第二章 文獻探討
2.3 等候理論專有名詞與符號
2.3.1 等候規則
Willig[23]將常用的等候規則定義如下：
1. 先到先服務：( First Come, First Served, FCFS )，或稱先進先出法 ( First In, First Out, FIFO )，這是一般傳統的排隊方式，先到達等候線的顧客先接受服 務。現今廣為大家所採用的抽牌等候模屬於此種模式。
2. 後到先服務：( Last Come, First Served, LCFS )，或稱後進先出 ( Last In, First Out, LIFO )，例如我們接聽電話插撥，就是類似此類型的服務，但一般窗口 服務較少有此種情形
3. 隨機順序服務: ( Service In Random Order, SIRO )，此規則是不管到達順序，
隨機於等候列中挑選出被服務的人選，例如購買限定商品時，商家由排隊的 人群中以抽籤的方式來決定可以購買的人。
4. 優先權：( Priority, PRI )，例如銀行會特別設立專屬的服務櫃檯，優先服務 特別的顧客。
5. 循環等候：( Round Robin )，給每個客戶一段固定的時間，如果於時間內尚 未完成服務，則需再重新進入等候線。
2.3.2 等候模式Kendall符號
Kendall 符號 ( Kendall Notation ) 於西元 1953 年由 D.G. Kendall 首創，用 來描述等候線特徵，廖佳彥[11]在其研究中將其符號歸納如下：
Kendall 符號表示方式為 A/B/C/X/Y。
A：表示到達間隔時間分配 ( Distribution of Interarrival Time )，以郵局櫃檯系統 來說，指的是兩相鄰客戶到達櫃檯的間隔時間。其常用的分配標準為：
M：到達時間間距是獨立且為 Poisson 到達率或指數分配，M 為馬可夫鏈 (Markovian)；
D：到達時間間距是獨立且為常數 ( Deterministic )；
GI：一般獨立分配 ( General Independent ) 用於到達間隔時間。
B：表示服務時間分配，以郵局櫃檯系統來說，指的是櫃員服務時間分配。其常 用的標準與A 相同，為和到達間隔時間分配 GI 區別，以 G 來表示一般分配 ( General )。
C：表示平行服務者的個數，以郵局櫃檯系統來說，指的是服務人員的個數。
X：表示系統最多可容納的顧客數量。
Y：表示表示等候規則。
例如：M/M/3/∞/FCFS 代表一個等候模式，其到達間隔時間分配呈指數分 配，服務時間分配亦呈指數分配，平行服務者的個數為三個，系統容量無限制，
使用先到先服務的規則。當X 為 ∞ 且 Y 為 FCFS 時，通常 X 和 Y 兩個符號會 省略，而僅以A/B/C 三個符號表示一個等候系統。
黃允成與楊耀程[7]在其研究中將等候系統分為：隨機等候、循環等候、遞 補等候和抽牌等候等四種模型。研究結果發現抽牌和遞補模式其等候效率最為 接近。但是遞補模式可能會發生後到先服務、先到後服務不公平現象；以遞補 方式進入等候線後因不可變換等候的路線，會對顧客產生變相之懲罰成本。而 抽牌模式遵循先到者先服務、後到者後服務之模式，所以抽牌模式相對於其他 模式較為有效率和公平。故現今一般郵局、銀行、醫院門診大都採用抽牌等候 模型為主要的排隊方式。但該研究是以「ARENA 7.0」模擬軟體為工具建構等 候模型系統，去探討郵局窗口最佳化工作站數之建立，並末取得實際資料做為 相關研究之參考依據。
2.3.3 專有名詞及符號
文獻[7]將等候理論專有名詞及符號歸納整理如下列所述：
n：等候系統內之顧客數，包含接受服務者與等候線排隊者。
N：系統容量之最大顧客數。
s：平行服務者的個數。
λn：系統有n 位顧客時之平均到達率。
λ：系統穩定狀態時之平均到達率，即每單位時間之顧客到達數。
λ
1 ：為兩位顧客間到達之平均間隔時間。例如：
λ
1＝10
1 小時/人＝6 分/人。
μn：系統有 n 位顧客時，系統之平均服務率。
μ：系統穩定狀態時，單一服務者之平均服務率，即每單位時間顧客服務完成 數。
μ
1 ：為平均服務時間。例如：μ＝10（人/小時），
μ
1 ＝10
1 小時/人＝ 6 分/人。
ρ：服務設備使用率 ( utilization ratio ) 率，其定義為 ρ＝
μ
λ
；若為多站平行服務時，則利用率為 ρ＝
μ λ
s 。等候理論目的在分析等候系統每一時刻之狀態，一個候系統在初期時並沒 有任何顧客，稱為過渡狀態 ( Transient States )（如圖 2.3），但顧客會隨著時 間而陸續進入系統接受服務，在經過一段時間後系統會逐漸到達穩定狀態 ( steady state )。例如，郵局於早上八點開始營業時客戶才開始陸續到達，經過 一段時間後，顧客的數量才會到達穩定的現象。故等候理論一般大都只探討在 系統穩定狀態的情況。
圖 2.3 過渡狀態和穩定狀態
陳坤茂
[5]於書中將等系統穩定狀態的常用符號整理如下：Pn：等候系統達成穩定狀態時，系統中有n 位顧客之機率。
L：在一規劃時間內到達等候系統內之總顧客數量。
Lq：在等候線排隊之總顧客數量。
W：每位顧客在等候系統內期望等候時間，此項時間包含服務時間與 Wq。 Wq：每顧客在等候線排隊之期望等候時間，此項時間不包含服務時間。
麻省理工大學斯隆商學院（MIT Sloan School of Management）教授 John Little，
於1961 年提出著名的 Little’s Law，來證明 L、Lq、W、Wq 四個績效基準彼此 間的關係，其公式如下：
若 λn＝λ 則 L、Lq、W、Wq彼此間的關係為：
L＝λW Lq＝λWq
根據定義W 與 Wq有以下之關係：
W＝Wq＋
μ
1即每位顧客在等候系統內期望等候時間，會等於每位顧客在等候線之期望等候 時間，加上平均服務時間。