一個重心法的新演算程序對學習階層圖的影響－以九年一貫數學領域數與量之教材內容為例－

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國立台中教育大學數學教育學系碩士論文

指導教授：胡豐榮博士

一個重心法的新演算程序對學習階層圖的

影響

－以九年一貫數學領域數與量之教材內容為例－

研究生：張順閔撰

中華民國九十六年一月

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中文摘要

近來，階層結構圖的研究蔚為盛行，例如：何氏圖、概念圖等相關研究。而這些研究均以杉山公造於 1981 年提出的重心法為主要分析方法，並加以探究階層結構圖之可讀性。然而，杉山公造所提出之重心法演算法則，在分析重心值相同之情形時，往往無法有效解決交錯邊之問題。因此，導致在演算過程中花費過多的時間。故本研究擬根據現有文獻，進而分析重心法的演算過程，並提出有效解決同重心值問題時，所產生之瓶頸。另一方面，自九年一貫課程改為一綱多本後，教師自編教材的能力便受到重視。因此，教師必須了解教材地位，以增進教學效果，故提供可讀性高之學習階層圖是必要的。故本研究之另一目的，乃應用所發展之重心法演算法則有效建置數與量概念之學習階層圖，提供可讀性高之學習階層圖，以作為教師在補教教學時的參考。本研究之發現：（1）執行重心法之新演算步驟。（2）九年一貫數學領域數與量之可讀性高的學習階層圖。關鍵詞：何氏圖、概念圖、重心法、九年一貫、學習階層圖

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The new calculation procedure of Barycentric Method to the Learning hierarchy map influence

Abstract

The studying of hierarchy is in vogue. Studies like the Forrester Diagram and concept maps. They are mainly analyzed with Barycentric method which Kozo Sugiyama proposed in 1981 to discuss the readability of hierarchies.

However, the calculation principle of Barycentric method is usually unable to effectively solve the problem of excessive numbers of crossings when ascertaining the identical Barycenter. Therefore, the process of calculation spends the excessively much time.

According to the available references, this research is to analyze the process of calculation and to bring up effective solutions to overcome the problem of the identical Barycenter.

On the other hand, since the 1st-9th Grades Curriculum changes One Subject With Various Editions From Different Publishers, in which attach importance to teachers’ abilities to organize teaching materials. Hence, the teachers must to understand the status of the teaching materials and also improve the results of teaching and learning. So, it is necessity of providing that a high readability Learning hierarchy map of the studying material. Moreover, the other point of this research is to try to apply the Barycenter method to effectively construct the structural drawing of Figures and Quantity materials, and also to provide references for teachers to examine and remedy teaching.

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The findings in this research includes that:

(1) the new procedures of performing BC method;

(2) a readability Learning hierarchy map of the studying material of Figures and Quantity in 1st-9th Grades Curriculum.

Keywords: Forrester Diagram, concept maps, Barycentric method, 1st-9th Grades Curriculum, Learning hierarchy map

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第一章緒論...1

第一節研就動機...1 第二節研究目的...3 第三節名詞釋義...4 第四節研究限制...6

第二章文獻探討...7

第一節重心法之演算法則...7 第二節九年ㄧ貫數與量概念教材分析...20

第三章方法與步驟...29

第一節重心法在數與量主題之分析步驟...29 第二節數與量學習階層圖之信效度分析...32

第四章結果與討論...33

第一節重心法之成效分析...33 第二節九年ㄧ貫數與量概念之學習階層圖...36

第五章結論與建議...39

第一節結論...39

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第二節建議...39

參考文獻...41

附件一...43

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第一章緒論

第一節研究動機

認知教學法由早期較巨觀的發現式學習、問題解決等模式，逐漸演變成為許多微觀的認知策略，其中概念構圖被認為是運用學生的認知空間思考能力以促進學習的教學策略（Novak ＆ Gowin, 1984；耿筱曾，民 86；余民寧，民 86）。此種策略常見於教材組織的設計形式，部分教師亦將其應用轉化為特殊教法的採用（李永吟，民 87）。而概念構圖是由 Novak 研究兒童科學概念改變歷程時，根據 Ausubel 之有意義的學習理論，發展出來用來表徵個人內在知識結構之工具，為一套方便可行的學習方法，稱為「概念構圖」，而所繪出來的圖稱為概念圖（陳淑芬，民 86）。而自九年一貫課程改革以來，利用概念圖或學習階層圖，來探究課程改革下兒童的學習成效之研究，已經成為當下最主要的研究風潮。其中，概念圖或學習階層圖是將ㄧ組概念做系統化的分類，把相近、有關聯的概念做連結，並且依據學習次序將概念圖階層化。因此，透過概念圖或學習階層圖可以了解概念間的關係，以及各個概念的學習次序。所以，概念圖或學習階層圖應用於數學領域之數與量概念的學習，依舊扮演著非常重要的角色。

國外學者，如 Stice & Alvarez(1986)對幼稚園至國小四年級的學童進行概念圖教學，並發現此教學策略能有效提昇低成就學生的學習效果。

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Hawk(1986)則是以六年級(235 位)及七年級(220 位)的學生作為研究對象，以概念圖的方式教導實驗組學生學習生命科學，研究結果發現實驗組的學生在成就測驗上的表現優於對照組。另外，Okebukola(1992)將奈及利亞大學生分成三組，其中有兩組參加六個月的概念圖訓練，其研究結果發現，概念圖訓練有助於提昇學生問題解決能力、後設認知能力及合作學習能力。而國內探究概念圖研究的實例，如湯清二(民 82)曾以晤談方式配合概念圖，探討國小、國中及高中三階段學生對於生物細胞概念發展過程，並探究細胞概念的類型，作為分析概念形成及教師改善教學與評量之依據。王薌茹(民 83)曾比較概念圖教學與慣用教學於國中生物上冊第五、六章教學之成效，藉概念圖教學後之教師及學生的問卷反應以探討概念圖教學於國中生物教學之意義及可行性。而李秀娟等(民 87)曾以概念圖為工具，分析國中生物教材中神經系統單元於正確性、適切性、本土性、易讀性和生活化等五大特性進行分析，提供國中生物教師分析教材之參考。此外，羅廷瑛(民 90)曾針對國小一年級學童（57 位），分別施以「概念構圖教學法」和「傳統式教學法」後，比較其於「自然科學成就測驗」上的得分，發現前者的學童平均成績優於後者；之後又將「概念構圖教學組」學童，進行教學前後得分之差異比對，亦發現教學前後得分有顯著的差異。由上述的相關研究可以發現，概念圖對提昇學生學習效果、問題解決能力及後設認知與創造性上的增進均有相當的助益。但是，概念圖或學習階層圖往往由於概念的數量或階層過多時，造成標示概念上下位關係之連

