第三章 資料與研究流程
第三節 研究方法
國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
17
第三節 研究方法 一 定態檢定(Stationarity Tests)
定態分為強勢定態(Strongly Stationary)及弱勢定態(Weakly Stationary)，強勢 定態指序列之分配函數不會隨時間而改變，但實務上少有序列能滿足強勢定態條 件；弱勢定態係指能滿足下列條件之序列(𝑦𝑡)：
𝐸(𝑦𝑡) = 𝜇 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡) (2) 𝑣𝑎𝑟(𝑦𝑡) = 𝜎2 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡) (3) 𝑐𝑜𝑣(𝑦𝑡, 𝑦𝑡−𝑠) = 𝑐𝑜𝑣(𝑦𝑡−𝑗, 𝑦𝑡−𝑗−𝑠) = 𝛾𝑠 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡) 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑗 (4) 亦即序列之平均數、標準差、共變異數皆不隨時間而改變。
在時間序列相關研究中，確認序列定態與否為首要項目，若序列為非定態 (Non-Stationary)，則過去之隨機衝擊將會累積並產生永久之影響，許多統計量值 皆會失去其作用，Granger and Newbold (1974)指出若使用非定態資料進行統計分 析，會產生虛假迴歸(Spurious Regression)現象，即無相關之變數卻有相當高之判 定係數(R2)，因此若以非定態資料進行統計分析，其結果將是無意義的。本研究 以單根檢定(Augmented Dickey-Fuller Test, ADF Test)判斷失業率、利率、通貨膨 脹率是否為定態序列。ADF Test 由 Said and Dickey (1984)提出，為 Dickey-Fuller Tests (DF Tests; Dickey and Fuller (1981))之推廣，DF Tests 僅能應用在一階自我迴 歸模型(AR(1))且誤差項須符合白噪音(White Noise)，但實際上序列可能存在序列 相關而無法滿足白噪音的假設，ADF Test 加入應變數之落後項解決此問題(透過 落後項期數的選擇以滿足白噪音的假設)。ADF Test 檢定三種模式下序列是否存 在單根現象(若存在單根則序列為非定態)，虛無假設皆為γ = 0(至少有一單根存 在)。
‧
二 共整合檢定(Cointegration Test)
過去面對非定態序列時通常將其差分以使其成為定態序列，此舉雖然解決了 非定態序列之問題，但若序列間存在長期關係，經由差分也會一併被消除，因此 在面對非定態之時間序列資料時，亦需注意序列間是否存在長期均衡關係。
Granger (1981)提出數個𝐼(1)序列變數若能透過某種線性組合即能使其成為定態 序列，則表示數個序列變數間存在長期穩定之均衡狀態，並稱數列間具有共整合 關係。Granger and Engle (1987)提出兩階段共整合分析方法，且其共整合定義如
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
19
下：
假設𝑦𝑡為(𝑛 × 1)之向量，𝑦𝑡~𝐼(d)，若存在一向量𝑎 ，使得 𝑎′𝑦𝑡~𝐼(𝑑 − 𝑏)，則稱𝑦𝑡存 在(𝑑, 𝑏)階之共整合關係，而向量𝑎則稱為共整合向量。
兩階段共整合分析方法雖然易於計算但有數種限制：
1. 兩階段共整合分析方法無法處理多個共整合關係的存在(其假設模型間僅有 一共整合關係)。
2. 兩階段共整合分析方法可能不具效率，因在第一階段估計共整合關係式時產 生之誤差，會被延續至下一階段。
針對上述缺失，Johansen (1991)提出以最大概似估計法檢定序列間之共整合 關係。Johansen 之最大概似估計法容許序列同時存在兩個以上之共整合關係，並 提出兩種決定共整合個數之檢定統計量，包括 Maximal Eigenvalue Test 及 Trace Test。
