及檢定

Logistic廻歸透過最大概似估計法（MLE）求出漸近不偏且有效

（asymptotically unbiased and efficient）的參數估計值，進一步針對個別參數之最 大概似估計值進行Wald統計量檢定。當眾多自變數被放入Logistic廻歸模型時，

四．Logistic廻歸模型的區別正確性

對於評估Logistic廻歸模型的預測準確性有多種方法，本研究採用Logistic廻 歸模型被廣泛應用的分類表（Classification Table）來評估。分類表是透過比較預 測的事件機率和設定的機率切點(cutpoint)，將案例分成預測事件發生或不發生，

一旦所有觀測樣本被分為兩群，便可計算出事件發生或不發生的頻數，以建立一 2×2的交叉表來比較預測情況和實際觀測的情況，這就是所謂的「分類表」。進

一步，經由表中分類的情形可以計算此切點下的敏感度(sensitivity)與精確度 (specificity)。若切點變動則分類結果亦變動，因此敏感度與精確度也隨之改變。

利用預測機率作為分類指標，機率值越高則代表事件發生的風險(risk)越 高。我們使用預測機率作為切點，計算出所有分類表的敏感度與精確度，如果我 們分類的目標是找出最佳切點，我們可以將敏感度與精確度繪製在同一張圖表 上，選擇一個切點同時使敏感度與精確度最大時(即敏感度=精確度)，此點的預 測機率即為最佳切點(optimal cutpoint)。當「sensitivity」對應「1-specificity」繪 圖時，得到操作特性曲線 (ROC curve)，曲線下方面積是該模型區別分類能力的 指標，以C值表示，當C值越大表示該模型分類能力愈佳。

五、Kolmogorov-Smirnov 檢定法

統計分析上，對於實際次數分配與理論分配是否配合適當的問題，是屬適合 度檢定問題，可依 Kolmogorov-Smirnov 檢定法(簡稱 K-S 檢定法)進行。而 K-S 檢定法亦可用於特定階層之樣本與母體比例的比較，或檢定兩個樣本之分配是否 一致。

本研究為驗證模型區別逾期戶之有效性，在模型預測全體樣本之逾期機率 後，將全體樣本依逾期戶與非逾期戶分為兩組樣本，並以 K-S 檢定法檢定該兩 組樣本之逾期機率分配是否有顯著差異。其檢定統計量如下：

D = max│Fd(x)-Fn(x)│～

χ

g²−2

其中Fd(x)為逾期戶之累積機率，Fn(x)為非逾期戶之累積機率，而其自由度為g-2，

g表分組數。若D大於相對應之卡方值，亦即p-value低於顯著水準α ，則表示該 模型能有效區別此兩組樣本。

第四章 實證分析

(27.5%) (34.3%) (61.8%) 1,588 826 2,414 逾期戶 (25.13%) (13.07%) (38.2%)

odds

0.914 0.381 0.618

3,326 2,994 6,320

(11.71%) (19.68%) (18.37%) (17.75%) (14.22%) (9.51%) (5.7%) (3.05%) (100%)

在文檔中 銀行信用卡客戶信用風險評估模型之建立 (頁 38-43)