學習軌道理論在分數比較之教學實驗研究

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國立臺中教育大學數學教育學系

碩士在職專班碩士論文

指導教授：陳嘉皇博士

學習軌道理論在分數比較之教學

實驗研究

研究生：郭沛婕撰

中華民國 104 年 4 月

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I

學習軌道理論在分數比較之教學實驗

研究

摘

要

本研究旨在利用「學習軌道」理論進行國小五年級分數比較的教學實驗。透過教師建構教學順序、設定學習目標、學習作業的安排，了解學生在課堂上學習分數比較概念的思考和討論歷程，使教師掌握學生概念的發展，給予後續的教學方案調整。經過實驗教學的實施，蒐集相關資料及教師回溯省思，顯示出不同能力學生有不同的學習路徑與解題策略。研究結論如下：一、低、中、高分組學生在同分母異分子分數之比較中，能透過符號、圖形表徵理解問題，並比較其大小，皆達預期目標。二、低、中、高分組學生在等值分數中能解讀不同方式表徵之問題，並透過「合併」、「切割」的方式，理解等值分數且解決問題，學習表現皆達預期目標。三、高分組學生在單位分數之比較中能透過「合併」、「分割」的方式，進行分數之擴分、約分，達預期目標。但中、低分組在單位量指認上有明顯困難。四、低、中、高分組學生在異分母之分數比較中，透過「擴分」、「約分」方式進行通分，其學習表現良好。五、高分組學生在分數比大小之解題應用中，能透過「合併」、「切割」的方式，進行異分母分數之比較學習表現達預期目標，但中、低分組對於單位量指認上仍有困難。本研究提出四點建議提供未來分數比較教學時的參考。建議如下：一、強化分數學習相關先備知識。二、加入引起認知衝突的教學活動。三、增加等分概念的相關教材。四、理解題意，察覺單位量關鍵字詞：分數、學習軌道、單位量

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II

Learning trajectories theory in teaching children fraction

concept of experimental research

Abstract

This study aims to use "hypothetical learning trajectory" theory of fifth grade teaching experiment to compare scores. Through the construction of teachers teaching sequence, set learning goals, learning arrangements job to understand the students learn to think and discuss the concept of comparative history of scores in the classroom, so that teachers grasp the concept of the development of students, teaching programs give subsequent adjustments. After the implementation of the experimental teaching, gathering relevant information and teachers back reflection, showing the different abilities of students have different learning paths and problem-solving strategy. Conclusions are as follows：1. Low, medium and high groups of students in different molecules compared with the denominator of the fraction, that through symbols, graphics characterization understand the problem, and compare its size, are up to expectations.2. Low, medium and high grouping students can interpret the equivalent fractions to characterize the problem in different ways, and through the "merge" the way "cutting" understand equivalent fractions, and problem solving, learning performance targets are reached.3. High grouping students can compare unit fractions in through the "merge" the way "split", conducted scores of expansion points, about points, reaching the desired objectives. However, the low group identified in the unit on a significant amount of difficulty.4. Low, medium and high scores compare different groups of students in different molecules in the denominator, through the "expansion points", "about points" common denominator way, learning to perform well.5. Scores than students in high packet size of the problem-solving applications, can through the "merger", "cutting" approach, to compare the performance of different learning denominator fraction of up to expectations, but in low volume group to identify the unit is still difficult.

This study proposes a four-point proposal to provide reference points coming when comparing teaching. Recommendations are as follows ： 1. Score learning-related strengthening prior knowledge.2. Join cause cognitive conflicts teaching activities.3. Increase aliquot concepts related materials.4. Understanding the problem, aware of the unit volume.

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III

摘要………..I Abstract……….II 目次………III 表次……….. V 圖次……….………..VI 緒論 ... 1 第一章研究動機 ... 1 第一節研究目的與問題 ... 4 第二節名詞釋義 ... 5 第三節第二章文獻探討 ... 7 學習軌道理論 ... 7 第一節分數概念之發展 ... 15 第二節分數教材分析 ... 27 第三節第三章研究方法與步驟 ... 33 第一節研究架構... 33 第二節研究對象... 36 第三節課程內容設計 ... 39 第四節資料蒐集與整理 ... 57 第五節研究的信效度 ... 60 第六節研究流程... 61 研究結果 ... 63 第四章同分母異分子分數比較之分析 ... 63 第一節理解等值分數之分析 ... 79 第二節進行單位分數比較之分析 ... 95 第三節第四節進行異分母之分數比較 ... 114 分數比大小之解題應用 ... 125 第五節

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IV 第五章結論與建議 ... 143 研究結論 ... 143 第一節研究建議 ... 148 第二節參考文獻 ... 151 中文部分 ... 151 英文部分 ... 155 附錄一 ... 159 附錄二 ... 160 附錄三 ... 161 附錄四 ... 162 附錄五 ... 163

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V

表

次

表 2- 1：五年級解決異分母分數比較之能力指標與分年細目表 ... 28 表 3- 1：樣本簡介 ... 38 表 3- 2：任務目標與說明 ... 40 表 3- 3：臆測學生解題策略 ... 44 表 3- 4：資料編碼一覽表 ... 59 表 4- 1：（1）Q1 學生學習單表現 ... 68 表 4- 2：（1）Q2 學生學習單表現 ... 70 表 4- 3：（1）Q3 學生學習單表現 ... 72 表 4- 4：活動 1 答題正確率 ... 78 表 4- 5：（2）Q1 學生學習單表現 ... 85 表 4- 6：（2）Q2 學生學習單表現 ... 88 表 4- 7：（2）Q3 學生學習單表現 ... 90 表 4- 8：活動 2 答題正確率 ... 94 表 4- 9：（3）Q1 學生學習單表現 ... 101 表 4- 10：（3）Q2 學生學習單表現 ... 104 表 4- 11：（3）Q3 學生學習單表現 ... 107 表 4- 12：活動 3 答題正確率 ... 113 表 4- 13：（4）Q1 學生學習單表現 ... 118 表 4- 14：（4）Q2 生學習單表現 ... 119 表 4- 15：（4）Q3 學生學習單表現 ... 120 表 4- 16：活動 4 答題正確率 ... 123 表 4- 17：（5）Q1 學生學習單表現 ... 131 表 4- 18：（5）Q2 學生學習單表現 ... 132 表 4- 19：（5）Q3 學生學習單表現 ... 133 表 4- 20：活動 5 答題正確率 ... 138

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VI

圖

次

圖 2- 1 學習軌道執行的歷程 ... 9 圖 3- 1 研究架構圖 ... 33 圖 3- 2 分數比較流程圖 ... 62 圖 4- 1 L01B 的解題過程 ... 92 圖 4- 2 正確畫出 3 1 和 6 1 的解題內容 ... 105 圖 4- 3 正確畫出 3 1 和 3 1 的解題內容 ... 105 圖 4- 4 3 1 正確而 3 1 未畫正確者 ... 106 圖 4- 5 3 1 正確而 3 1 未畫正確者 ... 106 圖 4- 6 L01A 的解題表現 ... 121 圖 4- 7 M01B 解題表現 ... 135 圖 4- 8 假設性學習軌道修正圖 ... 140

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1

緒論

第一章

本研究主要目的將學習軌道理論應用在國小分數比較概念上，探究學生分數比較概念學習以提升數學的學習表現。本章分成三節論述，第一節為研究動機，第二節為研究問題，第三節為名詞釋義，內容分述如下。

研究動機

第一節

生活處處皆數學，不論是孩子們一出生大家即關注的體重、身高多高，長大後的分糖果、餅乾，切蛋糕，生活所需的零用錢等，樣樣都離不開數學。因此，數學無時無刻生活在你的生活裡。但問到「喜歡數學嗎?」，學生們的臉上多是掛上三條線。研究者進入教學職場後，面對孩子們對於數學的無助與無奈，總希望能幫上一把。期許孩子經過引導後，能夠釐清數學概念，對於數學的偏見能扭轉過來，這是教師需要面對並解決的課業。上了小學後，孩子們開始進入分數課程時，分數為平分概念，若平分概念不穩固，便會影響往後其它概念的學習，因此對於大多的學童而言數學開始變困難了。在國小數學教育階段中，有關數概念的學習，佔所有數學概念的學習的三分之二左右，是小學數學教育中的主要內容。在九年一貫數學學習領域的能力指標中（教育部，2008），在「數與量」部分，分數就佔了13個，分數在國小數學的重要性可見一斑。而研究者從各出版社所出版的數學教科書中，不難發現，從小學三年級開始到六年級，每個年級的上下冊中皆有分數概念的學習。可以見得分數的學習有其順序性、繼續性以及重要性。然學生面臨分數概念的學習，似乎不如整數概念來得理想。孩童對數字強烈的認識，導致學習分數比較時有困難（張英傑，2005）。單位分數是學童進入分數概念時，最早學到而且是最簡單的分數形式。然研究者於教學中發現班上五年級學童，即使已經學過單位分數、通分、約分等分數

