重心法之演算法則

由於概念圖或學習階層圖的交錯邊數過多，造成閱讀者無法有效了解 概念與概念間的上下位關係，因此，藉由杉山公造於 1981 年所提出的重 心法來解決交錯邊數過多之情形。

一、交錯邊數

若給定第 層與第i i+1層之鄰接矩陣M_i =[m_ij]_p×q，p= L_i 且

+1

= L_i

q ，則定義第 層與第i i+1層之交錯邊數為

，則 階層的總交錯邊數為

∑ ∑ ∑ ∑

⁻

= = +

−

= = +

= ¹

1 1

1

1 1

) (

) (

p

j p

j k

q q

i k i j

i m m

M K

α β α β α n

) ( )

( ) ( ) ( )

(M =K M₁ +K M₂ +K M₃ + +K M_n+1

K L ，其中 M

為鄰接矩陣。

例如：

圖一、擷取自 Kozo Sugiyama(1981)之階層結構圖 其中

二、重心法之演算步驟

重心法藉由計算重心值，將學習階層圖中，每一層內之概念節點，

依照各概念節點之重心值，由小到大，由左到右之順序，重新排列。

重心法之演算法則，基本上先建造於只有兩層之學習階層圖，之後再 擴充到兩層以上之學習階層圖。

（一）只有兩層之學習階層圖的演算法

為方便描述演算法則，首先定義幾個重要函數，其次介紹杉山 公造之演算步驟。

1.函數定義

(1) K

( )

⋅ ：表示將鄰接矩陣映到非負整數之函數。

令

( )

2 1,1

1 i L j L

mij

M _{≤≤ ≤ ≤} 為一鄰接矩陣，則

( ) ∑ ∑ ∑ ∑

⁻

= = +

−

= = +

= ¹

1 1

1

1 1

1 1 2 2

L

j L

j k

L L

k

j m

m M

K

α β α β α。

(2) β_C

( )

⋅ ：表示將鄰接矩陣，映到根據行重心值重新排列該 矩陣的行後，所得矩陣之函數。令

( )

2 1,1

1 i L j L

mij

M = _{≤≤ ≤ ≤} 且 ^C_j ^C_j ^C_j B L

B B

2 2

1 < <L< ，則

( ) ( )

2 1,1

1 i L k L

ij

C M =N = m _{k ≤≤ ≤ ≤}

β 。

(3) β_R

( )

⋅ ：表示將鄰接矩陣，映到根據列重心值重新排列該 矩陣的列後，所得矩陣之函數。

令

( )

d.步驟 4：令M₃ =β_C

( )

M₂ 。

步驟三：行重心值經大小次序排列後，

e.步驟 5：若第二階段之疊代次數大於初始值時，則結 束執行，否則跳到第一階段第 2 步驟。

（二）兩層以上之學習階層圖的演算法

假設該學習階層圖有 層，n n>2，底下為演算步驟：

1.固定第 1 層，根據壹、一、（一）、2 之演算法排第 2 層中頂 點之順序。

2.固定排序完後之第 2 層，再根據壹、一、（一）、2 之演算法 排第 3 層中頂點之順序。

3.依此類推，直到排完第 層為止。 n

4.固定第 層，再根據壹、一、（一）、2 之演算法排第 層 中頂點之順序。

n n−1

5.固定排序完後之第n−1層，再根據壹、一、（一）、2 之演算 法排第n−2層中頂點之順序。

6.依此類推，直到排完第 1 層為止。

三、重心法演算步驟之問題點

（一）鄰接矩陣M 中，出現過多相同重心時，演算步驟第二階段中之 或 ，將面臨無法定義的問題。

( )

M

R_C ^RR

(

^M

)

