圖像表徵式學習策略應用於城鄉國小四年級數學學習成效之研究

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(1)國立臺中教育大學數位內容科技學系碩士在職專班碩士論文. 指導教授: 陳鴻仁博士. 圖像表徵式學習策略應用於城鄉國小四年級數學學習成效之研究 The Effects of Iconic Representation Animation Learning Strategies between Urban and Rural Areas on Elementary School 4th Grade Students’ Learning Achievement. 研究生: 廖國志. 撰. 中華民國一 o 二年六月.

(2) 誌謝經過二年的努力，研究所也已到了尾聲，辛苦的付出終於要開花結果。回想這二年在研究所的日子，課堂上老師盡心的教導、同學間的互動情形，真是令人難忘的回憶。在這段日子裡，最要感謝的是我的指導教授-陳鴻仁老師，老師就像是燈塔一樣，當我對論文感到困惑、失去方向時，總會適時的指引我正確的路，我才能繼續向前邁進；也因為老師孜孜不倦的教導，我的論文才能更加豐富、嚴謹，並讓我認真看待寫論文、做實驗這些事。也要感謝口試委員陳年興教授與林彣珊教授對此篇論文的建議與指教，讓我的論文更臻完善。感謝在研究所中曾經教導過我的老師，讓我能開拓視野，以不同的角度來看待事情。感謝碩士班的同學們，在課堂上大家相互協助與扶持，尤其是麗敏、靜宜、麗年、元隆、玟蓉、秋全、正祥、冠廷、睿昕，如果沒有你們的幫忙與鼓勵，我也無法這麼順利完成學業。感謝致萍老師的幫忙，讓我不用對著英文摘要傷透腦筋。感謝學校的校長與同事們在我讀研究所時的支持，讓我能放心的在課業上學習。最後要感謝上天給我這樣的機會，讓我能有所突破與成長。感謝我的爸媽與家人們，如果不是你們在背後默默的支持、一路上的陪伴，我才能有動力繼續向前，也才能堅持的走下去，順利的完成碩士學業。. 國志謹誌 2013 年 6 月. I.

(3) 摘要研究報告中指出，人們接受圖片信息的速度比語文信息快，且圖片在學童學習的過程中扮演著極重要的角色，除了能吸引孩童的目光，更能提昇他們學習的興趣。數學文字題解題過程中，學童要先閱讀文字，在理解其意思後才能順利解題，但也因此讓學童增加其文字解理上的認知負荷，在解題上遇到挫折，導致學童討厭數學。以圖像表徵融入資訊來教學，以連續動畫的方式增進學生對文字題的理解，降低學童認知負荷，提昇學童學習的興趣，同時也培養學童數學問題解決的能力，增強其學習動機。在文中並探討、比較城市學校與鄉村學校學童的學習情況，藉以了解城鄉間的差異，找出彌平差異的方法。本研究旨在探究以研究者自行設計的圖像表徵式數學動畫教材實施教學，對國小四年級學童在數學文字題單元學習成效、城鄉差距及數學問題解決能力之差異，並藉由教學意見調查表，瞭解學童對於圖像表徵式數學動畫教材之看法。研究結果顯示：(1) 應用圖像表徵式動畫教材教學之學童其在學習成效上顯著優於一般傳統教學之學童；(2) 接受圖像表徵式動畫教材教學的城市組與鄉村組學童，鄉村學校學童在數學乘除法學習成就表現優於城市學校學童；(3) 應用圖像表徵式動畫教材教學之學童其在數學問題解決能力成就表現顯著優於一般傳統教學之學童；(4) 接受圖像表徵式動畫教材教學的城市組與鄉村組學童，鄉村學校學童在數學問題解決能力成就表現優於城市學校學童；(5) 學童對於圖像表徵式動畫教材教學持正面肯定的態度與看法。. 關鍵字：圖像表徵、城鄉差距、數學問題解決能力、學習成效. II.

(4) Abstract Previous studies point out that human beings receive pictorial messages quicker than word messages; pictures play a vital role during the process of students’ learning; they not only attract students’ eye but also promote their learning interests. In the solving process of math word problems, students read the text first and then realize its meanings to successfully solve the math problems; meanwhile, the solving process may increase students’ cognitive load of words realizing and encounter frustrations during the mathematical problem solving process and results in their disliking of math. The teachers applied technology of iconic representation to math teaching by means of animation to increase students’ understanding of math word problems; to decrease students’ cognitive load; to promote their learning interests; to cultivate their math word problem solving competence and to enhance their learning motivation. In the present study, the researcher discusses and compares the urban and rural students’ learning achievement to realize the differences between the urban and rural areas and try to find the solutions to decrease the urban-rural gap. The study aimed to explore the differences of the implement of iconic representation animation teaching on 4th grade students’ learning achievement between urban and rural elementary schools with the use of teaching feedback and improvement survey to realize students’ attitude toward iconic representation to math teaching. The results were as follows: (a) Students’ learning achievement is significantly promoted through iconic representation animation teaching materials. (b) Rural school students’ learning achievement in multiplication and division of mathematics outperforms the urban school students. (c) Students receiving iconic representation animation materials have better performance than students receiving traditional materials on math word problems solving. (d) Rural school students’ math word problems solving competence was better than that of the urban school. III.

(5) students. (e) Students have positive attitude toward iconic representation animation teaching materials.. Key words: iconic representation; urban-rural gap; mathematical problem solving competence; learning achievement. IV.

(6) 目次第一章緒論 ......................................................... 1 第一節研究背景與動機 ........................................... 1 第二節研究目的 ................................................. 3 第三節研究範圍與限制 ........................................... 4 第四節名詞釋義 ................................................. 5 第二章文獻探討 ..................................................... 7 第一節圖像表徵式學習策略........................................ 7 第二節城鄉差距 ................................................ 13 第三節數學問題解決能力 ........................................ 18 第四節小結 .................................................... 25 第三章研究方法 .................................................... 27 第一節研究流程 ................................................ 27 第二節研究對象 ................................................ 29 第三節研究設計 ................................................ 29 第四節研究工具 ................................................ 31 第五節實驗處理 ................................................ 47 第四章研究結果與討論 .............................................. 48 第一節不同教學法對學習成效的影響............................... 48 第二節融入圖像表徵式動畫教學對城市學校與鄉村學校學習成效的影響..56 第三節不同教學法對學童數學問題解決能力的影響................... 60 第四節融入圖像表徵式動畫教材教學對城市學校與鄉村學校數學問題解決能力的影響............................................... 64. V.

(7) 第五節融入圖像表徵式動畫教材之教學意見調查表分析............... 66 第六節學生半結構訪談之分析......................................71 第五章. 結論與建議...................................................74. 第一節結論......................................................74 第二節建議......................................................76 參考文獻 ............................................................78 中文參考資料 ....................................................78 英文參考資料 ....................................................84 附錄一...............................................................89 學習成就測驗1 ...................................................89 學習成就測驗2 ...................................................90 學習成就測驗3 ...................................................91 學習成就測驗4 ...................................................92 兒童數學問題解決能力量表.........................................93 附錄二...............................................................96 圖像表徵式動畫教材融入數學領域教學意見調查表.....................96 附錄三...............................................................99 圖像表徵式動畫教材教學教案.......................................99. VI.

(8) 表次表2-1 圖像表徵式學習策略之相關研究彙整............................... 11 表2-2 城鄉差距之相關研究彙整 ........................................ 16 表2-3 數學問題解決能力與數學教學之相關研究彙整....................... 24 表3-1 研究樣本人數................................................... 29 表3-2 鑑別度評鑑標準................................................. 33 表3-3 除法前測難易度、鑑別度分析..................................... 33 表3-4 除法後測難易度、鑑別度分析..................................... 34 表3-5 乘法前測難易度、鑑別度分析..................................... 34 表3-6 乘法後測難易度、鑑別度分析..................................... 35 表3-7 文字題給分標準................................................. 36 表3-8 數學問題解決能力量表給分標準................................... 46 表4-1 不同的教學方法學習成就前、後測之敘述統計表(城市組乘法)......... 48 表4-2 圖像表徵式動畫教材學習與傳統教學組內迴歸係數同質性表........... 49 表4-3 不同教學法學習成就測驗之共變數分析摘要表....................... 49 表4-4 不同教學法之學習成就測驗調整後的平均數......................... 50 表4-5 不同的教學方法學習成就前、後測之敘述統計表(鄉村組乘法)......... 50 表4-6 圖像表徵式動畫教材學習與傳統教學組內迴歸係數同質性表........... 51 表4-7 不同教學法學習成就測驗之共變數分析摘要表....................... 51 表4-8 不同教學法之學習成就測驗調整後的平均數......................... 52 表4-9 不同的教學方法學習成就前、後測之敘述統計表(城市組除法)......... 52 表4-10 圖像表徵式動畫教材學習與傳統教學組內迴歸係數同質性表.......... 53 表4-11 不同教學法學習成就測驗之共變數分析摘要表...................... 53. VII.