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2 概念，但在遇到與比較大小時，卻受到整數概念的影響而過度類化，致使認為 12 1 ＞ 11 1 。再進一步探討，發現其對於分數概念有許多迷思，如，為何要通分、如何找出兩分母的最小公倍數……等，多是知其然，而不知所以然。又或者，在進行同分母分數的大小比較時，常只以分子大小作比較，即只用整數的大小比較為解題策略，因此學生未注意到必須在相同的單位量下，才可以使用此策略。亦即學生會直接去比較分子的大小，但若是在異分母的情況下，學生常常忽略其單位是不同的。在數學教育領域中，不管是教學現場或是相關的研究，教師與研究者皆感到兒童在分數單元上的學習困難，而造成這種現象的原因，除分數本身的複雜度外，教師的教學方式亦是重要的的因素之一（林福來、黃敏晃、呂玉琴、譚寧君，1992）在分數的教學上，教師往往著重於分數算則的演算，要求兒童進行公式技巧演練，少將分數概念與兒童的生活情境與認知理解進行連結，導致兒童雖能運用算則取得答案，但卻不瞭解其答案甚至於公式應用與演算過程中每步驟的意義。如此一來，兒童僅會機械式地使用演算技巧，但並未理解與獲得分數意義，更無法連結或應用於生活情境中。考特說：『數學是人類智慧皇冠上最燦爛的明珠』。因此我們不該是將學生孤立在知識的象牙塔裡。數學教學的目的之一是要讓學生有全面性的能力，學生藉由教學在教學過程中，體會、理解、學習一個新的概念可以連結此一概念相關的概念，進而進行新概念的溝通，培養學生的推理能力（呂玉琴，2009）。近年來，隨著國人對於教育品質的訴求及各國教改之脈動，國中小課程標準歷經八十二年級的新課程改革後，教材開始重視數學問題之理解，不論是在教材或是教法上，都有了重大的改革。學習數學不應再是囫圇吞棗背公式，而應是透過教材的教與學，讓數學知識對學生產生意義，以期提升學生的數學能力。研究者原本希望透過「分數比較」補救教學的研究，來協助學生提升學習成就，但在經過與參與補救教學的同事討論，及教授專家討論，發現補救教學似乎

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3 只是換個時間，換個地點，同樣的教師將上課的內容再講述一遍，原本學生不瞭解教師講解的方法，教師以同樣的方法再說一次，並不會使學生的概念更清楚，而教師對於學生的學習歷程、思考路徑仍無法掌握。在研究所修課時，教授提及「學習軌道」理論的發展與應用，能幫助教師了解學生學習歷程序順序，並了解如何在適當的時機施予適合的教學方案，而此教學方法在國外已逐漸受到重視。補救教學與學習軌道的學習，兩者在經過權衡後，前者是在教學後發現學生的困難，再進行學習的補強，此種方式需要後續更多人力與時間的加入；而後者則在教學前預先安排設計課程，從中去發現學生的思考過程，進而理解學生的思考與解決問題方式，此種方法教師可以即時掌握學生的數學概念，給予適當的協助。比較過後，發現學習軌道較貼近班級教學的需求，故研究者將原本補救教學的主題改為以學習軌道理論進行教學實驗。藉由學習軌道理論的教學設計與教學順序的安排，以期協助學生進行有效的學習。引導學生思考數學的意義，而這不只是教育改革的潮流，更是數學教育努力的方向。因此本研究乃設計分數比較的假設性學習軌道，希冀藉由一步一步的教學階梯築起學生分數概念的軌道。

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研究目的與問題

第二節

本研究目的在於運用「學習軌道」理論進行分數比較的教學實驗，透過教師初步的設計與建構出教學順序，以期透過目標設定、學習作業的安排，瞭解教學實驗的班級學生，在課堂上學習分數概念的思考和討論歷程，協助掌握學生概念的發展，而給予後續的教學方案的調整。進而提供教師教學省思及發現學生學習路徑中存在的問題盲點，可以在未來適當的時機給予學生適當的協助。基於上述內容，本研究要探討的問題如下：一、學生對同分母異分子分數之比較表現為何? 二、學生對等值分數的理解表現為何? 三、學生對單位分數之比較表現為何? 四、學生對異分母之分數比較表現為何? 五、學生對分數大小之解題表現為何?

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5

名詞釋義

第三節

壹、

分數

分數概念起源在於「分」，是用來解決量的問題中，不滿一個單位量之情境（呂玉琴，1997）。而在九年一貫數學課程綱要（2004）中指出分數有四種意涵：平分、測量、比例、部分/全體，最核心的意涵為「除的意涵」。分數能化為𝑎 𝑏的型式，且 a、b 皆為整數，而其中 b 不為 0，稱為分數;a 稱之為分子，b 稱為分母;若 0＜a＜b 時，𝑎 𝑏稱為真分數;若 0＜b≤a， 𝑎 𝑏則稱之為假分數;如13 5的分數，則稱為帶分數。而本研究將針對真分數的分數比較做探討。

貳、學習軌道

指一種臆測性的課程實驗設計，以建構主義的觀點，根據教學目標、學習階層，設計學生學習路徑的歷程假設。而學習軌道因學生不同的差異，呈現不同的路徑，但其皆能達成同一目標。在教學進行中，教師可依個別差異進行設程設計及教學順序的安排，進而檢視作業，修正假設性學習軌道。縮短企圖課程、實施課程與學生實際課程成就間的差距。本研究指教師在進行分數比較教學時，依據「同分母異分子分數之比較；理解等值分數；進行單位分數之比較；進行異分母之分數比較；分數比大小之解題應用」之教學順序，稱之。

參、單位量

單位量又稱整體量，也叫單位-整體量概念，是分數概念下一的個子概念。一盒蛋糕裡有 10 個小蛋糕，當我們提到𝟐 𝟓個蛋糕，1 個蛋糕就是單位量;如果我們提說𝟐 𝟓盒蛋糕，則 10 個（1 盒）蛋糕才是單位量。

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肆、面積模式

面積模式所表徵的對象是連續的物體。如：一塊 pizza、一塊蛋糕等。在分數教學上可使用圓形「餅」片、長方形、釘板、摺紙都是可用的模式。

伍、離散模式

離散模式所表徵的對象是不連續的物體，例如：12 罐飲料、10 顆雞蛋、 30 顆搪果等。在離散模式中，把一集合的物件看成是整體，整體中部分群組就產生了分數的部分。而把一組可數物的集合當作是一個單一的實體，對國小的學生來說是有困難的。然後，離散模式的教材能幫助學童建立許多使用分數的真實世界和有理數概念的重要連結。

