第三章 三階段 DEA 模式之理論探討
3.1 第一階段：DEA 效率分析
關於衡量廠商相對效率的研究，Farrell(1957)採用數學規劃模式求出效 率前緣(efficiency frontier)，此即為效率生產函數(efficiency production)。透 過實際觀察點與邊界之差距衡量該生產點的無效率值，以此算出廠商的技 術效率。Farrell 於 1957 年首先提出以「非預測生產函數」取代常用的「預 測函數」推估效率值，其基本假設為：
1.生產前緣(Production possibility frontier)是由最有效率組織所組成，
較無效率的組織皆位於此前緣之下。
2.固定規模報酬(constant return to scale)。
3.生產前緣凸向(convex)原點，因此每點斜率皆小於或等於零。
若ㄧ組織只有 X1和 X2兩種投入，生產 Y 一種產出，在 Farrell 假設生 產函數為固定規模報酬之前提下，其生產函數可表示為：
(
1/ , 2/)
1 f X Y X Y =此外，Farrell 將生產效率(productive efficiency)分為技術效率(technical efficiency，TE)與價格效率(price efficiency，PE)，並以等產量曲線來評估 技術效率與價格效率。技術效率講求以現有技術有效利用生產要素，以達 最大產出，Farrell 定義等產量曲線上的每ㄧ點為具有完全的技術效率 (perfectly efficiency)，因此等產量(SS’)上的 B 點及 D 點技術效率值皆為 1；
價格效率或稱配置效率(allocative efficiency，AE)是指在既有技術及價格
下，使生產要素比例恰當分配，求得最低投入成本，圖 3.1 中 PP’線為等成 本線，其斜率為兩投入要素之價格比的負值，於 D 點生產則可達到最小成 本。而 C 點的生產效率(OA/OC)會等於技術效率(OB/OC)乘以價格效率 (OA/OB)。
圖 3.1 技術效率與價格效率說明圖
資料包絡法是ㄧ個效率評估的方法，它可以衡量同質營運單位的相對 效率，因此有多個被衡量的對象。如果把這些被衡量對象的投入(input)與 產出(output)情形以投入產出圖表示，即可形成生產可能集合(production possibility set)。如圖 3.2，A、B、C、D、E、F、G、H、I 等九個點，即表 示九個同質營運單位，此九個營運單位分別以不同量之投入生產不同量之 產出。A、B、C、D、E 等五點組成的線段為生產可能集合的包絡線，包 絡線右邊的即為可行的生產可能集合，如 F、G、H、I 點都是生產可能集 合。
O J
K 投入
產出
A
B F C
D E
H I
G
生產可能集合
圖 3.2 DEA 之基本概念圖
圖 3.2 中，包絡線上的 A、B、C、D、E 等五點對於其他生產可能集 合上的點而言，具有相對效率，如點 B 與點 F 有相同的產出量OJ ，但 F 點比 B 點需要用更多的投入量。同理，C 點與 F 點用相同數量的投入量 OK，C 點卻比 F 點有更多的產出。ABCD 組成的包絡線即是效率前緣，
線上各點的效率水準為 1，亦是生產可能集合上的各點可以學習的對象。
效率水準可以用距離的比率來表示，如 F 點其效率水準為JB JF/ ，JB為有 效率 B 點的投入量，JF為無效率 F 點的投入量。值得注意的是，E 點雖 然效率水準為 1，但與 D 點比較可發現，其生產相同的產出，卻比 D 點用 更多的投入量，因此 E 點仍為無效率的點。
上述的情形為單一投入單一產出的概念，因此可以圖形表示，當延伸 至多投入與多產出的情形時，圖形變無法描述，需藉助數學規劃方式處 理。DEA 即為由觀測值推估效率前緣的方法，其優點是不需進行參數校 估，而是以實際的資料比較各同質營運單位之效率。DEA 也可以找出有效 率的學習對象(benchmark)，亦可探討效率的特性，如技術效率、規模經濟 等。
