簡介

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N a tio na

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單車道模型

2.1 簡介

1992 年兩名德國物理學者 Nagel 和 Schreckenberg 介紹了一細胞自動機模型

（cellular automaton），簡稱 NaSch 模型，試圖描述高速公路之車流情形 [23]。所 謂細胞自動機模型為一空間及時間均為離散之模型，其概念原由匈牙利暨美國 科學家 von Neumann 於 1950 年代建構「自我複製」（self-replication）理論時提 出 [25]。NaSch 模型中車輛之位置、速率及加速均為離散的變數。模型係定義在 一具 L 個位置（site）之陣列上（相當於將車道分割為 L 個區塊），每個位置可為 空或者為一車輛所使用（如圖 2.1 之模型示意）。陣列之長度相當於車道之長度，

位置之長度則相當於車輛之長度。每車輛分別具 0 至 v_max 其中之一之整數速率：

v = 0, 1, · · · , v

在 NaSch 模型中，我們於一單位時間內（∆t = 1）對每一車輛進行以下四個 步驟之狀態更新：

圖 2.1：單車道細胞自動機模型示意圖。圖中顯示 17 個車位，代表車道長度為

L = 17。車輛使用情形如圖所示，同一時間每個車位只能最多被一輛車所使用，

車輛右上角之數字為該車之速率。圖片源自 [6]。

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1. 加速

若一車輛之速率 v 尚未達到 v_max，則將其之速率加 1，同時考慮加速後其速 率不超過所允許的 v_max，

v → min(v + 1, v

此代表在速限範圍內儘量提高速率行駛。

2. 減速

為保持安全距離，避免後車碰撞前車，則須遵行以下減速法則：若一車輛之 速度 v 大於與前車間之距離 d，則將 v 減速為 d。即

v ∆t → d, if v ∆t > d .

此處 ∆t 為單位時間 ∆t = 1。

3. 隨機減速

對於速度大於 0 之個別車輛，我們以 p 的機率使其速度減 1。

v → v − 1, if v > 0 and ran() < p ,

其中 ran() 為均勻介於 [0, 1) 區間的亂數。

4. 車輛移動

將個別車輛向前移動 v ∆t

≡ v 個位置。

以上 vmax

, p

在模擬作業中，步驟 3 隨機性之引進乃係考慮人類行為，如最高速率之浮動、

過度反應之煞車與延遲之加速等。此模型儘管簡單，卻能有效地重製接近真實車 流之行為（如車輛之走走停停（stop-and-go traffic））[20, 21]。

NaSch 模型可定義在一具週期性（periodic）或者開放（open）邊界條件之陣 列上。週期性邊界條件係將車道之頭尾相連，視為一環狀陣列，無車輛進出口，

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車輛數守恆，為一封閉系統（closed system）；如此可定義車輛數 N 。開放邊界條 件係指陣列兩端分別為車輛入口及出口，並經由特定邊界條件來形成一系統，如

其意義為單位時間通過道路橫斷面（cross section）之車輛數（相當於物理學中電 流之定義：單位時間內通過一截面之電荷），其中 v 為平均速率，在某一時間點 進行測量，以確定系統呈穩定態（stationary state），不受初始條件之影響。經測 試後，我們設定 t0 = 10L。又為得到更佳的統計結果，平均速率亦對一觀察週期 又稱為基本構圖（fundamental diagram）。這類圖形經常被使用來比較實際與模擬 之資料，藉此驗證模型之正確性，並藉由調整參數使模擬結果擬合實際資料，擬 合所得之參數可進而預測不同道路型態上之車流情形。實際道路測量時，密度與 流量常採用埋設於道路中之單一定點之偵測器求得。模擬上我們亦可用此一方式 來求得相應資料。考慮位於位置 i 的偵測器於一長時間觀察週期 T 記錄時間點 t

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density ρ 0

theoretical flow detected flow

圖 2.2：理論流量與偵測器流量之比較，可看出兩者幾無差異。此處觀察時間為

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圖 2.3：偵測器示意圖。圖改編自 [6]。

則可得偵測器流量

J

T

t0∑+T t=t0+1

n

由 (2.9) 更可直覺看出流量之定義：單位時間通過道路橫斷面之車輛數，參考 圖 2.3。在長 T 極限下，同樣地

Tlim→∞

J

圖 2.2 我們驗證偵測器方法與式 (2.1) 及式 (2.2) 的理論方法在長觀察時間下確實 得到相符的結果。

在本論文中我們採用式 (2.1) 及式 (2.2) 來計算密度及流量。