(9) 表4-12 不同教學法之學習成就測驗調整後的平均數........................ 54 表4-13 不同的教學方法學習成就前、後測之敘述統計表(鄉村組除法)........ 54 表4-14 圖像表徵式動畫教材學習與傳統教學組內迴歸係數同質性表.......... 54 表4-15 不同教學法學習成就測驗之共變數分析摘要表...................... 55 表4-16 不同教學法之學習成就測驗調整後的平均數........................ 56 表4-17 城鄉不同學校學習成就前、後測之敘述統計表(城鄉乘法比較)........ 56 表4-18 城鄉不同學校組內迴歸係數同質性表.............................. 57 表4-19 城鄉不同學校學習成就測驗之共變數分析摘要表.................... 57 表4-20 城鄉不同學校之學習成就測驗調整後的平均數...................... 58 表4-21 城鄉不同學校學習成就前、後測之敘述統計表(城鄉除法比較)........ 58 表4-22 城鄉不同學校組內迴歸係數同質性表.............................. 59 表4-23 城鄉不同學校學習成就測驗之共變數分析摘要表.................... 59 表4-24 城鄉不同學校之學習成就測驗調整後的平均數...................... 60 表4-25 不同的教學方法學數學問題解決能力前、後測之敘述統計表(城市組).. 60 表4-26 圖像表徵式動畫教材學習與傳統教學組內迴歸係數同質性表.......... 61 表4-27 不同教學法數學問題解決能力測驗之共變數分析摘要表.............. 61 表4-28 不同教學法數學問題解決能力測驗調整後的平均數 ................. 62 表4-29 不同的教學方法學數學問題解決能力前、後測之敘述統計表(鄉村組).. 62 表4-30 圖像表徵式動畫教材學習與傳統教學組內迴歸係數同質性表.......... 63 表4-31 不同教學法數學問題解決能力測驗之共變數分析摘要表.............. 63 表4-32 不同教學法數學問題解決能力測驗調整後的平均數 ................. 64 表4-33 城鄉不同學校數學問題解決能力前、後測之敘述統計表(城鄉比較).... 65 表4-34 城鄉不同學校組內迴歸係數同質性表.............................. 65 表4-35 城鄉不同學校數學問題解決能力測驗之共變數分析摘要表............ 66. VIII.

(10) 表4-36 城鄉不同學校數學問題解決能力調整後的平均數.................... 66 表4-37 教學意見調查表統計表.......................................... 68 表4-38 開放式問題意見彙整表.......................................... 71. IX.

(11) 圖次圖2-1 雙碼理論編碼模式.............................................. 21 圖2-2 Schoenfeld解題歷程............................................ 22 圖3-1 研究流程圖.................................................... 28 圖3-2 實驗處理詳細流程圖............................................ 28 圖3-3 教材教學流程圖................................................ 29 圖3-4 研究架構圖.................................................... 30 圖3-5 圖像表徵式數學教材............................................ 38 圖3-6 圖像表徵式數學教材............................................ 38 圖3-7 圖像表徵式數學教材............................................ 39 圖3-8 圖像表徵式數學教材............................................ 39 圖3-9 圖像表徵式數學教材............................................ 40 圖3-10 圖像表徵式數學教材........................................... 40 圖3-11 圖像表徵式數學教材........................................... 41 圖3-12 圖像表徵式數學教材........................................... 41 圖3-13 上課情形..................................................... 42 圖3-14 上課情形..................................................... 42 圖3-15 上課情形..................................................... 43 圖3-16 上課情形..................................................... 43 圖3-17 上課情形..................................................... 44 圖3-18 上課情形..................................................... 44 圖3-19 上課情形..................................................... 45 圖3-20 上課情形..................................................... 45. X.

(12) 第一章. 緒論. 本章共分四節，第一節闡述研究背景與動機，說明國小四年級學童面對數學學習時所遭遇的困難，期望藉由圖像表徵式結合學習策略，用以提升學童數學學習成效；第二節為研究目的，探討圖像表徵式結合學習策略在城鄉國小四年級數學學習成效之差異；第三節說明研究範圍與限制；第四節為相關名詞釋義。. 第一節. 研究背景與動機. 現今教育部在九年一貫課程中指出，數學是一種通用語言、是人類重要的資產，也是人類能力的延伸，其課程目標均以學生能夠發展解決數學問題的能力（教育部， 2003、2008）。生活中處處可見數學，數學可以培養個人獨立思考的能力，也是科學研究中最重要的工具 (劉環毓，2008)。美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM）也強調：如何以思考來解決問題是 1980 年代數學教育的重要課題。現在的數學教育不只是一味的要求計算技巧的熟練，只重學童能答對題目而已，進而要求能理解題目、再予以解題，不再是填鴨式的教學，對於孩子在數學學習的態度及意願亦逐漸受到重視。但在孩子解題的過程中，常會遇到困難，尤其在數學文字題的部分讓學生感到抽象與模糊。在臺灣，許多中小學的學生在解題過程中遇到數學文字題時，常會感到畏懼(張景媛，1994)。Allan 和 Bernardo（1999）等學者認為學生在解數學文字題時的困難是因為無法瞭解文字本身的敘述，在無法理解文字的情況下，將解題方向導入了錯誤的策略，而無法有效解題。在數學上能成功的解題有二個條件，不僅需具備相關的先備知識，在語文方面還得擁有相當的理解能力(葉家綺，2005）。由此可知，在解數學文字題時，必須先理解文字的敘述後，再加上本身具備的基本數學原理概念與運算技能才能順利解題。學習成就較低的學生，其答錯原因可能並不是因為在計算方面的不熟悉，而是在語文理解方面出了問題，導致在解題時發生了困難。為了改善孩子的數學. 1.

(13) 能力，於是許多學者、教育家便期盼藉由生活化佈題和生動的圖片為媒介，來提昇孩子的學習興趣。在學童教育的學習上，圖片或插畫扮演著極重要的角色，生動活潑的圖片或插畫最能有效吸引孩童的目光，進而提昇他們學習的興趣(廖泰倫，2006)。研究者從擔任國小老師多年的工作經驗上發現，現在各版本教科書不再只是大量文字敘述，而是加入了許多有趣且符合題目的圖片，來引導學生解題。林秀燕（ 2004 ）及陳柏如（2005）學者均指出利用圖形表徵的方式可以幫助學生理解題目的意思。在心理學上更有數據指出，人們對於信息的接受也會因媒介的不同而有不一樣的接收速度，語文的信息在人腦中反應最慢，判斷、推理也較遲緩，圖片信息比語文信息較快為人腦所吸收、處理。Fuson 和 Willis(1989)的研究中也提到，圖示法和正確的解題有著高度的正相關。相較於傳統教學法而言，以圖示表徵的方法來讓學童來解題有相當程度的幫助。教師在過去使用大量具體物的情境教學，但受限於教具的使用，導致浪費許多時間在課前的準備，加學習僅限於課堂，因而也影響了學生的學習成效（黃仕奇， 2009）。Roblyer & Edwards（2000）等學者認為使用資訊融入教學可以改善學生的學習，提供多元的學習教材與不同的教學型態，並提高師生間互動的關係。若將資訊融入教學，藉由圖像表徵的方式增進學童對於文字題的理解，可因而提昇學童的學習興趣，並改善學童的學習成效(潘慧萍，2007)。現在是一個資訊發達的時代，改變了教師傳統的教學方式，將資訊融入教學活動設計是老師常使用的教學方法。因此學童接觸到的學習與刺激不僅僅來自課本中的文字，還包含來自大眾傳播媒體、平面媒體、網際網路或其它多媒體的聲音、影像等。但在現今教育資源分配不均的情況下，都市和鄉村的學校條件不同，學生所能使用的資源也不一樣，造成了城鄉差距的現象。城鄉差異整體而言，都市的工共建設及設施較鄉村地區豐富且完整，住在都市的居民所接觸到的資訊較多元且快速，且城區居民的教育程度較高，經濟收入也較高。. 2.