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邊，有過多的交錯現象，因而導致結構圖無法提供學習者有效的學習。再者，關於九年一貫課程之概念圖或學習階層圖之研究中，陳俊宏（民 95）與廖寶貴(民 95)之研究是針對康軒版數學領域之數與量概念，提供可讀性高的學習階層圖。本研究基於數與量概念在數學教材中之比例甚多，且九年一貫課程為一綱多本，多數國小學童在一綱多本的數與量概念學習上，可能因版本不同而導致迷思概念有所差異，因此，本研究選定南一版數學領域之數與量概念，參考陳俊宏(民 95)與廖寶貴(民 95)之研究架構，提出不同於康軒版本之數與量概念的學習階層圖。然而，為解決交錯邊數過多之情形，本研究擬利用杉山公造

(Kozo Sugiyama)於 1981 年提出之重心法(barycentric method，簡稱 BC 法)來深究探討，並提出解決同重心問題之演算法則，再而，應用於九年一貫課程中，關於數與量概念之單元上，呈現可讀性高之學習階層圖。

第二節研究目的

減少概念圖或學習階層圖繁多的交錯邊數是本研究的重要工作，而目前使用重心法的情形，均以日本學者杉山公造所提出之演算流程為依據，來撰寫分析程式。但在判斷重心值相同之情況時，演算法往往無法快速解決交錯邊數過多之情形。因此，本研究之目的有二，其一為對重心法之演算法，加入新的步驟，企圖以花費較少時間來減少交錯邊數之效果，以改善過去重心法在同重心

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之情況下，所面臨之困境。除此之外，本研究之另一目的，即利用改良後之重心法，應用於九年一貫課程中，關於數與量概念之單元，提供學習者可讀性高之學習階層圖，並使其能有助於教師了解教材之地位，以及增進教學效果，或提供教師在進行補救教學時之參考。

第三節名詞釋義

一、階層圖一階層圖（hierarchy）G，乃由

{

L1,L2,L,Ln

}

與邊的集合所構成，簡記，其中且表示第層頂點所成的集合。 V V E⊆ ×

(

V E G= ,

)

1 = = U i n i L V L_i i 二、鄰接矩陣階層圖 ⎟中，假設 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = L E G _i n i , 1 U Li =

{

ui1,ui2,L,uiLi

}

，其中Li 表示集合之元素個數。則第Li i層與第i+1層之鄰接矩陣（adjacency matrix）之定義如下： i M ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + + 1 1 1 1 11 i i i i L L L kl L i m m m m m M L O N M M N O L ，

(

( )

)

( )

(

)

⎩ ⎨ ⎧ ∉ ∈ = + + . , , 0 , , , 1 1 1 E u u E u u m l i ik l i ik kl 若若

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三、交錯邊本研究所指的交錯邊(crossing edge)為兩有向邊之交點，此交點不為三個有向邊(含)以上之交點。即無三線(含)以上共點之情形。四、鄰域令N_u

{

u_i L_i

(

u_i u_i

)

E

}

i+1 = ∈ | , +1 ∈ ，則稱Nui+1為頂點之鄰域（neighborhood）。 1 + i u 五、度 ∀ui+1∈Li+1，令 = 1 + i u d 1 + i u N ，則稱為頂點之度（degree）。 1 + i u d u_i₊₁ 六、重心本研究所指重心（barycenter），分成鄰接矩陣之行重心（column barycenter）與列重心（row barycenter）兩部分。鄰接矩陣中，第行（column）之行重心的計算方式如下： i M l B_lC o L 1 1 1 , , 1 , ₊ = = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × =

∑

i L k kl L k kl C l l L m m k B i i 同理，鄰接矩陣Mi中，第列（row）之列重心k 的計算方式如下： R k B o L i L l kl L l kl R k k L m m l B i i , , 1 , 1 1 1 1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × =

∑

+ + = =

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七、數與量概念

九年一貫課程(Nine-Year Grades Curriculum)乃教育部於民國九十一學年度頒布，並逐年於國中小施行之教育改革政策，課程包含七大領域（語文、健康與體育、社會、藝術與人文、數學、自然與科技及綜合活動），其中，數學領域包含「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和「連結」之五大主題，本研究所指之數與量概念為「數與量」主題。

第四節研究限制

本研究基於一般性的 N 階階層圖過於複雜，因此，根據 matlab 程式隨機產生鄰接矩陣，再由鄰接矩陣繪製之 N 階階層圖為研究對象。是以，本研究之研究結論不可推論至一般性 N 階階層圖之情形。另一方面，本研究限制所考慮之 N 階階層圖，不含有循環迴路，即不含有始點與終點相同之路徑。本研究所考慮之 N 階階層圖，雖不含有長邊，也就是跨過兩層(含)以上之有向邊，然而，透過加入虛擬點與虛擬邊之處理技術，所以，帶有長邊之 N 階階層圖，可以轉換成不含長邊之情況。因此，本研究對帶有長邊之 N 階階層圖，並不加以設限。

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第二章文獻探討

為了讓本研究之目的能夠達成，故在探討研究問題前，先就現有相關之文獻，進行深入探討與分析，從中了解前人研究的方法及結果，以省去不必要的嘗試與錯誤。因此，本章擬分成「重心法之演算法則」與「九年ㄧ貫數學領域之數與量概念教材分析」兩小節，進行文獻探討。

第一節重心法之演算法則

由於概念圖或學習階層圖的交錯邊數過多，造成閱讀者無法有效了解概念與概念間的上下位關係，因此，藉由杉山公造於 1981 年所提出的重心法來解決交錯邊數過多之情形。一、交錯邊數若給定第層與第i i+1層之鄰接矩陣M_i =[m_ij]_p×_q，p= Li 且 1 + = Li q ，則定義第層與第i i+1層之交錯邊數為，則階層的總交錯邊數為

∑ ∑ ∑ ∑

− = = + − = = + = 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( p j p j k q q i k i j i m m M K α β α β α n ) ( ) ( ) ( ) ( ) (M =K M1 +K M2 +K M3 + +K Mn₊₁ K _L ，其中 M 為鄰接矩陣。

