2. 複雜網路與流行病學
2.1. 研究背景：複雜網路上的傳播問題
複雜網路中每個個體會以連結來代表彼此間的關係或互動，在這裡我們稱 這些有連結的個體為「鄰居」[12]。鄰居的分佈及多寡可以反映出現實社會中人 群集結的狀況。流行病傳播的散佈也因為鄰居的分佈情形而大大影響著傳播的蔓 延與否。
圖 1 複雜網路上「鄰居」表示圖。
以橘色的點為例，其周圍與其有連結的節點都可稱為此點的「鄰居」。
在討論複雜網路上的傳播時，一般以「健康狀態」和「感染狀態」作為傳 播時的狀態劃分，並可依感染群的大小研究傳播動態的改變。在過去流行病相關
的研究中，若一個健康的個體有一個以上的鄰居為已受感染的個體時，那麼這個 健康個體會受到感染的機率便以ν來表示，即為感染率。在同一個時間單位裡，
以δ表示受感染者因為被治癒而恢復為健康個體的機率，即為康復率。那麼疾病 有效擴散率則可定義為λ＝
δ
ν 。在不失一般性的情況下，δ可以設為 1，因為
這只影響流行病傳播的時間尺度的定義，於是疾病有效擴散率便取決於感染率的 大小[1]。根據相關研究[1,19,27]的數理推導及實際數據模擬，在均勻網路（如：
正則網路、ER 隨機網路、WS 小世界網路等）上的 SIS 模型中，流行病傳播會有 一平均場臨界值(mean-field critical point，MF critical point)，是根據平 均場定理推導而來[27]，用來表示感染率和已感染節點之密度ρ(t)間的關係，
其中ρ(t)定義為在時間 t 已被感染之節點密度。首先，在這些研究中[1,19,27]
對於均勻網路先給出下列三個假設：
1. 均勻性假設：均勻網路中的平均連結數<k>處有個尖峰，當節點連結度 k＜＜<k>和 k＞＞<k>時的節點個數呈指數下降，因此假設網路中每個節點的連 結度 k 都近似於平均連結度<k>。
2. 均勻混合假說：感染密度與感染個體的密度ρ(t)成比例。此假設的一 個等價假設是ν和δ均為常數。
3. 假設病毒的時間尺度遠小於個體的生命週期，且不考慮個體的出生和自 然死亡。
在這三項假設下，可以得到感染密度ρ(t)的平均場方程式如下：
θtρ(t)＝－ρ(t)＋λ<k>ρ(t)[1－ρ(t)]＋h.o. (1)
此式子用來表示網路拓樸上感染密度的平均場特徵行為。等號右邊第一項 代表的是感染節點以單位速率恢復為健康個體的密度。第二項代表的則是單位感 染節點所產生新進感染節點的平均密度。此項除了和感染率λ和節點平均連結數
<k>成正比外，連結至一健康個體的機率 1－ρ(t)也會影響新進感染密度的大 小。在此主要關注的是關係到狀態變化的開始，也就是ρ(t) << 1 的部份，因
此忽略ρ(t)較高階的修正項。在平衡態 θtρ(t)＝0 時，可導出感染密度與感 染率間的結果如下：
當λ<λc ，ρ＝0 (2) 當λ≧λc，ρ~λ－λc (3)
λc指的就是傳播門檻，也就是前述的臨界值，如圖 2 所示。也就是說，當 感染率大於傳播門檻，也就是λ≧λc時，感染密度會隨著感染率的的提升而成 長，流行病會擴散並且長存於網路上；當感染率小於傳播門檻，也就是λ＜λc 時，流行病便會以指數速度消逝，並不會造成大規模的流行[1,19,32,33]。
圖 2 流行病傳播動態的發生。
橫軸為感染率，縱軸為感染密度，λc 可視為流行病傳播擴散與否的分界點。從曲線上可以發現，
當某一流行病的感染率λ小於λc 時，感染密度皆停止在 0，沒有造成大規模的擴散；病毒也因 此消失殆盡。ㄧ但跨越了此分界點，感染人口數便開始成長，而病毒也得以長存在網路上，造成 一次又一次感染的循環。
