本研究應用 Simon（1995）提出的「假設性學習軌道」理論設計國小五年級 分數教學活動與學習單，以瞭解國小五年級學童在「分數比較大小」的概念，其 已有的先備知識、基本概念及迷思概念為何。從學生數學任務的分析可以瞭解，
融合「學習軌道」與分數比較活動能有效的激發學生分數概念的應用與表達。以 探討國小五年級學童在分數比較大小的數學表現，並實行教學省思，瞭解學童尚 未釐清的迷思及欠缺的數學能力，以求針對學生數學概念或計算能力不足的地方，
實施有效的補助教學，使學生在分數比較大小單元能具備完整的分數思維及解題 策略。本章共分為兩節，第一節為研究結論，第二節為研究建議。經過實驗教學 及研究結果的分析，提出研究的結論，並提出在教學上、課程上及未來相關研究 的建議，分別說明如下：
研究結論 第一節
根據本研究之研究結果與發現，可以歸納以下幾點結論，內容分別說明如 下：
依據「假設性學習軌道」理論可設計分數比較教材，包含「同分母異分子分 數比較」、「理解等值分數」、「進行單位分數之比較」、「進行異分母之分數比較」、
「分數比大小之解題應用」。
根據本研究的分數比較教材可以設計以下活動：
壹、
一、 同分母異分子分數比較
引起學生舊經驗，透過題目的符號、圖形、文字表徵理解問題，能解讀不同 方式呈現之圖形所代表之意義,，藉以檢視學生之基本概念。從分蛋糕的面積模 式，提示學生解讀題目；離散量的彈珠，分別以圈起來的方式與塗色方式呈現，
檢測學生對分數概念的理解；長度模式圖形，檢視學生是否因長度模式排列不同，
而不會解題。
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二、 理解等值分數
運用情境與圖形，引導學生能透過分割或合成方式，理解等值分數。； 透 過離散量相異的排列方式，引導學生比較兩分數大小，理解等值分數； 以情境 問題配合圖形呈現，讓學生討論理由的正確性，說明兩個分數為等值分數。
三、 進行單位分數之比較
在教師平分一盒鉛筆的活動情境，題目中 12 枝為誘答，進行單位分數之比 較；學生動手畫出
3 1和
6
1的活動，檢視學生的分數概念；從圖形瞭解分愈多段，
所得的一段會愈少。
四、 進行異分母之分數
在部分-全體的情境下提問，雖然一者所吃的顆數較多，但以整體來看，並 非所吃顆數較多者，所吃的「盒數」亦較多。透過認知衝突，發掘有分數迷思的 學生； 利用學校外牆彩繪活動，了解學生對於分數是否有迷思。另鼓勵學生兩 分數相比較，並非只有在同分母的情形下才能比較。本題可將分子通分為 2 時，
即可比較出； 利用分散面積表徵讓學生判讀兩人各吃了各自的幾個蛋糕，學童 要能不受面積分散（未皆相連）的影響。
五、 分數比大小之解題應用
運用長度模式表徵連續量類型問 題。學童需透過圖形研判出兩人所各占的 比例； 利用分散面積表徵讓學生判讀兩人各自獲得了幾塊土地，學童要能不受 面積分散（未皆相連）的影響； 以生活中常吃的雞蛋引起學生進行討論，運用 心理表徵，將雞蛋移動到空格處。
能力不同的學生在「分數比較作業」的表現不同 貳、
學生在下列的活動中，呈現不同的表現：
一、 同分母異分子分數比較
(一) 低分組：能從圖形辨識圖形在分數上的意義，但對於分數的意義不是很 了解。瞭解圖形排列方式不會影響其分數意義。
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(二) 中分組：能從圖形辨識圖形在分數上的意義，瞭解圖形排列方式不會影 響其分數意義，解題完未做檢查，而出現單位名詞錯誤的情形。
(三) 高分組：能從圖形辨識圖形在分數上的意義，能瞭解圖形排列方式不會 影響其分數意義。
二、 理解等值分數
(一) 低分組：能從圖形辨識圖理解，能運用約分、擴分做等值分數運算，
但偶有計算錯誤情形出現，不瞭解約分、擴分即是將圖形分 割、合併之知識架構。
(二) 中分組：能從圖形辨識圖理解，能運用約分、擴分做等值分數運算，瞭 解約分、擴分即是將圖形分割、合併之知識架構。
(三) 高分組：能從圖形辨識圖理解，能運用約分、擴分做等值分數運算，
瞭解約分、擴分即是將圖形分割、合併之知識架構。能運用圖 示方式解題，且有抽象表徵的能力。
三、 進行單位分數之比較
(一) 低分組：不知道能理解分數是部分與全體的關係，無法正確指認出其單 位量。知道當分子相同時，可以比較分母大小。但不知分母愈 大，其值愈小；分母愈小，其值愈大，亦不知道其原理之意義 所在。
(二) 中分組：能理解分數是部分與全體的關係，無法正確指認出其單位量。
知道當分子相同時，可以比較分母大小。分母愈大，其值愈小；
分母愈小，其值愈大，但對於其原理相當慒懂。
(三) 高分組：能理解分數是部分與全體的關係，不知如何指認其單位量。
知道當分子相同時，可以比較分母大小。分母愈大，其值愈小；
分母愈小，其值愈大，並瞭解其原理。
