綜合分析

一 、 群 組 估 計 組 、 乘 法 估 計 組 與 對 照 組 的 綜 合 表 現

從 推 論 性 統 計 分 析 中 ， 可 以 發 現 群 組 估 計 組 的 學 生 ， 在 估 計 測 驗 後 測 上 ， 進

步 達 顯 著 。 乘 法 估 計 組 中 七 年 級 組 的 學 生 ， 在 估 計 測 驗 前 後 測 上 未 達 顯 著 ， 九 年 級 組 的 學 生 則 達 顯 著 。 對 照 組 的 成 績 在 後 測 時 的 差 異 均 未 達 顯 著 水 準 。 不 同 教 學 模 式 後 測 達 顯 著 水 準 (F=23.76，p=.000)， 事 後 檢 定顯 示 群 組 估 計 組 的 表 現 優 於 乘 法 估 計 組 (p=.000)、乘 法 估 計 組 的 表 現 優 於 對 照 組(p=.002)、群 組 估 計 組 的 表 現 優 於 對 照 組 (p=.000)。 整 合 晤 談 分 析 的 結 果 ， 其 可 能 的 原 因 如 下 ：

(1)群 組 估 計 組 比 乘 法 估 計 組 在 後 測 有 更 好 的 表 現，在 學 習 後 表 現 較 優，並 達 顯 著 性。訪 談 資 料 顯 示，群 組 估 計 組 的 學 生 比 乘 法 估 計 組 的 學 生 更 能 有 效 接 近 正 確 數 量。經 過 練 習 後，群 組 估 計 組 多 半 能 更 快 速 的 進 行 估 計，大 幅 縮 小 了 因 數 不 完 需 要 猜 測 的 誤 差，乘 法 估 計 組 的 學 生，在 選 答 案 時 相 較 缺 乏 基 準 ， 以 下 列 舉 晤 談 的 結 果 ：

I：你 在 第 四 週 的 後 測 中 得 到 很 高 的 分 數，相 對 於 第 一 週 的 前 測 成 績，你 進 步 非 常 多，能 不 能 分 享 你 在 這 兩 次 測 驗 中 你 是 如 何 進 行 估 計 的 ？

S： 第 一 週 ， 我 兩 個 兩 個 數 。 第 四 週 ， 我 會 三 個 三 個 數 。 I： 為 什 麼 ？

S： 因 為 三 個 三 個 數 比 較 快 。

I： 那 第 一 週 為 什 麼 沒 有 三 個 三 個 數 ？ S： 老 師 沒 有 教 之 前 ， 不 知 道 可 以 這 樣 看 。 I： 那 數 量 大 的 時 候 ， 你 數 得 完 嗎 ？

S： 數 不 完 ， 但 是 選 答 案 的 時 候 ， 我 會 選 比 較 接 近 的 ， 然 後 大 一 點 的 。 I： 接 近 什 麼 ？

S： 就 是 我 已 經 數 到 的 。

(2)乘 法 估 計 策 略 雖 然 可 以 協 助 學 生 用 較 快 的 時 間 完 成 估 計 的 動 作，但 由 於 教 學 過 程 中，老 師 未 與 學 生 討 論 在 數 量 較 少 或 圖 案 密 度 較 低 時，乘 法 估 計 策 略 是 否 存 在 誤 差 較 大 的 問 題 ， 致 使 有 部 分 學 生 全 程 均 使 用 乘 法 估 計 策 略 ， 進 行 小 數 估 計 時，產 生 了 不 小 的 誤 差。而 臨 場 表 現 能 靈 活 運 用 估 計 策 略 的 學 生 ， 能 在 後 測 中 有 好 的 表 現 ， 以 下 列 舉 晤 談 的 結 果 ：