（二）若演算步驟不是先固定第 1 層，然後逐一排到最後一層，而是 先固定最後一層，再逐一排到第 1 層時，減少交錯邊之效果不 同。

四、重心法演算步驟問題點之實例

2、步驟二：將列重心值按大小次序排列，得到

5、步驟五：將行重心值再按大小次序排列，得到

（二）若演算步驟不是先固定第 1 層，然後逐一排到最後一層，而是

（3）步驟三：將行重心值按大小次序排列，得到

（2）步驟二：將列重心值按大小次序排列，得到

第二節 九年一貫數學領域數與量概念之教材分析

一、九年一貫數學領域之數與量概念能力指標

（ 一 ）N-1-01：能說、讀、聽、寫一萬以內的數，比較其大小，

並作位值單位的換算。

（ 二 ）N-1-02：能理解加法、減法的意義，解決生活中的問題。

（ 三 ）N-1-03：能理解乘法的意義，解決生活中簡單整數倍的問 題。

（ 四 ）N-1-04：能理解除法的意義，解決生活中的問題，並理解 整除、商與餘數的概念。

（ 五 ）N-1-05：能熟練加減直式計算。

（ 六 ）N-1-06：能理解九九乘法。

（ 七 ）N-1-07：能理解乘除直式計算，熟練較小位數的乘除直式 計算。

（ 八 ）N-1-08：能在具體情境中，解決簡單兩步驟問題。

（ 九 ）N-1-09：能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母 分數的比較與加減問題。

（ 十 ）N-1-10：能認識一位小數，並作比較與加減計算。

（ 十一 ）N-1-11：能由長度測量的經驗，透過刻度尺的方式來認識 數線，並標記整數值。

（ 十二 ）N-1-12：能在數線上作整數加、減的操作。

（ 十三 ）N-1-13：能報讀時刻，認識常用的時間單位，並做時或分 同單位的加減計算。

（ 十四 ）N-1-14：能對兩個同類量作直接比較。

（ 十五 ）N-1-15：能作兩個同類量的間接比較與個別單位的比較。

（ 十六 ）N-1-16：能使用日常測量工具進行實測活動，理解其單位 和刻度結構，並解決同單位量的比較、加減與簡 單整數倍的問題。

（ 十七 ）N-1-17：能做量的估測。

（ 十八 ）N-2-01：能透過位值概念，延伸整數的認識到大數，並作 位值單位的換算。

（ 十九 ）N-2-02：能熟練整數加、減、乘、除的直式計算。

（ 二十 ）N-2-03：能熟練整數四則混合運算，並解決生活中的問題。

（二十一）N-2-04：能理解因數、倍數、公因數與公倍數。

（二十二）N-2-05：能用四捨五入法，對某數在指定位數取概數，並 作加、減、乘、除之估算。

（二十三）N-2-06：能理解分數之「整數相除」的意涵。

（二十四）N-2-07：能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數 的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問 題。

（二十五）N-2-08：能理解等值分數、約分、擴分的意義。

（二十六）N-2-09：能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比 較與加減問題。

（二十七）N-2-10：能認識多位小數，理解其比較，及用直式處理加、

減與整數倍的計算，並解決生活中的問題。

（二十八）N-2-11：能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活 中的問題。

（二十九）N-2-12：能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中 的問題。

（ 三十 ）N-2-13：能做分數與小數的互換，並標記在數線上。

（三十一）N-2-14：能認識比率及其在生活中的應用。

（三十二）N-2-15：能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題。

（三十三）N-2-16：能理解普遍單位間的關係，並在描述一個量時，

作不同單位間的換算。

（三十四）N-2-17：能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。

（三十五）N-2-18：能理解容量、容積和體積間的關係。

（三十六）N-2-19：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯 形的面積公式。

（三十七）N-3-01：能認識質數、合數，並做質因數分解。

（三十八）N-3-02：能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意 義，並用來將分數約成最簡分數。

（三十九）N-3-03：能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生 活中的問題。

（ 四十 ）N-3-04：能用直式處理除數為小數的計算，並解決生活中 的問題。

（四十一）N-3-05：能理解比、比例、比值與正、反比的意義，並解 決生活中的問題。

（四十二）N-3-06：能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位 及換算，並處理相關的計算問題。