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例如： a b c d e f g h i j k l m 第一層第二層第三層第四層圖一、擷取自 Kozo Sugiyama(1981)之階層結構圖其中 0 1 0 0 c 1 0 0 0 b 1 1 0 1 a g f e d 1 ⇒ M ，K(M₁)=2 0 1 1 0 g 0 0 1 0 f 0 0 1 0 e 0 1 0 1 d k j i h 2 ⇒ M _， ₍ ₎ ₃ 2 = M K 1 1 k 0 1 j 0 1 i 1 1 h m l 3 ⇒ M ，K(M3)=3 而 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 M M M M ，則K(M)=K(M1)+K(M2)+K(M3)=2+3+3=8。

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二、重心法之演算步驟重心法藉由計算重心值，將學習階層圖中，每一層內之概念節點，依照各概念節點之重心值，由小到大，由左到右之順序，重新排列。重心法之演算法則，基本上先建造於只有兩層之學習階層圖，之後再擴充到兩層以上之學習階層圖。（一）只有兩層之學習階層圖的演算法為方便描述演算法則，首先定義幾個重要函數，其次介紹杉山公造之演算步驟。 1.函數定義 (1) K

( )

⋅ ：表示將鄰接矩陣映到非負整數之函數。令

( )

2 1,1 1 i L j L ij m M _≤_≤ _≤ _≤ 為一鄰接矩陣，則

( )

_{∑ ∑ ∑ ∑}

− = = + − = = + = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 L j L j k L L k j m m M K α β α β α 。 (2) βC

( )

⋅ ：表示將鄰接矩陣，映到根據行重心值重新排列該矩陣的行後，所得矩陣之函數。令

( )

2 1,1 1 i L j L ij m M = _≤_≤ _≤ _≤ 且 Cj C j C j B B _L B 2 2 1 < <L< ，則

( )

2 1,1 1 i L k L ij C M =N = m _k _≤_≤ _≤ _≤ β 。 (3) βR

( )

⋅ ：表示將鄰接矩陣，映到根據列重心值重新排列該矩陣的列後，所得矩陣之函數。

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令

( )

2 1,1 1 i L j L ij m M = _≤_≤ _≤ _≤ 且 _iR _iR _iR L B B B 1 2 1 < <L< ，則

( )

2 1,1 1 k L j L j i R M =L= mk ≤ ≤ ≤ ≤ β 。 (4) RC

( )

⋅ ：令鄰接矩陣

( )

2 1,1 1i L j L ij m M = _≤_≤ _≤ _≤ 滿足BC_j BC_j ，則 2 1 =

( )

2 1,1 1i L j L ij C M n R = _≤_≤ _≤ _≤ ，這裏

{

}

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ = = ∉ = 2 1 2 1 , , , , , , 1 2 j j m j j m j j j m n ij ij ij ij 若若若 (5) RR

( )

⋅ ：令鄰接矩陣

( )

2 1,1 1i L j L ij m M = _≤_≤ _≤ _≤ 滿足BR_j BR_j ，則 2 1 =

( )

2 1,1 1 i L j L ij R M n R = _≤_≤ _≤ _≤ ，這裏

{

}

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ = = ∉ = 2 1 2 1 , , , , , , 1 2 j j m j j m j j j m n ij ij ij ij 若若若 2.演算步驟杉山公造之演算法，分為兩階段逐步進行。 (1) 第一階段 a.步驟 1：設定初始重複循環第一階段演算之次數（即疊代次數）r，然後計算K

( )

M1 ，這裏表示為第 1 層與第 2 層之鄰接矩陣。 1 M b.步驟 2：令M2 =βR

( )

M1 。 c.步驟 3：若K

( )

M2 <K

( )

M1 ，則令M =M2， ∗

( )

M2 K K∗ = 。

(17)

d.步驟 4：令M3 =βC

( )

M2 。 e.步驟 5：若K

( )

M₃ < K∗，則M∗ =M₃，K∗ =K

(

M₃

)

。 f.步驟 6：若M3 =M1或疊代次數剛好大於r，則結束第一階段演算，進入第二階段演算。否則，回到第一階段的步驟 2。範例： a b c _d e _f g _h 圖二、階層結構圖步驟一：寫出鄰接矩陣H0 5 . 2 3 3 2 5 . 3 1 1 0 0 d 5 . 1 0 0 1 1 c 2 0 1 0 1 b 5 . 2 1 0 0 1 a h g f e 0 c l R k B B H = ， K(H0)=7 步驟二：將列重心值按大小次序排列，得到 5 . 3 3 1 2 5 . 3 1 1 0 0 d 5 . 2 1 0 0 1 a 2 0 1 0 1 b 5 . 1 0 0 1 1 c h g f e 1 c l R k B B H = ， K(H1)=4

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步驟三：行重心值經大小次序排列後， 5 . 3 3 2 1 5 . 3 1 1 0 0 d 3 1 0 1 0 a 5 . 2 0 1 1 0 b 5 . 1 0 0 1 1 c h g e f 2 c l R k B B H = ， K(H2)=2 因為行重心值與列重心值均按大小次序排列，故得到交錯邊數為 2。其最後排列的圖形如下： a b c d e f g h 圖三、階層結構圖 (2) 第二階段 a.步驟 1：令M4 =RC

( )

M3 。 b.步驟 2：之行重心值若不是由小到大排列時，則令 4 M 4 1 M M = ，且跳到第二階段步驟 5，否則進行步驟 3。 c.步驟 3：M5 =RR

( )

M4 。 d.步驟 4：M5之列重心值若不是由小到大排列，則令 5 1 M M = 且跳到第二階段步驟 5，否則結束執行。

(19)

e.步驟 5：若第二階段之疊代次數大於初始值時，則結束執行，否則跳到第一階段第 2 步驟。（二）兩層以上之學習階層圖的演算法假設該學習階層圖有層，n n>2，底下為演算步驟： 1.固定第 1 層，根據壹、一、（一）、2 之演算法排第 2 層中頂點之順序。 2.固定排序完後之第 2 層，再根據壹、一、（一）、2 之演算法排第 3 層中頂點之順序。 3.依此類推，直到排完第層為止。 n 4.固定第層，再根據壹、一、（一）、2 之演算法排第層中頂點之順序。 n n−1 5.固定排序完後之第n−1層，再根據壹、一、（一）、2 之演算法排第n−2層中頂點之順序。 6.依此類推，直到排完第 1 層為止。三、重心法演算步驟之問題點（一）鄰接矩陣M 中，出現過多相同重心時，演算步驟第二階段中之或，將面臨無法定義的問題。

