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第四章 研究結果
本章節將依序呈現股票投資、利率模型估計結果，並以此作為基礎，模擬一 萬種資產負債情境，選擇數個代表性的分布圖來比較，最後透過目標函數的設定，
提出適合壽險業經營的資產配置權重組合。
GARCH(1,1) 模型
一、 模型估計
樣本期間為台灣經濟新報TEJ 資料庫中台股加權指數自 2000 年 1 月 7 日至 2016 年 12 月 30 日之周資料：
3,000 4,000 5,000 6,000 7,000 8,000 9,000 10,000 11,000
1/7/00 10/13/00 7/27/01 5/3/02 1/28/03 11/7/03 8/20/04 6/3/05 3/10/06 12/15/06 9/29/07 7/11/08 4/24/09 1/29/10 11/12/10 8/26/11 6/8/12 3/22/13 12/27/13 9/26/14 7/9/15 4/22/16
圖 4-1 台股加權股價指數周資料走勢圖
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為估計時間序列模型，首先要檢驗數據是否滿足定態條件，依據台股加權指 數走勢圖，可知原始資料並非具有定態特性，因此將資料取自然對數，且執 行一階差分，得到以下圖表，再利用單根檢定確認數據是否為定態，結果顯 示對數報酬率為定態時間序列，且由敘述統計可得，峰度大於3，偏態小於 0，存在尖峰左拖尾特性，P-value 趨近於零，表示對數報酬率接近常態分佈：
表 4-1 台股對數報酬率敘述統計量
平均值 中位數 標準差 偏態 峰度 最大值 最小值 JB-p 0.0000515 0.0028 0.0313 -0.3077 6.5001 0.1832 -0.1641 0.0000
-.20 -.15 -.10 -.05 .00 .05 .10 .15 .20
1/7/00 10/13/00 7/27/01 5/3/02 1/28/03 11/7/03 8/20/04 6/3/05 3/10/06 12/15/06 9/29/07 7/11/08 4/24/09 1/29/10 11/12/10 8/26/11 6/8/12 3/22/13 12/27/13 9/26/14 7/9/15 4/22/16
圖 4-2 台股對數報酬率時間序列圖
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表 4-2 台股對數報酬率 Augmented Dickey-Fuller Test
變數
T 統計量
With constant & trend
With constant
Without Constant & trend 對數報酬率
(%) -30.67691*** -30.65721*** -30.67477***
*** at 1% significance level
接著檢驗時間序列是否存在自相關情形：
表 4-3 台股對數報酬率自相關時間序列表
Lag ACF PACF Q-Statistics Prob.
1 -0.036 -0.036 1.1533 0.283 2 0.058 0.057 4.1194 0.127
3 0.053 0.058 6.6366 0.084 4 0.008 0.009 6.6949 0.153 5 0.055 0.050 9.3800 0.095 6 -0.019 -0.019 -9.7021 0.138
7 0.032 0.023 10.586 0.158 8 0.043 0.042 12.258 0.140
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9 0.009 0.011 12.336 0.195
10 0.040 0.032 13.788 0.183 11 0.013 0.011 13.933 0.237 12 0.043 0.036 15.596 0.210 13 -0.013 -0.019 15.751 0.263
14 0.040 0.033 17.146 0.248 15 -0.030 -0.036 17.966 0.264
均落入兩個標準差內，且Q 統計量對應的 P-value 皆大於 0.05，沒有拒絕 虛無假設，因此在5%顯著水準下序列不存在顯著相關。
因時間序列數據不存在顯著相關，故設定模型為：
Rst = 0.0000512 + εt
將對數報酬率Rst去均值化得到殘差εt，建立殘差的平方z，檢視 z 的自相關 函數分析圖辨識是否有ARCH 效果：
表 4-4 台股對數報酬率去均值化的殘差平方自相關時間序列表
Lag ACF PACF Q-Statistics Prob.