陸、長度模式

長度模式所表徵的對象是連續、線條形狀的物體，例如：緞帶、繩子、古氏積木、摺紙條等。長度模式為有意義的測量概念，因此對兒童的分數概念發展很重要。

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7

第二章

文獻探討

依據研究目的，本研究在探討學習軌道在分數比較教學上的應用及學生表現，相關的文獻探討共分為三節。第一節學習軌道理論，第二節分數概念之發展，第三節分數教材分析。

學習軌道理論

第一節

「學習軌道」的理念是來自於真實數學教育（Realistic Mathematics Education ,

RME）的脈絡問題或真實世界問題，所使用的一種預想性課程實驗設計。透過重要數學理念和特殊意義的目標，對學生可能學習路徑的推測，在教學活動中順

著這樣的路徑邁進，以支持和組織學生學習上可能的「假設性學習軌道」（hypothetical learning trajectories, HLTs）。

學習軌道理論之定義

壹、

「學習軌道」係指在相關的數學領域，教學者透過良好設計的教學作業，產出心智運作的步驟或行動說明學生如何思考與學習，協助學生邁向更高層次進展，以創造達成數學領域目標成就的動力。Gravemeijer 和 Doorman（1999）指出，具脈絡性的問題在 RME 中扮演了核心的角色。所謂真實問題，其定義是問題的情境，對於學生在經驗上是真實的。因此，純數學問題也可能成為具脈絡的問題。 Yang （2006）指出，教學研究中運用「過程導向教學模式」將真實生活情境融入教學活動中，發現學生能應用、連結真實生活情境中的數學概念時，學生就能瞭解數學的重要性和實用性。顏富明和張靜嚳（2011）將真實數學教育觀點設計解題活動經驗分享，而其研究中可發現，教師設計出具情境脈絡的活動能促進學生解題。活動中將問題由易而難的呈現，能激發學生探究的興趣及產生高階的數學思維。黃國勳和劉祥通（2006）指出，真實情境活動能激勵學生主動學習，學生在教師營造的情境中產生良好的互動，以及思考和探究，藉由情境所引發的問題能協助學生學習與思考更深、更廣的層次。

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8 因此，假設性學習軌道發展透過教師將真實情境融入課堂上，師生在情境內有良好的互動，引導學生對問題的思考與探究歷程，能提供教學者掌握學生知識的發展，進一步提供有效的教學方案，促使目標達成。

學習軌道理論之內涵

貳、

「學習軌道」（learning trajectories, LTs）是一種假設性的概念，用來描述學習必須處理的路徑，且配合課程設計的實施方式，提供教師、學生評估學習進展、確認及報告學習成果的一個參照架構，大多用在數學重要的理念或特殊的意義目標，從個別開始的起點朝向企圖學習目標進展，以進行推測學生可能的學習路徑，並用這樣的路徑編排教學活動，組織學生概念知識，以啟發式教學的步驟進行。 Wilson、Sztajn、Edgington 和 Myers（2015）透過學生的思考作為引導教學的前提，教師才能確實掌握學生的知覺，而教室的環境呈現需以學生為中心的方式，理解學生從非正式到正式發展通道的路徑，並依據這個歷程設計教學活動。依照學生的思考進行組織教學，能增加學生的成就表現，及提升教師的專業學習。在教學之前透過教師對專業科目的理解，且注意學生的先備知識，連結教師思考對教學與學習的假設，將能理解如何引導學生概念學習，且在數學教育的研究中，顯示教師對學生數學學習思考的掌握，將會改變教師對學生的數學、信念及教學實務的相關知識。 Simon 和 Tzur （2004）提出學習軌道廣泛應用在研究和實際教學中，認為學習的歷程是一個重要的因素，他們提出學習軌道使用四項原則的定義： 1. 學習軌道的產生是基於對於學生現有知識的理解。 2. 為針對特定數學概念規劃學習的一種方法。 3. 為促進特定數學概念的學習，訂定教學的任務，且教學過程則是一個關鍵的部分。 4. 學習軌道具不確定性，教師須定期參與教學及修改。

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9 根據 Clements 與 Sarama 的論述，學習軌道的形成涉及兩個部分：第一，對兒童在某個重要數學觀念上之學習與路徑的臆測，及可以支持學習沿著此一路徑進行之教學活動的臆測。換言之，教師先對學童在某個數學概念上的學習進程進行臆測，再據以安排適當的教學活動，進而重構其概念，成為較進階的概念。在教學實務中，教師透過對真實學習軌道的理解而形成假設性學習軌道，在這真實、假設迭起的歷程，教學形成學習軌道的發展與修正，真正學習軌道的回溯分析，形成了教室教學實驗的修正。 Gravemeijer （1999）主張，每個數學議題其建構的歷程為三階段：實驗準備、教學實驗、回溯分析。其學習軌道之歷程可參考，內容說明如圖 2- 1：

資料來源：修改自 Gravemeijer, K. P. E. (1999). How emergent models may foster

the constitution of formal mathematics. Mathematical Thinking and Learning, 1(2), 155-177.

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10 一、教學實驗前的準備 教師藉由以往經驗假想學生的能力，設計學生可理解的教學活動，建構預期性的教學實驗。這些實驗呈現教師對所建構的假設性學習軌道之臆測，在教學實驗裡如何進行嘗試、意圖和改善這些設計的活動。例如學生學習分數比較，教師則需對學生學習此教材設定明確的教學目標：學生能理解分數的意義，然後想像學生學習分數比較所需擁有的相關數學概念和能力，例如「單位分數」、「等值分數」、「約分」、「擴分」的知識，針對這些數學知識選擇合適之教材與方法設計教學活動，並臆測學生學習活動的順序，而形成「假設性學習軌道」。這就是Clements 與Sarama（2004）在LT中強調三個部分：數學目標（goal）、教學任務（instructional tasks）、學習歷程的假設（progressions），與Simon（1995）所指出教室裡的教學工作三要素有相同概念。這三部分應帶入教學工作中，概述如下： (一) 數學目標假設性學習軌道發展的第一階段，為數學目標或初步的軌道，來自三面向的觀點。第一來自教師對數學的知識與數學教學知識和從學生身上非正式的發展研究而來；第二來自建構主義的理論和研究，它提供了數學目標更詳細的基礎；第三則是將數學視為正式數學教與學及研究產生的一項重要工作，以發展出數學目標。 (二) 教學任務假設性學習軌道將理論與課程間的相互發展視為主要目標，並做實際上的應用。有別於先前研究為學習順序下定義，假設性學習軌道理論敘述教學進行時作業情境的評估，進行有關教育上的實驗，用來做學習軌道的初步和順序的評估，進而加以修正，提供下一階段教學的參考。 (三) 學習歷程的假設假設性學習軌道研究多探討歷程的發展與改變，此一學習歷程的假設

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11 透過建構主義的觀點可以轉化為學生學習歷程的假說，能就學童在數學學習上提供應具備的知識，及發展的描述。 二、進行教學實驗 進行教學實驗為第二階段，此階段需檢驗和修正之前設計的一系列教學活動。臆測產生支持或被反駁，另一新的臆測便發展並被檢驗，因而產生小型循環歷程，直最終結果的產生。而教學實驗包括了對於預期目標的檢驗、教學活動的執行、課堂內教學觀察和分析，與評量的臆測。 三、資料回溯分析 此階段為教師對自身教學的省思階段，透過師生在課堂上的互動與學生的作業回饋，分析自己的教學成效，評估需要修正的部分，建構出教學順序的軌道，目的是對特殊的教室情境所產生的假設性學習軌道發展，做描述說明，以便支持學習順序，並對理論內容及實證資料兩者加以思考與調整。

學習軌道理論相關研究

參、

一、 Clements 和 Sarama （2004, 2009）的研究 Clements 和 Sarama（2004）認為學習軌道包含數學目標、學生在整個特殊領城前進的發展進程，符合這些不同進展層次的活動。且描述目標設定和發展之間的關係是「包括建構在數學目標上並跨越幾個性質，逐漸聰慧、複雜、抽象和歸納之不同結構層次的歷程」，設計和排序重要作業以支持學生在發展進程裡某一概念層次或標的的理解。Clements 和 Sarama（2004）區分特殊的心智結構和推理樣式以說明學生在每一進展層次上的思考。 Clements 和 Sarama（2009）發展了數字、運算與幾何領域等 10 種相關的 LTs，範圍從 0 到 8 歲，這些學習軌道的教學活動設計是針對轉移學生的從某一層次到下一層次。