（四十三）N-3-07：能熟練比例式的基本運算。

（四十四）N-3-08：能認識負數，並將負數標記在數線上，以理解正 負數之比較。

（四十五）N-3-09：能理解加、減運算在數線上的對應操作。

（四十六）N-3-10：能理解絕對值的意義。

（四十七）N-3-11：能熟練正負數的混合四則運算。

（四十八）N-3-12：能認識指數的記號與指數律。

（四十九）N-3-13：能認識科學記號，並理解其運算規則。

（ 五十 ）N-3-14：能理解生活中常用的數量關係，並恰當運用於解 釋問題或將問題列成算式。

（五十一）N-3-15：能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域 估算其面積。

（五十二）N-3-16：能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形 面積。

（五十三）N-3-17：能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。

（五十四）N-4-01：能認識二次方根及其近似值。

（五十五）N-4-02：能理解二次方根的四則運算。

（五十六）N-4-03：能辨識具規則性的數列。

（五十七）N-4-04：能理解等差數列的樣式、規則性及未知量。

（五十八）N-4-05：能辨識等差級數的樣式、規則性及理解未知量求 法。

二、九年一貫數學領域之數與量概念教材分析

本研究中，以南一 94 年版，國小一到六年級教材中，和數與量 概念有關的單元，經分析整理後，如下所示。

（ 一 ）第一冊第一單元，單元名稱：數到 10 （ 二 ）第一冊第五單元，單元名稱：分與合 （ 三 ）第一冊第六單元，單元名稱：數到 30 （ 四 ）第一冊第七單元，單元名稱：加一加 （ 五 ）第一冊第九單元，單元名稱：減一減 （ 六 ）第二冊第一單元，單元名稱：數到 100 （ 七 ）第二冊第三單元，單元名稱：三個數的加減 （ 八 ）第二冊第五單元，單元名稱：18 以內的加減

（ 九 ）第二冊第七單元，單元名稱：二位數的加減 （ 十 ）第三冊第一單元，單元名稱：數到 300 （ 十一 ）第三冊第三單元，單元名稱：加法 （ 十二 ）第三冊第五單元，單元名稱：減法

（ 十三 ）第三冊第六單元，單元名稱：容量和重量 （ 十四 ）第三冊第八單元，單元名稱：乘法

（ 十五 ）第四冊第一單元，單元名稱：1000 以內的數

（ 十六 ）第四冊第二單元，單元名稱：液量和重量 （ 十七 ）第四冊第五單元，單元名稱：加法和減法 （ 十八 ）第五冊第一單元，單元名稱：2000 以內的數 （ 十九 ）第五冊第三單元，單元名稱：加法

（ 二十 ）第五冊第五單元，單元名稱：減法和電算器 （二十一）第五冊第六單元，單元名稱：乘法

（二十二）第五冊第八單元，單元名稱：除法

（二十三）第五冊第九單元，單元名稱：容量和重量 （二十四）第五冊第十單元，單元名稱：分數

（二十五）第六冊第一單元，單元名稱：一萬以內的數 （二十六）第六冊第三單元，單元名稱：整數的加減 （二十七）第六冊第四單元，單元名稱：分數和小數 （二十八）第六冊第五單元，單元名稱：分數的加減

（二十九）第六冊第六單元，單元名稱：小數的加減 （ 三十 ）第七冊第一單元，單元名稱：十萬以內的數 （三十一）第七冊第三單元，單元名稱：加和減

（三十二）第七冊第五單元，單元名稱：乘法 （三十三）第七冊第八單元，單元名稱：容量 （三十四）第七冊第九單元，單元名稱：除法 （三十五）第七冊第十一單元，單元名稱：重量

（三十六）第八冊第一單元，單元名稱：一億以內的數 （三十七）第八冊第二單元，單元名稱：統計圖

（三十八）第八冊第四單元，單元名稱：乘法和除法 （三十九）第八冊第六單元，單元名稱：四則運算 （ 四十 ）第八冊第七單元，單元名稱：分數 （四十一）第八冊第十單元，單元名稱：小數

（四十二）第九冊第四單元，單元名稱：小數的乘法 （四十三）第九冊第五單元，單元名稱：表和統計圖 （四十四）第九冊第六單元，單元名稱：因數和倍數 （四十五）第九冊第九單元，單元名稱：容量

（四十六）第十冊第二單元，單元名稱：公因數和公倍數 （四十七）第十冊第四單元，單元名稱：擴分和約分

在文檔中 一個重心法的新演算程序對學習階層圖的影響－以九年一貫數學領域數與量之教材內容為例－ (頁 13-0)