1 0.078 0.078 5.3692 0.020 2 0.122 0.116 18.365 0.000
3 0.142 0.127 36.166 0.000 4 0.072 0.043 40.759 0.000
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5 0.155 0.123 62.052 0.000
6 0.099 0.059 70.753 0.000 7 0.147 0.105 89.997 0.000 8 0.110 0.054 100.71 0.000 9 0.091 0.036 108.06 0.000
10 0.051 -0.019 110.35 0.000 11 0.086 0.031 116.88 0.000 12 0.198 0.148 151.71 0.000 13 0.077 0.020 157.00 0.000
14 0.073 -0.004 161.74 0.000 15 0.077 0.006 167.01 0.000 由表可知，P-value 皆小於零，z 存在自我相關，表示有 ARCH 情形，故可估 計GARCH 模型，本研究選用 GARCH(1,1)：
ln ( Pt
Pt−1) = Rst= 0.0000512 + εt εt = √htVt，Vt~i. i. d(0,1)
ht = 0.000012 + 0.102785εt−12+ 0.88711ht−1 Pt為第 t 周加權股價指數，Rst為第 t 周對數報酬率，
εt為去平均值化的殘差項，
殘差項ε的平方為前一期殘差項ε 的平方與前一期條件變異數的函數。
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對GARCH(1,1) 作殘差 ARCH 效應檢驗，檢驗各種滯後情形之 F 統計量是 否顯著，若不顯著則表示模型不存在 ARCH 效果，如下表所示，模型已不存在 ARCH。
表 4-5 檢驗 GARCH(1,1)殘差之 ARCH 效果與否 Heteroscedasticity test：ARCH
F-Statistic 0.743082 Prob.(4.867) 0.5627 Least Squares
Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob.
residual(−1)2 -0.0338 0.0339 -0.9970 0.3190 residual(−2)2 -0.0150 0.0340 -0.4435 0.6575 residual(−3)2 0.0280 0.0340 0.8255 0.4093
residual(−4)2 -0.0335 0.0339 -0.9858 0.3245 檢驗報酬率去均值後的殘差是否服從T 分配：
表 4-6 台股對數報酬率去均值化的殘差之 T 檢定
t-statistics
Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob.
C 9.93× 10−6 5.62× 10−6 1.7654 0.0775 Residual(-1)^2 0.0823 0.0208 3.9496 0.0001 GARCH(-1) 0.9080 0.0218 41.7151 0.0000
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二、 檢驗模型
以 GARCH(1,1)模型模擬對數報酬率，再估計此結果隱含的 GARCH(1,1)模 型與原模型是否相近：
ln ( Pt
Pt−1) = Rst = 0.00014 + εt εt = √htVt，Vt~i. i. d(0,1)
ht = 0.0000232 + 0.089122εt−12+ 0.892581ht−1
Pt為第 t 周加權股價指數，Rst為第 t 周對數報酬率，εt為去平均化的殘差項，
殘差項εt的平方為前一期殘差項εt−1的平方與前一期條件變異數的函數。
除此之外，根據本研究所估計之 GARCH(1,1)模型可知，變異數的理論值應 為 0.000012
1−0.102785−0.88711 = 0.0012，而模擬結果的變異數為 0.0013，綜合上述檢驗，
可知本研究之 GARCH(1,1)模型所模擬的結果逼近真實，足以用來模擬股票 的對數報酬率路徑。
三、 模擬結果
以下提供一萬筆股票投資模擬三年的敘述統計與分布圖，起始價格為10 元：
1. 年化報酬率分布
表 4-7 股票模擬之第三年年化報酬率敘述統計量
平均值 中位數 標準差 偏態 峰度 最大值 最小值 0.000474 -0.0198 0.2687 1.5754 13.3948 3.3686 -0.9444
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圖 4-3 股票模擬之第三年年化報酬率分布圖
2. 價格分布
表 4-8 股票模擬之第三年股價敘述統計量
平均值 中位數 標準差 偏態 峰度 最大值 最小值 11.1844 10.0042 6.6095 7.5744 146.6796 200.5642 0.3457
圖 4-4 股票模擬之第三年股價分布圖
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3. 股價模擬圖
圖 4-5 股價模擬圖
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利率模型
一、 模型估計
研究樣本為證券櫃買中心債券市場資訊之殖利率曲線周資料，樣本期間為 2006 年至 2016 年，共 563 筆，以下為利率周資料敘述 統計：
表 4-9 台灣公債市場殖利率周資料敘述統計量
Maturity Mean Median Standard deviation
Skew Kurt Min Max JB-p
1 year 0.009 0.007 0.006 0.855 2.548 0.000 0.023 0.000 2 year 0.011 0.008 0.006 0.955 2.539 0.002 0.024 0.000
3 year 0.012 0.009 0.006 0.988 2.591 0.004 0.025 0.000
