杉山公造所提出之重心法演算法，當遇到相同重心值時，其無法有效 分辨概念的排序，因此，必須要將相同重心值的概念兩兩相互交換，在探 討其交錯邊數的多寡。然而，這樣是必須浪費較多的時間來演算，故本研 究探討出，若遇到相同重心值時，依據其概念之連接邊的多寡來決定其排 序，連接邊少者先排序，若重心值與連接邊均相同，則須將概念兩兩相互 交換，並討論所有產生的交錯邊數。
第一節 重心法之成效分析
一、改良後之重心法演算法則
（一）第一階段
a.步驟 1：設定初始重複循環第一階段演算之次數（即疊代次 數）r，然後計算K
( )
M1 ，這裏 表示為第 1 層與 第 2 層之鄰接矩陣。M1
b.步驟 2：令M2 =βR
( )
M1 。c.步驟 3：若K
( )
M2 <K( )
M1 ，則令M∗ =M2，K∗ =K(
M2)
。 d.步驟 4：令M3 =βC( )
M2 。e.步驟 5：若K
( )
M3 < K∗，則M∗ =M3，K∗ =K( )
M3 。f.步驟 6：若M3 =M1或疊代次數剛好大於r，則結束第一階段 演算，進入第二階段演算。否則， 回到第一階段的 步驟 2。
（二）第二階段
若M3有兩個以上元素具有相同重心值時，其判別法則如下：
a.若 與 之重心值相同，則根據 與 之值的大 小，來決定頂點 與頂點 的順序，數值小的頂點排在 數值大的頂點之前。
p
u(i+1) u(i+1)q
p
ui
d (+1) dui q
) 1 (+
p
u(i+1) u(i+1)q
b.若u(i+1)p與u(i+1)q之重心值相同，且 u p u q
i
i d
d (+1) = (+1) ，則將元素 相互交換，並同時探討其交錯邊數。
二、利用隨機矩陣驗證改良後之重心法演算法
表一為根據重心法與改良後之重心法所計算出之結果，隨機模擬 資料中之階層圖為各層頂點數均相同的二階階層圖。
表一、重心法與改良後之重心法的對照表
每層 頂點數
原交錯 邊數
重 心 法 產 生 之 交 錯 邊數
改 良 後 之 重 心 法 產 生 的 交 錯
重心法執 行時間(秒)
改良後之 重心法執 行時間(秒)
2 1 0 0 0.078 0.078
3 3 1 1 0.156 0.142
4 4 0 0 0.094 0.090
5 9 3 3 0.096 0.088
6 14 3 3 0.082 0.078
7 18 6 6 0.078 0.071
8 23 4 4 0.093 0.082
9 44 9 9 0.110 0.092
10 27 4 4 0.109 0.100
15 177 53 53 0.188 0.142 20 384 135 135 0.375 0.308 30 1396 727 727 1.360 1.026
三、改良後之演算法與杉山公造演算法之綜合比較
（一）改良後之演算法在程式運算上所花費的時間，比杉山公造之演 算法更為省時。
（二）改良後之演算法具有區辨同重心之功能。
第二節 九年一貫數與量概念之學習階層圖
一、利用改良後之重心法去執行數與量概念之學習階層圖，其減少交錯邊 數後之學習階層圖如圖十。
（一）本研究所探究的數與量概念之學習階層圖，其原本之交錯邊數 有 277 個之多，然而，經過改良後之重心法去執行，所得到的交 錯邊數剩下 82 個，且執行時間為 2.089 秒，與杉山公造所提出 之重心法去執行的時間 2.797 秒，其執行時間相對比較短。
（二）減少交錯邊後之數與量概念之學習階層圖之優點
1.讓學習者更清楚地了解單元與單元之間的關連性，且容易閱 讀追蹤相關知識。
2.提供可讀性高之學習階層圖，使其能有助於教師了解教材之 地位，並增進教學效果。
（三）經過改良後之重心法所得到的數與量學習階層圖中，可看出幾 個分群的效果，其中包含加減法相關概念的分群、乘除法相關 概念的分群、統計圖相關概念的分群，以及容量與重量相關概 念的分群
數到