(14) 學童的學習成就和家庭社經地位呈現正相關的現象，學習成就較高的學童，通常來自於社經地位較高的家庭（Peng, Wright & Hill, 1994）。蔡本元（2007）學者在研究中指出，對於非偏遠學校而言，在都市的學生，其學業成就高於城鎮學校，而鄉村學校有學生表現則又低於城鎮學校的學生。張淑旻（2004）在桃竹地區英文學習成效上的研究中也指出，在學習的表現方面，都市國小學童在聽、說、讀、寫及口語練習這幾個面向的表現均優於鄉鎮國小的學童。因此，在生活水平較佳的情況下，資源產生集中化的效應，學生學業成就也有此情況發生。Nelson（1991）在綜合多位學者的研究後發現，各區域生活的條件不同，對學生學習成就的表現是重要的影響因素之一。由此可知，城鄉學校的學童，對於學習的表現及成就應該會有程度不一的差別。本研究為了幫助學童有效理解數學文字題的題意，排除因數學閱讀困難而產生解題的疑惑，所以將數學文字題圖像化，將數學課程內容轉譯成電腦多媒體檔案，以資訊化媒材替代課本模式進行教學。教材內容以連續圖畫結合數學教學活動，並以更生活化的數學教學媒體來吸引學童的注意力，並透過連續圖畫的呈現，幫助學童克服因閱讀不利而導致解題困難的因素，讓學童能瞭解數學文字題的題意。並在教學媒體融入問題的解決步驟，讓學童學習四則運算的解題方法，而不是侷限於傳統的學習框架，以創新多元且富趣味性的策略來吸引學生主動學習，並提升學習動機，期待能達到所預期的學習成效。綜合以上所述，本研究之動機如下所示： 1.過去的研究大多集中在單一面向實驗，在學科的學習成效上缺乏城鄉間的比較，因此本研究想深入探討城鄉間的數學學習成效的差異情形。 2.圖像表徵式學習策略的相關研究目前幾乎只限於一個學校不同班級的比較，因此本研究想深入瞭解圖像表徵式的學習方式對於城鄉學童而言，學習成效之差異。 3.探討在使用圖像表徵式策略教學後，城鄉學童在數學問題解決能力上的學習差距之情況。. 第二節. 研究目的 3.

(15) 本研究以國小四年級學童為研究對象，在數學文字題上，設計一套符合圖像表徵化，並以動畫形式呈現的數位教材，來輔助數學乘除法之教學。在實際教學現場使用數位教材進行教學實驗，並比較不同單元在學習成效上之差異。本研究具體研究目的敘述如下： 1.探討國小四年級城市組與鄉村組學童接受圖像表徵式學習策略教學與傳統教學在數學乘除法學習成效之差異。 2.探討國小四年級城市組學童與鄉村組學童在接受圖像表徵式學習策略融入教學後的數學學習成效差異。 3.探討國小四年級城市組與鄉村組學童接受圖像表徵式學習策略教學與傳統教學在數學問題解決能力的差異情形。 4.探討國小四年級城市組學童與鄉村組學童在接受圖像表徵式學習策略融入教學後的數學問題解決能力成的差異情形。. 第三節. 研究範圍與限制. 本研究因受限於人力、時間、物力等因素，而有其研究範圍及限制。茲分述如下：. 一、研究範圍本研究針對鄉村學校苗栗縣幸福國小(化名)、城市學校台中市圓滿國小(化名)四年級學童為實驗對象，以二班為實驗組，進行圖像表徵式學習策略教學的數學四則運算課程。. 二、研究限制因受限於人力、物力及時間等因素，本研究僅針對城鄉學校國小四年級四個班級為實驗對象。因此在效度上有其一定的限制，解釋上不宜過度推論。加上無法實施長期的教學研究，僅實驗二個數學單元，故實驗結果可能無法推論長期實施教學後，學. 4.

(16) 童在學習成效上的差異。. 第四節. 名詞釋義. 一、圖像表徵式學習策略圖像表徵式學習策略是利用基模圖片（schematic diagrams）來組織問題的訊息，協助問題的轉譯和解決。圖像表徵能降低學習者的認知負荷，有效應用心理資源解決問題（ Jitendra, 2002 ）。 Bruner(1966) 認知表徵理論（ System of representation theory ）指出兒童在形象表徵期（圖像表徵， Iconic Representation）可以從對物體知覺停留在記憶中的形像，或靠圖形、照片等來獲得知識。Paivio的雙碼理論認為人類在將短期記憶轉換儲存於長期記憶的整個歷程中，是運用二種獨立但又相互交叉作用的處理系統，這二種系統為語文系統和非語文系統 (Paivio,1986)。VanGarderen（2007）學者在研究中證實圖像教學能提升解題能力，並對數學學習是有正向的幫助。Sowder ＆ Sowder (1982)學者研究262位五年級學生在圖畫題與文字題的解題表現，發現學生在圖畫題的表現較文字題的表現優秀(圖畫題優於文字題)。本研究根據理論，將數學教材與電腦多媒體動畫做連結，將動態圖像與語言文字概念相互連結，利用電腦多媒體輔助教材圖像表徵式的特性在數學文字解題上進行學習。. 二、城鄉差距城鄉之分在各國沒有一定的標準，依據教育部101年度教育優先區指標分類，可以把符合下列六項指標者視為鄉鎮（教育部，2012）：(一)原住民學生比率偏高之學校。(二)低收入戶、隔代教養、單(寄)親家庭、親子年齡差距過大、新移民子女之學生比率偏高之學校。(三)國中學習弱勢學生比率偏高之學校。(四)中途輟學率偏高之學校。(五)離島或偏遠交通不便之學校。(六)教師流動率及代理教師比率偏高之學校。. 5.

(17) 都市地區的學童對社區活動參與及資源運用的情形最高，尤其以都市中心更為明顯，其學業成就優於都市邊陲、鄉村的學生。城鄉教育差距的主要原因在於鄉村地區的教育資源較都市地區不足，影響學生的學習與升學機會。城鄉地區由於資源分配不均，造成家庭社經地位的差異，導致日常使用電腦情況、接收外在資訊、閱讀課外書籍…等基本的平常活動也產生了城鄉差距的問題。本研究將原台中市(合併前之台中市) 圓滿國小(化名)歸類為城區，苗栗縣幸福國小(化名)為鄉區。. 三、數學問題解決能力解題歷程分為問題表徵及問題解決兩步驟(Mayer，1987）。解題是數學課程的核心，解題能力是數學教學的主要目標，也是一切數學能力的統合呈現（ NCTM, 1989）。問題解決能力是一種需要多方思考的統合應用能力(李昱昀，2012)。在解決問題過程中遭遇到的難題，必須使用最適當的方法才能有效解決，唯有結合自己的知識、技能與經驗，經過多方思考與修正，才能達到解題的目的。本研究所指的數學問題解決能力是指在研究者自編的數學問題解決能力量表上的得分，受試者得分愈高，表示問題解決能力愈高；受試者得分愈低，表示問題解決能力愈低。. 6.

(18) 第二章. 文獻探討. 本章共分四小節，第一節說明圖像表徵式學習策略意義與特性，並探討圖像表徵式學習策略在教學上的應用；第二節闡述城鄉之間的差距及教育資源分配的問題；第三節探究數學問題解決能力的意義與相關研究，並探討不同教學法對學生數學解題的關係；第四節為本章的小節。. 第一節圖像表徵式學習策略一、圖像表徵的意義學童在學習新知的過程中，當遇到困難產生疑慮時，會運用表徵來尋求解答，若無法克服、順利解決，會對其未來學習意願造成影響。 Bruner(1966) 表徵（representation）是指在認知活動下，藉此來理解的任何一種形式，表徵可用來作為表達數學概念的工具。若能理解表徵的意涵，便能進一步作為運思的記錄與反饋（陳霈頡、楊德清，2005）。眾多學者的研究中指出，在數學解題中使用外在表徵策略能提升數學解題能力，所謂外在表徵，即使用實物情境、數學符號、具體操作物、數線圖、圖表、統計圖等輔助圖形，作為學習者學習數學時的媒介（Van Garderen， 2007 ；楊坤堂， 2006；林秀燕，2004；孟瑛如，2004 ；林淑菁， 2003 ；楊淑芬， 2001）。平時用於解題的策略種類極多，在眾多解題的策略中，圖像表徵策略是許多學者及教學研究者提到有效解題策略之一（楊淑芳，2001；徐文鈺，1992；吳昭容， 1990；張憶壽，1986）。研究者在進一步探討中發現，圖像表徵對於解題有極大的成效。圖像表徵能提供學習者重複的訊息，在過程中將抽象的文字、數字具像化，幫助學習者在數學學習時解構題目，並將其重新組織，轉化成自己所能理解的題意，因而降低了解題的認知負荷，對於數學問題的解題成效有相當的提昇（羅秋霞，2006；魏君芝，2003；林淑菁，2003；楊淑芬，2001；徐文鈺，1992）。從訊息處理學習理論的觀點來看，在解題過程中，從閱讀、理解、計畫、執行、驗證等步驟，都需要工作. 7.