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4 year 0.013 0.011 0.006 0.948 2.658 0.005 0.027 0.000
5 year 0.014 0.012 0.005 0.867 2.704 0.005 0.027 0.000 6 year 0.015 0.013 0.005 0.772 2.736 0.006 0.028 0.000 7 year 0.015 0.014 0.005 0.677 2.766 0.006 0.028 0.000 8 year 0.016 0.015 0.005 0.588 2.802 0.007 0.028 0.000
9 year 0.017 0.016 0.005 0.505 2.846 0.007 0.029 0.000 10 year 0.017 0.017 0.005 0.429 2.897 0.007 0.029 0.000 11 year 0.018 0.017 0.004 0.359 2.952 0.008 0.029 0.002
12 year 0.018 0.018 0.004 0.296 3.009 0.008 0.029 0.017 13 year 0.018 0.018 0.004 0.238 3.063 0.009 0.029 0.067 14 year 0.019 0.019 0.004 0.187 3.114 0.009 0.029 0.167
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15 year 0.019 0.020 0.004 0.142 3.159 0.009 0.030 0.289
16 year 0.019 0.020 0.004 0.104 3.196 0.009 0.030 0.384 17 year 0.020 0.020 0.004 0.072 3.226 0.010 0.030 0.428 18 year 0.020 0.020 0.004 0.049 3.249 0.010 0.031 0.433 19 year 0.020 0.021 0.004 0.032 3.263 0.010 0.031 0.423
20 year 0.021 0.021 0.004 0.023 3.269 0.010 0.031 0.417 21 year 0.021 0.021 0.004 0.021 3.267 0.011 0.032 0.423 22 year 0.021 0.021 0.004 0.028 3.257 0.011 0.032 0.444
23 year 0.021 0.021 0.004 0.042 3.239 0.011 0.032 0.472 24 year 0.021 0.021 0.004 0.065 3.213 0.011 0.033 0.481 25 year 0.021 0.021 0.004 0.099 3.183 0.011 0.033 0.427
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26 year 0.022 0.021 0.004 0.144 3.155 0.011 0.033 0.286
27 year 0.022 0.021 0.004 0.202 3.137 0.011 0.033 0.119 28 year 0.022 0.021 0.004 0.273 3.140 0.011 0.034 0.024 29 year 0.022 0.021 0.004 0.358 3.179 0.012 0.034 0.002 30 year 0.022 0.021 0.004 0.455 3.268 0.012 0.034 0.000
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下圖將2006 至 2016 年每周殖利率曲線以立體形式呈現：
圖 4-6 台灣公債市場殖利率曲線
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將數據代入R Studio 的 Yield Curve package 之 Svensson 函數以估計參數，
根據圖4-7 和 4-8 可發現τ1、τ2參數時間序列圖跳動程度較大，因為這兩個參數 在公式中位於指數，需透過非線性估計方法估計，因此若直接估計六個參數，參 數估計結果不見得穩定，套用到VAR 模型將過於複雜，配適結果不一定好。
本研究將沿用Svensson (1994)固定參數τ1、τ2的方式，透過最小平方法估計 其他參數，De Pooter (2007) 也使用相同方法估計，故本文循此模式進行估計。
圖 4-7 Svensson 模型參數τ1時間序列圖
圖 4-8 Svensson 模型參數τ2時間序列圖
0 2 4 6 8 10
𝜏1
0 5 10 15 20
𝜏2
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Svensson 所使用的τ1、τ2分別為 1.58 和 0.15，固定後估計之參數時間序列 為圖中之藍色線；Pooter 所使用的τ1 τ2分別為 16.42 和 9.73，固定後估計之參 數時間序列為圖中之橘色線；本文的τ1 𝜏2若以台灣殖利率資料估計的參數之中 位數表示，分別為4.03、12.25，固定後估計之參數時間序列為圖中之灰色線，本 研究估計結果與Pooter 相近，結果如下：
圖 4-9 參數β0時間序列圖
圖 4-10 參數β1時間序列圖
-0.200 -0.100 0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500
beta 0
b0(S) b0(P) b0
-0.400 -0.200 0.000 0.200
beta 1
b1(S) b1(P) b1
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圖 4-11 參數β2時間序列圖
圖 4-12 參數β3時間序列圖