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12 二、 Corcoran、Mosher 和 Rogat （2009）的研究 Corcoran 等人將學習軌道的基礎要素思考為下列 5 點： (一) 學習的終點可以藉由學科之核心概念和議題而定義，例如：數學。 (二) 進展的變數可隨著時間發展，從知識的維度辨識。 (三) 進展的層次說明大多數學生獲得能力的發展。 (四) 學習的表現為學生在進展的位置提供評量和活動發展的條件。 (五) 評量測量學生隨著時間演變之概念知識的發展。 三、 Daro、Mosher 與 Corcoran（2011）的研究 Daro 等人針對不同的議題蒐集了 18 種不同的學習軌道，他們的分析中指出存在的軌道在每個範圍、錯誤概念的運用及細節的層次上及軌道裡的作業角色都不同。研究建議存在的學習軌道持續要進一步的實證，雖然學習軌道間存在著差異他們呼籲研究者要去「為教學轉變適合的學習軌道，使其成為有具的工具」 四、 Wilson （2009）的研究 Wilson 讓現職教師運用等分割學習軌道，並進一步理解與教師自己知識有關的學習軌道，藉由提供教師有關學生數學概念之思考架構，Wilson 認為學習軌道支持教師在創造學生的思考模式，明確辨識學生下一階段需要學習的概念。 五、陳嘉皇（2005）的研究 研究指出「學習軌道」若設計良好，能協助教師提升學生在學習新的數學概念之發展，在數學領域上可以提供以下之貢獻： (一) 學生在學習歷程產生困難，可提供額外的路徑及資源，協助其利用不同策略進行解題。 (二) 融合「學習軌道」理論創發及設計的面積文本，能有效的激發學生對面積概念之應用與表達。

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13 (三) 為增進學習活動順序產生效果，可於學生學習歷程中對混淆的影響因素加以釐清。 (四) 協助教師在新作業中，關於學生所需的能力或精熟度做深入理解。 (五) 可協助教師在教學實務上思索學生概念發展上的優、缺點，並搭起鷹架，提升學生學習潛能。 (六) 設計的教學活動可激發學生溝通學習，培養民主素養及合作學習的精神。 (七) 配合學生不同的學習風格，安排適當刺激與學習材料，塑造有意義且具人文觀點之學習情境。 (八) 對於學生學習作業的內涵，可容納複雜、多元的概念，協助學生進行統整、連貫的學習，獲得更加完備的知識。 (九) 選擇安排的教學內容可擴充學生認知圖像的要素，增進以認知為主評量的效果。綜合上述研究可以發現，教師在學生概念發展的過程中，對學生思考的理解，給學習路徑提供協助與學習方案，應能收到一定的成效。學習軌道從計畫、教學到評量，協助教學理解學生思考進程，了解學生在學習歷程中可能產生的問題，並透過額外的路徑或資源去擴充學生的經驗或採不同策略幫助學生，支持教師在教育現場形成一種重要的教學活動。根據教師對課程的理解與分析、目標的設定，以及學生學習狀況的預期，提供良好的學習路徑，從而促進學生的數學概念學習與發展。概念學習過程中，引導學生從基礎知識開始，等建立好基礎，再繼續往下一階段邁進，而這些學習歷程是相互支持且息息相關。配合學習軌道學生得以有效率且有系統地學習新概念，在建構新概念前，能鞏固已有的概念，並利用先備知識進入更深入的學習。因此，學習軌道理論及其相關研究提供了本研究探討學生在分數比較時

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14 的參考，運用學習軌道理論之概念，對教材做分析，使得教師在教學現場不再依賴教科書，而是尋出適合學生的學習路徑。在教學中，數學作業仍以教科書所附的數學習作為主，而其內容為依照教科書編排之進度設計的各類型題目，教師在批改學生之數學習作時，不應該單單只是把它當作例行性工作，而應該仔細從學生的作答中檢視、思索，瞭解學生的學習困難之處與概念不足的部分；若不瞭解學生作答用意時，可請學生做說明與解釋，以瞭解其用意。另外，教師也可判斷是否需針對學生對於某一單元內容的學習來設計學習單，從學生回饋的學習單中，瞭解學生的學習狀況及概念的理解情形，並視學生程度予以適當的學習補救。而教師可從學習單的回饋內容，修正教學內容或教學方法，使學生能達到最好的學習成效。教師在課堂中重視學生解決問題的互動與相互回饋，以提升學生的數學概念。而學習軌道的回溯更提供教師教學時的數學思考與問題解決的表現，提供了教師省思、修正學習軌道，以增廣學生的學習經驗及對概念的理解。

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分數概念之發展

第二節

分數概念之相關研究

壹、

本研究旨在設計學習分數比較之學習軌道，因此欲設計學習軌道前需事先了解分數概念。本研究分數概念包含等分概念、單位分數概念、單位量概念與單位分數比大小。研究者針對分數相關概念研究整理如下。 一、等分概念 學生在正式接受分數課程時，大多從分東西的經驗出發，而教材中常使用已經等分好的圖形來介紹分數，無需學生親自動手去分。因此，在許多的研究中發現學生會忽略了「等」分的重要性，而只注意其分割的分數，也就是說忽略了分數是要對整體進行等分割的活動（林福來，1996）。許多研究亦發現學生在處理分數時，在「等分概念」產生了迷思，其整理如下。 (一) 呂玉琴（1993）的研究 1. 將連續量分成兩份，但兩份不一樣大小。 2. 將同樣大小的離散量分成兩份，但兩份個數不一樣多。 3. 將不同大小的離散量分成個數相同的兩份，但兩份的總量不一樣多。 (二) Bergeron 和 Herscovics （1987）的研究兒童的等分概念並不完備，例如：大部分國小三年級學童在處理分數板的問題時，只注意到分數板分割成幾塊，而未注意到分割的每一塊是否相等。 (三) 林福來、黃敏晃和呂玉琴（1996）的研究 1. 將連續量分成兩份，但兩份大小不一樣。 2. 將同樣大小的離散量（個數不超過 10 個，且為偶數）分成兩份，但兩份個數不一樣多。 3. 將不同大小的離散量分成數個相同的兩份，但總量不一樣多。 (四) 黃志敘和楊德清（2007）的研究缺乏等分概念，在內容物不等的情況下，忽略每一份之大小須相等的

(24)

16 概念。由上可知學生在解分數問題時容易忽略連續量或離散量未等分的問題，或者在東西非等分的狀況下卻認為已經是等分了；在視覺上，當圖形有所差異時，也會影響學生對於等分的判斷，其原因為缺乏等分概念。 二、等值分數 等值分數是異分母分數大小比較的前置概念（林碧珍，2007），且對於意義化分數乘法或分數除法的學習上，扮演著重要的角色，因此對學生來說是個重要的學習題材，但卻又不易概念化，亦是教師較易忽略的意義化題材。周筱亭和黃敏晃（2001）認為等值分數是指在選取基準單位量的情境下，兩分數雖然等分割的份數和合成份數不相等，但兩個分數所代表的量卻是一樣多的。等值分數從表徵上之意義是一個量的再分割，所形成擴分的等值分數。也可以說明為將數個量合併，而形成約分的等值分數。不論是透過擴分或約分，其所產生新的分數與原來分數是具有等值意義，並未改變分量與全部的相對關係。影響學生等值分數概念的因素很多，包括：單位形成能力（unitize ability）、組合能力（assembly ability）、彈性思考能力（flexible thinking ability）、運作思

考能力（operative thinking ability）。當缺乏這些能力時，學生無法正確解決等值分數問題。 1. 單位形成的能力：在Saenz-Ludlow（1994, 1995）研究中，兒童如果不能在圖形中找到適當的單位，將指定的部份量分完，再利用這個單位重組成全部或集合（這種能力即為「單位形成能力」），則兒童無法正確解決等值分數問題。 2. 組合能力：在呂玉琴（1991b）的研究中即發現兒童缺乏組合能力。在處理等值分數的過程中，兒童若能主動的呈現切割、拼湊的能力，將有助於兒童解決

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17 問題。 3. 彈性思考能力： Larson（1980）利用數線上不同的等分割，來了解兒童的等值分數概念。研究結果顯示，當單位等分割段等於分母時，兒童很輕易就可以解題；但是當單位等分割段與分母不相等時，學童如果對等值分數缺乏

彈性思考能力，學童的表現就很差。Behr , Wachsmuth, Post & Lesh. （1984）認為為彈性思考能力量影響兒童等值分數概念的重要因素之一。

因為具備彈性思考能力的學童，可以在表徵系統之內自由轉換。

4. 運作思考能力：

Kamii 和 Clark（1995）依 Piaget 的理論提出兒童等值分數的概念與思考的運作有關，例如：長方形的一半，因為不同的分割法，結果可能是長方形，也可能是三角形。兒童因長方形和三角形兩個形狀不同，看起來是不一樣大的，而認為長方形和三角形是不一樣大；但兒童如果知覺整體相同而整體的一半也相同時，就不受視覺影響，而能推論出三角形和長方形是一樣大的，因為兩者都是原長方形的1 2。因三角形和長方形的形狀不同，便認為兩者的大小不一樣的兒童便是缺乏「運作思考能力」。綜上所述，等值分數是學習數學路上重要的一題材，對等值分數的熟悉程度，可協助學生在日後比較異分母分數與進行分數運算時能有較好的表現，而讓學生實際操作或是透過圖示，實際經驗等值分數在不同的表徵間轉換，對學生在等值分數概念及運算規則背後的意義能產生有意義的理解。

