數學問題解決能力

第二章文獻探討

第三節數學問題解決能力

一、數學問題解決能力

數學與生活密不可分，數學的基本能力素養亦是終身學習的工具，而培養問題解決能力是每一個領域都需要學習的重要教育目標之一（陳明溥，2002）。日常生活中如買菜、坐車、看電影等都會遇到數學相關的問題，如何利用方法來解決數學問題是生活中不可或缺的能力，若缺少了此能力，將會對生活造成許多不便。問題解決能力除了能將問題有效解決之外，還必須兼顧多樣化且創新的方法，若一個人能變通且有效的來解決問題，其問題解決能力更佳（黃春金，2009）。吳斯茜（2005）綜合多位學者的看法，認為問題是一種情境，是一種個體以先前經驗解釋或是解決目前所遭遇的困境的狀態。佘金玲（2005）綜合國內外學者對問題解決的定義，認為問題解決是一種思考的能力或歷程，各家學者都是以問題思考歷程為切入點，再根據自己所觀察的情況，提出自己所認為的問題思考歷程是如何發生與進行的。在認知心理學派崛起後，慢慢強調問題解決能力的培養，數學教育在此影響下，也逐漸的重視數學解題的能力。黃俊瑋（2007）指出，以教育觀點來看，培養學生問題解題能力是非常重要且必須的，而解題活動是數學學習的主要核心，在數學的課程進行時，學生透過邏輯、

歸納、演繹等能力進行問題的解決，這都得藉由發覺問題、探索問題、進而培養解決問題的能力。

生活上問題無所不在，不斷的解決問題是生活中重要的課題。 Allaire 與 Marsiske( 2002)學者提到，定義不明瞭的問題解決時，常著重在模稜兩可的部分或日常生活問題的探究。學生應對他們所遭遇到的問題進行探索，分析問題的每個條件，

詳細觀察其各個不同的面向，並且獨立地去發現問題的解法（吳盈縈，2010）。王鈺雯（2002）提到解題者在面對數學問題情境或非例行性問題(non-routine problem) 時，無法馬上解答，只能從自己的記憶中運用已有的數學概念、原理及方法等先備知

識，並針對題目的說明、所給予的條件，經思考後先初步擬定解題計畫，再根據其想法加以執行解題、驗算的步驟，進而解決數學問題的一種歷程；面對問題時，首先需了解事件的本質與現象，才能針對癥結點提出方法，進而得出問題的解決策略。在我們解決不同的問題時，會使用不同的方法；不同的人在解決同一個問題時，也會有不同的方法出現。當我們在面對問題時，會因為彼此不同的成長背景與經驗等，對問題的解決方式也不盡相同，只要最後能有效解題並符合常理，那麼不同的方法都能被接受。每個學者對解題所著重的方向與觀點都不大相同，觀察問題的角度也不一致，但都在其所描述的解題歷程中包含了理解、計畫、執行、驗證等程序（劉家樟， 2007）。

解題過程中重要的一環便是理解了，若無法有效閱讀、理解題目，就算計算能力再出色，也只能看著題目發呆。數學對大家來說就是一種新的語言，所以學習數學就是在學習一種新語言(陳世杰，2005)。數學文字問題的解決必須擁有語文理解、數學概念與計算能力等（葉家綺，2005）。陳雅玲（2004）、林明志（2009）認為應注重閱讀能力的培養，來提昇數學能力。Allan和 Bernardo（1999）等學者認為學生在解數學文字題時的困難是因為無法瞭解文字本身的敘述，在無法理解文字的情況下，將解題方向導入了錯誤的策略，而無法有效解題。所以解題者若想要能成功解題，首先必須對題目文意做正確理解與轉譯，形成適當的心理表徵（陳世杰， 2005 ）。 Mayer(2008)甚至認為語文能力的好壞會影響學生是否能成功解題，即語文能力是學習數學的基礎。由此可知，影響有效的數學解題因素包含了知識、基模、動機、興趣、

態度、信心、語文能力、數學概念、問題表徵能力、後設認知等能力。

二、雙碼理論的應用

Paivio 學者(1986)的雙碼理論認為人類在將短期記憶轉換並儲存於長期記憶的整個歷程中，運用了語文與非語文這二種互相交叉作用卻又彼此獨立的處理系統，其中非語文系統是負責處理有關靜態和動態方面的視覺訊息，如圖像、動畫、影片等，因

此我們也稱非語文系統為視覺圖像系統。在雙碼理論中視覺圖像系統運作包含表徵連結、參照連結和關連性連結三個層次。表徵連結指透過感官系統在接收外在訊息刺激後所產生的直接表徵或啟動相對應的表徵；關聯連結指在單一編碼系統中同樣屬性元素之間的關聯；參照連結指兩種編碼系統間的相互對照關係。學習者所接收訊息的教材中，若同時具備文字與圖像兩者，其知識內容才能運作組織成語文模型與圖像模型，語文模型與圖像模型在整合後將有助於學習（Mayer，2009）。在研究者教學的過程中也常發現，學童學習時若能在文字教材中加入圖像來思考，不僅有助於理解，且通常能順利解題。但不是在文字中加入任何圖像都有助於學習者理解，Lohr 學者