(19) 記憶的處理，而超過的工作記憶負荷，通常是造成學習者容易發生錯誤的原因 (Cook，2005；劉秋木，1996；Hirst & Kalmar，1987；Baddeley，1986)。所以，如何降低學習者工作記憶負荷來達到學習效果，是教學者授課時重要的課題。解題時利用圖像表徵問題各條件之間的相互關係，對於工作記憶的負荷能有效的降低，提升解題的成效（Hembree, 1992）。解決數學問題的關鍵除了數學計算能力外，如何理解題目來正確解題是另一個要點。在運用教學法來降低學習者工作負荷的同時，我們需考量何種方法能有效改善負荷量並提升解題成效。羅秋霞（2007）、林淑菁（2002）、楊淑芬（2001）的研究結果發現，對於學童於數學應用題或文字的題解時，使用圖像表徵能具體提升成效，並達到顯著效果。國內有些學者的研究證實，指導學生利用圖像表徵策略進行解題，能有效提升學生的解題能力（林淑菁，2003；楊淑芬，2001；徐文鈺，1992；吳昭容，1990）。而且圖像表徵的運用有助於學童理解問題的情境，進而成功的解題，並透過圖像表徵的方法能使其順利的和他人進行溝通(黃媺恬，2010) 。在學習者有學習障礙的研究方面，Van Garderen（2007）學者探討圖像教學策略是否能有效提升應用問題的解題能力，在以八年級學習障礙學生為研究對象中證實圖像教學能提升學習障礙者的解題能力，並對數學學習是有正向的幫助。所以，具體事物的展現比抽象的概念更能被學習者理解學習與記憶（彭孟璇， 2009）。據研究統計，近幾年來許多研究者皆以圖像表徵策略來降低學習者的記憶負荷、輔助數學的學習，且成效極為良好（范育文，2010）。雖然有的研究稱為圖示表徵策略、圖解表徵策略、圖畫表徵策略等，其所指的是解題者在解題過程中，運用畫圖的方式，畫出與題意相關的圖形或圖案，用以幫助解題者理解、思考、了解題意或分析題目中所給的條件關係，進而達到解題問題的方法。這種以圖形等圖像表徵介入來學習數學、解題的方法，在本研究稱為圖像表徵策略。本研究觀察學生解題的作答情形，若受試在紙上畫圖來理解題目，即代表受試者運用了圖像表徵策略。. 8.

(20) 二、圖像表徵的相關理論根據認知發展階段，在國小階段的學習者，其思考模式大多還處於具體運思的階段，在學習過程中，必須透過實際具體操作才能形成動作與圖像表徵，讓其所學到的知識與經驗之間有應生更多的連結。國小的數學教學常借重教具，就是希望透過教具的具體操作，讓學生形成正確的知識表徵，讓學生能將抽象的思維轉換成具體思維，這種轉換可幫助學習者增進抽象思考的發展。圖畫便是一種很好的外在表徵，利用畫圖有助於分析、理解題目，是一種有效的教學法（ Davis & Mckillip ， 1980 ； LeBlance，1980）。許多國內學者的研究也證實，將圖像策略應用於數學文字題解題研究，皆有著正向的成效（楊淑靜，2007；林秀燕，2005；林淑菁，2002；楊淑芬， 2001；謝毅興，1991）。Diezmann和English（2001）認為在解題的過程中，原本複雜的文字，利用簡單的圖畫方式來呈現，可以幫助解題。Krulik和Rudnick（1993）所提出問題解決的教學策略中，也有提到要教導學生如何去讀懂題目，以及鼓勵學生使用畫圖法來表示。Howell 和Barnhart (1992)也認為解數學應用題需將題目視覺圖像化，並以具體的經驗加以表徵。Roth、Bowen和McGinn（1999）等學者認為可以利用視覺圖像來轉化抽象的概念，在組織複雜的訊息後，幫助新舊知識的整合，並增進訊息的保留時間，促使認知功能的有正向發展，進而解決問題。以下是幾位學者提出有關圖像表徵在學習上的相關理論： ( 一 )Bruner （ 1966 ）學者從運思觀點，提出行動表徵（ enactive representation ）、形象表徵（ iconic representation ）和符號表徵（ symbolic representation）三類不同傳達訊息的表徵形式。(1) 行動表徵：以某種動作和感覺作為代表資訊的意涵；(2) 形象表徵：以心中的想像、經驗來記憶或運用感官對事物形成心像；(3) 符號表徵：透過抽象符號來獲取知識和經驗。 (二)Lesh，Post & Behr（1987）學者以溝通的觀點，將表徵分為實物情境、具體操作物、圖形、口語符號、文字符號，利用不同表徵系統來表徵題目，提出下列觀. 9.

(21) 點：（1）實物情境：利用實物情境的物品或知識來解釋問題的情境或內容。（2）具體操作物：如量角器、圓規等教具，且這些教具要配合數學概念才具有意義。（3）圖形：一種靜態的圖形模式，如體積、數線、統計圖表等。（4）口語符號：日常生活所使用的口語符號，如四分之三。（5）文字符號；常用的數學符號或數學算式，如 32÷(. )=8 等。 (三)Babbit 和 Miller (1993) 學者提出解題策略中最重要的部分為：(1)詳細的. 閱讀問題。(2)以畫圖、視覺圖像化、畫重點等找出合適訊息的方式思考問題。(3)決定解決策略及列正確運算。(4)寫出數學算式。(5)計算及驗算。 (四)Montague(1996)學者提出解題之認知策略：(1)閱讀理解、(2)句子重組、(3) 視覺化、(4)提出假設、(5)預估、(6)計算、(7)驗算。 (五)Mastropieri﹐Bakken & Scruggs(1997)學者提出七個解題步驟：(1)閱讀問題、(2)思考問題、(3)決定運算符號、(4)寫出數學式、(5)計算、(6)寫出答案、(7) 驗算每個步驟。其中第二步驟思考問題係以心像法將問題圖像化。 (六)秦麗花（2006）學者提出完整的數學學習有六個教學原則：（1）新知識教導要建立在舊經驗的基礎上。（2）應用實物、具體物提供實作的機會。（3）運用圖表來代表數學概念。（4）運用數學的符號與文字語言來表徵數學概念。（5）將數學概念與經驗應用在生活中。（6）使用精確語言把所學說出來或寫出來。. 三、圖像表徵式學習策略在數學解題上的應用圖像表徵式學習策略雖有助於學習者解題，但解題過程中只是隨意畫圖而沒有符合題意的話，對於解題的幫助有限。黃明瑩（2000）研究中指出，解題者利用圖畫表徵策略解題，透過畫圖的方式將問題表徵成圖像，利用此圖像協助其思考，學生所畫圖形的正確性將有助於學生解題之表現。Ainsworth(2006)學者也指出，當學習者能善用多元的數學表徵，如圖形、符號、具體操作物等來表徵數學問題，對於其進行思考及分析的能力是有幫助的。在許多幫助學童進一步了解文字題題意的建議中，於解題. 10.

(22) 一開始便要求學生以圖像表徵文字應用題各條件間的相互關係，是一種有助於學生理解題目的方法（方美珍，2007；林秀燕，2004；張秀鳳，2005；陳鵬全，2002）。所以，在圖像表徵教學策略的運用上，主要的目的是為了提昇教師教學效能，讓學生能有效學習，進而達到教學目標，以下是圖像表徵式學習策略在數學解題上的應用的相關研究，研究者整理如表2-1所示：表 2-1 圖像表徵式學習策略之相關研究彙整研究者 (年代). 研究主題. 研究結果. 魏君芝 (2002). 國小五年級數學低成就學 1.探討數學低成就學生解比較類加減法應用生圖示策略教學成效之研問題有正面成效。究 2.圖示策略訓課程能提高國小五年級數學低成就學生解比較類加減應用問題測驗得分的能力，並達到保留效果。. 林淑菁 (2003). 國小資源班學生正整數乘 1.圖示教學對資源班數學學習困難學生解正除文字題之圖示教學效果整數乘除文字題上是有成效的。研究-以台北市一國小為例 2.學生的解題正確率在有圖的題組上比無圖的題組表現來得好，可見所提供的圖示具有提升學童理解題意。 3.圖示的功能並不會因不同的題目情境或內容而有差異，相對於一般能力的學童而言，乘除文字題所附的圖示還具有相當不錯的遷移效果。以圖示策略融入低年級教 1.圖示策略融入低年級教學對改變類及比較學對改變類及比較類加減類加減法文字題學習成效有所提昇。法文字題學習成效之研究 2.圖示策略在改變類型-改變量未知題型，改變類型-啟始量未知，比較題型-被比較量未知，比較題型-基準量未知四種題型的解題上有顯著幫助。圖形組體應用在國小數學 1.圖形組體的教學能夠幫助學生理解數學文文字題解題教學之行動研字題題意，擬定適合的解題計畫、解題、獲究得正確結果。 2.經由圖形組體的教學，學生在數學學習成就都有顯著提昇。. 林秀燕 (2004). 王景生 (2005). 11.