取得β0、β1、β2、β3四組參數的時間序列數據後，個別以單根檢定檢驗是否 存在單根，如下表所示皆不存在單根，即四組資料均為定態之時間序列：
表 4-10 參數 Augmented Dickey-Fuller Test
變數 β0 β1 β2 β3
T 統計量
(With constant & trend)
-5.895*** -6.066*** -5.893*** -6.155***
-1.000 -0.500 0.000 0.500
beta 2
b2(S) b2(P) b2
-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400
beta 3
b3(S) b3(P) b3
‧
-25.5854 -25.5544 -25.5733
1 9876.806 5419.946 5.33
× 10−21
-35.3291 -35.1741 -35.2685
2 9946.982 138.0895 4.39 × 10−21*
-35.5232* -35.2442* -35.4143*
3 9958.435 22.37096 4.46
× 10−21
-35.5069 -35.1040 -35.3496
4 9974.989 32.10030* 4.45
× 10−21
-35.5089 -34.9819 -35.3031
5 9984.434 18.17873 4.56
× 10−21
-35.4854 -34.8345 -35.2312
LR：sequential modified LR test statistic (each test at 5% level) FPE：Final prediction error
AIC：Akaike information criterion SC：Schwarz information criterion HQ：Hannan-Quinn information criterion
因此本研究將落後期數定為兩期，以及透過Cholesky Decomposition 控制殘 差相關性，得到本研究用來模擬利率參數的VAR 模型：
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+1.400265 +1.071789 +0.051286 −0.194231 −0.376059 −0.976698 −0.017786 +0.208466
−0.640238 −0.355142 −0.033170 +0.207177 +0.567924 +1.236642 +0.011493 −0.229396
−0.604954 −0.172663
−1.104232 −2.669360
+0.514371 −0.145906 +0.814428 +0.057879 +1.421818 +0.779252
+0.249628 +0.432350 +0.194050 +2.356120 −0.117219 −0.537135 ]
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進一步檢驗此估計模型之特性根是否落在單位圓外，檢驗結果為否，表示此 模型滿足安定條件；估計模型之殘差相關矩陣如下，相關係數對應到前面 VAR 模型殘差矩陣之中：
表 4-12 VAR 模型之殘差相關係數矩陣
ε0 ε1 ε2 ε3
ε0 1
ε1 ρ01 =-0.987747 1
ε2 ρ02 =0.234774 ρ12 =-0.339093 1
ε3 ρ03 =-0.984638 ρ13=0.989634 ρ23 =-0.357320 1
二、 檢驗模型
將模擬的參數透過ADF 檢定是否為定態，再個別配適 ARMA 模型，檢查係 數是否落在原始參數所配適的ARMA 模型係數之信賴區間內。結果如下表所示：
表 4-13 參數模擬結果定態檢驗
β0 β1 β2 β3
With constant &
trend
-5.774311*** -5.366540*** -3.441001** -3.370848*
*** at 1% significant level
** at 5% significant level
* at 10% significant level
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95%Confidence IntervalAR(1) (0.964,0.997) (0.948,0.991) (0.965,0.999) (0.888,0.960) MA(1) (-0.291,-0.123) (-0.330,-0.160) (-0.504,-0.346) (-0.280,-0.10)
模
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觀察模擬結果可知，到期日為 30 年的模擬利率平均值為 2.07%，歷史數據 則為 2.2%，應為合理數值；由於市場中不存在長天期利率債券，也就無法提供 歷史數據，然而，觀察到期日50 年與 90 年利率模擬結果，可能因為利率模型未 設定Ultimate Forward Rate，而 Svensson 利率模型的特色正好是平滑延伸，使得 長天期利率變動趨緩，為平滑曲線；除此之外，不論到期日為何，模擬數據的平 均值和中位數幾乎比歷史數據低。
表 4-15 利率模擬結果敘述統計量
Mean Median Standard Deviation Maturity 歷史數據 模擬數據 歷史數據 模擬數據 歷史數據 模擬數據
1 year 0.009 0.0062 0.007 0.0062 0.006 0.006
5 year 0.014 0.0109 0.012 0.0109 0.005 0.0136 10 year 0.017 0.0150 0.017 0.0151 0.005 0.0159 20 year 0.021 0.0191 0.021 0.0193 0.004 0.0158 30 year 0.022 0.0207 0.021 0.0209 0.004 0.0159
50 year 0.0218 0.0219 0.0169 90 year 0.0222 0.0225 0.0186
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保險合約