（2008）的研究中強調圖像需符合教學目標，如果要使用圖像來改善記憶，在視覺設計上則必須符合文字；利用圖像來表徵因果關係有助深入學習、視覺圖像能幫助思考，所以要避免視覺圖形與教學目標發生不一致的狀況。在教學過程中，教師對於學生的表徵和思考需理解，才能釐清學生可能錯誤迷失的問題所在，適時的幫助學生運用表徵且提升思考層次（陳霈頡，2007），所以教師在教學過程中能否選擇適當的表徵就顯得十分重要。

表徵(representational connections)是兒童心智發展階段循序漸進的特徵，是將現實的事物或想法，轉換成另外一種較為形式化、符號化、抽象的形式（圖形、符號）來代表，並以自己的想法重新表達，利於儲存、理解，進而達到與人溝通的歷程 (潘慧萍，2007)。教師根據雙碼理論修改教材運用於教學中，可以降低學生的認知負荷並有助於理解，並提供線索，以省時又省力的方法完成解題(李昱昀，2012)。當我們在進行以圖像來輔助教學時，可減少學生的認知負荷，學生才能對問題適切的表徵，並予以解題。外在認知負荷指的是教材品質、教學策略、介面設計、學習環境、

訊息設計等所產生的額外認知負荷（Pociask & Morrison，2008）。如果學生的認知負荷過重，就無法輕易產生適切的表徵。當我們在閱讀文章尋找所需要資訊時，必須一字一句的看懂文章內容，才有辦法找到想要的資訊而把它儲存在記憶裡，這樣的動

作直到我們找到所需的全部資訊並將其記憶後才會停止，但這樣十分費時費力。圖形就不同了，我們可在找到一個有用的資訊時，從附近發現其它我們想要的訊息，不用經過一連串的搜尋、記憶才能獲得，所以較為省時省力。課程進行時若能以圖片輔以文字，學生可以花較少的心力在處理文字理解的情緒上，更專注於學習內容(林金錫、

連育仁，2010)。Schuster & Carlsen學者（2009）指出教材的圖文配置若設計良好，

則有助於學習的理解。圖像融入教學設計時若只是隨意加上圖像，沒有符合文字所要表達的意思來予以設計的話，那麼對於學生的學習並無法有太大的助益，達到預期效果的目的則十分有限，良好的圖像表徵設計，必須讓學生在看到圖像時，就能大致了解文字所要表達的意思，加上對於文字本身的理解，進而順利的解題。

圖 2-1 雙碼理論編碼模式

資料來源：Paivio, A. (1986). Mental representation: A dual coding approach.New York:

Oxford University Press.

三、數學解題歷程

語言刺激圖像刺激

感官系統

語文系統

非語文系統

語言刺激語言刺激

參照連結

在數學解題的研究中，各學者根據不同的理論提出不同的看法，都有其歷程。

Polya(1945)在其怎樣解題（How to solve it）的著作一書中，點出解題過程的四個步驟：(1)暸解問題：解題者必須知道題目所給予的條件，加以運算與操作。；(2)擬定計畫：找出已知與未知的關聯，擬定解題的方法、策略和執行步驟，得出解題的計劃；(3)執行計畫：著手進行解題相關流程，執行所擬定的計畫；(4)回顧解答：重新檢視解題執行的歷程，檢驗解答的合理性，或思考使用不同方法求解及應用到別的問題。

Schoenfeld (1985)所著數學解題（Mathematical problem solving）一書中，將解題歷程分成六個階段：(1)閱讀（reading）：讀題。(2)分析（analysis）：重新敘述或簡化來瞭解題目。(3)探索（exploration）：尋找、思考有關的訊息和目標的關聯性。 (4) 計劃（ planning ）：擬定解題計劃，檢視、評估其適切性。 (5) 執行

（implementation）：將擬定的計畫予以執行。(6)驗證（verification）：檢查、驗算答案是否合理正確。

圖2-2 Schoenfeld解題歷程

資料來源：Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical problem solving. New York:Academic Press.

Mayer（1992）把數學解題分為二大步驟，包含四個階段。(一)問題表徵：

4.擬定解題計劃 1.閱讀問題

2.分析問題

3.探索、思考相關訊 5.依計劃執行解題

6.驗證、檢查答案

(1)問題轉譯：指去理解語句的意思及語句之間的關係，將每個句子加以解釋。(2)問題整合：認識問題的類型和資料、決定解題所需要的資料、用圖示或圖畫來闡述問題等，即將資料統整而成為一個問題表徵。(二)問題解決：(1)解題計畫和監控：思考解題方法及監控解題計畫。(2)解題執行：運用演算法則來進行計算。

Lerner（2003）指出指出解決文字題的步驟包括：（1）敘述問題：讓學生先讀出題目，接著說出問題，學生在此階段不需要使用紙筆，只需簡單地敘述問題。（2）決定問題：讓學生決定問題的特性，發現問題的關鍵所在。（3）蒐集資料：文字所提供的相關訊息，要學生讀或默唸問題，然後列出相關資料。（4）分析關係：幫助學生分析問題的相關資料。

四、問題解決能力與數學教學的相關研究

解題應該是在不熟悉的情境下，針對問題來進行解決；在問題解決過程中有助於數學知識、基模的建構，在解題教學中應該鼓勵並且協助學生進行數學思考、自行建構出個體可以理解且有意義的解題方法，而不是純粹練習解題或背誦解法，一味的提

在文檔中圖像表徵式學習策略應用於城鄉國小四年級數學學習成效之研究 (頁 29-0)

第二章 文獻探討

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