I：你 在 前 後 測 中 均 有 不 錯 的 表 現，能 分 享 一 下 你 在 這 兩 次 測 驗 中 你 是 如 何 進 行 估 計 的 嗎 ？

S₁： 第 一 次 我 用 數 的 ， 最 後 一 次 我 用 乘 的 。 I： 為 什 麼 後 來 會 用 乘 的 ？

S₁： 老 師 你 教 我 們 用 乘 的 。

I： 那 數 字 小 的 時 候 ， 你 也 用 乘 的 嗎 ？ S₁： 對 ， 因 為 用 乘 的 比 較 快 。

I：你 在 第 一 週 和 第 四 週 都 得 到 非 常 高 的 分 數，可 以 分 享 一 下 你 在 這 兩 次 測 驗 中 你 是 如 何 進 行 估 計 的 嗎 ？

S₂： 第 一 週 我 用 數 的 ， 最 後 那 一 次 有 用 乘 的 。 I： 有 用 乘 的 ？

S2： 就 是 比 較 少 的 時 候 ， 我 用 數 的 ， 兩 個 兩 個 一 數 ， 多 的 時 候 我 就 用 乘 的 。 I： 為 什 麼 沒 有 用 一 樣 的 方 法 ？

S₂： 多 的 時 候 用 數 的 太 慢 了 ， 少 的 時 候 用 數 的 比 較 準 。

(3)對 照 組 訪 談 的 學 生 中 ，後 測 同 前 測 全 數 採 數 的 方 式，實 驗 過 程 中 ，雖 缺 乏 估 計 教 學 策 略 ， 但 仍 有 估 計 練 習 題 目 ， 後 測 與 前 測 成 績 無 顯 著 差 異 。

以 下 分 別 就 估 計 測 驗 在 不 同 難 度 下 的 綜 合 表 現 進 行 討 論 。

二 、 群 組 估 計 組 、 乘 法 估 計 組 與 對 照 組 在 易 組 的 綜 合 表 現

從 推 論 性 統 計 分 析 中，在 估 計 測 驗 前 後 測 -易 組 成 績 中 顯 示，群 組 估 計 組 的 表 現 顯 著 優 於 對 照 組 ， 群 組 估 計 組 與 乘 法 估 計 組 間 並 無 明 顯 差 異 ， 整 合 晤 談 分 析 的 結 果，其 可 能 的 原 因 是：在 後 測 時，群 組 估 計 組 對 數 量 較 少 (易組：圖 案 個 數 10~16 個 )的 圖 案 進行 估 計 時，群 組 單 位 變 大 了，原 本 1 個 1 個 數 或 2 個 2 個 數，後 來 會 3 個 3 個 數 ， 進 行 估 計 的 速 度 也 變 快 了 ， 減 少 了 誤 差 ， 而 乘 法 估 計 組 的 學 生 ， 則 因 在 學 習 過 程 中 ， 藉 由 文 字 回 饋 得 知 ， 在 數 量 較 少 時 ， 使 用 乘 法 估 計 策 略 經 常 不 能 得 到 滿 意 的 結 果 ， 在 網 路 課 程 的 安 排 下 ， 學 生 又 被 強 迫 使 用 乘 法 估 計 策 略 ， 所 以 在 後 測 中 ， 學 生 為 求 精 準 ， 反 以 數 的 方 式 進 行 估 計 ， 而 非 乘 法 估 計 策 略 ， 在 表 現 上 可 能 由 於 數 量 不 大 ， 群 組 估 計 組 與 乘 法 估 計 組 並 無 明 顯 差 異 ； 但 群 組 估 計 組 的 學 生 用 於 後 測 的 方 法 ， 即 為 所 學 的 策 略 ， 是 以 在 易 組 中 的 表 現 只 有 群 組 估 計 組

明 顯 優 於 對 照 組 。 以 下 列 舉 晤 談 的 結 果 ：

I：你 在 第 四 週 的 後 測 中 得 到 很 高 的 分 數，相 對 於 第 一 週 的 前 測 成 績，你 進 步 非 常 多，能 不 能 分 享 你 在 這 兩 次 測 驗 中 你 是 如 何 進 行 估 計 的 ？