( )

M R_C R_R

(

M

)

（二）若演算步驟不是先固定第 1 層，然後逐一排到最後一層，而是先固定最後一層，再逐一排到第 1 層時，減少交錯邊之效果不同。

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四、重心法演算步驟問題點之實例（一）杉山公造之重心法演算法則針對相同重心值的排序，必須兩兩概念相互交換，取其交錯邊數較少之結果，但此方式會耗去大量時間，在此提出一實例加以說明，如下所示： a b c d e f g h i 圖四、階層結構圖 1、步驟一：寫出鄰接矩陣A₀ 4 2 5 . 2 1 5 . 3 3 1 0 0 0 1 d 5 . 2 0 1 0 0 1 c 3 0 0 1 0 0 b 3 0 1 1 1 0 a i h g f e 0 c l R k B B A = ，K(A0)=9 此鄰接矩陣產生三個相同列重心之值，故無法有效判斷其先後次序，因此，必須將此三個元素兩兩交換，並同時探討交換後所產生的交錯邊數，然而，這將耗去大量時間。下列將交換後產生之交錯邊數較少者，提出討論。

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2、步驟二：將列重心值按大小次序排列，得到 3 5 . 2 3 4 2 3 0 1 1 1 0 a 3 1 0 0 0 1 d 3 0 0 1 0 0 b 5 . 2 0 1 0 0 1 c i h g f e 1 c l R k B B A = ， K(A₁)=9 此鄰接矩陣產生兩個相同行重心之值，故將此兩元素相互交換，並同時探討交換後所產生的交錯邊數，發現將 i 排在 g 前面所產生的交錯邊數較少，因此，下列以此列出探討。 3、步驟三：將行重心值按大小次序排列，得到 4 3 3 5 . 2 2 67 . 3 1 1 0 1 0 a 2 0 0 1 0 1 d 4 0 1 0 0 0 b 5 . 1 0 0 0 1 1 c f g i h e 2 c l R k B B A = ， K(A2) =5 4、步驟四：將列重心值再按大小次序排列，得到 3 5 . 3 2 2 5 . 1 4 0 1 0 0 0 b 67 . 3 1 1 0 1 0 a 2 0 0 1 0 1 d 1.5 0 0 0 1 1 c f g i h e 3 c l R k B B A = ， K(A₃) =3 此鄰接矩陣產生兩個相同行重心之值，故將此兩元素相互交換，並同時探討交換後所產生的交錯邊數，發現將 i 排在 h 前面所產生的交錯邊數較少，因此，下列以此列出探討。

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5、步驟五：將行重心值再按大小次序排列，得到 3.5 3 2 2 1.5 5 1 0 0 0 0 b 4 1 1 1 0 0 a 1.5 0 0 0 1 1 d 2 0 0 1 0 1 c g f h i e 4 c l R k B B A = ， K(A₄) =2 6、步驟六：將列重心值按大小次序排列，得到 5 . 3 3 5 . 2 1 5 . 1 5 1 0 0 0 0 b 4 1 1 1 0 0 a 2 0 0 1 0 1 c 5 . 1 0 0 0 1 1 d g f h i e 5 c l R k B B A = ， K(A₅) =1 7、步驟七：行重心值經大小次序排列後， 5 . 3 3 5 . 2 5 . 1 1 5 1 0 0 0 0 b 4 1 1 1 0 0 a 5 . 2 0 0 1 1 0 c 5 . 1 0 0 0 1 1 d g f h e i 6 c l R k B B A = ， K(A₆) =0 因為行重心值與列重心值均按大小次序排列，故得到交錯邊數為 0。其最後排列的圖形如圖七： a b c d e h f g i 圖五、階層結構圖

(23)

（二）若演算步驟不是先固定第 1 層，然後逐一排到最後一層，而是先固定最後一層，再逐一排到第 1 層時，減少交錯邊之效果不同。在此，提出一兩階階層圖加以說明，如下： a b c _d e f g h 圖六、階層結構圖 1、若先固定下層，再依照重心法演算法則排序（1）步驟一：寫出鄰接矩陣B₀ 2 5 . 3 5 . 2 33 . 2 2 0 1 1 1 d 3 0 1 0 0 c 2.5 1 0 0 1 b 1.5 0 0 1 1 a h g f e 0 c l R k B B B = ， K(B0) =8 （2）步驟二：將列重心值按大小次序排列，得到 3 3 5 . 1 2 3 0 1 0 0 c 5 . 2 1 0 0 1 b 2 0 1 1 1 d 1.5 0 0 1 1 a h g f e 1 c l R k B B B = ， K(B1) =5 此鄰接矩陣產生兩個相同行重心之值，故將此兩元素相互交換，並同時探討交換後所產生的交錯邊數，在此，以下列做出探討。

(24)

（3）步驟三：將行重心值按大小次序排列，得到 3 3 2 1.5 4 1 0 0 0 c 2.5 0 1 1 0 b 2.33 1 0 1 1 d 1..5 0 0 1 1 a g h e f 2 c l R k B B B = ， K(B₂) =3 因為行重心值與列重心值均按大小次序排列，故得到交錯邊數為 3。其最後排列的圖形如下： a d b c e f h g 圖七、階層結構圖 2、若先固定上層，再依照重心法演算法則排序，其演算步驟如下：（1）步驟一：寫出鄰接矩陣C₀ 2 3 5 . 2 5 . 1 2 0 0 1 0 h 5 . 3 1 1 0 0 g 5 . 2 1 0 0 1 f 33 . 2 1 0 1 1 e d c b a 0 c l R k B B C = ， K(C₀)=8

(25)

（2）步驟二：將列重心值按大小次序排列，得到 3 4 5 . 1 5 . 2 5 . 3 1 1 0 0 g 5 . 2 1 0 0 1 f 33 . 2 1 0 1 1 e 2 0 0 1 0 h d c b a 1 c l R k B B C = ， K(C₁)=6 （3）步驟三：行重心值經大小次序排列後，得到 4 3 5 . 2 5 . 1 5 . 3 1 1 0 0 g 5 . 2 0 1 1 0 f 2 0 1 1 1 e 1 0 0 0 1 h c d a b 2 c l R k B B C = ， K(C₂)=1 因為行重心值與列重心值均按大小次序排列，故得到交錯邊數為 1。其最後排列的圖形如下： a b d c e f g h 圖八、階層結構圖由上述探討得知，若先固定上層進行演算步驟，其交錯邊數為 1，然而，若先固定下層進行演算步驟，則產生之交錯邊數為 3，因此，其減少交錯邊之效果有所不同。