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18 三、單位量 呂玉琴（1991a）指出學童在處理「部分/全體」，「子集/集合」或數線的分數問題時，都有單位量指認的困難。Figueras（1989）將學生在處理「部分/全體」及「子集合/集合」的分數問題時，對單位量指認錯誤分成三種類型： (一) 忽略給定的單位量 Figueras（1989）將此種錯誤類型又細分成三種。 1. 忽略所有的個數才是單位量。 2. 學童忽略等值分數，故不認為所有的個數是單位量，而只圈出和分母數字相同的個數來代表單位量，再由此單位量中找出答案。 3. 學童無法看出整個圖形是單位量，而將圖形分成二部分，並視分數為這二部分的比較結果。（二）受分子控制解題過程受分子影響，只考慮問題裡分子的部分。例如：盒子裡有 3 枝筆，占一盒筆的3 12，學生受分子是 3 的影響而出現「3 份」、「 1 3」的答案。（三）受分母控制解題過程受分母影響，只考慮問題裡分母的部分。例如：從圖形裡的 12 枝筆，圈出全部的1 4，學生受分母是 4 的影響而圈了 4 枝筆。另外，林福來等人（1996）研究發現兒童在單位量的錯誤如下： (一) 學生傾向於自我假設在同一情境中出現的各個分數具有相同的單位量。 (二) 資訊量超過學生的處理能力時，學生會配合其處理能力，自行更改單位量，或分解單位量。詹婉華（2003）研究高年級學生發現，有 49%的學生在處理「單位量概念問題時，有不正確的概念。如：大雄有 16 顆蘋果，靜香有 8 顆蘋果，大雄

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19 拿了自已全部蘋果的3 8，靜香拿了自已全部蘋果的 5 8。兩個人蘋果個數不同，卻忽略了「給定單位量」的問題，而以為只要比較5 8和 3 8就好。綜上文獻可知，學生不論是在連續量或離散量的情境下，都有單位量指認錯誤的問題。學生有時會忽略給定的單位量，遇到在未給單位量的問題，也只會根據題目裡所呈現的其他分數符號來比較，而未思考到單位量的問題。因此，教師在教學過程中若未讓學生指認單位量，學生便無法有效建立完整的單位量概念。因此，研究者思索應設計出什麼樣的教學活動，能發掘出有單位量迷思的學生，並針對單位量之迷思概念的修正。

學生分數概念發展之相關研究

貳、

一、分數概念發展 （一）兒童分數概念的發展 Piaget、Inhelder 和 Szeminska （1960）等人提出兒童的認知發展是有階段性且漸進的，因此就其主張的兒童認知發展論，設計活動研究兒童分數概念的發展情形，發現學童在處理分割問題時，先學會處理𝟏 𝟐，接著是 1 4，然後是 𝟏 𝟑，再來是𝟏 𝟓、 1 6。為探討兒童如何建構部分與整體的關係而形成分數的概念，Piaget 等人使用連續量的具體物研究 4 歲到 7 歲兒童對面積的分割行為，研究發現，兒童的分數概念發展可分為五個階段： 1. 4 歲到 4 歲半的兒童 在分割之前沒有預想，因此對於將一個物體一分為二感到非常困難。若是不同形狀的分割，以長方形最簡單，接著是對圓形分割，正方形對這時期的兒童來說是最困難。缺乏部分和全體之間的關係，是這階段的最大特徵。 2. 4 歲到 6 歲的兒童能有規律地將少數物體分成二分，但若是整體增加或變大，則其便無

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20 法完成。在此階段將物體分成三等份的能力尚未表現，但在分割圖形中善於解決長方形的問題。 3. 6 歲到 7 歲的兒童能在具體操作的情境下，將物體三等分。此階段的兒童具有整體的保留概念，如分 pizza，能夠了解各個分割塊數總量與整個餅是一樣的，也就是說此階段的兒童已了解部分和整體的關係。 4. 10 歲左右的兒童此階段的兒童能將物體六等分。其順序是先將分三等分，再將所得的三塊餅各分為二等分。

（二） Piaget, Inhelder 和 Szeminska（1960）的研究還發現兒童在了解分數

運算前，必須具備以上七個子概念： 1. 要有一個可以除盡的全體，才有分數的思考。 2. 一個分數包含各部分的限定數，即分配東西時，各部分須與接受者相對應。 3. 子分割活動中，全體必須分割完，沒有剩餘。 4. 全體被切割成各部分的數與切害數之間有固定的關係。 5. 分數的概念意指分割後的每一個部分都是相等的。 6. 兒童操作再細分的部分概念時，了解細分的部分是再細分的全體，也就是全體的一部份。 7. 因此部分的總和等於全體，所以全體維持不變。 Hiebert 和 Tonnessen （1978）探討兒童在連續量及離散量的分數概念發展，是否都需要Piaget 等人（1960）所提的七個子概念，其研究發現兒童在處理和面積有關的分數問題時，其能力與Piaget等人的研究結果相同。但在處理和長度有關的分數問題時，先會處理1 2，其次卻是 1 3、 1 4、 1 5...，與 Piaget 等人研究相異。

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21

National Council of Teachers of Mathematics（NCTM, 1994）的研究表示，如果沒有從學童的生活經驗出發及在學童本身基礎知識沒有發展完整時，學童是很難建立抽象符號的概念。研究顯示學童的生活經驗無法與分數符號產生連結。在Mack（1990）的研究中，三位六年級學童的分數非正式知識，無法與分數符號及算則產生連結。這些學童在分東西時能正確的比較東西的大小，卻無法比較分數符號的大小。（三）國內學者甯自強（1997）依據學童在不同階段的運思方式，將分數概念分成五個層次，內涵如下： 1. 分數的前置概念兒童為序列性合成運思，具有數概念與分割活動，但分割活動未能將子分割單位數值化，其分數詞為並置類型，此階段兒童尚未具備分數概念，其特徵是以直覺來進行分割活動或者只有部分概念而缺乏部分與整體之概念。 2. 起始單位分數兒童為累進性合成運思，此時兒童能將子分割單位的分子內嵌於子分割單位的分母部分，此分數詞為「內嵌並置類型」。但此並置關係，無法進行單位分數的累積活動。 3. 加法性分數兒童為部分全體運思，原先內嵌於集聚單位中的子分割單位，自集聚單位中脫嵌而出，此時子分割單位成為單位分數，已能掌握單位分量與單位量間部分與全體之關係。 4. 巢狀分數此階段兒童為測量運思，具有雙向的部分與全體運思與子分割單位化概念，因此兒童知道能將𝟏 𝟐分割成 𝟐 𝟒，而 𝟏 𝟐

=

𝟐 𝟒。 5. 有理數概念

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22 為兩個部分與全體的重組，兒童具備部分與全體的雙向運思，更能以分數為測量單位，同時能比較兩個分數。因此在此階段的兒童具有等比例運思與等值分數的概念。 (四) 張熙明（2004）歸納甯自強、Piaget 等人的觀點，認為兒童的分數概念應該包含四個要素，分別敘述如下： 1. 對單位量的認知處理分數問題最重要的一個概念就是單位量的指認，例如：學生在回答一盒糖果有30顆，其中的一顆是幾盒的問題時，能夠回答三十分之一盒；或者是一盒糖果有30顆時，學生能夠將𝟏 𝟓盒視為30顆糖果的5 等份中的一份，也就是6顆糖果；𝟐 𝟓盒視為30顆糖果五等份中的2份，也就是12顆。學生在解題時，能夠將給定的單位量內容視為一個整體，再分辨所給定的單位「盒」和單位分量「個」之間的關係後，在予以分割。 2. 應分完而且沒有餘數的等分割概念處理完分數問題另一個重要的概念就是必須有一個可以除盡的全體才會有分數的思考程序。學生開始接觸正式的分數課程時，大多從分東西的經驗出發，然後才以圓形圖或方形圖介紹分數，因此學生認為幾分之幾就是要做「分」的動作，而且分完沒有剩餘。例如：一盒雞蛋有 10 顆時，𝟏 𝟓盒就是 2 顆； 𝟐 𝟓盒就是 4 顆。因為 2 顆是一份，1 盒剛有是 5 等分。 3. 具有部分與整體間的關係處理分數問題重要的概念必須了解分數的意義，避免忽略了分數是要對整體進行等分割的活動（林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996）。分數是具有部分與整體間的關係，學生能視分數𝒂 𝒃為一個數，且a 為整數b 的

