本研究之研究流程如圖 3- 2： 分數大小比較研究流程圖，分為三步驗說明 如下：
準備階段 壹、
一、 確立研究主題，搜集分數教學相關文獻、參考國內分數教學相關論文。
二、 依據九年一貫的數學課程綱要，作為學習軌道之架構。
三、 蒐集南一版分數教學的學習順序和學習內容，並與校內同事探討實際教學 時，學生可能遭遇的問題。
四、 編排分數教學時學生可能產生之學習軌道，並與教授專家討論軌道優缺點，
選出研究者認為適合學生的學習路徑。
實施階段 貳、
2014 年 11 月為教學實驗實施階段，歷經五天。教學實施後，進行學 習單分析。根據分析再進行個別晤談，確認學生概念表現情形。
論文撰寫階段 參、
從 2014 年 12 月底至 2015 年 3 月為論文撰寫階段，從研究準備階段的 相關內容、教學實驗過程中，持續整合相關的資料，比對學生的解題表現加 以分析與詮釋，整理研究結果，並進行教師省思。針對研究結果做歸納、統 整與省思，撰寫成研究報告。
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圖 3- 2： 分數大小比較研究流程圖
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研究結果 第四章
本研究目的在於運用「學習軌道」理論進行分數比較的教學實驗。研究過程 乃透過學習單的討論、課堂發表及學習單解題情形之表現，呈現學生在分數比較 的思考過程及解題策略。研究進行方式依學習軌道安排設計的學習順序呈現，共 分成了五個學習活動，分別利用五節課堂時間來完成。第一節 同分母異分子分 數比較之分析，第二節 理解等值分數，第三節 進行單位分數之比較，第四節 異 分母之分數比較，第五節分數大小之比較之解題應用。
同分母異分子分數比較之分析 第一節
此節為同分母異分子分數比較的基本試題，在國小三年級已進入了分數的認 識、解決同分母分數比較問題（教育部，2008）。因此本節的目的在檢驗學生的 先備知識、引起舊經驗。本節就學生在同分母異分子分數比較之表現，每一活動 有 3 題，每題分成「師生的課室互動」、「學生學習表現之探討」、「課後晤談紀錄」
三部分，最後再針對此活動做「教師省思」與「小結」，內容分述如下：
師生的課室互動 壹、
以下為課室互動學生學習表現如下：
一、 同分母分數比較（面積模式）
佈題： 有兩個一樣大的蛋糕，哆啦 a 夢吃了 4
1個，大雄吃了 4
3個。能有什
麼方法比較出誰吃得多?
（M01、K07 小組上台發表解題情形）
M01： 因為哆啦 a 夢黑色的地方比較少，大雄黑色的地方比較 多，所以大雄吃得比較多
T： 對於 M01 這組討論的結果是比較黑色部分的大小，小朋 友有更清楚的解釋方法嗎?
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T： 這組的方式說法就比較完整了，我們再看下一組。
k06： 我們覺得因為靜香拿了612= 12
6，小衫拿了612= 12
6 ，
靜香=小衫，兩人拿的一樣多。
T： 對於 K06 這組的解題方法，小朋友有沒有問題?
S： 沒有
【教師分析】
學生在面對離散量的問題時，往往會以點數的方式做比較，但這樣做 的風險是兩個分數的單位量是否相同。因此教師再請以部分/全體方式解 題的組別上台，引導學生關注部分量和全體量。
三、同分母分數比較（長度模式）
佈題：兩條一樣都是 4 公分長的緞帶，小夫取了甲緞帶斜線部分、胖 虎取了乙緞帶斜線部分。誰取得多?
（小組上台發表解題情形）
K06： 這兩條緞帶都一樣長，而分得的黑色（斜線）也一樣多，
所以都一樣多。
T： 同學們同意這組的說法嗎?