(26)

第二節九年一貫數學領域數與量概念之教材分析

一、九年一貫數學領域之數與量概念能力指標（一）N-1-01：能說、讀、聽、寫一萬以內的數，比較其大小，並作位值單位的換算。（二）N-1-02：能理解加法、減法的意義，解決生活中的問題。（三）N-1-03：能理解乘法的意義，解決生活中簡單整數倍的問題。（四）N-1-04：能理解除法的意義，解決生活中的問題，並理解整除、商與餘數的概念。（五）N-1-05：能熟練加減直式計算。（六）N-1-06：能理解九九乘法。（七）N-1-07：能理解乘除直式計算，熟練較小位數的乘除直式計算。（八）N-1-08：能在具體情境中，解決簡單兩步驟問題。（九）N-1-09：能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。（十）N-1-10：能認識一位小數，並作比較與加減計算。（十一）N-1-11：能由長度測量的經驗，透過刻度尺的方式來認識數線，並標記整數值。（十二）N-1-12：能在數線上作整數加、減的操作。

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（十三）N-1-13：能報讀時刻，認識常用的時間單位，並做時或分同單位的加減計算。（十四）N-1-14：能對兩個同類量作直接比較。（十五）N-1-15：能作兩個同類量的間接比較與個別單位的比較。（十六）N-1-16：能使用日常測量工具進行實測活動，理解其單位和刻度結構，並解決同單位量的比較、加減與簡單整數倍的問題。（十七）N-1-17：能做量的估測。（十八）N-2-01：能透過位值概念，延伸整數的認識到大數，並作位值單位的換算。（十九）N-2-02：能熟練整數加、減、乘、除的直式計算。（二十）N-2-03：能熟練整數四則混合運算，並解決生活中的問題。（二十一）N-2-04：能理解因數、倍數、公因數與公倍數。（二十二）N-2-05：能用四捨五入法，對某數在指定位數取概數，並作加、減、乘、除之估算。（二十三）N-2-06：能理解分數之「整數相除」的意涵。（二十四）N-2-07：能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。（二十五）N-2-08：能理解等值分數、約分、擴分的意義。

(28)

（二十六）N-2-09：能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。（二十七）N-2-10：能認識多位小數，理解其比較，及用直式處理加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題。（二十八）N-2-11：能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。（二十九）N-2-12：能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。（三十）N-2-13：能做分數與小數的互換，並標記在數線上。（三十一）N-2-14：能認識比率及其在生活中的應用。（三十二）N-2-15：能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題。（三十三）N-2-16：能理解普遍單位間的關係，並在描述一個量時，作不同單位間的換算。（三十四）N-2-17：能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。（三十五）N-2-18：能理解容量、容積和體積間的關係。（三十六）N-2-19：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。（三十七）N-3-01：能認識質數、合數，並做質因數分解。（三十八）N-3-02：能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數約成最簡分數。

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（三十九）N-3-03：能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。（四十）N-3-04：能用直式處理除數為小數的計算，並解決生活中的問題。（四十一）N-3-05：能理解比、比例、比值與正、反比的意義，並解決生活中的問題。（四十二）N-3-06：能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位及換算，並處理相關的計算問題。（四十三）N-3-07：能熟練比例式的基本運算。（四十四）N-3-08：能認識負數，並將負數標記在數線上，以理解正負數之比較。（四十五）N-3-09：能理解加、減運算在數線上的對應操作。（四十六）N-3-10：能理解絕對值的意義。（四十七）N-3-11：能熟練正負數的混合四則運算。（四十八）N-3-12：能認識指數的記號與指數律。（四十九）N-3-13：能認識科學記號，並理解其運算規則。（五十）N-3-14：能理解生活中常用的數量關係，並恰當運用於解釋問題或將問題列成算式。（五十一）N-3-15：能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。

(30)

（五十二）N-3-16：能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（五十三）N-3-17：能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。（五十四）N-4-01：能認識二次方根及其近似值。（五十五）N-4-02：能理解二次方根的四則運算。（五十六）N-4-03：能辨識具規則性的數列。（五十七）N-4-04：能理解等差數列的樣式、規則性及未知量。（五十八）N-4-05：能辨識等差級數的樣式、規則性及理解未知量求法。二、九年一貫數學領域之數與量概念教材分析本研究中，以南一 94 年版，國小一到六年級教材中，和數與量概念有關的單元，經分析整理後，如下所示。（一）第一冊第一單元，單元名稱：數到 10 （二）第一冊第五單元，單元名稱：分與合（三）第一冊第六單元，單元名稱：數到 30 （四）第一冊第七單元，單元名稱：加一加（五）第一冊第九單元，單元名稱：減一減（六）第二冊第一單元，單元名稱：數到 100 （七）第二冊第三單元，單元名稱：三個數的加減（八）第二冊第五單元，單元名稱：18 以內的加減

(31)

（九）第二冊第七單元，單元名稱：二位數的加減（十）第三冊第一單元，單元名稱：數到 300 （十一）第三冊第三單元，單元名稱：加法（十二）第三冊第五單元，單元名稱：減法（十三）第三冊第六單元，單元名稱：容量和重量（十四）第三冊第八單元，單元名稱：乘法（十五）第四冊第一單元，單元名稱：1000 以內的數（十六）第四冊第二單元，單元名稱：液量和重量（十七）第四冊第五單元，單元名稱：加法和減法（十八）第五冊第一單元，單元名稱：2000 以內的數（十九）第五冊第三單元，單元名稱：加法（二十）第五冊第五單元，單元名稱：減法和電算器（二十一）第五冊第六單元，單元名稱：乘法（二十二）第五冊第八單元，單元名稱：除法（二十三）第五冊第九單元，單元名稱：容量和重量（二十四）第五冊第十單元，單元名稱：分數（二十五）第六冊第一單元，單元名稱：一萬以內的數（二十六）第六冊第三單元，單元名稱：整數的加減（二十七）第六冊第四單元，單元名稱：分數和小數（二十八）第六冊第五單元，單元名稱：分數的加減