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23 部份（連續量情境）或a 為集合b 的子集（離散量情境）。例如：一箱飲料有12 罐時，𝟏 𝟑箱是4 罐，因為4 罐為1 份，1 箱剛好是3 份， 𝟏 𝟑箱是 3 份當中的其中1 份。 4. 單位分量（數）的確認處理分數問題重要的概念也包含單位分量（數）的確認。當兒童操作了再細分的部份概念或子分割時，他們了解到此細分的部份是全體的一部份，同時這一個細分的部份本身也是一個可以再細分的全體，因為分數是從全體而來，其全體始終不變。例如：學生在回答一箱飲料有12 罐，學生能夠將𝟏 𝟑箱視為12罐飲料中3等份中的一份，也就是4罐，這樣以4罐飲料為一份的量總共是3份為一盒，也就是12罐。學生在解題時，能夠將給定的單位量內容視為一個整體，再分辨所給定的單位「盒」和單位分量「個」之間的關係後，再予以分割，而分割後的每一部份都是相等的。教師在數學教學時，應注意學生各階段的能力發展，發展順序，予以適合的教材內容及適宜的教學方法，符合其階段能力，勿操之過急。教師在設計課程內容時，根據 Piaget 的認知發展論，國小五年級學童介於「具體操作期」和「形式操作期」，因此應著重具體的內容，過於抽象或是需要高度演繹推理之題材應避免。依學生階段能力發展，使學生能進入教師設計之學習軌道，進入學習目標，習得正確數學概念。 二、分數概念發展之相關研究 在國小階段，分數為最高層次的概念，學者林福來、黃敏晃和呂玉琴（1996）研究指出，學童在分數的學習上有諸多困難且成效不佳。分數是小學數學教育的核心課程之一，也是最有挑戰性的教學主題。其教學困難主要在於其以不同的表現形式（教育部，2008）。針對學生在分數常犯的迷思概念，整理如下。 (一) 李國家（2012）的研究 1. 低成就學生常認為「分母和分子為兩個分別獨立的整數」。

(32)

24 2. 在異分母分數比大小時，只以分母或分子的大小做比較。 3. 在異分母分數加減的錯誤類型主要有「分母加分母，分子加分子」與「分母減分母，分子減分子」。 (二) 林碧珍（2007）的研究低成就學生迷思概念在於認為擴分的等值分數比原來的等值分數大，是因為分割份數增加，而約分的等值分數誤以為讓原來的分數值變小。 (三) 楊德清和洪素敏（2008）的研究 1. 等分概念薄弱 2. 忽略單位量 (1) 受分子影響 (2) 受分母影響 (3) 受整數基模的影響，視分數𝒂 𝒃為兩個獨立的數。 (四) 林福來等人（1996）研究發現兒童在單位量的錯誤如下： 1. 學生傾向於自我假設在同一情境中出現的各個分數具有相同的單位量。 2. 資訊量超過學生的處理能力時，學生會配合其處理能力，自行更改單位量，或分解單位量。 (五) 許天維和易正明（2001）的研究學童多半錯用分數的運算符號或不正確地解釋運算式中數字的意義。 (六) 美國的全國教育發展評估（The National Assessment of Educational

Progress NAEP, Post, 1988）指出學生分數的成就低且概念也不完備，敘述如下：

1. 不了解分數的意義。

2. 對分數缺乏數感（number sense）。 3. 不知分數是數。

(33)

25 5. 以機械式的記憶規則來完成計算。 6. 對於分數的操作、數感等認知都有相當困難。 (七) Ni 和 Zhou (2005) 認為學生在學習分數概念時，會因為與學習整數的舊經驗產生衝突而導致學習困難。綜合以上文獻可知，學生不論是在連續量的情境或是離散量的情境，都會有單位量指認的困難。原因有三：學生忽略了給定的單位量，因分子、分母而改變單位量，在未給定單位量的分數問題時，學生也會依據題目裡所呈現的其他分數符號來做比較，而未思考到單位量的問題。若學生數學概念不完備，在學習分數上，會有很大的困難。 三、分數比較大小之相關研究 在分數概念或比較分數大小之相關研究（林福來，黃敏晃，1993；楊德清， 2003）可發現，學生能正確回答分數比較大小的問題，但卻不會說明為什麼。而詹婉華和呂玉琴（2004）的研究也發現，在分數比較大小的排序中，分子相同而以分母做比較的題目相較於以分母相同而用分子做比較的題目，學生對於前者感到困難，不易接受。研究者針對「分數比較」相關概念研究整理如下。 (一) 蔡職鴻和劉曼麗（2012）的研究 1. 當學生專注在單位分數的分母時，就會誤以為分母的數值愈大，其分數值就愈大；分母的數值愈小，其分數值就愈小。 2. 學童沒有了解分數的意義時，則會影響到其在單位分數比大小以及同分母分數比大小的答題表現，且會產生許多的迷思概念。 3. 對學生來說，要在分數表徵間進行轉換是困難的。 4. 直接比較分數值的大小而忽略當中的單位量。 (二) 楊壬孝（1989）的研究在分數比較大小的排序中，對學生而言「分子相同以分母做比較」的題目比「分母相同用分子做比較」的題目感到困難，不易完全接受。

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26 (三) 李國家（2012）的研究在異分母分數比大小時，只以分母或分子的大小做比較。 (四) 詹婉華和呂玉琴（2004）的研究在比較分數大小時，因等值分數概念的不完備學童不會將兩個分數視為兩個分數量比較，而出現以分子或分母比較的策略。 (五) 呂玉琴（1991a）的研究當學童欠缺等值分數概念，在做分數的大小比較時，便無法針對兩個分數的量來做比較，學童會把分數的分子、分母看成獨立的兩個自然數，而產生了下列四種策略： 1. 根據分母的大小來比較。 2. 根據分子的大小來比較。 3. 將分子、分母同加一個數來比較。 4. 分別比較兩個分數的分子、分母。綜合以上研究可發現，學生分數意義不瞭解，等值分數概念不完備時，會影響其對分數比較的解題，甚至在分數表徵間進行轉換，會覺得困難。學生先備概念影響學習成效，因此，設計學習軌道時，欲納入等值分數、單位分數、單位量等概念，強化學生先備概念，再進入異分母分數比較。

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27

分數教材分析

第三節

九年一貫課程綱要中分數相關主題

壹、

國小課程標準幾經課程改革後，教材開始重視對於數學問題的理解，且在教材和教法上都有了重大的變革。分數屬有理數範疇，依教育部頒布的九年一貫數學領域課程綱要（教育部，2008）說明小學的有理數教學必須釐清、練習並連結有理數的四種意涵－平分的意涵、測量的意涵、比例的意涵、部分/全體的意涵－最後歸結成日後數學學習中，有理數最核心的意涵─「除的意涵」。分數的啟蒙在三年級，學習的重點在初步認識分數，並解決同分母分數比較和加減問題。四年級時，延伸三年級的基礎，理解分數之意涵，認識真分數、假分數、帶分數與等值分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較與簡單異分母分數之比較。五年級為做異分母分數的比較與加減，分別介紹兩個數的公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數。學習利用約分、擴分處理等值分數的換算。再用通分做簡單異分母分數的比較。六年級時認識質數、合數，並運用短除法做質因數分解及求最大公因數、最小公倍數。認識互質的意義，並將分數約成最簡分數。能理解分數除法的意義及熟練其計算，並解決生活中的問題等。教師在課堂上教授學童分數概念前，應先瞭解九年一貫數學課程綱要分數能力指標，以瞭解學童在學習分數上的先備知識與教材內容。