(23) 研究者 (年代). 研究主題. 研究結果. Cook (2006). Visual representations in science education: The influence of prior knowledge and cognitive load theory on instructional design principles.. 1. 陳述的寫法並不完全適合學習者，圖像表徵是溝通科學思想的的本質方法。 2. 學習者的工作記憶有限，教學設計需減輕學習者的認知負荷。 3.要考慮個體差異，事先了解學習者的先備知識，再確定什麼因素是關鍵，並以視覺表現模式表現。. 羅秋霞 (2006). 圖示表徵策略對提昇國小三年級數學低成就學童加減文字題的補救教學成效. Van Garderen (2007). Teaching students with LD to use diagrams to solve mathematical word problems. 運用情境動畫遊戲教學模式對於不同能力國小學生數學學習成效與學習保留之研究。. 1.受試者完成介入「圖示表徵策略教學」後，整體解題正確率有明顯提升，且具維持的效果。 2.圖示表徵策略使學童理解題意、正確列式，減少解題歷程的錯誤。 3.圖示表徵策略能改進數學低成就學童的解題態度。 1.使用圖示教學能促進三位學習障礙學生在一步驟的數學文字題的解題能力。 2.二步驟的數學文字題的解題能力，在使用圖示教學法後有所進步。 1.在數學學習成就的表現上，以情境動畫遊戲教學模式的實驗組學生優於一般傳統教學的控制組學生。 2.情境動畫遊戲教學模式能提昇高、中、低不同學習能力學生的數學學習成就。 3.數學學習保留的表現上，接受情境動畫遊戲教學模式的實驗組學生優於接受一般傳統教學的控制組學生。 4.情境動畫遊戲教學模式對中、低成就學生之學習保留提昇效果顯著。 1.不同年紀的測試者在圖優效應上有不同的成效。 2.在最年輕 7-10 歲這組的成效最好。 3.不同的記憶過程，在不同的發展階段有不同的貢獻。 1.學生在圖示題的解題表現顯著優於短語題. 程麗滿 (2008). Defeyter,R usso & McPartlin (2009) 徐黎婷. The picture superiority effect in recognition memory: A developmental study using the response signal procedure. 不同題目表徵呈現的體積. 12.

(24) 研究者 (年代). 研究主題. 研究結果. (2010). 概念題型對國小六年級學童解題的影響. Wu, Chang, Chen, Yeh & Liu (2010). Comparison of Earth Science Achievement Between Animation-Based and Graphic-Based Testing Designs. 林淑敏 (2011). 國小高年級學童數位學習的學習效益之研究。. 李昱昀 (2012). 與文字情境題的解題表現 2.學生在短語題的解題表現略優於在文字情境題的解題表現。 1.動畫模式的教學法是有效且可靠的。 2.高先備知識學生在圖形組表現比較好；具低先備知識的學生在使用動畫組教學可以學得更好。 3.60％以上的學生對參加動畫組表示滿意，並持正向態度。 1.實驗組使用電子書後進行遊戲練習的學習內容，對照組使用電子書後進行動畫播放的學習內容，多數學生喜歡劇情動畫方式的學習，認為動畫不僅有趣，更可幫助他們記憶與理解。 2.喜歡測驗遊戲的受訪者則認為遊戲是娛樂、好玩，他們不認為遊戲是學習。 1.以圖像表徵式動畫教材在乘除法教學上效果. 圖像表徵式動畫教材對國小四年級學童數學焦慮、較顯著。問題解決能力與學習成效 2.圖像表徵式動畫教材在數學教學上能降低學童數學焦慮。之影響 3.圖像表徵式動畫教材能使學生對數學問題解決的能力提升。 4.學童對圖像表徵式動畫教材有正面的肯定態度。. 吳碧真 (2012). 運用圖像表徵與鷹架策略教學進行四年級分數加減補救教學之研究. 第二節. 1.使用圖像表徵時，需喚起學童具體物操作的經驗。 2.使用圖像表徵的教學，有助於學童對題意的理解。 3.本研究所設計的補救教學活動，在數學學習是有正面的提昇。. 城鄉差距. 一、城鄉差距的定義. 13.

(25) 城、鄉的界定的主要條件，包含人口、經濟、行政區劃分等基礎因素，而因人口聚集後所發展出來的文化特色、地區風情、公共建設等，則是配合上述的需求後，所發展出來的結果。依地方制度法劃分，城的定義是指人口密度較高、交通便利，當地居民以商業、服務業等二、三級產業為主要經濟發展型態之地區，而且在政府行政體制下所劃分的直轄市與省轄市層級地區；而鄉則是人口密度較低、交通較不發達，當地居民以農工第一級產業為主要經濟發展型態之區域，在政府行政體制劃分為鄉、鎮層級之地區(胡勝正，2006)。Arline，Cynthia，Tara， Lori & Sherman (2006) 使用統計的資料庫分析城市與鄉村貧困地區之差別，以經濟狀況發展佳的地區代表城市，經濟狀況發展較差的地區為鄉村。不同於城市的繁榮熱鬧，鄉村地區的特色是人口密度較低、地理位置較為偏遠、交通建設不發達、弱勢族群較多且公共建設相對不足，生活上有賴政府的特別關照的地區（胡勝正，2006）。Urry (1992)、黃美玲 (2003）則以人口密度來定義鄉村地區，認為鄉村是一個人口密度低，且人口的組成上的同質性較高的地方。由此可知，城鄉之間不僅人口密度、經濟產業型態、文化特色、公共建設、交通便利性、地區發展等方面有所差異，在教育資源的分配上與教育發展的結果都有所不同。以致於不同地區學生的教育品質、學習成就與升學機會形成了差異。. 二、城鄉教育資源的差異由於城鄉之間發展上的不同與資源的差異，這些條件通常是造成教育機會不均等的主要原因。尤其在都會區因為人口較密集、經濟活動較活絡，教育機構相形較多，其所分配到的教育資源相對上較鄉鎮地區充足，進而形成教育機會上的城鄉差距(陳奕奇、劉子銘，2008，林宣妤，2010)。由於行政區位劃分的區隔，不同層級的地區有人口多寡、經濟產業型態與文化等差異存在，也就是地區發展條件有所不同。而各地區因發展條件的不同，造成不同個人之間所接受的教育年限、以及在教育上成就的差距等情形，即是形成教育差距的原因(吳清山、林天佑，2007)。林俊瑩(2006)學者也指. 14.

(26) 出，有關學生學業表現，會因下列情況而有所不同：(1)都市地區及學區內家長與收入愈高的學校，學生學業成就表現較好；鄉村及學區內家長教育與收入愈低的學校，學生的表現就比較差，影響學業成就的主要因素還是來自於家庭社經背景與地區因素。 (2)地區因素又受到家庭社經地位影響，家庭社經地位愈好的學區，學生的學業成就愈高。Peng, Wright & Hill(1994)學者提出學童的學習成就和家庭社經地位呈現正相關的現象，學習成就較高的學童，通常來自於社經地位較高的家庭。城鄉或學區的社經地位對於學業成就有很大的影響力，社經地位越佳者，學業成就越佳；社經地位越低者，學業成就越差(陳家如，2006）。在基本人權中，教育機會均等一直是社會大眾關注的焦點所在，亦是政府努力達到的目標，但由於城鄉區域間的差異所造成資源分配不均，進而形成了城與鄉之間的差異，在城鄉學童的學業成績上有著顯著的不同(呂美怡，2008)。邱雅婷(2010)學者指出，教育機會均等是現代世界各國所追求的共同目標，且公平的分配教育資源一直都是全體國民所關注的焦點。城鄉間教育之所以發展不均，主要在於因自然環境不同的學校，造成學生對環境問題知覺上的差異，進而影響學生在環境知識上的學習和對環境態度的觀念建立 (林宣妤，2010)。黃怡雯（2008）學者的研究中認為，偏遠地區學生學測成績之所以較都會區學生遜色的原因，在於整體學習環境較都會區差，兩者在經濟資本、文化資本、社會資本、象徵資本有懸殊之差距。吳武典（2005）學者研究中指出，國中基本學力測驗的成績呈現雙峰現象的主要原因是受到學校城鄉差距、家長社經地位的影響。Nelson（1991）在綜合多位學者的研究後發現，各區域生活的條件不同，對學生學習成就的表現是重要的影響因素之一。莊勝義(2007)學者也指出，在都市化與教育資源分配不均的情況下，城鄉地區的教育發展失衡，形成明顯的教育落差，已是不爭的事實。根據文獻中相關學者研究可知，城鄉之間因為家長所得懸殊，受教育背景歧異，以及城鄉教育資源豐富與貧瘠，乃至城鄉學校間的師資強弱不同，造成在教育上的城鄉差距。. 15.