由此結果可知，當傳播發生在 Watts 和 Strogatz 或是 Watts 和 Newman 所 討論的小世界模型上時，流行病的發生，通常並不會轉變成整體人口中的大流 行。小世界網路的結構介於有序網路和隨機網路之間，同時擁有有序網路的高群 聚度和隨機網路的低分隔度兩種特性。
圖 3 由左而右依序為有序網路、小世界網路以及隨機網路。
由於小世界網路的生成是在有序網路中隨機將部分的連結重繞，重繞的連結越多，就越 類似於隨機網路的結構，因此小世界網路分別擁有有序網路和隨機網路的拓樸特性：高群聚度和
低分隔度。
在小世界網路中，流行病轉變成爆發成長的要件是捷徑[12,18,34,35]。在 區域上，流行病的傳播有高度的群聚性，已感染者接觸的對象大多也是其他受感 染者，因而避免了疾病散佈給健康個體而使得成長快速的可能性。然而，一旦某 個群聚裡有個已感染個體接觸到一條捷徑，像是 SARS 患者從台北搭飛機到高 雄，或是罹患禽流感的鳥類從印尼被運送到台灣，那麼才有可能造成流行病的爆 發。隨著捷徑的密度不同，流行病擴散的速度及程度也會有所不同。如果捷徑的 密度越低，擴散的可能性也就越小。因此，流行病在小世界網路上的爆發，會因 為網路拓樸的限制下而得以讓許多的流行病低於流行病的傳播門檻值，也讓擴散 情形能夠在爆發前得以發現甚或加以控制。
然而，西班牙學者 Satorras 及 Vespignani 利用電腦病毒在網際網路上的 傳播來研究無尺度網路上的流行病學卻發現：在無尺度網路中傳播的病毒，並不 像其他的複雜網路一樣產生門檻的行為。根據他們的研究[1]，若病毒感染程度 為被感染的電腦數佔總電腦數的比例的平均數，他們從 1996 年 2 月到 2003 年共 50 個月內三類主要的電腦病毒的感染程度結果如下：
圖 4 三種主要電腦病毒的存活機率
從圖 4 中可以看到，這些電腦病毒在現實世界中是處於極低的感染程度；
要達到如此低的感染程度，病毒的有效傳播率必須非常靠近傳播臨界值λc。另 一方面，這幾類的病毒週期相當長，表示他們的傳播率要明顯高於傳播臨界值。
就上述的矛盾，至少說明了這幾類的電腦病毒並非在均勻網路中傳播。
圖 5 傳染率λ相對於感染密度ρ在無尺度網路(紅色虛線)以及小世界網路(黑色實線)上的感染 情形。
由圖所示，小世界網路的門檻值介於 0.15~0.2 間，然而無尺度網路的門檻值卻很低。
由於上述推論的矛盾，他們拋開了網路均勻性的假設來討論典型非均勻網 路：無尺度網路的傳播臨界值。在此感染密度ρk(t)的定義則是一個連結度為 k 的節點被感染的機率。感染密度在無尺度網路上以平均場定理表示的結果則如 下：
θkρk(t)＝－ρk(t)＋λk[1－ρk(t)] (ρ(t)) (4)
圖 6 無尺度網路上的節點個數對應連結數的對數圖。
在這樣的度分配下，大多數的節點擁有的鄰居數不多，有少部分的節點與 大部分的節點有連結，而成為「集散型」節點。這種集散型節點也是主要影響無 尺度網路上傳播動態的關鍵。
圖 7 以 Barabasi 和 Albert 所建構的無尺度網路模型。
一共有 130 個節點，5 個最大的集散型節點以紅色表示，此 5 點和和網路上其他 60％的節點連結
(以綠色表示)。
在圖 7 中，五個最大的集散型節點就和網路上其他 60％的節點連結，影響一 半以上的網路。隨著網路規模越大，集散點的連結數可能成長至上百，上千甚至 是以萬為單位的數量。因為這些集散點的存在，使得流行病在已受感染的集散點
的影響下，非常有擴散到整個網路的機會。除此之外，由於大部分的節點都只有 出相當程度的治療效果。在 2002 年 Satorras 及 Vespignani 針對無尺度網路上 已產生免疫節點比例對於流行病毒是否能根除於無尺度網路的研究中，認為無尺