(32)

（二十九）第六冊第六單元，單元名稱：小數的加減（三十）第七冊第一單元，單元名稱：十萬以內的數（三十一）第七冊第三單元，單元名稱：加和減（三十二）第七冊第五單元，單元名稱：乘法（三十三）第七冊第八單元，單元名稱：容量（三十四）第七冊第九單元，單元名稱：除法（三十五）第七冊第十一單元，單元名稱：重量（三十六）第八冊第一單元，單元名稱：一億以內的數（三十七）第八冊第二單元，單元名稱：統計圖（三十八）第八冊第四單元，單元名稱：乘法和除法（三十九）第八冊第六單元，單元名稱：四則運算（四十）第八冊第七單元，單元名稱：分數（四十一）第八冊第十單元，單元名稱：小數（四十二）第九冊第四單元，單元名稱：小數的乘法（四十三）第九冊第五單元，單元名稱：表和統計圖（四十四）第九冊第六單元，單元名稱：因數和倍數（四十五）第九冊第九單元，單元名稱：容量（四十六）第十冊第二單元，單元名稱：公因數和公倍數（四十七）第十冊第四單元，單元名稱：擴分和約分

(33)

（四十八）第十冊第六單元，單元名稱：分數的乘法（四十九）第十一冊第二單元，單元名稱：最大公因數和最小公倍數（五十）第十一冊第六單元，單元名稱：分數的乘法（五十一）第十一冊第七單元，單元名稱：小數的乘法（五十二）第十一冊第十單元，單元名稱：小數的除法（五十三）第十一冊第十二單元，單元名稱：比和比值（五十四）第十二冊第二單元，單元名稱：分數的除法（五十五）第十二冊第三單元，單元名稱：比例（五十六）第十二冊第七單元，單元名稱：分數四則

(34)

三、學習階層圖根據教材分析後之結果，經教學經驗豐富之國小教師討論上下位階層關係後，再商請台中教育大學教授修正認可，得到圖九之學習階層圖。數到 10 1 分與合 2 數到 30 3 加一加 4 減一減 5 數到 100 6 三的個加數減 7 18的以加內減 8 二的位加數減 9 數到 3 0 0 10 加法 11 減法 12 容重量量與 13 乘法 14 1000的以數內 15 液重量量與 16 加減法法與 17 2000的以數內 18 加法 19 減電法算和器 20 乘法 21 除法 22 容重量量和 23 分數 24 一內萬的以數 25 分小數數和 27 分加數減的 28 26 整加數減的小加數減的 29 10內萬的以數 30 加和減 31 乘法 32 容量 33 除法 34 重量 35 一內億的以數 36 統計圖 37 乘除法法和 38 四則運算 39 分數 40 小數 41 小乘數法的 42 表統和計圖 43 因倍數數和 44 容量 45 公公因倍數數和 46 擴約分分和 47 分乘數法的 48 分乘數法的 50 最最大小公公因倍數數 49 小乘數法的 51 小除數法的 52 比和比值 53 分除數法的 54 比例 55 分數四則 56 圖九、學習階層圖

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第三章方法與步驟

本章根據第二章之理論基礎與演算法，撰寫 Matlab 6.5 程式，以探討數與量概念之學習階層圖減少交錯邊之問題，本章分成兩節來詳述執行步驟與信效度之分析。

第一節重心法在數與量概念之分析步驟

一、利用 Matlab 模擬一個隨機鄰接矩陣之資料呼叫程式檔 rand_pro_matrix，可隨機創造一個鄰接矩陣之資料，設定每層頂點數和階層數。二、利用 Excel 2003 建立數與量概念鄰接矩陣之資料為了因應利用 Matlab 所設計出的程式，因此，本程式是以每一層之結點數均相同的情形下來撰寫。然而，實際上之學習階層圖其每層的點數未必相等，故以學習階層圖中節點數最多的一層為每層應有的節點數，不足節點數的階層則以虛擬節點補齊，致使每層的節點數皆相同，形成新的學習階層圖。其輸入步驟如下：（一）資料輸入依照年級，由下而上，也就是資料最底層代表一年級的單元。（二）將每層概念加以編號，然後由左至右，由下至上依序輸入於縱

(36)

座標與橫座標。（三）再者，若概念與概念之間有上下位關係者，則在其對應部份輸入「1」，反之，則輸入「0」。（四）上述執行方法可先將概念與概念之間有上下位關係的部份先輸入「1」，而後，再利用「編輯」中的「取代」功能，把無上下位關係的對應部份全部取代為「0」。三、將鄰接矩陣之資料存成 M-file 檔利用 Matlab 執行程式必須要先將資料寫入於 M-file 檔內，其步驟如下：（一）將鄰接矩陣定義一個名稱，其次，把在 Excel 中的鄰接矩陣資料複製過來，貼於矩陣符號

[ ]

內。（二）定義一個的矩陣 layer，即把鄰接矩陣中概念的編號依據其所在層區分出來，第 1 層的概念輸入「1」，第 2 層的概念輸入「2」，以此類推。 1 × n （三）將 M-file 檔輸入於程式中。四、Matlab 分析（一）呼叫已設計好的主程式檔 main_BC，此程式檔是分析此鄰接矩陣利用 BC 法重新排序後之總交錯邊數。（二）主程式檔 main_BC 中，應用到程式 temp_perm，而此程式在計算行重心值與列重心值，並依其大小重新排序。

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（三）主程式檔 main_BC 中，應用到程式 BC_adj，此程式在執行的動 作是將第 i 層與第i+1層所產生的鄰接矩陣擷取出來，並定義為一新的矩陣。五、output 分析（一）原交錯邊數計算原交錯邊數需呼叫程式檔 subcross，此程式檔只能分析鄰接矩陣的總交錯邊數，而後，在程式區塊 (Command Window) 輸入 subcross(A)，其中 A 為鄰接矩陣代號，此即可計算出此鄰接矩陣之總交錯邊數。因此，利用此程式檔來計算學習階層圖之原交錯邊數。（二）新交錯邊數利用主程式檔 main_BC，在程式區塊中輸入 main_BC(A,layer)，其中 A 為鄰接矩陣代號，此即可計算出新交錯邊數。（三）消去虛擬點與虛擬邊減少完交錯邊數後須將原先加入之虛擬點與虛擬邊消去，完成最後的學習階層圖。六、製圖學習階層圖有兩個程式檔可以執行繪圖功能，如下：（一）呼叫程式檔 iter_BC，此程式檔以 main_BC 為主要依據，可計