(27) 三、城鄉差距的相關研究為了避免因地區間教育資源分配不均，在教育上產生失衡的現象，針對文化不利地區及相對弱勢的族群，調整適當的教育支援策略，提供積極性差別待遇輔助，來整體提升較為弱勢地區之教育水準（教育部，2008）。雖然近年來教育在量與質的方面均有提升且進展顯著，城鄉教育發展失衡的問題仍未能解決。部分位處交通不便、偏遠、地理環境特殊、人口外流、班級數較少、教師流動率過高等文化不利地區的學校，資源上無法獲得真正的解決，導致此地區教育水準落後許多，形成所謂國民教育的死角(吳祥坤，2009) 。在教育發展過程中，不管是生活型態、交通設施、公共建設、文化建設與等，都和城鄉差距有關，就算提升學校軟硬體設施在鄉村學校，拉近和城市之間的差距，但也未必能解決城鄉或地區問的差異。以下是有關城鄉差距的相關研究，研究者整理如表2-2所示：表 2-2 城鄉差距之相關研究彙整研究者研究主題. 研究結果. (年代) Nelson （1991）. Urry (1992) Peng, Wright & Hill (1994) 胡美婌 (2003). Communities, local to national, as influences on social studies education. The Tourist Gaze "Revisited" Explanation of Academic Achievement of Asian American Students. 高雄地區國小六年級學童基本科學過程技能之城鄉、性別差異. 各區域生活的條件不同，對學生學習成就的表現是重要的影響因素之一. 以人口密度來定義鄉村地區，認為鄉村是一個人口密度低，且人口的組成上的同質性較高的地方。學童的學習成就和家庭社經地位呈現正相關的現象，學習成就較高的學童，通常來自於社經地位較高的家庭。高雄縣、市國小六年級學童了解科學訊息傳達能力城市學童顯著優於鄉村學童；文字圖表傳達能力亦具城鄉顯著差異性。. 16.

(28) 研究者研究主題. 研究結果. (年代) 研究--以傳達能力為例大專校院招生能兼顧卓越與公平嗎. 彭森明（2006） Arline， Urban-Rural Cynthia， Differences in Excess Tara， Lori Mortality among High& Sherman Poverty Populations: Evidence from the (2006) Harlem Household Survey and the Pitt County 莊勝義機會均等與多元文化 (2007) 兩種教育運動的對比陳奕奇&劉教育成就與城鄉差子銘距：空間群聚之分析 (2008) 黃怡雯偏遠地區國中學生基（2008）測成績之探究. 吳祥坤 (2009). 國中學生基本學力測驗城鄉差距成因之比較研究─以台北市A 校與金門縣B 校為例. 潘明智 (2010). 國中生基測成績城鄉差異之研究-以臺南市為例. 城鄉差距主要是由於學生的補習機會及經濟能力所造成的。使用統計的資料庫分析城市與鄉村貧困地區之差別，以經濟狀況發展佳的地區代表城市，經濟狀況發展較差的地區為鄉村。. 在都市化與教育資源分配不均的情況下，城鄉地區的教育發展失衡，形成明顯的教育落差。都會區因為人口較密集、經濟活動較活絡，教育機構較多，其所分配到的教育資源較鄉鎮地區充足，進而形成教育機會上的城鄉差距。偏遠地區學生學測成績之所以較都會區學生遜色的原因，在於整體學習環境較都會區差，兩者在經濟資本、文化資本、社會資本、象徵資本有懸殊之差距。造成學測分數高低主要原因有：(1)學習態度、(2)家長參與、(3)班級教學、(4)縣市政府的教育政策及學校教學作為積極與靈活。鄉村位處交通不便、偏遠、地理環境特殊、人口外流、班級數較少、教師流動率過高等文化不利地區的學校，資源上無法獲得真正的解決，導致此地區教育水準落後許多，形成所謂國民教育的死角。臺南市城鄉區英語及自然成績呈現嚴重雙峰現象，尤其鄉區成績落差非常嚴重，學習成效表現相當不好，建議教育處應請專家深入研究，用專業研究來改善並提升郊區的學習成效。. 17.

(29) 第三節. 數學問題解決能力. 一、數學問題解決能力數學與生活密不可分，數學的基本能力素養亦是終身學習的工具，而培養問題解決能力是每一個領域都需要學習的重要教育目標之一（陳明溥，2002）。日常生活中如買菜、坐車、看電影等都會遇到數學相關的問題，如何利用方法來解決數學問題是生活中不可或缺的能力，若缺少了此能力，將會對生活造成許多不便。問題解決能力除了能將問題有效解決之外，還必須兼顧多樣化且創新的方法，若一個人能變通且有效的來解決問題，其問題解決能力更佳（黃春金，2009）。吳斯茜（2005）綜合多位學者的看法，認為問題是一種情境，是一種個體以先前經驗解釋或是解決目前所遭遇的困境的狀態。佘金玲（2005）綜合國內外學者對問題解決的定義，認為問題解決是一種思考的能力或歷程，各家學者都是以問題思考歷程為切入點，再根據自己所觀察的情況，提出自己所認為的問題思考歷程是如何發生與進行的。在認知心理學派崛起後，慢慢強調問題解決能力的培養，數學教育在此影響下，也逐漸的重視數學解題的能力。黃俊瑋（2007）指出，以教育觀點來看，培養學生問題解題能力是非常重要且必須的，而解題活動是數學學習的主要核心，在數學的課程進行時，學生透過邏輯、歸納、演繹等能力進行問題的解決，這都得藉由發覺問題、探索問題、進而培養解決問題的能力。生活上問題無所不在，不斷的解決問題是生活中重要的課題。 Allaire 與 Marsiske( 2002)學者提到，定義不明瞭的問題解決時，常著重在模稜兩可的部分或日常生活問題的探究。學生應對他們所遭遇到的問題進行探索，分析問題的每個條件，詳細觀察其各個不同的面向，並且獨立地去發現問題的解法（吳盈縈，2010）。王鈺雯（2002）提到解題者在面對數學問題情境或非例行性問題(non-routine problem) 時，無法馬上解答，只能從自己的記憶中運用已有的數學概念、原理及方法等先備知. 18.

(30) 識，並針對題目的說明、所給予的條件，經思考後先初步擬定解題計畫，再根據其想法加以執行解題、驗算的步驟，進而解決數學問題的一種歷程；面對問題時，首先需了解事件的本質與現象，才能針對癥結點提出方法，進而得出問題的解決策略。在我們解決不同的問題時，會使用不同的方法；不同的人在解決同一個問題時，也會有不同的方法出現。當我們在面對問題時，會因為彼此不同的成長背景與經驗等，對問題的解決方式也不盡相同，只要最後能有效解題並符合常理，那麼不同的方法都能被接受。每個學者對解題所著重的方向與觀點都不大相同，觀察問題的角度也不一致，但都在其所描述的解題歷程中包含了理解、計畫、執行、驗證等程序（劉家樟， 2007）。解題過程中重要的一環便是理解了，若無法有效閱讀、理解題目，就算計算能力再出色，也只能看著題目發呆。數學對大家來說就是一種新的語言，所以學習數學就是在學習一種新語言(陳世杰，2005)。數學文字問題的解決必須擁有語文理解、數學概念與計算能力等（葉家綺，2005）。陳雅玲（2004）、林明志（2009）認為應注重閱讀能力的培養，來提昇數學能力。Allan和 Bernardo（1999）等學者認為學生在解數學文字題時的困難是因為無法瞭解文字本身的敘述，在無法理解文字的情況下，將解題方向導入了錯誤的策略，而無法有效解題。所以解題者若想要能成功解題，首先必須對題目文意做正確理解與轉譯，形成適當的心理表徵（陳世杰， 2005 ）。 Mayer(2008)甚至認為語文能力的好壞會影響學生是否能成功解題，即語文能力是學習數學的基礎。由此可知，影響有效的數學解題因素包含了知識、基模、動機、興趣、態度、信心、語文能力、數學概念、問題表徵能力、後設認知等能力。. 二、雙碼理論的應用 Paivio 學者(1986)的雙碼理論認為人類在將短期記憶轉換並儲存於長期記憶的整個歷程中，運用了語文與非語文這二種互相交叉作用卻又彼此獨立的處理系統，其中非語文系統是負責處理有關靜態和動態方面的視覺訊息，如圖像、動畫、影片等，因. 19.