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28 根據教育部（2008）九年一貫數學課程綱要，其中五年級分數能力指標與其分年細目列表如表 2- 1：資料來源：教育部九年一貫課程綱要數學學習領域。由上表可知，五年級數學分數能力指標強調等值分數、約分、擴分的意思，以及理解通分意義，並用來解決異分母分數的問題。數學是一個重視循序漸進的邏輯結構，學生學習的進程、思考路徑，在學習過程中都會一一呈現，學習順利的學生很自然的便能順著軌道行進在新的概念，但能力不足的學生可能停留在不同的學習路徑中。因此教材的安排上，不易滿足每位學生不同的需求。在教材分析中可以發現，教材的編排忽略數學能力偏低的學生一開始便進行約分、擴分是一種挑戰。有鑑於教材內容偏於中、上能力的學生，研究者參考能力指標 N-2-12、N-3-05 在學習軌道的設計補充等值分數、單位分數概念的強化，做修正、補充教科書缺少的教材，以彌補不同能力學生的需求。

南一版數學分數教材分析

貳、

本研究之實驗班級所用之數學教科書為南一版第九冊（南一，2014），分析此版本教材內容如下： 97 年分數能力指標分年細目 N-3-06 能理解等值分數、約分、擴分的意義。 5-n-06 能用約分、擴分處理等值分數的換算。 N-3-07 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。 5-n-07 能用通分做簡單異分母分數的比較與加減。表 2- 1：五年級解決異分母分數比較之能力指標與分年細目表

(37)

29 一、先備經驗 （一）利用個物的多寡比較單位分數的大小（二）利用等值分數做異分母分數的大小比較（三）同分母分數的加減（結真分數、假分數、帶分數） 二、學習要點 主要內容共有四點，分述如下： (一) 運用倍數，理解擴分的意義。學生能透過三個類型的例題，觀察分數擴分的情形。 1. 兩異分母分數（分母為倍數關係）比較的離散模式 2. 兩異分母分數（分母為倍數關係）比較的長度模式 3. 文字敘述兩分數等值但一分數之分子未知類型的面積模式 4. 兩分數等值但其中一分數的分母未知的運算類型 (二) 運用因數，理解約分的意義。學生能透過三個類型的例題，觀察分數約分的情形。。 1. 兩異分母分數（分母為倍數關係）比較的離散模式 2. 兩異分母分數（分母為倍數關係）比較的面積模式 3. 文字敘述兩分數等值但一分數之分子未知類型的長度模式 4. 兩分數等值但其中一分數的分母未知的運算類型 (三) 運用擴分和約分來理解通分的意義。運用擴分或約分，把不同分母化成相同分母再比較。 (四) 運用通分解決異分母分數的大小比較問題。 1. 兩異分母分數（非倍數關係）比較—運用擴分方式 2. 兩異分母分數（非倍數關係）比較—運用擴分方式 3. 兩異分母分數（非倍數關係）比較—運用約分方式 4. 兩異分母分數（非倍數關係）比較—運用約分方式

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30 5. 兩異分母假分數（非倍數關係）比較 6. 假分數與帶分數（非倍數關係）比較 7. 帶分數與帶分數（非倍數關係）比較 8. 單位分數比較 9. 同分子異分母分數比較 10. 同分子異分母分數概念統整 三、教材優點 (一) 擴分、約分 1. 題目除文字敘述外，並附有圖示且有提示分割的虛線。學生可從虛線分割，瞭解分數擴分的過程。 2. 題目兼顧了分數的三個模式，也就是說每個子單元都針對分數學習三種模式（長度模式、面積模式、離散模式）佈題。 3. 佈 2 題題目後，提示學生觀察算式解題，作擴分定義。 (二) 異分母分數的大小比較 1. 提示不同解題過程 2. 單位分數比較提供圖示，強化對單位分數之概念。 3. 單位分數比較外，亦佈題 1 減單位分數比較之類型 四、教材缺少的部分 (一) 擴分、約分缺乏檢驗學生先備知識是否完整之內容（如：等值分數）。 (二) 通分在擴分與約分的部分，皆有圖示，但在通分部分，卻缺乏圖示，皆以計算式表示，容易將學生導向偏重計算的習慣。 (三) 異分母分數的大小比較提供不同解題方式，但缺乏教導學生「主動學習」的能力。因解題過程

(39)

31 皆完整呈現，學生缺乏主動思考的動機。 (四) 圖形布題偏重在擴分、約分子單元，其它子單元少有圖示表徵之題目類型。分數比較概念需要有紮實的數學概念，如單位分數、等值分數、單位量等，學生若是先備數學概念不穩固或不完全，那在學習的過程中便無法理解教材內容、教師的教學內容而產生迷思概念，甚至產生學習挫折，造成惡性循環，學生便對數學沒了興趣、失去了信心。故教師的任務便需在教學前知道學生先備知識不足的地方，仔細思索每一單元內容的連貫性和教材不足的部分，若有需要，可適時調整單元順序；教學過程中，知道學生的迷思所在；教學後，瞭解學生學習成效，並針對需要再加強的概念，做適度補充或是對低成就學生做補救教學。而非一味地依照教科書內容實施教學，而忽略了「因材施教」。因此研究者期望能藉由學習軌道建構，設計出適合學生學習的順序，提示學生先備知識，順利進入軌道學習，達到學習目標。九年一貫課程強調以「學習者」為主體，在數學教育裡，每一個學生都有權利要求受到良好的數學教育，並充分瞭解數學概念及提升厚實的數學能力。而數學能力包括數學概念的理解、流利的基礎運算能力、合理性的推理、策略能力和有效地處理數學問題。教師應在教科書和學生能力間轉化，實施因材施教，提升學生的數學概念、均勻發展數學能力，才能落實「把每一位學生都帶上來」。

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33

第三章研究方法與步驟

本章內容分為六節，主要內容在說明採用之研究設計及實施方式，各節分別為，第一節「研究架構」、第二節「研究對象」、第三節「課程設計與實施」、第四節「資料蒐集與處理」、第五節「研究的信效度」、第六節「研究流程」。

第一節研究架構

本研究的目的旨在探討國小五年級學童在「分數比較大小」概念的解題歷程，根據 Simon（1995）提出的「假設性學習軌道」理論來設計教學內容與學習單，透過教學活動及各項任務設計，進行教學實驗，分析學生思考歷程。本研究採取質性教學實驗研究分為三階段進行。第一階段採用課堂分組討論方式，完成各項任務目標。再依其作答情形，進行分析。第二階段則以「半結構性晤談」方式對其在學習單上的迷思，做個別訪談，了解學童在此概念解題錯誤類型時的想法。協助學生在既定目標下，運用策略順利解題，以達到預期的成效。第三階段則「教師省思」，教師從學生個別差異、學習需求，考量課程設計及修改教學順序的安排，改善學習環境，以利學生學習。本分數比較研究架構的內涵包括：分析現行教科書分數單元教材運用假設性學習軌道理論進行課程設計學生的數學概念表現分析與教師省思進行假設性學習軌道之實驗教學二、理解等值分數三、進行單位分數之比較五、分數比大小之解題應用四、進行異分母之分數比較一、同分母異分子分數之比較圖 3- 1：研究架構圖

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南一版分數比較教材分析

壹、

為了形成初步的軌道與目標設定，在進行教學實驗之前，研究者針對實驗班級所使用之教材在分數比較的部分進行分析，了解教科書中所設定的教學目標、學習要點、對學生學習上可能的影響，以及臆測可能遇到的困難處，以便整理出在學習分數比較時，所應達成之目標，學生可能需要透過適當的學習軌道才能達到其目標。五年級南一版的分數比較教材從「擴分」、「約分」著手，再進行「通分」，其教學目標為希望學生能求出異分母分數的大小比較。但在教學活動中卻忽略了某些內容。例如：未檢視學生的先備知識是否完整（如分數的意義、從圖形解讀分數意義）、缺乏策略性教學（例如：一分母為另一分母的倍數時通分策略、分母比較之策略）、缺乏多種表徵（例如：在通分部分未使用圖形表徵，直接帶入符號運算）。因此，研究者在設計學習軌道時，將這些未呈現的部分帶入，使得學生能習得完整的數學概念。