Maximal Eigenvalue Test 之虛無假設為序列間最多存在𝑟個共整合向量，對立 假設為存在𝑟 + 1個共整合向量，檢定統計量為 𝜆̂𝑚𝑎𝑥 = −𝑇𝑙𝑛(1 − 𝜆̂𝑞+1)，其中 𝑇為 樣本數，𝜆̂𝑞+1為特性根。Trace Test 之虛無假設為序列間最多存在𝑟個共整合向量，
對 立 假 設 為 至 少 存 在 𝑟 + 1 個 共 整 合 向 量 ， 檢 定 統 計 量 為 𝜆̂𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 = −𝑇 ∑𝑛𝑗=𝑞+1ln (1 − 𝜆̂𝑗)。
綜合以上討論及參考 Kuo, Tsai, Chen (2003)之共整合檢定流程，本研究執行 共整合檢定之步驟如下：
步驟 1：確定所有序列變數皆為𝑰(𝟏) 步驟 2：決定 VAR 模型之最適落後期數
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
20
本研究將以實務上最常用之 Akaike information criterion (AIC)及 Bayesian information criterion (BIC)法判斷 VAR 模型之最適落後期數，選擇 AIC 與 BIC 最 小者做為最適落後期數，做為後續進行共整合檢定時之落後期數依據，若 AIC 與 BIC 之最終選擇結果不同將以 BIC 為準(BIC 較 AIC 更精確)。
步驟 3：執行共整合檢定，並找出共整合向量個數
利用 Johansen 之最大概似估計法進行共整合檢定，並以 Maximal Eigenvalue Test 及 Trace Test 找出共整合向量個數。
步驟 4：估計誤差修正模型
若序列皆為𝐼(1)，且序列間存在共整合關係，此時若僅以定態化後之序列進 行 VAR 模型估計，將會流失序列間長期關係之訊息，因此需改以誤差修正模型 進行模型建構。
∆𝑦𝑡 = 𝜇 + 𝛾𝑦𝑡−1+ 𝜉1∆𝑦𝑡−1+ ⋯ + 𝜉𝑝∆𝑦𝑡−𝑝+1+ 𝜀𝑡 (8) 其中∆指一階差分，𝜇為截距項，𝑝為最適落後期數
三 主成分分析
主成分分析為一維度簡化之方法，若原始資料有過多重複資訊，透過主成分 分析即可將資料濃縮。主成分分析可將𝑘個相關之原始變數轉變為𝑚個(𝑚 < 𝑘) 獨立之主成分(新變數)，主成分為原始變數之線性組合，且由此𝑚個主成分即能 解釋原始變數大部分之變異，其中第一個主成分能解釋原始資料最大的變異量，
第二個主成分能解釋最多第一個主成分未能解釋之總變異，以此類推，由此可知 主成分分析具有減少資料複雜性之好處。
主成分分析之參考步驟如下所述：首先將原始變數進行標準化，並計算相關 係數矩陣𝐶𝑘×𝑘，接著計算相關係數矩陣(𝐶𝑘×𝑘)之特徵值及特徵向量(Ω𝑘×𝑘)，依據 主成分之累積解釋能力選取適當之主成分個數，最後將原始資料代入主成分式子
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
21
中即可得主成分分數(𝑆𝑇×𝑘 = 𝑋𝑇×𝑘× Ω𝑘×𝑘，其中𝑋𝑇×𝑘為原始變數)。值得注意的 是 對 標 準 化 資 料 而 言 ， 實 務 上 常 使 用 特 徵 值 大 於 1 法 則 (eigenvalue-greater-than-one rule)作為選取主成分個數之依據，但杜於叡 (2014) 選取主成分個數之方法稍有不同，其使用主成分分析之目的為利用主成分模型進 行預測及模擬，若採特徵值大於 1 法則選取主成分個數，可能會有解釋力不足之 問題，無法充分捕捉原始變數之變異，故其以主成分之累積解釋能力為選取主成 分個數之標準(選取累積解釋能力達 90%以上之主成分個數，因若解釋能力低於 90%則其解釋能力稍嫌不足，而解釋能力高於 90%所需之主成分個數可能又過多 便不符合主成分分析簡化變數之意義)。
杜於叡 (2014)將𝑚個主成分之分數視為𝑚個時間序列，並以 ARMA 模型配 適主成分分數，同時觀察各主成分和外生變數之關係以完成主成分分數模型之建 構，最後以 ARMA 模型建構主成分分數之模型。本研究將沿用其主成分分數模 型模擬未來之主成分分數，並將結果透過Ω𝑘×𝑘−1轉變回原始變數(即各保單年度 之解約率)，以完成動態解約率之模擬(詳細內容請見第四章第二節)。
四 保險費計算