(31) 此我們也稱非語文系統為視覺圖像系統。在雙碼理論中視覺圖像系統運作包含表徵連結、參照連結和關連性連結三個層次。表徵連結指透過感官系統在接收外在訊息刺激後所產生的直接表徵或啟動相對應的表徵；關聯連結指在單一編碼系統中同樣屬性元素之間的關聯；參照連結指兩種編碼系統間的相互對照關係。學習者所接收訊息的教材中，若同時具備文字與圖像兩者，其知識內容才能運作組織成語文模型與圖像模型，語文模型與圖像模型在整合後將有助於學習（Mayer，2009）。在研究者教學的過程中也常發現，學童學習時若能在文字教材中加入圖像來思考，不僅有助於理解，且通常能順利解題。但不是在文字中加入任何圖像都有助於學習者理解，Lohr 學者（2008）的研究中強調圖像需符合教學目標，如果要使用圖像來改善記憶，在視覺設計上則必須符合文字；利用圖像來表徵因果關係有助深入學習、視覺圖像能幫助思考，所以要避免視覺圖形與教學目標發生不一致的狀況。在教學過程中，教師對於學生的表徵和思考需理解，才能釐清學生可能錯誤迷失的問題所在，適時的幫助學生運用表徵且提升思考層次（陳霈頡，2007），所以教師在教學過程中能否選擇適當的表徵就顯得十分重要。表徵(representational connections)是兒童心智發展階段循序漸進的特徵，是將現實的事物或想法，轉換成另外一種較為形式化、符號化、抽象的形式（圖形、符號）來代表，並以自己的想法重新表達，利於儲存、理解，進而達到與人溝通的歷程 (潘慧萍，2007)。教師根據雙碼理論修改教材運用於教學中，可以降低學生的認知負荷並有助於理解，並提供線索，以省時又省力的方法完成解題(李昱昀，2012)。當我們在進行以圖像來輔助教學時，可減少學生的認知負荷，學生才能對問題適切的表徵，並予以解題。外在認知負荷指的是教材品質、教學策略、介面設計、學習環境、訊息設計等所產生的額外認知負荷（Pociask & Morrison，2008）。如果學生的認知負荷過重，就無法輕易產生適切的表徵。當我們在閱讀文章尋找所需要資訊時，必須一字一句的看懂文章內容，才有辦法找到想要的資訊而把它儲存在記憶裡，這樣的動. 20.

(32) 作直到我們找到所需的全部資訊並將其記憶後才會停止，但這樣十分費時費力。圖形就不同了，我們可在找到一個有用的資訊時，從附近發現其它我們想要的訊息，不用經過一連串的搜尋、記憶才能獲得，所以較為省時省力。課程進行時若能以圖片輔以文字，學生可以花較少的心力在處理文字理解的情緒上，更專注於學習內容(林金錫、連育仁，2010)。Schuster & Carlsen學者（2009）指出教材的圖文配置若設計良好，則有助於學習的理解。圖像融入教學設計時若只是隨意加上圖像，沒有符合文字所要表達的意思來予以設計的話，那麼對於學生的學習並無法有太大的助益，達到預期效果的目的則十分有限，良好的圖像表徵設計，必須讓學生在看到圖像時，就能大致了解文字所要表達的意思，加上對於文字本身的理解，進而順利的解題。語言刺激. 圖像刺激. 感官系統. 語文系統. 參照連結. 語言刺激. 非語文系統. 語言刺激. 圖 2-1 雙碼理論編碼模式資料來源：Paivio, A. (1986). Mental representation: A dual coding approach.New York: Oxford University Press.. 三、數學解題歷程 21.

(33) 在數學解題的研究中，各學者根據不同的理論提出不同的看法，都有其歷程。 Polya(1945)在其怎樣解題（How to solve it）的著作一書中，點出解題過程的四個步驟：(1)暸解問題：解題者必須知道題目所給予的條件，加以運算與操作。；(2)擬定計畫：找出已知與未知的關聯，擬定解題的方法、策略和執行步驟，得出解題的計劃；(3)執行計畫：著手進行解題相關流程，執行所擬定的計畫；(4)回顧解答：重新檢視解題執行的歷程，檢驗解答的合理性，或思考使用不同方法求解及應用到別的問題。 Schoenfeld (1985)所著數學解題（Mathematical problem solving）一書中，將解題歷程分成六個階段：(1)閱讀（reading）：讀題。(2)分析（analysis）：重新敘述或簡化來瞭解題目。(3)探索（exploration）：尋找、思考有關的訊息和目標的關聯性。 (4) 計劃（ planning ）：擬定解題計劃，檢視、評估其適切性。 (5) 執行（implementation）：將擬定的計畫予以執行。(6)驗證（verification）：檢查、驗算答案是否合理正確。 1.閱讀問題 2.分析問題. 6.驗證、檢查答案. 3.探索、思考相關訊. 5.依計劃執行解題 4.擬定解題計劃圖2-2 Schoenfeld解題歷程. 資料來源：Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical problem solving. New York:Academic Press. Mayer（1992）把數學解題分為二大步驟，包含四個階段。(一)問題表徵：. 22.

(34) (1)問題轉譯：指去理解語句的意思及語句之間的關係，將每個句子加以解釋。(2)問題整合：認識問題的類型和資料、決定解題所需要的資料、用圖示或圖畫來闡述問題等，即將資料統整而成為一個問題表徵。(二)問題解決：(1)解題計畫和監控：思考解題方法及監控解題計畫。(2)解題執行：運用演算法則來進行計算。 Lerner（2003）指出指出解決文字題的步驟包括：（1）敘述問題：讓學生先讀出題目，接著說出問題，學生在此階段不需要使用紙筆，只需簡單地敘述問題。（2）決定問題：讓學生決定問題的特性，發現問題的關鍵所在。（3）蒐集資料：文字所提供的相關訊息，要學生讀或默唸問題，然後列出相關資料。（4）分析關係：幫助學生分析問題的相關資料。. 四、問題解決能力與數學教學的相關研究解題應該是在不熟悉的情境下，針對問題來進行解決；在問題解決過程中有助於數學知識、基模的建構，在解題教學中應該鼓勵並且協助學生進行數學思考、自行建構出個體可以理解且有意義的解題方法，而不是純粹練習解題或背誦解法，一味的提供熟練經驗使學生能以反射方式解決類似問題。教師必須透過不斷反覆的講解、建構、思考、重組的省思歷程，重新思考與設計出可以激發學生潛能的課程活動(余家慶，2011)。綜觀各學者的研究，解題應該是將一個複雜的情況，經由分析、推理、歸納、演繹與組織後的一種綜合能力運用，並在解題的發現與建構活動歷程中解開問題。在課程進行過程中，教師所運用的教學策略，對學生的解題方向、解決能力與思考模式有很大的影響。教師運用或提供教材的方法、程序或是技術等，都是屬於教學策略(吳盈縈，2010；Oliva，1992)。以下是問題解決能力與數學教學的相關研究，研究者整理如表2-3所示：. 23.

(35) 表 2-3 數學問題解決能力與數學教學之相關研究彙整研究者 (年代). 研究主題. 研究結果. Paivio (1986). Mental representation: A dual coding approach. 人類在將短期記憶轉換並儲存於長期記憶的整個歷程中，運用了語文與非語文這二種互相交叉作用卻又彼此獨立的處理系統，其中非語文系統是負責處理有關靜態和動態方面的視覺訊息，如圖像、動畫、影片等，因此我們也稱非語文系統為視覺圖像系統。. 陳明溥 (2002）. 建構式網路學習活動之探討. 吳斯茜. 網路輔助電腦樂高課程影響學童問題解決態度之研究. 數學與生活密不可分，數學的基本能力素養亦是終身學習的工具，而培養問題解決能力是每一個領域都需要學習的重要教育目標之一。綜合多位學者的看法，認為問題是一種情境，是一種個體以先前經驗解釋或是解決目前所遭遇的困境的狀態。. (2005）. 佘金玲 (2005）. 葉家綺 (2005）陳霈頡 (2007）. Mayer (2008) Lohr (2008). 大學生依附連續性與憂鬱傾向、問題解決能力之相關研究不同數學文字問題之解題與合作解題研究數常識補救教學活動模組實施之研究~以三年級為例 Learning mathematics Creating Graphics for Learning and Performance: Lessons in Visual Literacy. 綜合國內外學者對問題解決的定義，認為問題解決是一種思考的能力或歷程，各家學者都是以問題思考歷程為切入點，再根據自己所觀察的情況，提出自己所認為的問題思考歷程是如何發生與進行的。數學文字問題的解決必須擁有語文理解、數學概念與計算等能力。在教學過程中，教師對於學生的表徵和思考需理解，才能釐清學生可能錯誤迷失的問題所在，適時的幫助學生運用表徵且提升思考層次。語文閱讀能力的好壞會影響學生是否能成功解題，即語文能力是學習數學的基礎。強調圖像需符合教學目標，如果要使用圖像來改善記憶，在視覺設計上則必須符合文字；利用圖像來表徵因果關係有助深入學習、視覺圖像能幫助思考，所以要避免視覺圖形與教學目標發生不一致的狀況。. 24.

