貼前相同的跳蛙公車月票票價。後續的研究中，可以考慮是否有其他方法使政府 的補貼確實地回饋在乘客身上，例如設計補貼期限，並限制業者設定段票數後不 得任意調整，使業者面臨兩階段的定價決策問題：若將段票數訂定較高，則補貼 期間內正常營運，但補貼期間過後路線將因票價過高而乏人問津。後續的研究可 以試著利用其他模型，討論是否有政策上的手段可以讓政府補貼實際被補貼在乘 客身上。
參考文獻
交通部統計處，2017，民眾日常使用運具狀況調查摘要分析。
徐康明、李佳玲、馮浚與孟自云，2013，定製公交服務初探，城市交通，2013 年第5 期。
新北市政府交通局運輸管理科，2019，https://www.traffic.ntpc.gov.tw/home.jsp?id
=f06672ba2aadbd3c，搜尋日期：2019 年 12 月 11 日。
管維新，2016，基於博弈論的定製公交票價制定研究，西南交通大學碩士論文。
臺北市政府交通局，2013，臺北市聯營公車運價公式檢討方案。http://obas_front.
tcc.gov.tw:8080/Agenda/DownloadFile.aspx?FileName=201300002495.pdf
&FilePath=201311&FileGrpKind=1，搜尋日期：2019 年 12 月 12 日。
臺北市政府交通局，2016，臺北市聯營公車運價調整說明。https://www.pto.gov.
taipei/News_Content.aspx?n=D065CCB1467288C8&sms=72544237BBE4 C5F6&s=E31520C99FAA89F2，搜尋日期：2019 年 12 月 16 日。
Agrawal, A., Catalini, C., and Goldfarb, A. 2014. Some simple economics of crowdfunding. Innovation Policy and the Economy, 14 (1): 63-97.
Berechman, J., and Giuliano, G. 1984. Analysis of the cost structure of an urban bus transit property. Transportation Research Part B: Methodological, 18 (4-5):
273-287.
Bian, C., and Lu, H. 2009. Analysis of price game between urban railway and bus.
Highway Engineering, 34 (1): 49-51.
Fujii, S., and Kitamura, R. 2003. What does a one-month free bus ticket do to habitual drivers? An experimental analysis of habit and attitude change.
Transportation, 30 (1): 81-95.
Hu, M., Li, X., and Shi, M. 2015. Product and pricing decisions in crowdfunding.
Marketing Science, 34 (3): 331-345.
Kauffman, R. J., and Wang, B. 2001. New buyers' arrival under dynamic pricing market microstructure: The case of group-buying discounts on the Internet.
Journal of Management Information Systems, 18 (2): 157-188.
Kung, L. C., and Chiu, W. L. 2019. Customer Segmentation Strategy of Crowdfunding Platform with Completion Time Uncertainty. Proceedings of Pacific Asia Conference on Information Systems (PACIS) in 2019, Xi'an, China.
LTA Academy. 2014. Passenger Transport Mode Shares in World Cities. https://