一、 保費
初年度保費精算基礎為台灣壽險業第五回生命表之死亡率和2%預定利率，
未來保費計算基礎為購買保單當時的利率期限結構與台灣壽險業第五回生命表 之死亡率，以下提供各年度保費分布情形：
表 4-16 各年保費平均值與中位數
第一年保費 (預定利率為 2%)
第二年保費 第三年保費
平均值 24,314 28,551 28,688 中位數 24,314 24,252 23,754
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圖 4-13 第二年保費分布圖
圖 4-14 第三年保費分布圖
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二、 保險合約負債
本研究假設死亡率不變，著重利率情境對保險負債重新評價的影響，以下提 供模擬1 萬種利率期限結構，於第三年末重新評價的相關資訊與分布：
表 4-17 第三年末保險合約負債敘述統計量
Mean Median Standard Deviation
第三年末 保險合約負債
公允價值
3,843,800 元 1,070,500 元 11,797,000 元
第三年末 保險合約負債
公允價值 (利率採用三年移
動平均值)
1,463,500 元 1,287,900 元 3,085,600 元
註：前三年共銷售30 張終身壽險保單，若依照前述保費中位數計算，第三年 末已收1,452,000 元保費。
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圖 4-15 第三年末保險合約負債分布圖
圖 4-16 第三年末保險合約負債分布圖(利率為三年移動平均值)
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資產負債模擬
本節將合併利率模型、股票模型以及保險合約部分，模擬未來三年資產負債 波動情形，得到每年損益及業主權益分布，並藉由數個指標尋找得以讓壽險公司 在承受一定風險下追求較高的投資報酬，同時維持低業主權益波動和低破產機率 的權重分配。本研究所採用之指標如下：
1. 資產報酬率(Return of Asset, ROA) = Net Income Asset初+Asset末
⁄2
2. 資產報酬率標準差(σROA)：不同權重下第三年末一萬筆 ROA 的標準差。
3. 業主權益標準差(σEquity)：不同權重下第三年末一萬筆權益的標準差。
4. 破產機率(Default Risk)：不同權重下第三年末權益小於零的情境佔全部 情境的比例。
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表 4-18 不同權重下各指標之模擬結果 (一種衡量方式、利率以當時利率期限結構計算)
FVTPL AC FVOCI
Weight A [1,0,0,0,0] B [0,0,0,1,0] C [0.5,0,0,0.5,0] D [0,0,1,0,0] E [0,1,0,0,0] F [0,0,0,0,1] G [0,0.5,0,0,0.5]
MeanROA 2.13% 0.04% 2.02% 0.08% 0 0 0
σROA 23.68% 25.47% 19% 0.004% 0 0 0
RangeROA 1.72 2.88 2.48 0.0004 0 0 0
σEquity 8,872,000 4,532,100,000 2,265,900,000 11,872,000 8,872,000 4,532,100,000 2,265,900,000
Default Risk
4.82% 10.81% 7.15% 9.75% 4.82% 10.81% 7.15%
註：權重為[債券 FVTPL,債券 FVOCI,債券 AC,股票 FVTPL,股票 FVOCI]，初始權益為 1500 萬元
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表 4-19 不同權重下各指標之模擬結果 (一種衡量方式、利率以三年移動平均利率計算)
FVTPL AC FVOCI
Weight A [1,0,0,0,0] B [0,0,0,1,0] C [0.5,0,0,0.5,0] D [0,0,1,0,0] E [0,1,0,0,0] F [0,0,0,0,1] G [0,0.5,0,0,0.5]
MeanROA 2.13% 0.04% 2.02% 0.08% 0 0 0
σROA 23.68% 25.47% 19% 0.004% 0 0 0
RangeROA 1.72 2.88 2.48 0.0004 0 0 0
σEquity 4,092,700 4,532,400,000 2,266,300,000 3,227,700 4,092,700 4,532,400,000 2,266,300,000
Default Risk
0.00% 0.42% 0.04% 0.07% 0.00% 0.42% 0.04%
註：權重為[債券 FVTPL,債券 FVOCI,債券 AC,股票 FVTPL,股票 FVOCI]，初始權益為 1500 萬元
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1. 台股平均投資報酬率不及債券平均投資報酬率，即使全數分類至 AC，
依賴每年到期債券的處分損益收入，平均報酬率也高於全投股票；股票 投資標準差大於其他組合，且範圍也大，然而，這也表示股票投資有高 獲利的機會，但因本研究不考慮對未來市場的看法，若加入適當的投資 策略，不排除投資股票有提高資產報酬率的可能。
2. 觀察A、E 組合，由於影響債券投資收益的主要因素為利率，負債組成 亦受利率影響深遠，故業主權益波動最小的組合為資產全數投資債券，
破產機率也最低，儘管如此，負債組成為長天期保單，資本市場沒有存 續期間大於30 年的債券可以投資，無法達到免疫效果。
3. 原先認為破產機率最高的組合應為全數分類至AC，但透過模擬結果可 知，若全數分類至股票，破產機率更高。
4. 利率採用三年移動平均計算，將使破產機率大幅下降，整體而言業主權 益變動也下降，債券部位較多的權重，業主權益變動下降程度更多，資 產面抵銷負債面變動效果明顯。