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四、 進行異分母之分數
(一) 低分組：無法正確指認出單位量，亦無法理解分數是整數相除的意義，
且認為分數比較大小時，只需比較單位量，不管單位分量。
大多會使用擴分、約分進行異分母分數比較，會運用比分母的 解題技巧。
(二) 中分組：理解分數是整數相除的意義，但不知何者為單位量。會使用擴 分、約分進行異分母分數比較。
(三) 高分組：能使用擴分、約分進行異分母分數比較，更會運用比分 母的解題技巧。
五、 分數比大小之解題應用
(一) 低分組：能使用擴分或約分方式進行通分解題，無法從圖示中正確指認 出單位量，不理解等值分數是分母變大、分子也變大之意義。
(二) 中分組：能使用擴分或約分方式進行通分解題，無法從圖示正確指認 單位量。
(三) 高分組：能使用擴分或約分方式進行通分解題，能正確指認出單位量，
並能運用圖示的合併、分割做等值分數之運算。
經由學習軌道教學實驗回溯省思後，教學者對於學生概念的理解、
參、
教學方法及課程設計等方面的行為產生改變
研究者自我省思幾個層面的行為產生變化闡述如下：
一、 掌握學生的分數概念
1. 影響學生等值分數概念因素包括：單位形成能力、組合能力、彈性思考 能力、運作思考能力。缺乏這些能力，學生在解決等值分數上會有困難。
2. 根據國內學者甯自強的研究，將學生學習分數概念分成五個層次：
（1） 分數的前置概念
（2） 起始單位分數
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（3） 加法性分數
（4） 巢狀分數
（5） 有理數概念
國小五年級學生已進入有理數概念階段，應具備部分與整體的雙 向運思，且能以分數為測量單位，同時比較兩個分數。
二、 釐清學生迷思概念
關於單位量指認的概念分部，學生會因題目的誘答而指認錯誤。其原 因為等分割的概念未清楚，無法理解「多少物件去做分割」。研究者的解 決策略為運用討論、辯證的過程，產生認知衝突，再由對話方式幫助學生 釐清迷思，建立正確的數學概念。
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研究建議 第二節
一、 強化分數學習相關先備知識
數學的學習都是以生活經驗、先前的學習經驗為基礎，學生的先備知識 穩固了，教師教導新知識時，學生的學習才會「步步高升」，也就是說教師 在教學前，應先從舊經驗引起動機，再進入主要學習內容。否則學生舊經驗 已忘記，又要學習新知識，便覺得處處碰壁、數學好難。有鑑於此，編寫教 材時，應先強化先備知識，以增進學生學習成效。另外，對於低分組學生教 師可在進行教學前事先做診斷性評量，針對學生缺少的概念或能力作補救教 學，能避免學生在學習新概念時，遭遇困難。
二、 加入引起認知衝突的教學活動
認知發展理論中強調兒童學習過程中產生認知衝突，而形成動力，促使 兒童修正其原有的概念，使新舊概念統整在新的認知結構中。教師進行教學 活動時，可添加些認知衝突的活動，引發學生思考。
三、 增加等分概念的相關教材
等分是分數的重要概念之一，若學生等分概念不完備，非但影響等值分 數的學習，對於分數相關問題多會產生迷思。分析學生上課發表情形與學習 單表現發現，分數比較學習軌道活動中，單位量指認對於部分學生仍有困難 處。因此可針對等分割概念強化，如請學生將連續
量平分成兩份，觀看兩份大小是否相同(呂玉琴，
1991)或是給予下圖，請學生判斷塗色部分佔全部 的幾分之幾(林碧珍，1990)。
在學習軌道的設計中，可以再添加等分概念活動，以幫助學生正確指認 出單位量，使得在異分母分數比較的應用能順利進行。
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四、 理解題意，察覺單位量
經過教學實驗、分析學生學習單表現發現學生在單位量概念上有許多
迷思，原因很多，包括學生誤解題意或對題目不瞭解而未提問。呂玉琴 (1994)也指出處理任何分數相關的問題，最重要的一件事就是確認單位量，
單位量的正確是影響解題成功與否的重要關鍵。尤其是相比較的兩個分數 單位量不同時，學生容易忽略單位量是否相等。單位量概念是分數概念中 一個重要的子概念教學時，教師在審題時，需確認學生對於題目內容的瞭 解，各個數值的意義，要求學生找出單位量為何，再進行解題。
研究者在查閱學習軌道理論應用在分數比較或分數上之研究時，發現並無相 關研究，但學生在分數學習上困難重重，教師教學亦無所事從。希望藉由學習軌 道理論應用在分數比較的研究，提供教師教學改變的契機，希冀對於從事分數或 學習軌道相關研究者有拋磚引玉之效。
對未來研究的建議 參、
一、 分數比較學習軌道進行修正與實施，能蒐集不同分數比較學習軌道的實證
一、 分數比較學習軌道進行修正與實施，能蒐集不同分數比較學習軌道的實證