S₁： 我 的 方 法 都 一 樣 ， 兩 個 兩 個 數 。 I： 後 測 中 有 用 別 的 方 法 嗎 ？

S₁： 沒 有 。

I： 你 有 考 慮 過 使 用 乘 法 嗎 ？ S₁： 有 。

I： 不 好 用 嗎 ？

S1： 恩 ， 不 是 ， 有 時 候 我 覺 得 誤 差 比 較 大 ， 所 以 就 不 用 了 。

I：你 在 第 一 週 和 第 四 週 都 得 到 非 常 高 的 分 數，可 以 分 享 一 下 你 在 這 兩 次 測 驗 中 你 是 如 何 進 行 估 計 的 嗎 ？

S2： 第 一 次 我 一 個 一 個 數 ， 後 來 那 一 次 我 兩 個 兩 個 數 。 I： 為 什 麼 後 來 會 兩 個 兩 個 數 ？

S₂： 因 為 比 較 快 。

I： 那 第 一 週 怎 麼 沒 兩 個 兩 個 數 ？ S₂： 本 來 不 會 這 樣 看 ， 老 師 你 教 的 。

三 、 群 組 估 計 組 、 乘 法 估 計 組 與 對 照 組 在 中 組 的 綜 合 表 現

從 推 論 性 統 計 分 析 中，在 估 計 測 驗 前 後 測 -中 組 成 績 中 顯 示，群 組 估 計 組 的 表 現 優 於 對 照 組 達 顯 著 ， 乘 法 估 計 組 的 表 現 優 於 對 照 組 達 顯 著 ， 群 組 估 計 組 的 表 現 亦 優 於 乘 法 估 計 組 達 顯 著 ， 整 合 晤 談 分 析 的 結 果 ， 其 可 能 的 原 因 是 ： 當 數 量 變 得 較 大 (中 組 ：圖 案 個 數 18~28 個)時 ， 乘 法 估 計 組 的 學 生 使 用 乘 法 估 計 策 略 的 比 例 可 能 變 高 ， 因 為 在 訓 練 過 程 中 ， 乘 法 估 計 組 的 學 生 在 中 組 階 段 的 成 就 感 較 高 ， 他 們 可 以 用 很 快 的 速 度 就 得 到 不 錯 的 文 字 回 饋 ， 雖 然 有 時 會 例 外 ， 但 卻 使 得 學 生 在 進 行 後 測 時 ， 願 意 使 用 乘 法 估 計 策 略 進 行 估 計 。 但 由 於 乘 法 估 計 策 略 中 ， 從 橫 縱 軸 選 擇 代 表 性 的 數 字 其 彈 性 空 間 很 大 ， 所 以 無 可 避 免 地 造 成 比 群 組 估 計 策 略 因 數 不 完 而 產 生 較 大 的 誤 差 ， 這 可 能 是 在 中 組 中 ， 群 組 估 計 組 的 表 現 能 優 於 乘 法 估 計

組 的 原 因 。 從 晤 談 的 學 生 中 ， 我 們 發 現 群 組 估 計 組 與 乘 法 估 計 組 的 部 分 學 生 ， 可 以 從 學 習 的 經 驗 中 ， 改 善 答 題 的 技 巧 ， 進 行 更 有 效 的 估 計 ， 策 略 的 學 習 與 使 用 可 能 是 群 組 估 計 組 與 乘 法 估 計 組 皆 顯 著 優 於 對 照 組 的 原 因 。 以 下 列 舉 晤 談 的 結 果 ：

I：你 在 第 四 週 的 後 測 中 得 到 很 高 的 分 數，相 對 於 第 一 週 的 前 測 成 績，你 進 步 非 常 多，能 不 能 分 享 你 在 這 兩 次 測 驗 中 你 是 如 何 進 行 估 計 的 ？

S₁： 都 用 乘 的

I： 能 不 能 說 仔 細 一 點 ？

S₁： 我 就 看 這 邊 (螢 幕 左 側 縱 向 )大 概 有 幾 個 ， 這 邊 (螢 幕 下 方 橫 向 )大 概 有 幾 個 。 I： 然 後 乘 起 來 ？