假設性學習軌道理論課程設計

貳、

課程設計內容分為五個部分，內容如下：一、同分母異分子分數之比較；二、理解等值分數；三、進行單位分數之比較；四、進行異分母之分數比較；五、分數比大小之解題應用。前三節的課程屬於「提取舊經驗與強化學生的先備知識」；第四節課程活動，重點在於「不同單位量兩相比較」的解題活動。學生能針對兩個不同單位量的分數，運用所學來表達想法；第五節課活動，重點則是「分數比較解題策略之應用」，學生利用「比分母」、「擴分」、「約分」，做解題策略的選擇。

假設性學習軌道實驗教學

參、

數學作業單內容力求簡單明瞭且具體，運用圖形、文字、符號表徵陳述問題。教師指導學生了解題目內容，引導小組討論，小組發表其討論成

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35 果。研究者從小組討論、小組發表來理解其數學概念。

學生數學表現與教師回饋省思

肆、

實驗教學完成後，蒐集學生的數學作業單，統計各題的正確率。從學生的解題表現來理解其數學概念之理解情形，進行錯誤分析，分析其欠缺或迷思概念之處。教師檢視自身教學情形、與學生互動情形，瞭解需要教學改進之處，修正教學內容、技巧，以做為往後教學改進之依據。

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第二節研究對象

本研究的學校為南投縣某一郊區學校，全校人數約 400 人，五年級共有四個班級，目前為 18 班的中型學校。該區以休閒農業、工業為主要區域特色，學生家長的社經背景多屬中、低社經家庭，如農、工、商，外籍配偶及單親家庭將近三分之一。班級中家長多為了家庭生計而無暇監督子女之課業，因此有參與課後照顧或課後安親、補習之學生約三分之一。家長對於學校事務並不熱衷，對於學生的學業普遍關心，與教師互動較少，多以電話或聯絡簿溝通學生情形。學校在每學年度之初，依照五年級學生在前一學年度的平均學業成績以 S 形方式進行常態編班。在五年級上學期時，學生參與學習能力檢測，檢測結果整體五年級學生的能力表現明顯較鎮上其他學校低，考量學生能力的表現，因此定期評量試題難度盡量以中間偏易為主。研究者非五年級導師，因此向同事商借五年級班級進行教學實驗。該班老師為國內北部某教育大學自然教育學系畢業，平時數學課多以講述法進行。由於教學現場限制，因此研究者利用原班級可商借的時間，進行教學實驗。一天進行一個教學活動，共五節課。研究對象班級共有 22 名學生，男生有 11 位，女生有 11 位。教學實驗採取兩人一組的同質分組討論方式進行解題任務，並各別完成數學作業單。為分析學童分數概念的表現，研究者將學生依認知能力及數學評量表現分成低、中、高三種分組。分析樣本則是從低、中、高各挑選一組作分析。低分組學童特徵為學習及理解能力不佳，數學評量成績在班上屬於後百分之 27.5 的學生；中分組學童特徵為數學理解能力尚可，但思考速度較緩慢，解決問題較為粗心，數學評量成績在班上中等的學童；高分組學生則是數學學習能力佳，思考能力良好，數學評量成績在班上前 27.5%的學童。而挑選分析樣本時，剔除成績忽高忽低、較為不穩定的學童。這類型學生可能因為努力、複習程度的原因，對成績表現影響較大，會造成研究者理解課程安排對學生是否有明顯助益時，較無法接近真實的層面。

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37 從六位學生小組的互動及班級討論過程，理解低、中、高三組學生的數學概念。利用學習軌道的安排、小組討論、全班解題方式的討論，參考任務單的表現及教學互動過程，作為本研究的探討、分析依據。研究者於國內某教育大學數學教育學系畢業，教學年資 9 年，曾任教於偏遠山區，擔任高年級教師已有 3 年。現就讀於教育大學數學教育研究所，攻讀碩士學位，積極參與教師專業活動，對班級數學教學進行討論式教學法，鼓勵學生探索發表。

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38 樣本代碼性別層次背景分析 L01A 女低父親是上班族，媽媽在幼兒園上班。父親會親自指導其功課。個性活潑，學習態度佳，但上五年級後數學成績明顯退步。 L01B 男低上課時容易分心不專心，英數成績較不佳，但其它成績可達中等。父母平日要做生意，較無暇關心其學習情況，因此作業時常未寫。未上安親班，因此放學後將他留下參加課後照顧計畫。 M01A 男中個性溫文儒雅，上課十分專心，母親十分關心其學習情形，常與老師聯絡，其學習成績中等。對於課外書籍、小說十分有興趣，下課時間多在教室內閱讀書籍。 M01B 女中個性開朗、活潑，為人十分熱心，但上課喜歡做自己的事。作業寫得草率，專注力不夠，使得學習表現中等。 H01A 男高溫和內向，不多語，上課專心，學習理解力佳，作業完成認真。但偶有小迷糊，忘記帶東帶西的情形發生。對於需要幫助的同學，多能主動協助，因此在班上人緣很好。 H01B 女高上課認真，但不多話，學習理解力佳，語文能力不錯，各科表現多很好。個性溫和，與同學相處十分融洽，因此擔任班上班長一職。表 3- 1：樣本簡介

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第三節課程內容設計

課程內容設計

壹、

課程內容以現行九年一貫正式課程綱要---五年級數學科的異分母分數比較概念為主，並參考現行國小南一版數學科教材，自行設計課程的教學內容。依據習得分數比較之概念設計學習單，透過課堂討論、小組討論鼓勵學生思考，逐步建構數學概念。分數分為三種類型，有真分數、假分數、帶分數，本研究將針對真分數比較大小進行討論。學生應該有廣泛的模式分類經驗（張英傑、周菊美，2005），題目設計類型將分數三種類型的分數模式呈現：面積模式、長度模式、離散模式。

課程內容理論依據

貳、

以「學習軌道」理論為依據來準備實驗教學的三階段作業：第一階段：教學實驗前的準備：瞭解學生的數學先備知識、分析數學教材內容、編製數學作業單，以建構起最初的「假設性學習軌道」；第二階段：進行教學實驗，以數學作業單內容引起動機，教師引導學生對所給予的問題進行思考，以小組互動方式進行討論，並請學生上台發表小組討論之結果；第三階段：資料回溯分析，從課堂上的師生互動、數學作業單回饋及教學後訪談，綜合三方面的資料來做結果分析及教學後的省思，並修正最初的「假設性學習軌道」內容，以做為日後教學改進的依據。

課程內容架構

參、

本研究內容共分成五個部分，內容如下：一、同分母異分子之分數比較；二、理解等值分數之概念；三、進行單位分數之比較；四、異分母分子之分數比較；五、分數大小比較之解題應用。5 個教學活動的目標、說明參見表 3- 2：

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40 （接下頁）表 3- 2：任務目標與說明類型作業目標說明作業特性一、同分母異分子之分數比較  引起舊經驗，透過符號、圖形表徵理解問題，並解決問題。單位分量相同時，進行分子比較(面積模式)。運用符號表徵及圖形呈現進行教學活動。從生活中，常見等分連續量進入活動。  能解讀不同方式呈現之圖形所代表之意義。透過文字敘述，進行部分-整體分數之比較(離散模式)。運用文字表徵及圖形呈現進行教學活動。兩人所有的彈珠以不同形式表徵，引導學生比較兩人所得的彈珠，佔全部的幾分之幾。  能解讀不同方式呈現之圖形所代表之意義。透過圖像表徵，進行部分-整體分數之比較(長度模式)。運用長條圖形式進入等切割活動，由圖示表示兩人所佔為各所屬緞帶的幾分之幾，進而比較。二、理解等值分數  能理解文字表徵敘述之問題。  能透過「合併」、「切割」的方式，理解等值分數。透過文字敘述的方式，瞭解題意，理解等值分數 (面積模式)。運用情境與圖形，引導學生能透過分割或合成方式，理解等值分數。  透過符號、圖形理解問題。  能透過圖形解讀單位量及單位分量，與其意義。  能透過「合併」、「切割」的方式，理解等值分數。在一分母為另一分母的倍數情境中，理解等值分數 (離散模式)。透過離散量相異的排列方式，引導學生比較兩分數大小，理解等值分數。  能解讀符號表徵的問題。  能透過「合併」、「切割」的方式，理解等值分數。在一分母為另一分母的倍數情境中，理解等值分數 (長度模式)。以情境問題配合圖形呈現，讓學生討論理由的正確性，說明兩個分數為等值分數。