繼 Farrell(1957)提出效率衡量的理論基礎之後，後續有許多學者亦提 出衡量生產邊界的相關方法。Charnes et al. (1978)在 Farrell(1957)以無母數 分析法做單一產出單一投入的技術效率評估之後，根據其效率衡量理論基 礎，運用比率方式衡量效率的概念，將其擴展為可衡量多產出與多投入之 間的效率模式(CCR 模式)，從此定名為 DEA。此 CCR 模式和 Farrell(1957) 所提出之模式ㄧ樣都是在固定規模報酬(constant returns scale；CRS)的假設 下計算技術效率。在實際應用上，先把分數規劃是轉成線性規劃，再引入 對偶定理。
以投入導向為例，假設內容項目有 n 個決策單位(decision making
1 (complementary slack variables)，由此差額變數可了解投入與產出方面各有 多少改善空間。而模式(3)中 λ 為模式(2)中差額變數之對偶價格，當λj∗≠0
( )
造成，而非生產技術所引起之無效率，所以 Banker et al.(1984)針對 CCR 模式之缺點提出ㄧ修正模式(BCC 模式)，其在原先的 CCR 模式中在加上一 個限制條件，即 DMU 在生產函數上的參考點必須是有效率的 DMU 凸性 集合(convex combination)，亦為 BCC 模式對生產可能性集合(production possibility set)放寬為變動規模報酬(variable returns scale；VRS)，之後引進 Shepherd(1970)的距離函數(distance function)的概念推導出與 CCR 相同的 模式。以投入導向為例，其模式如下：為了計算上的方便，我們亦可將模式(6)予以對偶化，其對偶化的模式 efficiency；以TEVRS表示)與規模效率(scale efficiency；以TESE表示)。表示 造成技術無效率的原因包含來自於原本生產技術上影響的無效率，和
x≥0為廠商m 1× 投入向量，y≥0為廠商k 1× 產出向量；X =
[
x1,...,xn]
為 m n× 投入向量矩陣，Y =[
y1,...,yn]
為k n× 產出向量矩陣，λ=[
λ1,...,λn]
為n 1× 強度變數(intensity variables)向量，e=[
1,...,1]
為一個n 1× 向量；有n家廠商(即DMU)；下標“l”表示第“l”家廠商，θ介於 0~1 之間，代表第“l”家廠商之 純技術效率值(TEVRS)。然而，這個效率值可能同時包含多種因素的影響，
例如環境因素(environmental effect)、隨機干擾(statistical noise)以及管理無 效率(managerial inefficiency)。第一階段 DEA 是無法將這些因素對於效率 值的影響效果分開的。
其中，將eTλ=1的條件刪去，即為 CCR 模式。此 CCR 模式所計算出 來的效率值為技術效率值(TECRS)，其與變動規模報酬下的純技術效率值 (TEVRS)，以及規模效率(TESE)之間的關係，可以由圖 3.3 來說明(Banker et al.,1984)：
X D2
B C D1
D4 Y
A
0
D3
圖 3.3 技術效率、純粹技術效率與規模效率
對於圖 3.3 的 DMUD2來說，以投入面來看，在生產技術為固定規模 報酬的假設下，D2的生產邊界為OD3，同樣生產OA，D2所需的投入量為 AD2，為於生產邊界上的 DNUB 只須投入量AB，因此 DMUD2的技術效 率為：
2
2 CRS
D AB
TE = AD (3.2) 假若生產技術為變動規模報酬時，生產邊界則變成 D1D3D4 的連線，
這時要衡量 DMUD2的技術效率為：
2
2 VRS
D AC
TE = AD (3.3)
求出 DMUD2的技術效率值和純技術效率值之後，可由下式求得規模 效率值：
2
2
2
CRS
SE D
D VRS
D
TE AB
TE = TE = AC (3.4) 在變動規模報酬的假設下，C 點雖然位於生產邊界上，但是就 B 點而 言，其能以每單位投入之平均產出最大，而 C 點的無效率是因為廠商未達 最適規模所導致的。
因此由(3.2)、(3.3)、(3.4)可知，技術效率為純技術效率與規模效率的 乘積，由(3.5)所示：
TECRS =TEVRS×TESE (3.5)