2.3 交通相態變化之探討
2.3.3 鬆弛時間
為「臨界遲滯」現象（critical slowing down）。在此時間關聯長度可指鬆弛時間 τ
（relaxation time），其描述系統從非定態達具平均速率 v∞ 的穩定態所需要的時 間：
relaxation time τ
L = 128
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在無隨機煞車 p = 0 情形下，式 (2.15) 定義的鬆弛時間確實在密度臨界值處
（見圖 2.14，以 vmax= 5 為例）隨車道長度（L）增長而漸進發散，呈現連續相變 預期可見的行為。
0 0.2
density ρ -20
0 20 40 60
relaxation time τ
L = 128
L = 256, 512, 1024 L = 2048
圖 2.15：煞車機率 p = 0.25，最高速率 vmax= 5，不同車道長度下 L 之鬆弛時間
τ。
若引入有限隨機煞車機率 p > 0，圖 2.15 以 p = 0.25 為例顯示鬆弛時間隨密 度變化的最大值並不落在對應最高車流的密度臨界值（雖相距不甚遠），且高峰 的寬度並不隨系統大小 L 增加而變窄（比較圖 2.14之 p = 0 情形），故再次顯現 煞車機率模糊或破壞 NaSch 模型的臨界現象。我們亦可觀察到鬆弛時間變成負值 的高密度區段，由式 (2.15) 的定義，負值的 τ 表示某時間系統所處狀態的平均車 速 v(t) 高於穩定態的速率 v∞，這可由高密度時堵車範圍擴大所造成（而 p > 0 惡化壅塞現象），許多車量陷入低速行駛或甚至靜止的狀態，導致 v∞ 下降以及
τ < 0。由此也可說明，式 (2.15) 的鬆弛時間定義不適用於 p > 0 情形。
關於「壅塞轉變」（jamming transition）及其屬性的探討在許多物理系統亦尚 是棘手的問題 [11]，本文不深入討論此方向的問題。在後續的章節中，我們將持 續使用「密度臨界值」或「臨界密度」來代表達最大車流的密度值，雖然在 p > 0 系統不一定存在臨界現象（critical phenomena）。
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3
二車道模型
3.1 簡介
為了能更真實的描述公路上之交通情況如多車道之公路與車輛之變換車道行 為，單車道模型應加以擴充，如引入多車道概念之系統與相關變換車道規則，使 得前述之交通情況能被加以描述。經典的多車道模型主要包含 M. Rickert 等人建 立於 NaSch 模型之多車道模型 [26]。二車道模型之系統係定義為二平行相鄰之一 維陣列（如圖 3.1），陣列上之車輛除了如同單車道 NaSch 模型可於一維陣列中前 進外，亦可變換於相鄰之一維陣列間。 綜觀世界各國主要之車道使用規定，可以 將之分類為對稱（symmetric）與非對稱（asymmetric）型。對稱型之行車概念為 超車得於前車左側或右側之車道進行，並且超車完不必駛回原車道，於此情形左 右車道之行車速率大致相等；非對稱型之行車概念（以靠右行駛之國家為例）為 超車須於前車左側之車道進行，並且超車完須駛回原車道，於此情形左車道之行 車速率應大於右側車道。其中超車為車輛以相對較快速率「經過」同方向行駛的 另一車輛之行為，並且無需考慮車輛於超越前後是否處於同一車道。
圖 3.1：二車道模型系統，由二平行相鄰之一維陣列所組成。車輛除了如同單車道 模型可於一維陣列中前進外，亦可變換於相鄰之一維陣列間。圖改編自 [6]。
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Rickert 等 人 即 依 上 述 行 車 方 式 建 立 相 應 之 對 稱 （symmetric） 與 非 對 稱
（asymmetric）模型，藉由引入相關變換車道條件以模擬上述車道使用規定之車流 行為 [26]。變換車道條件可包括動機與安全等。如當同一車道之前車間距太小，
且另一車道有較適宜的間距時，駕駛人即有愈變換車道超車之動機之條件。又如 當另一車道後方來車間距大於最高速率時，即滿足了避免變換車道後後方來車須 減速之安全條件。
D. Chowdhury 等人於 1997 年所發表的論文 [13] 將 Rickert 等人之模型作了 些許修改，並引進了快慢車的概念（如小汽車與大貨車），以更貼近真實高速公 路情況；模型中因此具二種最高速率，即快車最高速率 vf,max，及慢車最高速率
v
s,max。值得注意的是，此種快慢車概念不僅適用於車輛本質上之性能差異，亦可適用於同一車種下，不同的駕駛組成所產生之期望速率（desired speed）差異，如 部分人喜歡達最高速限，部分人喜歡開比速限低一些。
針對二車道模型之模擬，我們主要根據 Chowdhury 建立模型，比較對稱模型 及非對稱模型在單一車種及二車種情況下之優劣。