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算利用 BC 法重新排序後之總交錯邊數，並繪製出圖形；（二）亦可呼叫程式檔 picture，其主要用途為繪製原來的學習階層圖，以及利用 BC 法重新排序過後的學習階層圖。

第二節數與量學習階層圖之信效度分析

一、信度分析本研究所指之信度，乃指數與量概念學習階層圖，經數學與數學教育兩個領域之專家鑑定後，根據評分者信度，來呈現數與量概念學習階層圖是否具有一致性。據此，為了解學習階層圖之概念及其上下位關係，本研究請大學數學與數學教育之教授，以及國小數學科輔導員各三名，根據附件一之表格加以評分，本研究根據受訪者之評分，計算評分者信度。二、效度分析本研究所指之效度，乃指數與量概念學習階層圖，經教材內容分析，考驗內容效度，來呈現數與量概念學習階層圖是否具有一定程度之有效性。為了解數與量概念學習階層圖具有一定程度之有效性，本研究根據附件二之檢核表格，檢視內容效度。

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第四章結果與討論

杉山公造所提出之重心法演算法，當遇到相同重心值時，其無法有效分辨概念的排序，因此，必須要將相同重心值的概念兩兩相互交換，在探討其交錯邊數的多寡。然而，這樣是必須浪費較多的時間來演算，故本研究探討出，若遇到相同重心值時，依據其概念之連接邊的多寡來決定其排序，連接邊少者先排序，若重心值與連接邊均相同，則須將概念兩兩相互交換，並討論所有產生的交錯邊數。

第一節重心法之成效分析

一、改良後之重心法演算法則（一）第一階段 a.步驟 1：設定初始重複循環第一階段演算之次數（即疊代次數）r，然後計算K

( )

M₁ ，這裏表示為第 1 層與第 2 層之鄰接矩陣。 1 M b.步驟 2：令M2 =βR

( )

M1 。 c.步驟 3：若K

( )

M₂ <K

( )

M₁ ，則令M∗ =M₂，K∗ =K

(

M₂

)

。 d.步驟 4：令M3 =βC

( )

M2 。 e.步驟 5：若K

( )

M₃ < K∗，則M∗ =M₃，K∗ =K

( )

M₃ 。

(40)

f.步驟 6：若M3 =M1或疊代次數剛好大於r，則結束第一階段演算，進入第二階段演算。否則，回到第一階段的步驟 2。（二）第二階段若M3有兩個以上元素具有相同重心值時，其判別法則如下： a.若與之重心值相同，則根據與之值的大小，來決定頂點與頂點的順序，數值小的頂點排在數值大的頂點之前。 p i u₍₊₁₎ u₍_i₊₁₎_q p i u d ) 1 (+ du(i+1)q p i u₍₊₁₎ u₍_i₊₁₎_q b.若u(i+1)p與u(i+1)q之重心值相同，且du₍_i₊₁₎p =du₍_i₊₁₎q，則將元素相互交換，並同時探討其交錯邊數。

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二、利用隨機矩陣驗證改良後之重心法演算法表一為根據重心法與改良後之重心法所計算出之結果，隨機模擬資料中之階層圖為各層頂點數均相同的二階階層圖。表一、重心法與改良後之重心法的對照表每層頂點數原交錯邊數重心法產生之交錯邊數改良後之重心法產生的交錯重心法執行時間(秒) 改良後之重心法執行時間(秒) 2 1 0 0 0.078 0.078 3 3 1 1 0.156 0.142 4 4 0 0 0.094 0.090 5 9 3 3 0.096 0.088 6 14 3 3 0.082 0.078 7 18 6 6 0.078 0.071 8 23 4 4 0.093 0.082 9 44 9 9 0.110 0.092 10 27 4 4 0.109 0.100 15 177 53 53 0.188 0.142 20 384 135 135 0.375 0.308 30 1396 727 727 1.360 1.026 三、改良後之演算法與杉山公造演算法之綜合比較（一）改良後之演算法在程式運算上所花費的時間，比杉山公造之演算法更為省時。（二）改良後之演算法具有區辨同重心之功能。

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第二節九年一貫數與量概念之學習階層圖

一、利用改良後之重心法去執行數與量概念之學習階層圖，其減少交錯邊數後之學習階層圖如圖十。（一）本研究所探究的數與量概念之學習階層圖，其原本之交錯邊數有 277 個之多，然而，經過改良後之重心法去執行，所得到的交錯邊數剩下 82 個，且執行時間為 2.089 秒，與杉山公造所提出之重心法去執行的時間 2.797 秒，其執行時間相對比較短。（二）減少交錯邊後之數與量概念之學習階層圖之優點 1.讓學習者更清楚地了解單元與單元之間的關連性，且容易閱讀追蹤相關知識。 2.提供可讀性高之學習階層圖，使其能有助於教師了解教材之地位，並增進教學效果。（三）經過改良後之重心法所得到的數與量學習階層圖中，可看出幾個分群的效果，其中包含加減法相關概念的分群、乘除法相關概念的分群、統計圖相關概念的分群，以及容量與重量相關概念的分群

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數到 10 1 分與合 2 數到 30 3 加一加 4 減一減 5 數到 100 6 三的個加數減 7 1 8的以加內減 8 二的位加數減 9 數到 3 00 10 加法 11 減法 12 容重量量與 13 乘法 14 1000的以數內 15 液重量量與 16 加減法法與 17 2000的以數內 18 加法 19 減電法算和器 20 乘法 21 除法 22 容重量量和 23 分數 24 一內萬的以數 25 分小數數和 27 分加數減的 28 26 整加數減的小加數減的 29 10內萬的以數 30 加和減 31 乘法 32 容量 33 除法 34 重量 35 一內億的以數 36 統計圖 37 乘除法法和 38 四則運算 39 分數 40 小數 41 小乘數法的 42 表統和計圖 43 因倍數數和 44 容量 45 公公因倍數數和 46 擴約分分和 47 分乘數法的 48 分乘數法的 50 最最大小公公因倍數數 49 小乘數法的 51 小除數法的 52 比和比值 53 分除數法的 54 比例 55 分數四則 56 圖十、經改良後之重心法所執行後的數與量概念之學習階層圖