pdfs.semanticscholar.org/2580/2966b8cff0aeaf730d8c5a1c65eb383c7899.p df. Accessed on Dec. 11, 2019.
Pedersen, P. A. 2003. On the optimal fare policies in urban transportation.
Transportation Research Part B: Methodological, 37 (5): 423-435.
Turvey, R., and Mohring, H. 1975. Optimal Bus Fares. Journal of Transport Economics and Policy, 9 (3): 280-286.
附錄
命題1 的證明
首先觀察 3.1 模型中的目標式，發現需要最大化 𝑝𝑝𝐻𝐻。接下來觀察限制式，
發現僅有 (IR1-H) 與 (IC1-H) 兩式會限制 𝑝𝑝𝐻𝐻 的最大值。欲觀察此二式何者發 揮限制效果 (binding)，故比較此二式相異之處，即兩式不等號右側的值不同。
因此將結果分為兩種情況：當 (IC1-H) 發揮效果時，(IC1-H) 的右側值大於 (IR1-H) 的右側值；反之當 (IR1-H) 發揮效果時，(IR1-H) 的右側值大於 (IC1-H) 的右側值。當 (IC1-H) 發揮效果時，得到 𝑅𝑅 × 𝑉𝑉 − (1 − 𝑅𝑅)(𝑌𝑌𝐻𝐻+ 𝐶𝐶) − 𝑃𝑃𝐿𝐿 ≥ 0。
將 𝑅𝑅 利用 𝑅𝑅 =𝐾𝐾−𝛽𝛽1−𝛽𝛽 限制式代換為 𝛽𝛽 後，得到 𝛽𝛽 ≤𝐾𝐾𝐾𝐾−(1−𝐾𝐾)(𝑌𝑌𝐻𝐻+𝐶𝐶)−𝑃𝑃𝐿𝐿
𝐾𝐾−𝑃𝑃𝐿𝐿 ，此即當
(IC1-H) 發揮效果時的情況。在 (IC1-H) 發揮效果時，利用 (IC1-H) 移項可得 最 佳 的 𝑝𝑝𝐻𝐻 值 是 𝑉𝑉 − 𝑃𝑃𝑂𝑂− 𝐾𝐾𝑉𝑉 + 𝛽𝛽𝑉𝑉 + (1 − 𝐾𝐾)(𝑌𝑌𝐻𝐻+ 𝐶𝐶) + 𝑃𝑃𝐿𝐿− 𝛽𝛽𝑃𝑃𝐿𝐿。 反 之 當 (IR1-H) 發揮效果時，利用 (IR1-H) 移項可得最佳的 𝑝𝑝𝐻𝐻 值是 𝑉𝑉 − 𝑃𝑃𝑂𝑂。段票數 𝑡𝑡 的部分，顯而易見地將根據唯一的限制式 𝑡𝑡 ≤ 𝑇𝑇� 決定，其最佳解為 𝑇𝑇�。
命題2 的證明
觀察3.2 模型，發現需要最大化 𝑡𝑡。根據 𝑃𝑃𝐻𝐻= 𝑃𝑃𝑡𝑡× 𝑡𝑡 × 𝑊𝑊 與 𝑃𝑃𝐻𝐻′ = 𝑃𝑃𝑡𝑡′× 𝑡𝑡 × 𝑊𝑊 兩 個限制式，可代換目標式與限制式中的 𝑃𝑃𝐻𝐻、𝑃𝑃𝐻𝐻′。與命題1 十分類似地，我們發 現僅有 (IR2-H)、(IC2-H) 與 𝑡𝑡 ≤ 𝑇𝑇� 三式會限制 𝑡𝑡 的最大值。欲觀察此三式何 者發揮限制效果 (binding)，故比較此三式相異之處。首先觀察 (IR2-H) 與 (IC2-H) 兩式，計算兩式分別發揮效果時的最佳解 𝑡𝑡 後，再依據該最佳解 𝑡𝑡 是 否滿足 𝑡𝑡 ≤ 𝑇𝑇�，來決定最終發揮效果的限制式是 (IR2-H)、(IC2-H) 或是 𝑡𝑡 ≤ 𝑇𝑇�。
情況：當 (IC2-H) 發揮效果時，(IC2-H) 的右側值大於 (IR2-H) 的右側值；反 之當 (IR2-H) 發揮效果時，(IR2-H) 的右側值大於 (IC2-H) 的右側值。當 (IC2-H) 發揮效果時，得到 𝑅𝑅 × 𝑉𝑉 − (1 − 𝑅𝑅)(𝑌𝑌𝐻𝐻+ 𝐶𝐶) − 𝑃𝑃𝐿𝐿 ≥ 0 。將 𝑅𝑅 利用𝑅𝑅 =𝐾𝐾−𝛽𝛽1−𝛽𝛽 限 制式代換為 𝛽𝛽 後，得到 𝛽𝛽 ≤𝐾𝐾𝐾𝐾−(1−𝐾𝐾)(𝑌𝑌𝐻𝐻+𝐶𝐶)−𝑃𝑃𝐿𝐿
𝐾𝐾−𝑃𝑃𝐿𝐿 ，此即當 (IC2-H) 發揮效果時的
情況。在 (IC2-H) 發揮效果時，利用 (IC2-H) 移項可得最佳的 𝑃𝑃𝐻𝐻′ 值是 𝑉𝑉 − 𝑃𝑃𝑂𝑂− 𝐾𝐾𝑉𝑉 + 𝛽𝛽𝑉𝑉 + (1 − 𝐾𝐾)(𝑌𝑌𝐻𝐻+ 𝐶𝐶) + 𝑃𝑃𝐿𝐿− 𝛽𝛽𝑃𝑃𝐿𝐿。反之當 (IR2-H) 發揮效果時，利 用 (IR2-H) 移項可得最佳的 𝑃𝑃𝐻𝐻′ 值是 𝑉𝑉 − 𝑃𝑃𝑂𝑂。利用 𝑃𝑃𝐻𝐻′ = 𝑃𝑃𝑡𝑡′× 𝑡𝑡 × 𝑊𝑊 可得知，
當 (IC2-H) 發揮效果時，𝑡𝑡 的最佳解為 𝐾𝐾−𝑃𝑃𝑂𝑂−𝐾𝐾𝐾𝐾+𝛽𝛽𝐾𝐾+(1−𝐾𝐾)(𝑌𝑌𝐻𝐻+𝐶𝐶)+𝑃𝑃𝐿𝐿−𝛽𝛽𝑃𝑃𝐿𝐿
𝑃𝑃𝑡𝑡′𝑊𝑊 ；當
(IR2-H) 發揮效果時，𝑡𝑡 的最佳解為 𝐾𝐾−𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑂𝑂
𝑡𝑡′𝑊𝑊。最後檢查 (IC2-H) 與 (IR2-H) 分別 發揮效果時，𝑡𝑡 的最佳解是否違反 𝑡𝑡 ≤ 𝑇𝑇�，即可得知發揮效果的限制式為 (IR2-H)、
(IC2-H) 或是 𝑡𝑡 ≤ 𝑇𝑇�。當違反 𝑡𝑡 ≤ 𝑇𝑇� 時，𝑡𝑡 的最佳解即是 𝑇𝑇�，此時最佳的 𝑃𝑃𝐻𝐻′ 值 是 𝑃𝑃𝑡𝑡′𝑇𝑇�𝑊𝑊。