S21： 我覺得雖然位置不同，但小夫和胖虎都是拿了兩個部分，
所以我們認為他們拿的是一樣的。
T： 恩!S21 很棒，會使用移補的方法來解決。那如果我們 從緞帶上來看，它被分成了 4 份，那 1 份是幾條緞帶?
S：
4 1條
T： 那請問小夫拿了幾個 4 1條?
S20： 2 個 4 1條
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T： 所以 2 個 4
1條等於幾條緞帶?
S14：
4 2條。
【教師分析】
學生在面對有圖形的問題時，仍是習慣直接以視覺比較的方式進行同 分母比較。因此，需要其它組的示範，引導學生在講述概念時更完善。而 S21 解題時，知道使用移過去補上的方式，發現其實兩個拿的都是
4 2條。
本研究與呂玉琴（1991b）的研究發現相似，應鼓勵學生主動的切割、拼 湊，將有助於兒童解決問題。
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學生學習表現 貳、
活動一中，各題學生的學習單表現如下：
（接下頁）
表 4- 1： (1)Q1 學生學習單表現
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（接下頁） 70
表 4- 2： (1)Q2 學生學習單表現
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（接下頁）
表 4- 3： (1)Q3 學生學習單表現
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光是將顆數做比較是會有風險的，因此他們補上了 12
6 = 12
6 。
(三) 在（1）Q3 題中，全部學生皆答正確。其中以部分/全體圖形直觀方式 來進行異分子分數比較的方式較多，占了 54.5%，共 6 組。有 1 組仍以 視覺比較的方式解題。有 2 組以整數相除的方式來進行異分子分數比 較。
二、 確認學生對分數的意義
在學生上台發表現解題情形、分析學生數學學習單時可發現學生對於 分數的定義上，仍有些模糊地帶。如未注意到單位量的不同、對於分數的 意義不瞭解等...，因此教師在上課時，應不斷地提問學生其概念，提醒 學生注意其所使用的數學概念是否正確。
三、 學習單中部分題目問題內容需更明確些
如 Q2 應該將題目改為「靜香拿走了幾分之幾盒，小衫拿了幾分之幾 盒，誰拿得多?」強調部分-整體的概念。
如 Q3 應該將題目改為「小夫取了幾分之幾條緞帶，胖虎取了幾分之 幾條，誰拿得多?」強調部分-整體的概念。
四、 應多鼓勵小組討論
學生平時少有讓小組討論的機會，因此研究者請小組討論時，有部分 的組別發生沒有討論，便各自作答的情形。在教師提醒後，討論情況較有 改善。因此教師在教學的過程中應建立良好的討論習慣，鼓勵學生說出自 己的思考歷程，培養良好的溝通，也能透過口說釐清自己的概念。
五、 鼓勵學生「我手寫我口」
學生在學習單上寫的內容很少，多是算式運算。高分組學生在老師提 問後，能表達出其想法。低分組學生在老師提問後，可發現自己的迷思。
因此，教師應鼓勵學生將自己的思考歷程轉為文字，別誤以為數學只是數 字的計算
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六、 教學進度的掌控
最後一題班級討論的時間較少，沒有足夠的時間討論學生的想法，教 師以巡視時觀察學生寫下的內容，做結尾。教師應該做好時間的掌控，若 已到下一題的時間時，應儘速做此題的小結，使得每題都能有完整的教學 過程。
伍、小結
本節活動以提取舊經驗、確認對分數的概念是否正確為主。綜合此份學習單 學生作答情形可發現學生分數的舊經驗已被提取，使用上大多正確，僅少數低成 就學生因舊有的迷思存在，因此在課堂討論過後仍有錯誤觀念存在的問題。由表 4- 4： 活動 1 答題正確率中可知在此活動中，學生的答題正確率皆有達 81%
以上。其中 Q2 錯誤率高是因為有 2 組學生未注意到單位名詞。單位名詞是學生 容易忽略的地位，教師可教導以下二則策略導正：一、要求學生寫完後，務必檢 驗。二、要求學生解釋策略。
表 4- 4： 活動 1 答題正確率
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82 引導其以”分數”形式表達。K03 以通分方式解決。學者 Saenz-Ludlow
（1994, 1995）研究發現，兒童如能有單位形成能力，則能正確解決等值
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接著我們來看 H01 這組的解法，
S15： 老師我知道，他們是用通分把分母變成 40 的方法。
T： 對。所以這三組都是以通分的方法，但策略仍有不同，
你覺得哪一組方法比較簡單、迅速?