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第五章結論與建議

第一節結論

一、改良後之重心法的成效相較於杉山公造之重心法，本研究所提出的改良後之重心法，其在 matlab 程式中執行的時間上較為迅速，且減少交錯邊數的效果亦不會比杉山教授所提出之重心法差。二、改良後之重心法的應用將改良後之重心法應用於九年一貫數與量之學習階層圖上，不但可以大量減少交錯邊數，以達到可讀性高之學習階層圖，並且可以了解數與量概念間之上下位關聯性，讓教師可以探究整個脈絡分群，增進教學效果

第二節建議

一、對後續研究之建議杉山公造所提出之重心法，其針對相同重心值所產生之問題，在本研究已提出改良方式。然而，由於本研究利用隨機模擬鄰接矩陣來探究加入新步驟之成效，但其是否對每個鄰接矩陣皆為可行性，此可

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供往後研究者加以深究。二、應用於數學教育上之建議本研究只針對南一版數與量主題去探究學習階層圖，然而，對於九年一貫其他領域或其他版本亦可用本研究所改良之重心法去深究探討，提供可讀性高之學習階層圖，以利教師在教學上有更好的教學效果。

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參考文獻

一、中文部分

王薌茹(民 83)。概念圖教學在國中生物學習之成效。國立高雄師範大學科學教育研究所碩士論文。余民寧（民 86）。有意義的學習─概念構圖之研究。台北：商鼎文化出版。李永吟（民 87）。認知教學－理論與策略。台北市：心理。李秀娟、張永達、黃達三(民 87)。概念圖應用於國中生物教材之分析與評論─以神經系統為例。科學教育月刊，213，14-26。耿筱曾（民 86）。為什麼概念構圖是一種有效的策略。科學教育研究發展，9，76-79。陳淑芬（民 86）。概念構圖式學習系統。國立台灣師範大學資訊研究所碩士論文。未出版，台北市。陳俊宏（民 95）。應用 GM 法於階層概念圖。台中教育大學碩士論文，未發表。教育部（民 92）。國民教育九年一貫課程綱要。台北：教育部。湯清二(民 82)。我國學生生物細胞概念發展研究─迷思概念之唔談與概念圖。彰化師範大學學習報第四期，141-170。

(47)

廖寶貴（民 95）。探討階層結構圖最少交錯邊之問題與應用-以國小一到六年級「數」概念之階層結構圖為例。台中教育大學碩士論文，未發表。羅廷瑛（民 90）。「概念構圖教學課程」對國小一年級學生自然科學學習表現影響之研究。教育資料與研究, 38, 29─35。

二、英文部分

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Novak, J. D. & Gowin, D. B. (1984). Learning how to learn. Cambridge, Lodon：Cambridge University Press.

Okebukola, M. (1992). Can good concept mapper be good problem solvers in science. Research in Science &Technological Education, 10(2), 153-170.

Sugiyama, K., Tagawa, S. & Toda, M. (1981). Methods for visual understanding of hierarchical structure. IEEE Trans, 2, 109-125.

Stice, Carole F. & Alvarez, Marino C. (1986). Hierarchical concept

mapping: Young children learning how to learn. ( ERIC Document

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附件一、學習階層圖之專家評分表

為了清楚了解數與量概念之學習階層圖的上下位關係是否合宜，因此，擬請各位專家學者針對下面的教材地位圖加以評分，評分範圍請定在 0~100 分，萬分感謝您的合作。評分數到 10 1 分與合 2 數到 30 3 加一加 4 減一減 5 數到 100 6 三的個加數減 7 18的以加內減 8 二的位加數減 9 數到 3 0 0 10 加法 11 減法 12 容重量量與 13 乘法 14 1000的以數內 15 液重量量與 16 加減法法與 17 2000的以數內 18 加法 19 減電法算和器 20 乘法 21 除法 22 容重量量和 23 分數 24 一內萬的以數 25 分小數數和 27 分加數減的 28 26 整加數減的小加數減的 29 10內萬的以數 30 加和減 31 乘法 32 容量 33 除法 34 重量 35 一內億的以數 36 統計圖 37 乘除法法和 38 四則運算 39 分數 40 小數 41 小乘數法的 42 表統和計圖 43 因倍數數和 44 容量 45 公公因倍數數和 46 擴約分分和 47 分乘數法的 48 分乘數法的 50 最最大小公公因倍數數 49 小乘數法的 51 小除數法的 52 比和比值 53 分除數法的 54 比例 55 分數四則 56

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附件二、學習階層圖之檢核表

問題是否 1.是否確實查閱九年一貫課程綱要所有主題之能力指標 □ □ 2.是否確實查閱數與量主題之能力指標內容 □ □ 2.所萃取之頂點是否符合數與量主題之能力指標 □ □ 3.一年級上下學期的單元中是否有數與量之單元未被篩選出來 □ □ 4.二年級上下學期的單元中是否有數與量之單元未被篩選出來 □ □ 5.三年級上下學期的單元中是否有數與量之單元未被篩選出來 □ □ 6.四年級上下學期的單元中是否有數與量之單元未被篩選出來 □ □ 7.五年級上下學期的單元中是否有數與量之單元未被篩選出來 □ □ 8.六年級上下學期的單元中是否有數與量之單元未被篩選出來 □ □ 9.所萃取之頂點中，屬於一年級與二年級之頂點間的上下位關連是否合適 □ □ 10.所萃取之頂點中，屬於二年級與三年級之頂點間的上下位關連是否合適 □ □ 11.所萃取之頂點中，屬於三年級與四年級之頂點間的上下位關連是否合適 □ □ 12.所萃取之頂點中，屬於四年級與五年級之頂點間的上下位關連是否合適 □ □ 13.所萃取之頂點中，屬於五年級與六年級之頂點間的上下位關連是否合適 □ □ 14.屬於一年級與二年級之頂點間的上下位關連是否符合兒童認知發展 □ □ 15.屬於二年級與三年級之頂點間的上下位關連是否符合兒童認知發展 □ □ 16.屬於三年級與四年級之頂點間的上下位關連是否符合兒童認知發展 □ □ 17.屬於四年級與五年級之頂點間的上下位關連是否符合兒童認知發展 □ □ 18.屬於五年級與六年級之頂點間的上下位關連是否符合兒童認知發展 □ □

一個重心法的新演算程序對學習階層圖的影響－以九年一貫數學領域數與量之教材內容為例－

國立台中教育大學數學教育學系碩士論文

指導教授： 胡豐榮 博士