本研究之保險費係指總保險費(Gross Premiums)，總保險費為要保人真正繳 交給保險公司之金額，總保費包含純保費(Pure Premiums，為應付未來死亡給付 或相關給付所收取之費用，反映被保險人之未來損失大小)及附加費用(Loadings，
保險公司經營之必須開支，如保險業務員之佣金、被保險人之體檢費、管理費用、
保險公司預期獲得之利潤……等))，其中附加費用依其性質又可分為三類：依保 費 之 比 例 計 算 之 費 用 (Per-premium Expenses) 、 依 保 額 之 比 例 計 算 之 費 用 (Per-policy Expenses)、固定費用(Fix Expenses)。
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
22
本研究將參考台灣某壽險業者之商品定價精算假設，並以 30 歲男性為對象 進行其年繳保費之試算，試算險種包含 20 年期之生死合險及終身壽險(繳費期間 20 年，還本)，給付項目有死亡給付、生存給付、解約給付，費用部分包括佣金、
固定費用及安定基金之提撥。本研究將利用未來預期現金流入與未來預期現金流 出相等之方法計算總保費。(假設保費及費用皆在期初發生，理賠項目則於期末 給付)
𝑃𝑉(未來預期保費收入)
= 𝑃𝑉[(未來預期死亡給付 + 未來預期生存給付 + 未來預期解約給付) + (未來預期佣金支出
+ 未來預期固定費用支出 + 未來預期安定基金支出)]
(9)
𝐺 × ∑19 𝑡 30𝑝(𝜏)
𝑡=0 ∙ 𝑣𝑡
= ∑20 [(𝑏𝑡∙𝑡−1 30𝑝(𝜏)∙ 𝑞30+𝑡−1(𝑑) + 𝑆𝑡∙ 𝑝𝑡 30(𝜏)+ 𝑊𝑡∙ 𝑞30+𝑡−1(𝑤)
𝑡=1
∙𝑡−1 30𝑝(𝜏)) + (𝐺 ∙ 𝐶𝑀𝑡∙ 𝑝𝑡 30(𝜏)+ 𝐸𝑡∙ 𝑝𝑡 30(𝜏)+ 𝐺 ∙ 𝑆𝐹𝑡∙ 𝑝𝑡 30(𝜏))]
∙ 𝑣𝑡
(10)
其中𝐺為總保險費
𝑞30+𝑡−1(𝑑) 指(30 + 𝑡 − 1)歲之人在一年內死亡之機率 𝑞30+𝑡−1(𝑤) 指(30 + 𝑡 − 1)歲之人在一年內解約之機率
𝑡 30𝑝(𝜏)指30 歲之人在𝑡年內之殘存率( 𝑝𝑡 30(𝜏) = 1 − 𝑞𝑡 30(𝑑)− 𝑞𝑡 30(𝑤)) 𝑏𝑡為第𝑡年之死亡保險金
𝑆𝑡為第𝑡年之生存保險金 𝑊𝑡為第𝑡年之解約金
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
23
𝐶𝑀𝑡為第𝑡年之總佣金率 𝐸𝑡為第𝑡年之固定費用
𝑆𝐹𝑡為第𝑡年之安定基金提撥率
五 準備金計算
一般而言人類死亡率隨年齡上升而增加，故若依被保險人預期損失方式定價 則年齡大之被保險人將被收取較高之保險費，此種會隨死亡率增大而增加之保險 費稱為自然保費。然而，實務上壽險公司收取之保險費每期固定，此種保險費稱 為平準保費，自然保費與平準保費關係之示意圖如圖 7，由圖 7 可知被保險人 於早年繳交之平準保費將高於所需之自然保費，但在老年時所需之自然保費卻少 於實際繳交之平準保費，故壽險公司需將被保險人於早年「超繳部分之保險費」
提存以填補被保險人老年時不足之保險費部分，此提存之金額即稱為準備金。計 算準備金之方式有過去法(Retrospective Method)及未來法(Prospective Method)，
兩種方法計算之準備金金額會相同，惟基於計算之方便性，本研究將以觀察各期 現金流量之方式計算準備金：
(𝑉𝑘−1+ 𝐺(1 − 𝐶𝑀𝑡− 𝑆𝐹𝑡) − 𝐸𝑡)(1 + 𝑖𝑡)
= 𝑞30+𝑘−1(𝑑)𝑏𝑡+ 𝑞30+𝑘−1(𝑤)𝑊𝑡+ 𝑝30+𝑘−1(𝜏)𝑉𝑘
(11)
其中𝑉𝑘為第𝑘期之準備金 G 為總保險費
𝑏𝑡為第𝑡年之死亡保險金 𝑊𝑡為第𝑡年之解約 𝑖𝑡為第𝑡年之利率
𝑞30+𝑘−1(𝑑)指(30 + 𝑘 − 1)之人在一年內死亡之機率 𝑞30+𝑘−1(𝑤)指(30 + 𝑘 − 1)之人在一年內解約之機率
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
24
𝑝30+𝑘−1(𝜏)指(30 + 𝑘 − 1)之人存活超過一年之機率 (𝑝30+𝑘−1(𝜏) = 1 − 𝑞30+𝑘−1(𝑑)− 𝑞30+𝑘−1(𝑤)) 𝐶𝑀𝑡為第𝑡年之總佣金率
𝐸𝑡為第𝑡年之固定費用
𝑆𝐹𝑡為第𝑡年之安定基金提撥率
圖 7 自然保費與平準保費示意圖