S20： 我覺得是 M01 的方法比較簡單，因為數字變小了。
S10： 我覺得是 K01 的方法，因為乘的比較簡單。
T： 恩，每個人的想法不同，你可以挑選你覺得比較好算的 方式。
但在計算前，你先觀察兩分數分母，是否為倍數關係，
這樣計算的數字就不會太大了。
【教師分析】
此題上各組都能正確解讀符號表徵問題，並透過「合併」、「切割」
的方式理解等值分數或是通分方式解題已達預計之目標。一組以約分的方 法，一組以擴分的方式，另一組則是通分成兩分數分母的公倍數。因此教 師請三組發表後，並讓學生判斷，引導學生選擇較為簡便的方法。
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學生學習表現 貳、
活動二中，各題學生的學習單表現如下：
（接下頁）
表 4- 5 ： (2)Q1 學生學習單表現
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（接下頁）
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（接下頁） 88
表 4- 6： (2)Q2 學生學習單表現
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表 4- 7： (2)Q3 學生學習單表現
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課後晤談紀錄 參、
一、 理解等值分數（離散量）
高分組學生運用圖形表徵解說此題，但又語意不清，因此教師與其訪談，訪 談內容呈現如下。
H01B 與教師的對話
T：
你解題的方法很特別，但你的內容沒有說得很清楚，所以 老師想問你，你寫的「從中間切一刀，放到旁邊，就變成
10
4 ，是什麼意思?
H01B： 這個圖把它從中間切一刀（手比劃）， 然後把圈起來的蘋果移在一起，
就會和一樣了。
T： 恩，很好，你這麼說明，老師就了解了。謝謝你。
【教師分析】
等值分數從表徵上的意義是一個量的再分割，而形成擴分的等值分數。
也可以將數個量合併，而形成約分的等值分數。而 H01B 將蘋果 5
2重新分
割成10
4 可知其等值分數概念已達研究者設定之教學目標。
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二、 理解等值分數（長度模式）
L01B 這題的答案是對的，其使用了通分的策略且加上圖示說明等值分數。
以下是 L01B 與教師的訪談內容，內容呈現如下：
L01B 與教師的對話
T： 你的解題過程寫得很清楚，還加上了圖形。請問，你的 圖形是什麼意思?（圖 4- 1）可以解釋給老師聽嗎?
L01B： 可以。因為 大雄 媽 媽 用 了
8
6 袋 的 麵粉，所以我把它 畫出來（手指圖 4- 1 中的左圓）。這個
是靜香媽媽用的麵粉（手指圖 4- 1 中的右圓）。大雄媽媽 的一塊（手指
8
1），可以（移補）下來，就和靜香媽媽用 的一樣多了。
【教師分析】
Kamii & Clark （1995）指出若學生對等值分數運作思考流暢，便能正確解 題。L01B 能將圖形長度模式表徵轉換成面積模式表徵，表示 L01B 可不受圖形 分割方法的影響，正確解題。
教師省思 肆、
一、 學生學習單表現
(一) 在（2）Q1 學習單中，回答正確的有 10 組，錯誤的有 1 組。正確的組別 中有 5 組利用除法方式理解等值分數。有 4 組運用擴分+圖示方式來理
(一) 在（2）Q1 學習單中，回答正確的有 10 組，錯誤的有 1 組。正確的組別 中有 5 組利用除法方式理解等值分數。有 4 組運用擴分+圖示方式來理