S1： 對

I： 兩 次 (指 前 後 測 )都 這 樣 做 ？

S₁： 後 面 那 一 次 乘 完 後 我 會 看 情 形 選 答 案 。 I： 你 指 的 情 形 是 ？

S₁： 看 圖 形 多 不 多 。 I： 你 怎 麼 會 這 樣 做 ？

S₁： 從 練 習 中 (指 200 題 )知 道 的 ， 電 腦 會 告 訴 我 結 果 (指 文 字 回 饋 )。

I： 所 以 如 果 圖 形 多 一 點 ， 你 會 怎 麼 做 ？

S1： 乘 完 之 後 ， 再 加 個 1 或 2 之 類 的 ， 看 密 不 密 。 I： 所 以 如 果 圖 形 少 一 點 ， 你 會 乘 完 後 減 一 點 ？ S₁： 不 一 定 ， 如 果 分 佈 比 較 均 勻 就 不 用 。

I：你 在 第 一 週 和 第 四 週 都 得 到 非 常 高 的 分 數，可 以 分 享 一 下 你 在 這 兩 次 測 驗 中 你 是 如 何 進 行 估 計 的 嗎 ？

S₂： 我 都 兩 個 兩 個 數 。 I： 都 數 得 完 嗎 ？

S₂： 數 量 多 的 時 候 不 行 。 I： 那 你 會 怎 麼 做 ？

S₂： 看 時 間 快 到 時 ， 我 會 記 住 那 些 沒 數 完 的 位 置 。 I： 然 後 再 把 它 加 上 去 ？

S₂： 對 。

I： 你 會 怎 麼 記 位 置 ？

S₂： 用 眼 睛 。 S₃： 用 手 (用 10 根 手 指 頭 放 在 螢 幕 未 數 完 的 圖 案 上 ， 看 用 了 幾 根 手 指 頭 ， 寫 答 案 的 時 候 再 加 上 去 。 )

四 、 群 組 估 計 組 、 乘 法 估 計 組 與 對 照 組 在 難 組 的 綜 合 表 現

從 推 論 性 統 計 分 析 中 ， 在 估 計 測 驗 前 後 測 -難 組 成 績 中 顯 示 ， 群 組 估 計 組 的 表 現 優 於 對 照 組 達 顯 著 ， 乘 法 估 計 組 的 表 現 優 於 對 照 組 達 顯 著 ， 群 組 估 計 組 的 表 現 亦 優 於 乘 法 估 計 組 達 顯 著 。 值 得 重 視 的 是 ， 九 年 級 的 表 現 優 於 七 年 級 達 顯 著 ， 訪 談 的 學 生 中 ， 在 策 略 與 答 題 技 巧 上 有 明 顯 進 步 的 ， 均 為 九 年 級 的 學 生 ， 這 表 示 高 年 級 的 學 生 可 能 因 年 齡 較 大 ， 學 習 效 果 較 佳 。 整 合 晤 談 分 析 的 結 果 ， 其 可 能 的 原 因 如 下 ： 當 數 量 變 得 更 大 (難 組 ： 圖 案 個 數 30~50個 )時 ， 群 組 估 計 組 的 學 生 可 能 從 學 習 的 需 要 中 ， 開 始 發 展 出 更 適 性 化 的 群 組 估 計 策 略 ， 以 縮 小 因 數 量 變 大 而 數 不 完 造 成 的 誤 差 ； 但 乘 法 估 計 策 略 卻 沒 有 這 樣 的 限 制 ， 因 此 在 乘 法 估 計 組 訪 談 的 學 生 中，最 大 的 進 步 也 僅 止 於 靈 活 運 用 所 學 策 略--小數 用 數 的，大 數 才 用 乘 的，沒 能 發 展 出 更 適 性 化 的 乘 法 估 計 策 略 。 在 學 習 過 程 中 ， 由 於 群 組 估 計 組 比 乘 法 估 計 組 可 能 存 在 較 大 的 瓶 頸 ， 使 得 學 生 在 無 形 中 發 展 出 更 適 性 化 的 群 組 估 計 策 略 ， 這 可 能 是 難 組 中，群 組 估 計 組 的 學 習 顯 著 優 於 乘 法 估 計 組，且 強 度 略 高 於 中 組 的 原 因 。 Crites（ 1992） 建 議 學 生 一 定 要 透 過 實 際 練 習 的 機 會 ， 才 能 獲 得 數 量 估 計 的 技 巧 ， 甚 至 能 發 展 出 屬 於 自 己 獨 特 的 數 量 估 計 策 略 。 以 下 列 舉 晤 談 的 結 果 ：