(36) 研究者 (年代) Pociask & Morrison (2008）. Mayer (2009）. 李昱昀 (2012). 研究主題. 研究結果. Controlling split attention and redundancy in physical therapy instruction Multimedia learning: Second edition. 當我們在進行以圖像來輔助教學時，可減少學生的認知負荷，學生才能對問題適切的表徵，並予以解題。外在認知負荷指的是教材品質、教學策略、介面設計、學習環境、訊息設計等所產生的額外認知負荷。學習者所接收訊息的教材中，若同時具備文字與圖像兩者，其知識內容才能運作組織成語文模型與圖像模型，語文模型與圖像模型在整合後將有助於學習。. 圖像表徵式動畫教材對國小四年級學童數學焦慮、問題解決能力與學習成效之影響. 教師根據雙碼理論修改教材運用於教學中，可以降低學生的認知負荷並有助於理解，並提供線索，以省時又省力的方法完成解題。. 第四節. 小節. 數學解題中使用外在表徵策略能提升數學解題能力（Van Garderen，2007）。用於解題的策略種類極多，使用圖像表徵策略是許多學者及教學研究者提到有效解題策略之一（楊淑芳，2001；徐文鈺，1992；吳昭容，1990；張憶壽，1986）。因此，在解數學文字題時，若學生能於解題一開始就使用圖像表徵文字應用題的文字相互關係，能提高正確解題的機率。所以，圖像表徵策略運用在教學上，能提昇教師教學效能、讓學生有效學習並達到教學目標，讓學習者能建構屬於自己解決問題的辦法。 Arline，Cynthia，Tara， Lori 和 Sherman (2006)以經濟狀況發展佳的地區代表城市，經濟狀況發展較差的地區為鄉村。由於城鄉區域間的差異所造成資源分配不均，進而形成了城與鄉之間的差異，在城鄉學童的學業成績上有著顯著的不同(呂美怡，2008)。普遍社會一直存在城鄉的差距，雖然近年來鄉村地區在教育上量與質的方面均有提升且進展顯著，但仍無法彌平城鄉教育發展失衡的問題。如何拉近彼此的差. 25.

(37) 距、找出解決的方法是未來的目標，希望在融入圖像表徵式策略教學，能縮短城鄉差距，讓身處不同城鄉的學習者都能有效的學習，讓教育的機會更均等。當我們遇到不同問題時，必須運用自己的知識、經驗和技能，蒐集有用的資訊，透過思考過程來分析判斷出最合適的解決方法，並經過嘗試錯誤和修正，以達到解決問題的最終目的。在數學問題解決方面也是一樣，必須在步驟中經過解題歷程與具備完善的能力，才能正確解題。本研究教材設計以Paivio的雙碼理論中編碼、解碼、理解、回應與回想等方向為基礎來製作教學媒體，運用多媒體融入教學。但多媒體訊息應依據人類心理運作的方式來設計，如此才能產生良好的學習成效（Mayer，2009）。因此媒體的設計組合必須和教學目標一致，才能正確引導學生思考並解決問題。而本研究乃參考文獻將解題歷程分成六個階段：(1)閱讀（reading）：讀題。(2)分析（analysis）：重新敘述或簡化來瞭解題目。(3)探索（exploration）：尋找、思考有關的訊息和目標的關聯性。(4)計劃（planning）：擬定解題計劃，檢視、評估其適切性。 (5) 執行（ implementation ）：將擬定的計畫予以執行。 (6) 驗證（verification）：檢查、驗算答案是否合理正確(Schoenfeld，1985)。以此來製作數學教材，期許學童可以循著這六個步驟學習有效的解題策略，增進其問題解決能力，進而提升其數學學習成效。. 26.

(38) 第三章研究方法本章共分為五小節，第一節為研究流程，第二節為研究對象，第三節為研究設計，第四節為研究工具及第五節實驗處理。. 第一節研究流程本研究在正式確定研究主題與目的之後，便著手收集與整理相關文獻，透過文獻的整理、探討，確定圖像表徵式學習策略之教學設計模式與特色，接著開始設計數學文字題動畫，同時進行數學乘除法教材分析及編製學習成就測驗，且遵循編製測驗的流程與進度，進行試題分析及進行專家效度，編成符合之學習成就測驗試題。本實驗分成二階段，第一階段為乘法問題，第二階段為除法問題。在實驗之前，先進行學習成就測驗一前測及數學問題解決能力施測，接著進行為期五堂課實驗教學，實驗組施以圖像表徵式數學教學，控制組則是一般傳統教學，待實驗結束後再施以學習成就一測驗後測；第二階段先進行學習成就測驗二前測，接著進行為期五堂課實驗教學，實驗組施以圖像表徵式數學教學，控制組以一般傳統教學，待實驗結束後再施以學習成就二測驗後測、數學問題解決能力施測與教學意見調查表。最後進行實驗結果分析，了解其學習成效，將實驗結果分析整理後撰寫成研究結果。本研究之研究流程如圖 3-1 所示，實驗處理詳細流程圖如 3-2 所示。. 27.

(39) 確定研究題目與目的. 蒐集、整理文獻. 進行教材分析及試題編製圖像表徵式教材規劃. 編製前後測試題及數學問題解決能力量表. 教材之測試與修改. 進行試題分析及專家效度. 實驗處理. 進行實驗分析. 實驗結果撰寫圖 3-1 研究流程圖. 教學意見調查表. 數學問題解決能力量表. 學習成就二後測除(法. ) ). ). ). ). 28. 第二階段教學除(法. 學習成就二前測除(法. ). 學習成就一後測乘(法. 第一階段教學乘(法. 學習成就一前測乘(法. 數學問題解決能力量表. 圖 3-2 實驗處理詳細流程圖.

(40) 驗證檢查答案第六步驟. 理解. 依計劃執行解題. 理解. 第五步驟. 擬定解題計劃第四步驟. 理解. 探索思考相關訊息. 第三步驟. 分析問題第二步驟. 閱讀問題第一步驟. 理解. 理解. 理解. 疑惑. 理解. 疑惑. 理解. 疑惑. 理解. 疑惑. 理解. 疑惑. 理解. 疑惑. 教師講解圖 3-3 數學解題步驟流程圖. 第二節研究對象本研究以國小四年級學童為研究母群，實驗樣本分別取自於城市組的台中市圓滿國小、鄉村組的苗栗縣幸福國小四年級各二班學童，一班為實驗組，進行圖像表徵式策略教學；另一班為控制組，進行一般傳統教學。由研究者進行為期二個單元的實驗教學。本研究之研究對象共86人，其中城市組的實驗組男生11人、女生12人，鄉村組的實驗組男生14人、女生3人，共40人；城市組的控制組男生12人、女生11人，鄉村組的控制組男生13人、女生5人，共41人。以下為各組研究樣本人數，如表3-1所示：表 3-1 研究樣本人數校別城市鄉村. 組別實驗組控制組實驗組控制組合計. 性別男 11 12 14 13 50. 女 12 11 3 5 31. 總人數 23 23 17 18 81. 第三節研究設計本研究採準實驗研究法(quasi-experimental method)之「不等組前後測設計」，以國小四年級數學乘除法課程為研究主題，將研究對象分為實驗組與控制組，實驗組以圖像表徵式教學法教學，控制組以一般傳統方式教學，即未實施圖像表徵式教學. 29.

(41) 法，並藉由實施學習成就前後測進行比較實驗組與控制組之學習成效的差異。在進行實驗前，實驗組與控制組均接受學習成就測驗之前測，以此前測成績作為共變項，接著以不同教學方法進行實驗教學，於教學實驗結束後，實驗組與控制組均接受學習成就測驗之後測。以下為本實驗設計的研究變項之間的關係架構圖，如圖 3-4 所示。. 控制變項：年級、教學者、教學時間、教材內容、教學課自變項：實驗組：圖像表徵式教學控制組：傳統式教學. 依變項：學習成就測驗之後測數學問題解決能力量表共變項：學習成就測驗之前測. 圖 3-4 研究架構圖（一）自變項實驗組施以圖像表徵式教材教學法，控制組以一般傳統教學法教學，教學課程共二個單元，共計十堂課，每節 40 分鐘，總共 400 分鐘。（二）依變項 1. 數學成就得分：學生在本研究所設計的數學學習成就測驗中，所測得的分數高低情形。 2. 數學問題解決能力量表得分：學生在自編的數學問題解決能力量表所測得的分數高低情形。. 30.