I：你 在 第 四 週 的 後 測 中 得 到 很 高 的 分 數，相 對 於 第 一 週 的 前 測 成 績，你 進 步 非 常 多，能 不 能 分 享 你 在 這 兩 次 測 驗 中 你 是 如 何 進 行 估 計 的 ？

S： 我 都 兩 個 兩 個 數 。

I： 你 可 以 稍 微 比 一 下 嗎 ？ (Interviewer 手 指 螢 幕 )

S： 這 樣 這 樣 (student 自 螢 幕 左 上 角 起 以 直 線 方 式 往 下 ， 兩 個 兩 個 一 數 ， 再 往 上 ) I： 你 兩 週 都 這 樣 數 嗎 ？

S： 沒 有 ， 第 一 個 禮 拜 我 就 兩 個 兩 個 數 。 I： 你 的 意 思 是 沒 有 照 順 序 嗎 ？

S： 對 ， 我 選 比 較 接 近 的 圖 案 ， 然 後 兩 個 兩 個 一 數 。

I： 那 你 第 四 個 禮 拜 怎 麼 會 這 樣 數 ？ S： 因 為 我 覺 得 這 樣 數 比 較 不 會 弄 錯 。 I： 你 是 怎 麼 想 到 的 ？

S： 練 習 到 最 後 的 時 候 發 現 的 。

五 、 進 步 組 、 高 分 組 、 中 分 組 、 低 分 組 的 表 現 分 析

群 組 估 計 組 與 乘 法 估 計 組 中 的 進 步 組 是 後 測 成 績 進 步 的 重 要 關 鍵 ， 從 訪 談 中 得 知 ， 進 步 組 與 高 分 組 在 策 略 與 答 題 技 巧 上 均 有 明 顯 的 成 長 ， 基 於 策 略 使 用 上 群 組 估 計 組 比 乘 法 估 計 組 有 較 大 的 瓶 頸 ， 這 使 得 乘 法 估 計 組 的 學 生 成 長 空 間 反 而 縮 小 了 ， 因 此 群 組 估 計 組 較 乘 法 估 計 組 有 更 顯 著 的 進 步 。 整 體 來 說 ， 群 組 估 計 組 與 乘 法 估 計 組 在 進 行 教 學 後 ， 均 能 更 有 效 縮 小 誤 差 ， 雖 然 中 分 組 與 低 分 組 的 表 現 不

群 組 估 計 組 與 乘 法 估 計 組 中 的 進 步 組 是 後 測 成 績 進 步 的 重 要 關 鍵 ， 從 訪 談 中 得 知 ， 進 步 組 與 高 分 組 在 策 略 與 答 題 技 巧 上 均 有 明 顯 的 成 長 ， 基 於 策 略 使 用 上 群 組 估 計 組 比 乘 法 估 計 組 有 較 大 的 瓶 頸 ， 這 使 得 乘 法 估 計 組 的 學 生 成 長 空 間 反 而 縮 小 了 ， 因 此 群 組 估 計 組 較 乘 法 估 計 組 有 更 顯 著 的 進 步 。 整 體 來 說 ， 群 組 估 計 組 與 乘 法 估 計 組 在 進 行 教 學 後 ， 均 能 更 有 效 縮 小 誤 差 ， 雖 然 中 分 組 與 低 分 組 的 表 現 不